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- 2021-11-10 发布
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专题六
二次函数压轴题
1.
主要类型
:
(1)
线段及周长最值问题
(2)
面积最值问题
(3)
存在性问题探究
2.
规律方法
:
(1)
解决线段和的最小值或三角形周长最小问题
,
主要依据是“两点之间
,
线段最短”
,
具体方法是利用轴对称将两条线段之和转化为一条线段的长
,
然后求出该条线段的长
.
(2)
解决图形面积的最值问题
,
通常先设出动点坐标
,
然后表示出图形面积
,
利用二次函数性质来求最大值或最小值
,
表示不规则图形的面积时
,
通常采用割补法把其转化为易于表示面积的图形
(
有一边在坐标轴上或平行于坐标轴
).
(3)
解决存在性问题要先假设结论成立
,
然后根据所探究特殊图形的有关性质
,
利用分类讨论的数学思想构造全等或相似图形
,
进而求出字母的取值
.
3.
渗透的思想
:
分类讨论、转化思想、数形结合、函数与方程等
.
类型一 线段及周长最值问题
【
考点解读
】
1.
考查范畴
:
线段和周长最值问题主要包括线段和的最小值、周长和的最小值和线段差的最大值三种情况
.
2.
考查角度
:
利用二次函数解析式确定有关点的坐标
,
结合某个动点考查两条线段和或差的最值问题
.
【
典例探究
】
【
典例
1】
(2018·
宜宾节选
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
已知抛物线的顶点坐标为
(2,0),
且经过点
(4,1),
如图
,
直线
y= x
与抛物线交于
A,B
两点
,
直线
l
为
y=-1.
(1)
求抛物线的解析式
.
(2)
在
l
上是否存在一点
P,
使
PA+PB
取得最小值
?
若存在
,
求出点
P
的坐标
;
若不存在
,
请说明理由
.
【
思路点拨
】
(1)
由抛物线的顶点坐标为
(2,0),
可设抛物线的解析式为
y=a(x-2)
2
,
由抛物线过点
(4,1),
利用待定系数法即可求出抛物线的解析式
.
(2)
联立直线
AB
与抛物线解析式组成方程组
,
通过解方程组可求出点
A,B
的坐标
,
作点
B
关于直线
l
的对称点
B′,
连接
AB′
交直线
l
于点
P,
此时
PA+PB
取得最小值
,
根据点
B
的坐标可得出点
B′
的坐标
,
根据点
A,B′
的坐标利用待定系数法可求出直线
AB′
的解析式
,
再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点
P
的坐标
.
【
自主解答
】
略
【
规律方法
】
解决线段和最小值问题的方法
(1)
解题的基本依据是“两点之间
,
线段最短”
,
如图所示
,
若
A,B
是两个定点
,
动点
P
在直线
m
上
,
求
PA+PB
的最小值的方法是
:
作点
A
关于直线
m
的对称点
A′,
当
A′,P,B
三点共线时
PA+PB
最小
.
(2)
确定动点
P
的位置后
,
再根据两条直线的解析式联立组成方程组
,
进而求出交点
P
的坐标
.
【
题组过关
】
1.(2019·
烟台中考
)
如图
,
顶点为
M
的抛物线
y=ax
2
+bx+3
与
x
轴交于
A(-1,0),B
两点
,
与
y
轴交于点
C,
过点
C
作
CD⊥y
轴交抛物线于另一点
D,
作
DE⊥x
轴
,
垂足
为点
E,
双曲线
y= (x>0)
经过点
D,
连接
MD,BD.
(1)
求抛物线的解析式
.
(2)
点
N,F
分别是
x
轴
,y
轴上的两点
,
当以
M,D,N,F
为顶点的四边形周长最小时
,
求出点
N,F
的坐标
.
(3)
动点
P
从点
O
出发
,
以每秒
1
个单位长度的速度沿
OC
方向运动
,
运动时间为
t
秒
,
当
t
为何值时
,∠BPD
的度数最大
?(
请直接写出结果
)
略
2.(2019·
贺州中考
)
如图
,
在平面直角坐标系中
,
已知点
B
的坐标为
(-1,0),
且
OA=OC=4OB,
抛物线
y=ax
2
+bx
+c(a≠0)
图象经过
A,B,C
三点
.
世纪金榜导学号
(1)
求
A,C
两点的坐标
.
(2)
求抛物线的解析式
.
(3)
若点
P
是直线
AC
下方的抛物线上的一个动点
,
作
PD⊥AC
于点
D,
当
PD
的值最大时
,
求此时点
P
的坐标及
PD
的最大值
.
【
解析
】
(1)OA=OC=4OB=4,
故点
A,C
的坐标分别为
(4,0),(0,-4).
(2)
抛物线的解析式为
:y=a(x+1)(x-4)=a(x
2
-3x-4),
即
-4a=-4,
解得
:a=1,
故抛物线的解析式为
:y=x
2
-3x-4.
(3)
直线
CA
过点
C,
设其函数解析式为
:y=kx-4,
将点
A
坐标代入上式并解得
:k=1,
故直线
CA
的解析式为
:y=x-4,
过点
P
作
y
轴的平行线交
AC
于点
H,
∵OA=OC=4,∴∠OAC=∠OCA=45°,
∵PH∥y
轴
,∴∠PHD=∠OCA=45°,
设点
P(x,x
2
-3x-4),
则点
H(x,x-4),
PD=HPsin∠PHD= (x-4-x
2
+3x+4)=- x
2
+2 x,
∵- <0,∴PD
有最大值
,
当
x=2
时
,
其最大值为
2 ,
此
时点
P(2,-6).
类型二 面积最值问题
【
考点解读
】
1.
考查范畴
:
以二次函数为背景
,
面积最值问题主要包括三角形面积问题和四边形面积问题
.
2.
考查角度
:
建立几何图形面积与动点的坐标的二次函数关系
,
然后确定最值
.
【
典例探究
】
典例
2(2019·
海南中考节选
)
如图
,
已知抛物线
y=ax
2
+bx+5
经过
A(-5,0),B(-4,-3)
两点
,
与
x
轴的另一个交点为
C,
顶点为
D,
连接
CD.
(1)
求该抛物线的解析式
.
(2)
点
P
为该抛物线上一动点
(
与点
B,C
不重合
),
设点
P
的横坐标为
t.
当点
P
在直线
BC
的下方运动时
,
求△
PBC
的面积的最大值
.
【
自主解答
】
(1)
将点
A,B
坐标代入二次函数解析式得
:
解得
:
故抛物线的解析式为
:y=x
2
+6x+5①,
(2)
令
y=0,
则
x=-1
或
-5,
即点
C(-1,0),
如图
,
过点
P
作
y
轴的平行线交
BC
于点
G,
将点
B,C
的坐标代入一次函数解析式并解得
:
直线
BC
的表达式为
:y=x+1②,
设点
G(t,t+1),
则点
P(t,t
2
+6t+5),
S
△PBC
= PG(x
C
-x
B
)=
∵ <0,∴S
△PBC
有最大值
,
当
t=
时
,
其最大值为
【
规律方法
】
解决面积最值问题的方法
(1)
首先设出动点的坐标为
(x,ax
2
+bx+c).
(2)
求有一边在坐标轴或与坐标轴平行的图形面积时
,
用该边为底边用含
x
的式子表示出来
,
结合图形可用
x
的代数式表示出该边上的高
;
求三边不在坐标轴上的三角形或不规则图形面积时
,
要先采用割补的方法转化成易于表示出面积的图形
.
(3)
用含有未知数
x
的代数式表示图形面积
.
(4)
利用二次函数的性质来求最大值或最小值
.
【
题组过关
】
如图
,
在平面直角坐标系中
,
抛物线
y=ax
2
+bx-5
交
y
轴于点
A,
交
x
轴于点
B(-5,0)
和点
C(1,0),
过点
A
作
AD∥x
轴交抛物线于点
D.
(1)
求此抛物线的解析式
.
(2)
点
E
是抛物线上一点
,
且点
E
关于
x
轴的对称点在直线
AD
上
,
求△
EAD
的面积
.
(3)
若点
P
是直线
AB
下方的抛物线上一动点
,
当点
P
运动到某一位置时
,△ABP
的面积最大
,
求出此时点
P
的坐标和△
ABP
的最大面积
.
略
类型三 存在性问题探究
【
考点解读
】
1.
考查范畴
:
以二次函数为背景的存在性问题包括探究等腰三角形、直角三角形、相似三角形和特殊四边形的形状
.
2.
考查角度
:
考查是否存在某点
,
使图形满足某种特殊形状
,
根据图形性质解答问题
.
【
典例探究
】
典例
3
已知抛物线
y=
的图象如图所示
:
(1)
将该抛物线向上平移
2
个单位
,
分别交
x
轴于
A,B
两点
,
交
y
轴于点
C,
则平移后的解析式为
____________.
(2)
判断△
ABC
的形状
,
并说明理由
.
(3)
在抛物线对称轴上是否存在一点
P,
使得以
A,C,P
为顶点的三角形是等腰三角形
?
若存在
,
求出点
P
的坐标
;
若不存在
,
说明理由
.
【
思路点拨
】
(1)
根据函数图象的平移规律
,
可得新的函数解析式
.
(2)
根据自变量与函数值的对应关系
,
可得
A,B,C
的坐标
,
根据勾股定理及逆定理
,
可得答案
.
(3)
根据等腰三角形的定义
,
分类讨论得到关于
P
点纵坐标的方程
,
解方程可得答案
.
【
自主解答
】
略
【
规律方法
】
探究等腰三角形存在性的方法
(1)
假设结论成立
.
(2)
分别表示三角形三条边的长度
,
分三种情况进行讨论
,
根据两边相等列出方程
,
然后求出对应的未知数的值
.
(3)
表示三边长度往往需要用到点的坐标
,
要掌握抛物线和直线与坐标轴的交点坐标求法
,
并能够利用解方程组求抛物线与直线的交点坐标
.
【
题组过关
】
(2019·
贵港中考
)
如图
,
已知抛物线
y=ax
2
+bx+c
的顶点为
A(4,3),
与
y
轴相交于点
B(0,-5),
对称轴为直线
l
,
点
M
是线段
AB
的中点
.
(1)
求抛物线的解析式
.
(2)
写出点
M
的坐标并求直线
AB
的解析式
.
(3)
设动点
P,Q
分别在抛物线和对称轴
l
上
,
当以
A,P,Q,M
为顶点的四边形是平行四边形时
,
求
P,Q
两点的坐标
.
【
解析
】
(1)
函数解析式为
:y=a(x-4)
2
+3,
将点
B
坐标代
入上式并解得
:a= ,
故抛物线的解析式为
:y= x
2
+4x-5.
(2)A(4,3),B(0,-5),
则点
M(2,-1),
设直线
AB
的解析式为
:y=kx-5,
将点
A
坐标代入上式得
:3=4k-5,
解得
:k=2,
故直线
AB
的解析式为
:y=2x-5.
(3)
略