2014年福建省泉州市中考数学试题（含答案） 18页

福建省泉州市2014年中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题有四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，请在答题卡题目区域内作答答对的得3分，答错或不答一律得0分．）‎ ‎1．（3分）（2014•泉州）2014的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2014‎ B．‎ ‎﹣2014‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 相反数．‎ 分析：‎ 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．‎ 解答：‎ 解：2014的相反数是﹣2014．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的概念，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2014•泉州）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a3+a3=a6‎ B．‎ ‎2（a+1）=2a+1‎ C．‎ ‎（ab）2=a2b2‎ D．‎ a6÷a3=a2‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．‎ 分析：‎ 根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．‎ 解答：‎ 解：A、a3+a3=2a3，故选项错误；‎ B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故选项错误；‎ C、（ab）2=a2b2，故选项正确；‎ D、a6÷a3=a3≠a2，故选项错误．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记法则运算 ‎　‎ ‎3．（3分）（2014•泉州）如图的立体图形的左视图可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图．‎ 分析：‎ 左视图是从物体左面看，所得到的图形．‎ 解答：‎ 解：此立体图形的左视图是直角三角形，‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2014•泉州）七边形外角和为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎180°‎ B．‎ ‎360°‎ C．‎ ‎900°‎ D．‎ ‎1260°‎ 考点：[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 多边形内角与外角．‎ 分析：‎ 根据多边形的外角和等于360度即可求解．‎ 解答：‎ 解：七边形的外角和为360°．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了多边形的内角和外角的知识，属于基础题，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2014•泉州）正方形的对称轴的条数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 轴对称的性质 分析：‎ 根据正方形的对称性解答．‎ 解答：‎ 解：正方形有4条对称轴．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2014•泉州）分解因式x2y﹣y3结果正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ y（x+y）2‎ B．‎ y（x﹣y）2‎ C．‎ y（x2﹣y2）‎ D．‎ y（x+y）（x﹣y）‎ 考点：‎ 提公因式法与公式法的综合运用 分析：‎ 首先提取公因式y，进而利用平方差公式进行分解即可．‎ 解答：‎ 解：x2y﹣y3=y（x2﹣y2）=y（x+y）（x﹣y）．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2014•泉州）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 反比例函数的图象；一次函数的图象．‎ 分析：‎ 先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．‎ 解答：‎ 解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y=的图象可知m＞0，故本选项正确；‎ B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y=的图象可知m＞0，相矛盾，故本选项错误；‎ C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误；‎ D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；‎ 故选：A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．‎ ‎　‎ 二、填空题(每小题4分，共40分）‎ ‎8．（4分）（2014•泉州）2014年6月，阿里巴巴注资1200000000元入股广州恒大，将数据1200000000用科学记数法表示为　1.2×109　．‎ 考点：‎ 科学记数法—表示较大的数 分析：‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ 解答：‎ 解：将1200000000用科学记数法表示为：1.2×109．‎ 故答案为：1.2×109．‎ 点评：‎ 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2014•泉州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD=50°，则∠BOC=　50　°．‎ 考点：‎ 对顶角、邻补角．‎ 分析：‎ 根据对顶角相等，可得答案．‎ 解答：‎ 解；∵∠BOC与∠AOD是对顶角，‎ ‎∴∠BOC=∠AOD=50°，‎ 故答案为：50．‎ 点评：‎ 本题考查了对顶角与邻补角，对顶角相等是解题关键．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2014•泉州）计算：+=　1　．‎ 考点：‎ 分式的加减法 分析：‎ 根据同分母分式相加，分母不变分子相加，可得答案．[来源:学科网ZXXK]‎ 解答：‎ 解：原式==1，‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的加减，同分母分式相加，分母不变分子相加．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2014•泉州）方程组的解是　　．‎ 考点：‎ 解二元一次方程组．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 方程组利用加减消元法求出解即可．‎ 解答：‎ 解：，‎ ‎①+②得：3x=6，即x=2，‎ 将x=2代入①得：y=2，‎ 则方程组的解为．‎ 故答案为：‎ 点评：‎ 此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2014•泉州）在综合实践课上，六名同学的作品数量（单位：件）分别为：3、5、2、5、5、7，则这组数据的众数为　5　件．‎ 考点：‎ 众数．‎ 分析：‎ 根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵5出现了3次，出现的次数最多，‎ ‎∴这组数据的众数为5；‎ 故答案为：5．‎ 点评：‎ 此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2014•泉州）如图，直线a∥b，直线c与直线a，b都相交，∠1=65°，则∠2=　65　°．‎ 考点：‎ 平行线的性质．‎ 分析：‎ 根据平行线的性质得出∠1=∠2，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵直线a∥b，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ ‎∵∠1=65°，‎ ‎∴∠2=65°，‎ 故答案为：65．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同位角相等．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2014•泉州）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为　5　cm．‎ 考点：‎ 直角三角形斜边上的中线．‎ 分析：‎ 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB．‎ 解答：‎ 解：∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，‎ ‎∴CD=AB=×10=5cm．‎ 故答案为：5．‎ 点评：‎ 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2014•泉州）如图，在△ABC中，∠C=40°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=　110　°．‎ ‎[来源:学科网ZXXK]‎ 考点：‎ 等腰三角形的性质．‎ 分析：‎ 先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠A，再根据三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和，进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：∵CA=CB，‎ ‎∴∠A=∠ABC，‎ ‎∵∠C=40°，‎ ‎∴∠A=70°‎ ‎∴∠ABD=∠A+∠C=110°．‎ 故答案为：110．‎ 点评：‎ 此题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质、三角形的外角等于等于与它不相邻的两个内角的和．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2014•泉州）已知：m、n为两个连续的整数，且m＜＜n，则m+n=　7　．‎ 考点：‎ 估算无理数的大小．‎ 分析：‎ 先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论．‎ 解答：‎ 解：∵9＜11＜16，‎ ‎∴3＜＜4，‎ ‎∴m=3，n=4，‎ ‎∴m+n=3+4=7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意算出的取值范围是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2014•泉州）如图，有一直径是米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC，则：‎ ‎（1）AB的长为　1　米；‎ ‎（2）用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为　　米．‎ 考点：‎ 圆锥的计算；圆周角定理 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据圆周角定理由∠BAC=90°得BC为⊙O的直径，即BC=，根据等腰直角三角形的性质得AB=1；‎ ‎（2）由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则2πr=，然后解方程即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠BAC=90°，‎ ‎∴BC为⊙O的直径，即BC=，‎ ‎∴AB=BC=1；‎ ‎（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，‎ 根据题意得2πr=，‎ 解得r=．‎ 故答案为1，．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了圆周角定理．‎ ‎　‎ 三、解答题（共89分）‎ ‎18．（9分）（2014•泉州）计算：（2﹣1）0+|﹣6|﹣8×4﹣1+．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．‎ 分析：‎ 本题涉及零指数幂、绝对值、负指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ 解答：‎ 解：原式=1+6﹣8×+4‎ ‎=1+6﹣2+4‎ ‎=9．‎ 点评：‎ 本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、绝对值、负指数幂、二次根式化简等考点的运算．‎ ‎　‎ ‎19．（9分）（2014•泉州）先化简，再求值：（a+2）2+a（a﹣4），其中a=．‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值 分析：‎ 首先利用完全平方公式和整式的乘法计算，再进一步合并得出结果，最后代入求得数值即可．‎ 解答：‎ 解：（a+2）2+a（a﹣4）‎ ‎=a2+4a+4+a2﹣4a ‎=2a2+4，‎ 当a=时，‎ 原式=2×（）2+4=10．‎ 点评：‎ 此题考查整式的化简求值，注意先化简，再代入求值．‎ ‎　‎ ‎20．（9分）（2014•泉州）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．‎ 考点：‎ 矩形的性质；平行四边形的判定与性质 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 根据矩形的性质得出DC∥AB，DC=AB，求出CF=AE，CF∥AE，根据平行四边形的判定得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出答案．‎ 解答：‎ 证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴DC∥AB，DC=AB，‎ ‎∴CF∥AE，‎ ‎∵DF=BE，‎ ‎∴CF=AE，‎ ‎∴四边形AFCE是平行四边形，‎ ‎∴AF=CE．‎ 点评：‎ 本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等且平行，平行四边形的对边相等．‎ ‎　‎ ‎21．（9分）（2014•泉州）在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．‎ ‎（1）随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是多少？‎ ‎（2）随机地从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果，并求两次取出相同颜色球的概率．‎ 考点：‎ 列表法与树状图法；概率公式．‎ 分析：‎ ‎（1）由在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；‎ ‎（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出相同颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有红、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，‎ ‎∴随机地从箱子里取出1个球，则取出红球的概率是：；‎ ‎（2）画树状图得：‎ ‎∵共有9种等可能的结果，两次取出相同颜色球的有3种情况，‎ ‎∴两次取出相同颜色球的概率为：=．‎ 点评：‎ 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎　‎ ‎22．（9分）（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．‎ ‎（1）写出该函数图象的对称轴；‎ ‎（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？‎ 考点：‎ 二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．‎ 分析：‎ ‎（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；‎ ‎（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．‎ ‎∴抛物线的对称轴为直线x=1；‎ ‎（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：‎ 如图，作A′B⊥x轴于点B，‎ ‎∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，‎ ‎∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，‎ 在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，‎ ‎∴OB=OA′=1，‎ ‎∴A′B=OB=，‎ ‎∴A′点的坐标为（1，），‎ ‎∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．‎ ‎　‎ ‎23．（9分）（2014•泉州）课外阅读是提高学生素养的重要途径．某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间（t小时）．根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表．请根据图中提供的信息，解答下面的问题：‎ ‎50名学生平均每天课外阅读时间统计表 类别 时间t（小时）‎ 人数 A t＜0.5‎ ‎10‎ B ‎0.5≤t＜1‎ ‎20‎ C ‎1≤t＜1.5‎ ‎15‎ D t≥1.5‎ a ‎（1）求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图；‎ ‎（2）该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时？‎ 考点：‎ 条形统计图；用样本估计总体；统计表 分析：‎ ‎（1）用抽查的学生的总人数减去A，B，C三类的人数即为D类的人数也就是a的值，并补全统计图；‎ ‎（2）先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例，再乘以1300即可．‎ 解答：‎ 解：（1）50﹣10﹣20﹣15=5（名），‎ 故a的值为5，条形统计图如下：‎ ‎（2）1300×=520（名），‎ 答：估计该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时．‎ 点评：‎ 本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎24．（9分）（2014•泉州）某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：‎ ‎（1）填空：乙的速度v2=　40　米/分；‎ ‎（2）写出d1与t的函数关系式；‎ ‎（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？‎ 考点：‎ 一次函数的应用 分析：‎ ‎（1）根据路程与时间的关系，可得答案；‎ ‎（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；‎ ‎（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．‎ 解答：‎ 解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），‎ 故答案为：40；‎ ‎（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），‎ ‎60÷60=1（分钟），a=1，‎ d1=；‎ ‎（3）d2=40t，‎ 当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10，‎ 即﹣60t+60﹣40t＞10，‎ 解得0；‎ 当0时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；‎ 当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，‎ 即40t﹣（60t﹣60）＞10，‎ 当1≤时，两遥控车的信号不会产生相互干扰 综上所述：当0或1≤t时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．‎ 点评：‎ 本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程速度时间三者的关系，（2）分段函数分别利用待定系数法求解，（3）当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10；当1＜t≤3时，d1﹣d2＞10，分类讨论是解题关键．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）（2014•泉州）如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．‎ ‎（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．‎ ‎①判断 四边形DECF一定是什么形状？‎ ‎②裁剪 当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；‎ ‎（2）折叠 请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．‎ 考点：‎ 四边形综合题 分析：‎ ‎（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．‎ ‎（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．‎ 解答：‎ 解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，‎ ‎∴四边形DECF是平行四边形．‎ ‎②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，‎ ‎∵∠ACB=45°，AC=24cm ‎∴AG==12，‎ 设DF=EC=x，平行四边形的高为h，‎ 则AH=12h，‎ ‎∵DF∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∵BC=20cm，‎ 即：=‎ ‎∴x=×20，‎ ‎∵S=xh=x•×20=20h﹣h2．‎ ‎∴﹣=﹣=6，‎ ‎∵AH=12，‎ ‎∴AF=FC，‎ ‎∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．‎ ‎（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．‎ 理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．‎ 点评：‎ 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）（2014•泉州）如图，直线y=﹣x+3与x，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点P（2，1）．‎ ‎（1）求该反比例函数的关系式；‎ ‎（2）设PC⊥y轴于点C，点A关于y轴的对称点为A′；‎ ‎①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值；‎ ‎②对大于1的常数m，求x轴上的点M的坐标，使得sin∠BMC=．‎ 考点：‎ 反比例函数综合题；待定系数法求反比例函数解析式；勾股定理；矩形的判定与性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；锐角三角函数的定义 专题：‎ 压轴题；探究型．‎ 分析：‎ ‎（1）设反比例函数的关系式y=，然后把点P的坐标（2，1）代入即可．‎ ‎（2）①先求出直线y=﹣x+3与x、y轴交点坐标，然后运用勾股定理即可求出△A′BC的周长；过点C作CD⊥AB，垂足为D，运用面积法可以求出CD长，从而求出sin∠BA′C的值．‎ ‎②由于BC=2，sin∠BMC=‎ ‎，因此点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上，因而点M应是⊙E与x轴的交点．然后对⊙E与x轴的位置关系进行讨论，只需运用矩形的判定与性质、勾股定理等知识就可求出满足要求的点M的坐标．‎ 解答：‎ 解：（1）设反比例函数的关系式y=．‎ ‎∵点P（2，1）在反比例函数y=的图象上，‎ ‎∴k=2×1=2．‎ ‎∴反比例函数的关系式y=．‎ ‎（2）①过点C作CD⊥AB，垂足为D，如图1所示．[来源:学科网ZXXK]‎ 当x=0时，y=0+3=3，‎ 则点B的坐标为（0，3）．OB=3．‎ 当y=0时，0=﹣x+3，解得x=3，‎ 则点A的坐标为（3，0），OA=3．‎ ‎∵点A关于y轴的对称点为A′，‎ ‎∴OA′=OA=3．‎ ‎∵PC⊥y轴，点P（2，1），‎ ‎∴OC=1，PC=2．‎ ‎∴BC=2．‎ ‎∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，‎ ‎∴A′B=3，A′C=．‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2．‎ ‎∵S△ABC=BC•A′O=A′B•CD，‎ ‎∴BC•A′O=A′B•CD．‎ ‎∴2×3=3×CD．[来源:学§科§网]‎ ‎∴CD=．‎ ‎∵CD⊥A′B，‎ ‎∴sin∠BA′C=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴△A′BC的周长为3++2，sin∠BA′C的值为．‎ ‎②当1＜m＜2时，‎ 作经过点B、C且半径为m的⊙E，‎ 连接CE并延长，交⊙E于点P，连接BP，‎ 过点E作EG⊥OB，垂足为G，‎ 过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2①所示．‎ ‎∵CP是⊙E的直径，‎ ‎∴∠PBC=90°．‎ ‎∴sin∠BPC===．‎ ‎∵sin∠BMC=，‎ ‎∴∠BMC=∠BPC．‎ ‎∴点M在⊙E上．‎ ‎∵点M在x轴上 ‎∴点M是⊙E与x轴的交点．‎ ‎∵EG⊥BC，‎ ‎∴BG=GC=1．‎ ‎∴OG=2．‎ ‎∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，‎ ‎∴四边形OGEH是矩形．‎ ‎∴EH=OG=2，EG=OH．‎ ‎∵1＜m＜2，‎ ‎∴EH＞EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相离．‎ ‎∴x轴上不存在点M，使得sin∠BMC=．‎ ‎②当m=2时，EH=EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相切．‎ Ⅰ．切点在x轴的正半轴上时，如图2②所示．‎ ‎∴点M与点H重合．‎ ‎∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，‎ ‎∴EG=‎ ‎=．‎ ‎∴OM=OH=EG=．‎ ‎∴点M的坐标为（，0）．‎ Ⅱ．切点在x轴的负半轴上时，‎ 同理可得：点M的坐标为（﹣，0）．‎ ‎③当m＞2时，EH＜EC．‎ ‎∴⊙E与x轴相交．‎ Ⅰ．交点在x轴的正半轴上时，‎ 设交点为M、M′，连接EM，如图2③所示．‎ ‎∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，‎ ‎∴MH=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∵EH⊥MM′，‎ ‎∴MH=M′H．‎ ‎∴M′H═．‎ ‎∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，‎ ‎∴EG=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎∴OH=EG=．‎ ‎∴OM=OH﹣MH=﹣，‎ ‎∴OM′=OH+HM′=+，‎ ‎∴M（﹣，0）、M′（+，0）．‎ Ⅱ．交点在x轴的负半轴上时，‎ 同理可得：M（﹣+，0）、M′（﹣﹣，0）．‎ 综上所述：当1＜m＜2时，满足要求的点M不存在；‎ 当m=2时，满足要求的点M的坐标为（，0）和（﹣，0）；‎ 当m＞2时，满足要求的点M的坐标为（﹣，0）、（+，0）、（﹣+，0）、（﹣﹣，0）．‎ 点评：‎ 本题考查了用待定系数法求反比例函数的关系式、勾股定理、三角函数的定义、矩形的判定与性质、直线与圆的位置关系、垂径定理等知识，考查了用面积法求三角形的高，考查了通过构造辅助圆解决问题，综合性比较强，难度系数比较大．由BC=2，sin∠BMC=联想到点M在以BC为弦，半径为m的⊙E上是解决本题的关键．‎ ‎　‎