中考数学三轮真题集训冲刺知识点28等腰三角形与等边三角形pdf含解析 11页

1 / 11 一、选择题 1．（2019·烟台）如图，AB 是 O 的直径，直线 DE 与 O 相切于点 C，过点 A，B 分别作 AD ⊥ DE ， BE ⊥ DE ，垂足为点 D，E，连接 AC，BC．若 AD = 3 ，CE = 3 ，则 AC 的长为（ ）． A． 2 3 3 B． 3 3 π C． 3 2 π D． 23 3 π 【答案】D 【解题过程】连接 OC， 因为 AD DE⊥ ， BE DE⊥ ， 所以 90ADC CEB∠ =∠=° 所以 90DAC ACD∠ +∠ = ° 因为 AB 是 O 的直径， 所以 90ACB∠=°， 所以 90BCE ACD∠ +∠ = °， 所以 BCE DAC∠=∠， 在△ADC 与△CED, 因为 90ADC CEB∠ =∠=°， BCE DAC∠=∠ 所以△ADC∽△CED, 所以 3 3 3 BC CE AC AD = = = 在 Rt△ACB 中，sin 3BCBAC AC ∠==， 所以 60BAC∠=°， 又因为OA OC= ， 所以△AOC 是等边三角形， 所以 60ACO∠=°， 因为直线 DE 与 O 相切于点 C， 所以OC DE⊥ ， 因为 AD DE⊥ ，OC DE⊥ ， 所以 AD//OC， 所以 60DAC ACO∠=∠=°， 所以 90 30ACD DAC∠ = °−∠ = °， C O D E B A 第 12 题答图 知识点 28——等腰三角形与等边三角形 2 / 11 所以 2 23AC AD= = ， 所以△AOC 是等边三角形， 所以 23OA AC= = ， 60AOC∠=°， 所以 AC 的长为 60 23 23 180 3 π π×× = ． 2．（2019·娄底）如图（2），边长为 2 3 的等边△ABC 的内切圆的半径为（ ） A. 1 B． 3 C． 2 D． 23 【答案】A 【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形 OCD 中，从而解 得． 如图（2－1）， 设 D 为⊙O 与 AC 的切点，连接 OA 和 OD， ∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点， ∴OD⊥AC，∠OAD＝30°，OD 即为圆的半径． 又∵ 23AC = ， ∴ 1123 322AD AC= =×= ∴在直角三角形 OAD 中， 3tan tan 30 33 OD ODOAD∠ = ° = AD = = ， 代入解得：OD＝1． 故答案为 1． 3.（2019·潍坊）如图已知∠AOB，按照以下步骤作图： ①以点 O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB 的两边于 C，D 两点，连接 CD． ②分别以点 C，D 为圆心，以大于线段 OC 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 E，连接 CE，DE． 3 / 11 ③连接 OE 交 CD 于点 M． 下列结论中错误的是（） A．∠CEO=∠DEO B．CM=MD C．∠OCD=∠ECD D．S 四边形 OCED= 1 2 CD·OE 【答案】C 【解析】由作图可知 OC=OD，CE＝DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项 A 正 确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项 B、D 正确；选项 C 错误；故选 C. 4.（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分 角仪”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O 转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是（ ） A.60° B.65° C.75° D.80° 【答案】D 【解析】本题考查等腰三角形及三角形外角的性质，因为 OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED. 所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠ CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选 D. 5.（2019·重庆 A 卷）如图，在△ABC 中，D 是 AC 边上的中点，连结 BD，把△BDC′沿 BD 翻折，得 到△ BDC' ， DC′与 AB 交于点 E，连结 AC' ，若 AD＝ AC′＝2，BD＝3，则点 D 到 BC′ 的距离为 （ ） A． 2 3 3 B． 7 3 21 C． 7 D． 13 【答案】B 【解析】如答图，过点 D 作 DM⊥ BC′ 于点 M，过 点 B 作 BN⊥ DC′于点 N，由翻折可知 DC′＝DC＝AD ＝2，∠BDC＝∠B DC′．∵AD＝ AC′＝2，∴△ ADC' 是等边三角形，从而∠ ADC′＝∠B DC′＝∠BDC 4 / 11 ＝60°．在 Rt△BDN 中，DN＝ 1 2 BD＝ 3 2 ，BN＝ 33 2 ，从 而 CN′ ＝ 1 2 ．于 是 ， BC′ ＝ 221 33() ( )22 + ＝ 7 ．∵ BDCS ′∆ ＝ 11 22DC BN BC DM′′⋅= ⋅ ，∴DM＝ DC BN BC ′⋅ ′ ＝ 332 2 7 × ＝ 3 21 7 ．故选 B． 6.(2019·聊城)如图，在等腰直角三角形 ABC 中,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与 BC 边的中点 O 重合,且两条直角边分别经过点 A 和点 B,将三角尺绕点 O 按顺时针方向旋转任意一个锐角,当三角尺的 两 直角边与 AB,AC 分别交于点 E,F 时,下列结论中错误的是 A.AE+AF＝AC B.∠BEO+∠OFC＝180° C.OE+OF＝ 2 2 BC D.S 四边形 AEOF＝ 1 2 S△ABC 【答案】C 【解析】连接 AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝AC,故 A 正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+ ∠AEO＝180°,故 B 正确；随着三角形的转动,OE 和 OF 的长度会变化,故 C 错误；S 四边形 AEOF＝S△AEO+S △AFO＝S△CFO+S△AFO＝ 1 2 S△ABC,故 D 正确；故选 C. 二、填空题 1．（2019·绍兴）如图，在直线 AP 上方有一个正方形 ABCD，∠PAD=30°，以点 B 为圆心，AB 为 半 径作弧，与 AP 交于点 A,M，分别以点 A,M 为圆心，AM 长为半径作弧，两弧交于点 E，连结 ED， 则∠ADE 的度数为 . 【答案】15°或 45° 【解析】因为∠PA D＝30°，以点 B 为圆心，AB 为半径作弧，与 AP 交于点 A,M，而∠BAM ＝60°，所 5 / 11 以△BAM 是等边三角形；又以点 A,M 为圆心，AM 长为半径作弧，交点有两个 E 或 B 有两种情况：① 由题意△AME 是等边三角形，所以∠EAM＝60°，所以∠DAE＝30°+120°＝150°，又 AD＝AM＝AE， 所以∠ADE＝∠AED＝ 1 2 （180°－150°）＝15°；②点 E 与 B 重合，所以∠ADB（E）＝45°. 2．（2019·常德）如图，△ABC 是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点 D 在 AC 边上，将△ABD 绕点 A 逆时针旋转 45°得到△ACD´，且点 D´、D、B 三点在同一直线上，则∠ABD 的度数是 ． 【答案】22.5° 【解析】根据题意可知△ABD≌△ACD´，∴∠BAC＝∠CAD´＝45°，AD´＝AD，∴∠ADD´＝∠AD´ D＝180 45 2 °− °＝67.5°，∵D´、D、B 三点在同一直线上，∴∠ABD＝∠ADD´－∠BAC＝22.5°． 3.（2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为 72°，则这个等腰三角形的顶角为________. 【答案】36°. 【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为 72°， ∴这个等腰三角形的顶角为 180°-72°×2=36°. 故答案为 36°. 6 / 11 三、解答题 1.（2019 浙江省杭州市，19，8 分）(本题满分 8 分) 如图在△ABC 中，AC＜AB＜BC. (1)已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证:∠APC= 2∠B. (2)以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ.若∠AQC= 3∠B，求∠B 的度数. 【解题过程】（1）证明：∵线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P， ∴PA=PB，∴∠B=∠BAP， ∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B； （2）根据题意可知 BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA， ∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B， ∵∠BAQ+∠BQA+∠B=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°． 2．（2019 江苏盐城卷，25，10） 如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作： （I）将矩形纸片沿 DF 折叠，使点 A 落在 CD 边上点 E 处，如图②； （II）在第一次折叠的基础上，过点 C 再次折叠，使得点 B 落在边 CD 上点 B、处，如图③，两次折痕交 于点 O； （III）展开纸片，分别连接 OB、OE、OC、FD，如图④ 【探究】（1）证明：△OBC≌△OED ； （2）若 AB = 8，设 BC 为 x， OB 2 为 y，求 y 关于 x 的关系式. 图① 图② 图③ 图④ 【解题过程】 QB A C （第 1题(2)） PB A C （第 1题(1)） 7 / 11 解：（1）由折叠可知 BC=AD=AF=DE，∴ CB=CB、， 由两次折叠可知∠BCO=∠DCO =∠ODE=45O，∴△OCD 是等腰直角三角形，OC=OD ∴△OBC ≌△OED （2）如图，过 O 向 BC 做 ON⊥BC 于 N，则△OCN 是等腰直角三角形， 又△OCD 是等腰直角三角形，OC=OD， ∴CD=8，OC= 42,ON=CN=4，在直角三角形 BON 中，OB2=BN2+ON2 ∴ 2 2y ( 4) 4x=−+= 2 8 32xx−+（4