鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练20相似三角形及其应用试题 10页

课时训练(二十)　相似三角形及其应用 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·陇南] 如图K20-1,将图形用放大镜放大,应该属于 (　　)‎ 图K20-1‎ A.平移变换 B.相似变换 C.旋转变换 D.对称变换 ‎2.[2017·连云港] 如图K20-2,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=1∶2,则下列等式一定成立的是 (　　)‎ 图K20-2‎ A.BCDF‎=‎‎1‎‎2‎ B.‎‎∠A的度数‎∠D的度数‎=‎‎1‎‎2‎ C.‎△ABC的面积‎△DEF的面积‎=‎‎1‎‎2‎ D.‎‎△ABC的周长‎△DEF的周长‎=‎‎1‎‎2‎ ‎3.[2017·枣庄] 如图K20-3,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图K20-4中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是图中的(　　)‎ 图K20-3‎ 图K20-4‎ 10‎ ‎4.[2018·随州] 如图K20-5,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则BDAD的值为 (　　)‎ 图K20-5‎ A.1 B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎-1 D.‎2‎+1‎ ‎5.[2017·成都] 如图K20-6,四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形.若OA∶OA'=2∶3,则四边形ABCD和四边形A'B'C'D'的面积比为 (　　)‎ 图K20-6‎ A.4∶9 B.2∶5 C.2∶3 D.‎‎2‎‎∶‎‎3‎ ‎6.[2018·邵阳] 如图K20-7所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B.将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的‎1‎‎2‎,得到△COD,则CD的长度是 (　　)‎ 图K20-7‎ A.2 B.1 C.4 D.2‎‎5‎ ‎7.[2019·凉山州] 在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3的两部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF是　　　　. ‎ ‎8.[2019·自贡] 如图K20-8,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC的平分线BD交AC于点E,求DE.‎ 图K20-8‎ 10‎ ‎|能力提升|‎ ‎9.[2017·恩施州] 如图K20-9,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为 (　　)‎ 图K20-9‎ A.6 B.8 C.10 D.12‎ ‎10.[2017·遵义] 如图K20-10,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是 (　　)‎ 图K20-10‎ A.4.5 B.5 C.5.5 D.6‎ ‎11.如图K20-11,在△ABC中,BF平分∠ABC,AF⊥BF于点F,D为AB的中点,连接DF并延长,交AC于点E.若AB=10,BC=16,则线段EF的长为 (　　)‎ 图K20-11‎ A.2 B.3 ‎ C.4 D.5‎ ‎12.[2018·泸州] 如图K20-12,在正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G.若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是 (　　)‎ 图K20-12‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎5‎‎4‎ ‎ C.‎6‎‎5‎ D.‎‎7‎‎6‎ 10‎ ‎13.[2017·随州] 在△ABC中,AB=6,AC=5,点D在边AB上,且AD=2,点E在边AC上,当AE=　　　　时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. ‎ ‎14.[2018·衢州] 如图K20-13,已知AB为☉O的直径,AC是☉O的切线,连接BC交☉O于点F,取BF的中点D,连接AD交BC于点E,过点E作EH⊥AB于H.‎ ‎(1)求证:△HBE∽△ABC;‎ ‎(2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的长.‎ 图K20-13‎ ‎|思维拓展|‎ ‎15.[2017·内江] 如图K20-14,在四边形ABCD中,AD∥BC,CM是∠BCD的平分线,且CM⊥AB,M为垂足,AM‎=‎‎1‎‎3‎AB.若四边形ABCD的面积为‎15‎‎7‎,则四边形AMCD的面积是　　　　. ‎ 图K20-14‎ 10‎ ‎16.[2019·包头] 如图K20-15,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,F是BC边上的动点(不与点B,C重合),过点B作BE⊥BD交DF的延长线于点E,连接CE.下列结论:‎ 图K20-15‎ ‎①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;‎ ‎②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE‎=‎‎15‎‎8‎;‎ ‎③△ABD和△CBE一定相似;‎ ‎④若∠A=30°,∠BCE=90°,则DE‎=‎‎21‎.‎ 其中正确的是　　　　.(填写所有正确结论的序号) ‎ 10‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.B　2.D　3.C ‎4.C　[解析] ∵DE∥BC,‎ ‎∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.‎ ‎∴△ADE∽△ABC.∴ADAB2=S‎△ADES‎△ABC.‎ ‎∵S△ADE=S四边形BCED,∴ADAB‎=‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∴BDAD‎=AB-ADAD=‎2-‎‎2‎‎2‎=‎‎2‎-1.故选C.‎ ‎5.A ‎6.A　[解析] ∵点A(2,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的‎1‎‎2‎,得到△COD,∴C(1,2),CD的长度是2.故选A.‎ ‎7.4∶25或9∶25　[解析]在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF.‎ 如图①,当AE∶DE=2∶3时,AE∶AD=2∶5,‎ ‎∵AD=BC,∴AE∶BC=2∶5,‎ ‎∴S△AEF∶S△CBF=4∶25;‎ 如图②,当AE∶DE=3∶2时,AE∶AD=3∶5,‎ ‎∵AD=BC,∴AE∶BC=3∶5,‎ ‎∴S△AEF∶S△CBF=9∶25.‎ 故答案为4∶25或9∶25.‎ ‎8.解:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.‎ ‎∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,‎ ‎∴∠CBD=∠D,∴CD=BC=6.‎ 在Rt△ABC中,AC=AB‎2‎-BC‎2‎‎=‎‎1‎0‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=8.‎ ‎∵AB∥CD,∴△ABE∽△CDE,‎ 10‎ ‎∴CEAE‎=DEBE=CDAB=‎6‎‎10‎=‎‎3‎‎5‎,‎ ‎∴CE=‎3‎‎5‎AE,DE=‎3‎‎5‎BE,即CE=‎3‎‎8‎AC=‎3‎‎8‎×8=3.‎ 在Rt△BCE中,BE=BC‎2‎+CE‎2‎‎=‎‎6‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=3‎5‎,‎ ‎∴DE=‎3‎‎5‎BE=‎3‎‎5‎×3‎5‎‎=‎‎9‎‎5‎‎5‎.‎ ‎9.C　[解析] ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC.∵∠ADE=∠EFC,∴∠ABC=∠EFC.∴EF∥AB.∴四边形DBFE是平行四边形.∴DE=BF.∵ADDB‎=AEEC=BFCF=‎‎5‎‎3‎,∴BF=10.∴DE=10.故选C.‎ ‎10.A　[解析] ∵点E是AD的中点,∴△EBC的面积等于△ABC的面积的‎1‎‎2‎,四边形ABEC的面积等于△ABC的面积的‎1‎‎2‎.‎ ‎∵点D,F,G分别是BC,BE,CE的中点,‎ ‎∴△EFG的面积等于△EBC的面积的‎1‎‎4‎,四边形AFEG的面积等于四边形ABEC的面积的‎1‎‎2‎.‎ ‎∴△AFG的面积=‎3‎‎8‎×△ABC的面积=4.5.‎ ‎11.B　[解析] ∵AF⊥BF,∴∠AFB=90°.‎ ‎∵AB=10,D为AB的中点,‎ ‎∴DF=‎1‎‎2‎AB=AD=BD=5.∴∠ABF=∠BFD.‎ 又∵BF平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABF=∠CBF.∴∠CBF=∠DFB.∴DE∥BC.‎ ‎∴△ADE∽△ABC.∴DEBC‎=‎ADAB,即DE‎16‎‎=‎‎5‎‎10‎.‎ ‎∴DE=8.‎ ‎∴EF=DE-DF=3.‎ ‎12.C　[解析] 如图,过点F作FN∥AD,交AB于点N,交BE于点M.‎ ‎∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD.‎ ‎∵FN∥AD,‎ ‎∴四边形ANFD是平行四边形.‎ ‎∵∠D=90°,∴四边形ANFD是矩形,‎ 10‎ ‎∵AE=3DE,∴设DE=a,则AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a.‎ ‎∵AN=BN,MN∥AE,∴BM=ME.‎ ‎∴MN=‎3‎‎2‎a.∴FM=‎5‎‎2‎a.‎ ‎∵AE∥FM,∴AGGF‎=AEFM=‎3a‎5‎‎2‎a=‎‎6‎‎5‎.‎ 故选C.‎ ‎13.‎5‎‎3‎或‎12‎‎5‎　[解析] ∵∠A=∠A,∴分两种情况:①当ADAE‎=‎ABAC时,如图①,△ADE∽△ABC,即‎2‎AE‎=‎‎6‎‎5‎,∴AE=‎5‎‎3‎;②当ADAE‎=‎ACAB时,如图②,△ADE∽△ACB,即‎2‎AE‎=‎‎5‎‎6‎,∴AE=‎12‎‎5‎.综上所述,当AE=‎5‎‎3‎或‎12‎‎5‎时,以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似.‎ ‎14.解:(1)证明:∵AC是☉O的切线,AB为☉O的直径,‎ ‎∴AC⊥AB.‎ ‎∵HE⊥AB,∴∠CAB=∠EHB=90°.‎ ‎∵∠HBE=∠ABC,∴△HBE∽△ABC.‎ ‎(2)如图,连接AF.∵AB是☉O的直径,‎ ‎∴∠AFB=90°.∴∠CFA=∠CAB.‎ 又∵∠C=∠C,∴△CAF∽△CBA.‎ ‎∴ACCF‎=‎CBAC.‎ ‎∵CF=4,BC=CF+BF=4+5=9,∴AC‎4‎‎=‎‎9‎AC.∴AC=6.‎ ‎∵D为BF的中点,∴∠FAD=∠BAD.‎ ‎∵HE⊥AB,EF⊥AF,∴EF=EH.‎ 设EH=x,则EF=x,BE=5-x.‎ ‎∵△HBE∽△ABC,∴HEAC‎=‎BEBC,即x‎6‎‎=‎‎5-x‎9‎.‎ ‎∴x=2,即EH=2.‎ ‎15.1　[解析] 如图,分别延长BA和CD交于点E.‎ 10‎ ‎∵AM=‎1‎‎3‎AB,∴AM=‎1‎‎2‎BM.∵CM是∠BCD的平分线,CM⊥AB,∴EM=BM.‎ ‎∴AM=‎1‎‎2‎EM.∴AE=‎1‎‎2‎EM.‎ ‎∴AE=‎1‎‎4‎BE.‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴△EAD∽△EBC.‎ ‎∴S‎△EADS‎△EBC=‎1‎‎4‎2,‎ 即S‎△EADS‎△EAD‎+‎‎15‎‎7‎‎=‎‎1‎‎16‎.‎ 解得S△EAD=‎1‎‎7‎.‎ ‎∴S△EBC=‎1‎‎7‎‎+‎15‎‎7‎=‎‎16‎‎7‎.‎ ‎∴S四边形AMCD=‎1‎‎2‎S△EBC-S△EAD=‎1‎‎2‎‎×‎16‎‎7‎-‎‎1‎‎7‎=1.‎ ‎16.①②④　[解析] ∵∠ABC=90°,D为斜边AC的中点,∴AD=BD=DC=‎1‎‎2‎AC,∴∠DBC=∠DCB.若BF=CF,由三线合一得DF⊥BC,即DF是线段BC的垂直平分线,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∴∠DCE=∠DBE=90°.∴DE2=EC2+DC2=CE2+AD2.‎ 故①正确;‎ ‎∵AD=BD,∴∠ABD=∠BAC.若∠BDE=∠BAC,则∠ABD=∠BDE,∴DE∥AB,∴∠DFC=∠ABC=90°.可得CE=BE.∵∠ABC=∠DBE=90°,∠BDE=∠BAC,∴△ABC∽△DBE,∴BCBE‎=‎ABDB.‎ ‎∵BC=3,AB=4,∴AC=5,BD=‎5‎‎2‎.∴BE=BC·DBAB‎=‎3×‎‎5‎‎2‎‎4‎=‎‎15‎‎8‎,∴CE=‎15‎‎8‎,故②正确;‎ ‎∵∠ABC=90°,∠DBE=90°,∴∠ABD=∠CBE.‎ 当ABBC‎=‎BDBE时,△ABD和△CBE相似.当F在BC上运动时,BE的长度也随之变化,∴ABBC与BDBE不一定相等,∴△ABD和△CBE不一定相似.故③错误;‎ ‎∵∠A=∠ABD,∠A=30°,∴∠ABD=30°,AC=2BC=6.又∵∠ABD=∠CBE,∴∠CBE=30°.‎ ‎∵∠BCE=90°,BC=3,∴BE=‎3‎cos30°‎=2‎3‎.‎ ‎∵BD=‎1‎‎2‎AC,∴BD=3.‎ 10‎ 在Rt△BDE中,DE=BD‎2‎+BE‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎‎21‎.故④正确.‎ 综上,①②④正确.‎ 10‎