鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练21锐角三角函数试题 10页

课时训练(二十一)　锐角三角函数 ‎(限时:30分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2018·孝感] 如图K21-1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sinA等于 (　　)‎ 图K21-1‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎4‎‎5‎ ‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎4‎‎3‎ ‎2.[2018·云南] 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,BC=3,则∠A的正切值为 (　　)‎ 图K21-2‎ A.3 B.‎‎1‎‎3‎ C.‎10‎‎10‎ D.‎‎3‎‎10‎‎10‎ ‎3.[2017·天水] 在正方形网格中,△ABC的位置如图K21-2所示,则cosB的值为 (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎4.[2019·凉山州] 如图K21-3,在△ABC中,CA=CB=4,cosC‎=‎‎1‎‎4‎,则sinB的值为 (　　)‎ 图K21-3‎ A.‎10‎‎2‎ B.‎‎15‎‎3‎ C.‎6‎‎4‎ D.‎‎10‎‎4‎ 10‎ ‎5.[2017·益阳] 如图K21-4,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,∠CAB=α,则拉线BC的长度为(A,D,B在同一条直线上) (　　)‎ 图K21-4‎ A.hsinα B.‎hcosα B.htanα D.h·cosα ‎6.[2018·德州]如图K21-5,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则∠BAC的正弦值是　　　　. ‎ 图K21-5‎ ‎7.[2019·杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=　　　　. ‎ ‎8.[2019·梧州]如图K21-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为BC上一点,AB=5,BD=1,tanB‎=‎‎3‎‎4‎.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求sinα的值.‎ 图K21-6‎ 10‎ ‎|能力提升|‎ ‎9.[2019·杭州]如图K21-7,一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面内).已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点A到OC的距离等于 (　　)‎ 图K21-7‎ A.asinx+bsinx ‎ B.acosx+bcosx C.asinx+bcosx ‎ D.acosx+bsinx ‎10.[2018·常州] 某数学研究性学习小组制作了如图K21-8所示的三角函数计算图尺:在半径为1的半圆形量角器中,画一个直径为1的圆,把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处,刻度尺可以绕点O转,从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是 (　　)‎ 图K21-8‎ A.‎5‎‎8‎ B.‎7‎‎8‎ C.‎7‎‎10‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎11.[2018·无锡] 如图K21-9,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上.若AB=3,BC=4,则tan∠AFE的值为 (　　)‎ 图K21-9‎ A.‎3‎‎7‎ 　‎ B.‎‎3‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ 　‎ D.随点E位置的变化而变化 10‎ ‎12.[2018·苏州] 如图K21-10,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=2‎5‎,BC‎=‎‎5‎.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB'C',连接B'C,则sin∠ACB'=　　　　. ‎ 图K21-10‎ ‎13.[2017·包头] 如图K21-11,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA,交AC于点E,DF∥CA,交AB于点F,已知CD=3.‎ ‎(1)求AD的长;‎ ‎(2)求四边形AEDF的周长.‎ 图K21-11‎ ‎|思维拓展|‎ ‎14.[2017·舟山] 如图K21-12,把n个边长为1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C‎=‎‎1‎‎3‎,tan∠BA3C‎=‎‎1‎‎7‎,计算tan∠BA4C=　　　　,…,按此规律,写出tan∠BAnC=　　　　(用含n的代数式表示). ‎ 图K21-12‎ 10‎ ‎15.[2018·怀化] 已知:如图K21-13,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E为CD边上一点,AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线.‎ ‎(1)请你添加一个适当的条件　　　　,使得四边形ABCD是平行四边形,并证明你的结论; ‎ ‎(2)作线段AB的垂直平分线交AB于点O,并以AB为直径作☉O(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);‎ ‎(3)在(2)的条件下,☉O交边AD于点F,连接BF,交AE于点G,若AE=4,sin∠AGF‎=‎‎4‎‎5‎,求☉O的半径.‎ 图K21-13‎ 10‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.A ‎2.A　[解析] 根据正切的定义,得tanA=BCAC=3.‎ ‎3.B　[解析] 通过网格容易看出∠B=45°,所以cosB=cos45°=‎2‎‎2‎.故选B.‎ ‎4.D　[解析]过点A作AD⊥BC于点D,‎ ‎∵cosC=‎1‎‎4‎,AC=4,∴CD=1,‎ ‎∴BD=3,AD=‎4‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎‎=‎‎15‎.‎ 在Rt△ABD中,AB=‎(‎15‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=2‎6‎,‎ ‎∴sinB=ADAB‎=‎15‎‎2‎‎6‎=‎‎10‎‎4‎,故选D.‎ ‎5.B　[解析] 根据同角的余角相等,得∠CAD=∠BCD.由cos∠BCD=CDBC,知BC=CDcos∠BCD‎=‎hcosα.故选B.‎ ‎6.‎5‎‎5‎　[解析]因为AC=2‎5‎,BC=‎5‎,AB=5,‎ 所以AC2+BC2=AB2,所以∠ACB=90°,‎ 所以sin∠BAC=BCAB‎=‎‎5‎‎5‎.‎ ‎7.‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎　[解析]若∠B=90°,设AB=x,则AC=2x,‎ 所以BC=‎(2x‎)‎‎2‎-‎x‎2‎‎=‎‎3‎x,‎ 所以cosC=BCAC‎=‎3‎x‎2x=‎‎3‎‎2‎;‎ 若∠A=90°,设AB=x,则AC=2x,‎ 所以BC=‎(2x‎)‎‎2‎+‎x‎2‎‎=‎‎5‎x,‎ 所以cosC=ACBC‎=‎2x‎5‎x=‎‎2‎‎5‎‎5‎.‎ 综上所述,cosC的值为‎3‎‎2‎或‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎8.解:(1)∵tanB=‎3‎‎4‎,∴设AC=3x,则BC=4x.‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴(3x)2+(4x)2=52,‎ 10‎ 解得x=-1(舍去)或x=1,∴AC=3,BC=4,‎ ‎∵BD=1,∴CD=3,‎ ‎∴AD=CD‎2‎+AC‎2‎=3‎2‎.‎ ‎(2)过点D作DE⊥AB于点E,‎ ‎∵tanB=‎3‎‎4‎,∴设DE=3y,则BE=4y.‎ ‎∵BE2+DE2=BD2,‎ ‎∴(3y)2+(4y)2=12,‎ 解得y=-‎1‎‎5‎(舍去)或y=‎1‎‎5‎,‎ ‎∴DE=‎3‎‎5‎,∴sinα=DEAD‎=‎‎1‎‎10‎ ‎2‎.‎ ‎9.D　[解析]作AE⊥OC于点E,作AF⊥OB于点F.‎ ‎∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,‎ ‎∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x,‎ ‎∴∠EAB=x,∴∠FBA=x,‎ ‎∵AB=a,AD=b,‎ ‎∴FO=FB+BO=acosx+bsinx,‎ 故选D.‎ ‎10.D　[解析] 如图,连接EF.由题意可知OF=0.8,OE=OH=1,‎ ‎∵∠OEF+∠EOF=∠EOF+∠BOF=90°,‎ ‎∴∠OEF=∠AOB.‎ ‎∵OE是直径,∴∠EFO=90°.‎ 10‎ ‎∴sin∠AOB=OFOE‎=‎‎4‎‎5‎.故选D.‎ ‎11.A　[解析] ∵E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,AB=3,BC=4,‎ ‎∴EHAH=tan∠EAH=tan∠ACB=ABBC‎=‎‎3‎‎4‎.‎ ‎∴AH=‎4‎‎3‎EH.‎ ‎∵正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,‎ ‎∴FG=EH=HG,EF∥HG.‎ ‎∴∠AFE=∠GAF.‎ ‎∴tan∠AFE=tan∠GAF=FGAG‎=EHAH+EH=EH‎4‎‎3‎EH+EH=EH‎7‎‎3‎EH=‎‎3‎‎7‎.‎ ‎12.‎4‎‎5‎　[解析] 如图,过点B'作B'D⊥AC于点D.‎ 由旋转可知,∠B'AB=90°,AB'=AB=2‎5‎,‎ ‎∴∠AB'D+∠B'AD=∠B'AD+∠CAB.‎ ‎∴∠AB'D=∠CAB.‎ ‎∵AB=2‎5‎,BC=‎5‎,∴AC=5,‎ ‎∴AD=AB'·sin∠AB'D=AB'·sin∠CAB=2‎5‎‎×‎‎5‎‎5‎=2.‎ ‎∴CD=5-2=3,B'D=‎(2‎5‎‎)‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎=4.‎ ‎∴B'C=5.‎ ‎∴sin∠ACB'=B'DB'C‎=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎13.解:(1)在△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,‎ ‎∴∠BAC=60°.‎ ‎∵AD是△ABC的角平分线,‎ ‎∴∠CAD=∠BAD=‎1‎‎2‎∠BAC=30°.‎ 在Rt△ACD中,∵∠CAD=30°,CD=3,‎ ‎∴ AD=2CD=6.‎ ‎(2)∵DE∥BA,DF∥CA,‎ 10‎ ‎∴四边形AEDF为平行四边形,∠BAD=∠EDA.‎ ‎∵∠CAD=∠BAD,∴∠CAD=∠EDA.‎ ‎∴AE=DE.∴四边形AEDF为菱形.‎ ‎∵DE∥BA,∴∠CDE=∠B=30°.‎ 在Rt△CDE中,∵∠C=90°,‎ ‎∴cos∠CDE=CDED.‎ ‎∴ED=‎3‎cos30°‎=2‎3‎.‎ ‎∴四边形AEDF的周长为4ED=4×2‎3‎=8‎3‎.‎ ‎14.‎1‎‎13‎　‎1‎n‎2‎‎-n+1‎　[解析] 过点C作CH⊥BA4于H.‎ 由勾股定理,得BA4=‎4‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎17‎,‎ A4C=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎10‎.‎ ‎∵△BA4C的面积=4-‎1‎‎2‎×1×4-‎1‎‎2‎×1×3=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴‎1‎‎2‎‎×‎‎17‎×CH=‎1‎‎2‎.∴CH=‎17‎‎17‎.‎ ‎∴A4H=A‎4‎C‎2‎‎-CH‎2‎‎=‎‎13‎‎17‎‎17‎.‎ ‎∴tan∠BA4C=CHA‎4‎H‎=‎17‎‎17‎‎13‎‎17‎‎17‎=‎‎1‎‎13‎.‎ ‎∵1=12-1+1,3=22-2+1,7=32-3+1,13=42-4+1,‎ ‎∴tan∠BAnC=‎1‎n‎2‎‎-n+1‎.‎ ‎15.解:(1)添加AD=BC(答案不唯一).‎ 证明:∵AD=BC,AD∥BC,‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形.‎ ‎(2)如图.‎ ‎(3)∵AB为☉O的直径,∴∠AFG=90°.‎ ‎∵AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线,AD∥BC,‎ ‎∴∠EAB+∠EBA=90°.‎ 10‎ ‎∴∠AEB=90°.‎ ‎∵∠AFG=∠AEB,∠FAG=∠EAB,‎ ‎∴∠AGF=∠ABE.‎ ‎∴sin∠AGF=sin∠ABE=AEAB‎=‎‎4‎‎5‎.‎ ‎∵AE=4,∴AB=5.∴半径为2.5.‎ 10‎