公式法　　教案2 4页

第6课时 解一元二次方程——公式法（1）‎ 学 习 目 标 ‎1、经历推导求根公式的过程，加强推理技能的训练。‎ ‎2、会用公式法解简单系数的一元二次方程。‎ 学习重点 求根公式的推导和公式法的应用。‎ 学习难点 一元二次方程求根公式法的推导。‎ 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、自主学习 感受新知 ‎【问题】用配方法解方程：‎ ‎⑴x2+3x+2=0 ⑵2x2-3x+5=0‎ 学生板演，复习旧知 二、自主交流 探究新知 ‎【探究】用配方法解方程：ax2+bx+c=0（a≠0）‎ ‎【分析】前面具体数字已做了很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。‎ 解：移项，得：ax2+bx=-c ‎ 因为a≠0，所以方程两边同除以a得：‎ ‎ x2+x=-‎ ‎ 配方，得：x2+x+（）2=-+（）2 ‎ 即（x+）2=‎ ‎∵a≠0 ∴4a2>0 当 b2-4ac≥0时， ≥0‎ ‎ ∴x+=± 即x=‎ ‎ ∴x1=，x2=‎ ‎ 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：‎ ‎（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子 x=（b2-4ac≥0）‎ 就可求出方程的根．‎ ‎ （2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式．‎ 解有些二次项系数是具体数字的方程不必写。‎ 配方时方程两边同加上一次项系数一半的平方。‎ 配方到这一步，两边要进行开平方运算。被开方数必须是非负数。所以，要对进行分析。‎ 通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式．‎ 4‎ ‎ （3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．‎ ‎（4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．‎ ‎【强调】用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：⑴将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错。⑵式子b2-4ac≥0是公式的一部分。‎ 三、自主应用 巩固新知 ‎【例】用公式法解下列方程．‎ ‎（1）2x2-x-1=0 （2）x2+1.5=-3x (3) x2-x+ =0 （4）4x2-3x+2=0‎ ‎【分析】用公式法解一元二次方程，需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．‎ 解： 【说明】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的；‎ ‎（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入x=（b2-4ac≥0）中，可求得方程的两个根；‎ ‎（3）由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．‎ ‎【练习】Р37 1 ‎ 主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法，进一步理解求根公式．‎ 四、自主总结 拓展新知 ‎1、求根公式的推导过程；‎ ‎2、用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解．‎ 五、课堂作业 P42 5 （《课堂内外》对应练习）‎ 教学理念/教学反思 4‎ 第7课时 解一元二次方程——公式法（2）‎ 学 习 目 标 使学生能用⊿=b2-4ac的值判定一元二次方程的根的情况。‎ 学习重点 使学生能用的值判定一元二次方程的根的情况。‎ 学习难点 从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的⊿=b2-4ac 的情况与根的情况的关系。‎ 教 学 互 动 设 计 设计意图 一、自主学习 感受新知 ‎【问题】用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？‎ ‎⑴2x2-3x=0 ⑵3x2-2x+1=0 ⑶4x2+x+1=0‎ 二、自主交流 探究新知 ‎【探究】根据问题填写下表：‎ 方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系 ‎（填相等、不等或不存在）‎ ‎2x2-3x=0‎ ‎9‎ ‎>0‎ 不相等 ‎3x2-2x+1=0‎ ‎0‎ ‎=0‎ 相等 ‎4x2+x+1=0‎ ‎-15‎ ‎<0‎ 不存在 ‎【猜想】请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。‎ 从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：‎ ‎ 求根公式：x=，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，等于一个具体数，所以一元一次方程的x1=≠x1=，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，根据平方根的意义=0，所以x1=x2=，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．‎ ‎【结论】⑴当⊿=b2-4ac>0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等实数根即x1=，x2=。‎ ‎⑵当⊿= b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=。‎ 学生在思考的基础上分组讨论，利用一元二次方程的知识解决上述问题，同时熟悉一元二次方程的两种解法——公式法和配方法，进一步体会一元二次方程的根与b2-4ac的关系．‎ 4‎ ‎⑶当⊿=b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根。‎ ‎⑴⑵又合称有实数根；反过来也成立。‎ 三、自主应用 巩固新知 ‎【例1】不解方程，判定方程根的情况 ‎⑴16x2+8x=-3 ⑵9x2+6x+1=0 ⑶2x2-9x+8=0 ⑷x2-7x-18=0‎ ‎【分析】不解方程，判定根的情况，只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可。b2-4ac的值是在一元二次方程一般形式下得出的，所以首先必须将方程化为一般形式。‎ 解：‎ ‎【例2】已知关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0，m取什么值时，‎ ‎⑴方程有两个不相等的实数根？‎ ‎⑵方程有两个相等的实数根？‎ ‎⑶方程没有实数根？‎ 解：‎ ‎【例3】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．‎ ‎【分析】要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．‎ 解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．‎ ‎ ∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0 ‎ ‎ ∴a<-2‎ ‎ ∵ax+3>0即ax>-3 ∴x<-∴所求不等式的解集为x<-‎ 四、自主总结 拓展新知 ‎⊿=b2-4ac >0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；‎ ‎⊿=b2-4ac =0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；‎ ‎⊿=b2-4ac <0←→一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其应用。‎ 五、课堂作业 P42 4 （《课堂内外》对应练习）‎ 教学理念/教学反思 4‎