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  • 2021-11-10 发布

2020年中考数学一轮复习基础点专题01有理数含解析

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专题01有理数 ‎【思维导图】‎ ‎【知识要点】‎ 知识点一 有理数基础概念 n 有理数(概念理解)‎ 正数:大于0的数叫做正数。‎ 负数:正数前面加上符号“-”的数叫负数。‎ 有理数的分类(两种)(见思维导图)‎ n 数轴 ‎ 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。‎ 21‎ ü 数轴的三要素:原点、正方向、单位长度(重点)‎ 任何有理数都可以用数轴上的点表示,有理数与数轴上的点是一一对应的。‎ ü 数轴上的点表示的数从左到右依次增大;原点左边的数是负数,原点右边的数是正数.‎ ‎【注意】‎ 1. 数轴是一条直线,可向两段无限延伸。‎ 2. 在数轴上原点,正方向,单位长度的选取需根据实际情况而定。‎ n 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(绝对值相等,符号不同的两个数叫做互为相反数)‎ n 绝对值 绝对值的概念:一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。‎ 绝对值的意义:‎ 正数的绝对值是它本身;‎ 负数的绝对值是它的相反数;‎ ‎0的绝对值是0。‎ ‎(互为相反数的两个数的绝对值相等。)‎ n 比较大小 ‎1)数轴上两个点表示的数,右边的总比左边的大。‎ ‎2)正数大于0,负数小于0,正数大于负数。‎ ‎3)两个负数比较,绝对值大的反而小。‎ ‎4)两个正数比较,绝对值大的反而大。‎ 常用方法:数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。‎ ‎1.(2018·海南琼山中学中考模拟)下列各组数中,互为相反数的是 ( )‎ A.|+2|与|-2| B.-|+2|与+(-2) C.-(-2)与+(+2) D.|-(-3) |与-|-3|‎ ‎【详解】‎ 解:A、|+2|=2,|-2|=2,故这两个数相等,故此选项错误; B、-|+2|=-2,+(-2)=-2,故这两个数相等,故此选项错误; C、-(-2)=2与+(+2)=2,这两个数相等,故此选项错误; D、|-(-3)|=3,-|-3|=-3,3+(-3)=0,这两个数互为相反数,故此选项正确. 故选:D.‎ 21‎ ‎2.(2019·四川中考真题)一定是 A.正数 B.负数 C. D.以上选项都不正确 ‎【详解】‎ ‎∵a可正、可负、也可能是0‎ ‎∴选D.‎ ‎3.(2018·内蒙古中考模拟)如图,在数轴上表示互为相反数的两数的点是(  )‎ A.点A和点C B.点B和点C C.点A和点B D.点B和点D ‎【详解】‎ A、B、C、D所表示的数分别是2,1,-2,-3,因为2和-2互为相反数,故选A.‎ ‎4.(2013·江苏中考真题)如图,数轴上的点A、B分别对应实数a、b,下列结论中正确的是( )‎ A.a>b B.|a|>|b| C.﹣a<b D.a+b<0‎ ‎【详解】‎ 根据数轴,a<0,b>0,且|a|<|b|,‎ A、应为a<b,故本选项错误;‎ B、应为|a|<|b|,故本选项错误;‎ C、∵a<0,b>0,且|a|<|b|,∴a+b>0,∴﹣a<b正确,故本选项正确;‎ D、应该是a+b>0,故本选项错误.‎ 故选C.‎ ‎5.(2019·甘肃中考真题)已知,是2的相反数,则的值为(  )‎ A.-3 B.-1 C.-1或-3 D.1或-3‎ ‎【详解】‎ ‎∵,是2的相反数,‎ ‎∴或,,‎ 当时,;‎ 当时,;‎ 21‎ 综上,的值为-1或-3,‎ 故选:C.‎ 考察题型一 绝对值非负性应用 ‎1.(2016·山东中考真题)当1|a|,故②错误,因为b<0a+b,所以④正确.‎ 故选:B.‎ ‎4.(2018·湖北中考真题)在0,﹣1,0.5,(﹣1)2四个数中,最小的数是(  )‎ A.0 B.﹣1 C.0.5 D.(﹣1)2‎ ‎【详解】根据有理数比较大小的方法,可得 ‎﹣1<0<0.5<(﹣1)2,‎ ‎∴在0,﹣1,0.5,(﹣1)2四个数中,最小的数是﹣1.‎ 故选B.‎ ‎5.(2018·山东中考真题)实数a,b,c,d在数轴上的位置如图所示,下列关系式不正确的是(  )‎ A.|a|>|b| B.|ac|=ac C.b<d D.c+d>0‎ ‎【详解】‎ 从a、b、c、d在数轴上的位置可知:a<b<0,d>c>1;‎ A、|a|>|b|,故选项正确;‎ B、a、c异号,则|ac|=-ac,故选项错误;‎ C、b<d,故选项正确;‎ D、d>c>1,则a+d>0,故选项正确.‎ 故选:B.‎ 知识点二 有理数四则运算 n 有理数的加法(重点)‎ 有理数的加法法则:(先确定符号,再算绝对值)‎ ‎1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;‎ ‎2.异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;‎ ‎3.互为相反数的两个数相加得0;(如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数)‎ ‎4.一个数同0相加,仍得这个数。‎ 有理数的加法运算律:‎ 加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变。‎ 即;‎ 加法结合律:三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。‎ 21‎ 即。‎ n 有理数的减法 有理数的减法法则:‎ 减去一个数等于加上这个数的相反数。即。‎ 注:两个变化:减号变成加号;减数变成它的相反数。‎ n 有理数的加减混合运算 规则:运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算 步骤:(1)减法化加法;‎ ‎ (2)省略括号和加号;‎ ‎ (3)运用加法运算律使计算简便;‎ ‎ (4)运用有理数加法法则进行计算。‎ ‎ 注:运用加法运算律时,可按如下几点进行:‎ ‎(1)同号的先结合;‎ ‎(2)同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合;‎ ‎(3)互为相反数的两数相结合;‎ ‎(4)能凑成整数的两数相结合;‎ ‎(5)带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分,再分别相加。‎ n 有理数的乘法(重点)‎ 有理数的乘法法则:‎ ‎(1)两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。‎ ‎(2)任何数同0相乘,都得0.‎ 倒数:乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。(数的倒数是)‎ 多个有理数相乘的法则及规律:‎ (1) 几个不是0的数相乘,负因数的个数是奇数时,积是负数; ‎ 负因数的个数是偶数时,积是正数。‎ 确定符号后,把各个因数的绝对值相乘。‎ ‎(2)几个数相乘,有一个因数为0,积为0;反之,如果积为0,那么至少有一个因数是0.‎ 21‎ 注:带分数与分数相乘时,通常把带分数化成假分数,再与分数相乘。‎ n 有理数的乘法运算律 乘法交换律:两个数相乘,交换因数的位置,积相等。‎ 即。‎ 乘法结合律:三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积相等。‎ 即。‎ 乘法分配律:一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加。‎ 即。‎ n 有理数的除法 有理数除法法则:‎ ‎(1)除以一个不为0的数,等于乘以这个数的倒数。即。‎ ‎(2)两数相除(被除数不为0),同号得正,异号得负,并把绝对值相除。‎ ‎0除以任何不为0的数,都得0。‎ 步骤:先确定商的符号,再算出商的绝对值。‎ n 有理数的乘除混合运算 运算顺序:从左往右进行,将除法化成乘法后,进行约分计算。‎ ‎(注:带分数应首先化为假分数进行运算)‎ n 有理数的四则混合运算 运算顺序:先乘除,后加减,有括号要先算括号里面的。‎ 注:除法一般先化为乘法,带分数化为假分数,合理使用运算律 ‎1.(2018·江苏中考模拟)计算:|–5+3|的结果是( )‎ A.–8 B.8 C.–2 D.2‎ ‎【解析】‎ 原式=|-2|=2,‎ 故选:D.‎ ‎2.(2019·浙江中考真题)某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表,则这四天中温差最大的是( )‎ 21‎ 星期 一 二 三 四 最高气温 ‎10℃‎ ‎12℃‎ ‎11℃‎ ‎9℃‎ 最低气温 ‎3℃‎ ‎0℃‎ ‎-2℃‎ ‎-3℃‎ A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 ‎【详解】‎ 星期一温差:10﹣3=7℃;‎ 星期二温差:12﹣0=12℃;‎ 星期三温差:11﹣(﹣2)=13℃;‎ 星期四温差:9﹣(﹣3)=12℃;‎ 综上,周三的温差最大.‎ 故选C.‎ ‎3.(2018·四川中考模拟)如果a,b是有理数,那么下列各式中成立的是( )‎ A.如果a<0,b<0,那么a+b>0 B.如果a>0,b<0,那么a+b>0‎ C.如果a>0,b<0,那么a+b<0 D.如果a>0,b<0,且|a|>|b|,那么a+b>0‎ ‎【解析】‎ 解:A、∵同号两数相加取与加数相同的符号,∴a+b<0,故选项错误;‎ B、如a=1,b=-2时,a+b=-1<0,故选项错误;‎ C、如a=3,b=-2时,a+b=1>0,故选项错误;‎ D、异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,故选项正确.‎ 故选D.‎ ‎4.(2019·辽宁中考模拟)计算的正确结果是(  )‎ A. B.- C.1 D.﹣1‎ ‎【详解】‎ 原式 故选:D.‎ ‎5.(2017·山东中考真题)计算-(-1)+|-1|,其结果为( )‎ 21‎ A.-2 B.2 C.0 D.-1‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题可得:原式=1+1=2,‎ 故选:B.‎ ‎6.(2018·辽宁中考模拟)两个非零有理数的和为零,则它们的商是(  )‎ A.﹣1 B.0 C.1 D.﹣1或1‎ ‎【详解】‎ ‎∵两个非零有理数的和为零,‎ ‎∴这两个数是一对相反数,‎ ‎∴它们符号不同,绝对值相等,‎ ‎∴它们的商是-1,‎ 故选A.‎ ‎7.(2019·内蒙古中考模拟)若‎-‎‎1‎‎2‎的倒数与m+4‎互为相反数,则m的值是( )‎ A.1 B.‎-1‎ C.2 D.‎‎-2‎ ‎【详解】‎ ‎-‎‎1‎‎2‎的倒数与m+4互为相反数,得 m+4=2,‎ 解得m=−2,‎ 故选:D.‎ ‎8.(2018·天津中考模拟)-6÷的结果等于(  )‎ A.1 B.﹣1 C.36 D.﹣36‎ ‎【详解】‎ 解:原式=﹣6×6=﹣36‎ 故选:D.‎ ‎8.(2019·平阳县鳌江中学中考模拟)-2×(-5)的值是  ‎ A.-7 B.7 C.-10 D.10‎ ‎【详解】‎ ‎﹣2×(﹣5)=+(2×5)=10.‎ 21‎ 故选D.‎ ‎9.(2019·天津中考模拟)计算(–18)÷(–6)的结果等于 A.3 B.–3 C. D.−‎ ‎【详解】‎ ‎=3‎ 考查题型三 与绝对值有关的分数化简 ‎1.(2018·福建中考模拟)若a≠0,b≠0,则代数式的取值共有(  )‎ A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ‎【详解】‎ 由分析知:可分4种情况:‎ ‎①a>0,b>0,此时ab>0,‎ 所以=1+1+1=3;‎ ‎②a>0,b<0,此时ab<0,‎ 所以=1﹣1﹣1=﹣1;‎ ‎③a<0,b<0,此时ab>0,‎ 所以=﹣1﹣1+1=﹣1;‎ ‎④a<0,b>0,此时ab<0,‎ 所以=﹣1+1﹣1=﹣1;‎ 综合①②③④可知:代数式的值为3或﹣1,‎ 故选A.‎ ‎2.(2018·南宫市奋飞中学中考模拟)已知a,b,c为非零的实数,则的可能值的个数为(  )‎ 21‎ A.4 B.5 C.6 D.7‎ ‎【解析】‎ 解:①a、b、c三个数都是正数时,a>0,ab>0,ac>0,bc>0,原式=1+1+1+1=4;‎ ‎②a、b、c中有两个正数时,设为a>0,b>0,c<0,则ab>0,ac<0,bc<0,原式=1+1﹣1﹣1=0;‎ 设为a>0,b<0,c>0,则ab<0,ac>0,bc<0,原式=1﹣1+1﹣1=0;‎ 设为a<0,b>0,c>0,则ab<0,ac<0,bc>0,原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2;‎ ‎③a、b、c有一个正数时,设为a>0,b<0,c<0,则ab<0,ac<0,bc>0,原式=1﹣1﹣1+1=0;‎ 设为a<0,b>0,c<0,则ab<0,ac>0,bc<0,原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2;‎ 设为a<0,b<0,c>0,则ab>0,ac<0,bc<0,原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2;‎ ‎④a、b、c三个数都是负数时,即a<0,b<0,c<0,则ab>0,ac>0,bc>0,原式=﹣1+1+1+1=2.‎ 综上所述:的可能值的个数为4.‎ 故选A.‎ ‎3..(2019·四川初一期中)有理数a,b.c满足abc<0,的值为( )‎ A.1或﹣3 B.﹣4 C.0 D.0或﹣4‎ ‎【详解】‎ 解:∵abc<0,‎ ‎∴当有理数a,b,c中有一个数小于0时,,‎ 当有理数a,b,c中三个数都小于0时,,‎ 故选:D.‎ 考察题型四 有理数乘法运算律的应用 ‎1.(2018·贵州中考真题)计算+++++……+的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】‎ 原式=‎ 21‎ ‎=,‎ ‎=1-‎ ‎=. 故选:B.‎ ‎2.(2019·河北中考模拟)利用运算律简便计算52×(–999)+49×(–999)+999正确的是 A.–999×(52+49)=–999×101=–100899‎ B.–999×(52+49–1)=–999×100=–99900‎ C.–999×(52+49+1)=–999×102=–101898‎ D.–999×(52+49–99)=–999×2=–1998‎ ‎【详解】‎ 原式=-999×(52+49-1)=-999×100=-99900.‎ 故选B ‎3.(2016·河北中考真题)请你参考黑板中老师的讲解,用运算律简便计算:‎ ‎(1)999×(-15);‎ ‎(2)999×+999×()-999×.‎ ‎【详解】‎ 试题分析:根据题目中所给的规律,第一题凑整法,第二题提同数法解决即可.‎ 试题解析:(1)999×(-15)=(1000-1)×(-15)=15-15000=149985;‎ ‎(2)999×+999×()-999×=999×[+()-]=999×100=99900.‎ 知识点三 有理数的乘方 n 乘方(重点)‎ 一般地,个相同的因数相乘,即a×a×a⋯×an个,记作,读作的次方。求个相同因 21‎ 数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。‎ 在中,叫做底数,叫做指数。读作的次方,也可以读作的次幂。‎ 当底数为分数时,要先用括号将底数括上,再在其右上角写指数,指数要写的小些。‎ 乘方的规律:‎ 负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。‎ 正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.‎ 有理数乘方的运算方法:‎ 1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。‎ 2. 计算结果的绝对值。‎ n 有理数的混合运算 运算顺序:(1)先乘方,再乘除,最后加减;‎ ‎(2)同级运算,从左到右进行;‎ ‎(3)如有括号,先算括号里的,按小括号、中括号、大括号的顺序。‎ n 科学记数法 把一个大于10的数记成的形式,其中是整数数位只有一位的数(即),是正整数,这样的记数方法叫科学记数法。(用科学记数法表示一个数时,10的指数比原数的整数位数少1.)‎ 把还原成原数时,只需把的小数点往前移动位。‎ n 近似数和有效数字 在实际问题中,由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。(近似数小数点后的末位数是0的,不能去掉0.)‎ 一个近似数从左边第一位非0的数字起,到末位数字止,所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字,就称这个近似数保留几个有效数字。‎ 精确度:表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数,四舍五入到哪一位,就称这个数精确到哪一位。‎ ‎1.(2018·丹东第九中学中考模拟)下列算式中,运算结果为负数的是( )‎ A.|-1| B.(-2)3 C.(-1)×(-2) D.(-3)2‎ ‎【解析】‎ 本题涉及乘法、绝对值、乘方等知识点.在计算时,需要针对每个知识点分别进行计算.‎ 21‎ 详解:A.|−1|=1,错误;‎ B.(-2)3=−8,正确;‎ C.(−1)×(−2)=2,错误;‎ D.(-3)2=9,错误;‎ 故选:B.‎ ‎2.(2018·四川成都外国语学校中考模拟)下列各数|﹣2|,﹣(﹣2)2,﹣(﹣2),(﹣2)3中,负数的个数有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎【详解】‎ 解:|﹣2|=2,‎ ‎﹣(﹣2)2=﹣4,‎ ‎﹣(﹣2)=2,‎ ‎(﹣2)3=﹣8,‎ ‎﹣4,﹣8是负数,‎ ‎∴负数有2个.‎ 故选:B.‎ ‎3.(2018·河南中考模拟)若a=﹣4×4,b=﹣|﹣32×1|,c=﹣5+2(﹣22),则a、b、c的大小关系是(  )‎ A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.c>a>b ‎【详解】‎ 因为a=﹣4×4=-16,b=﹣|﹣32×1|=-15,c=﹣5+2(﹣22)=-13.‎ ‎-13>-15>-16.‎ 所以c>b>a 故选:B 考查题型五 有理数混合运算 ‎1.(2018·湖北中考模拟)计算:‎ ‎(1)5-(-2)+(-3)-(+4);‎ ‎(2)(-)×(-24);‎ 21‎ ‎(3)(-3)÷××(-15);‎ ‎(4)-14+|(-2)3-10|-(-3)÷(-1)2017.‎ ‎【详解】‎ 解:(1)原式=5+2﹣3﹣4‎ ‎=5﹣3+2﹣4‎ ‎=2﹣2‎ ‎=0;‎ ‎(2)原式=×24+×24﹣×24‎ ‎=18+15﹣18‎ ‎=15;‎ ‎(3)原式=(﹣3)×××(﹣15)‎ ‎=4×4×5‎ ‎=80;‎ ‎(4)原式=﹣1+|﹣8﹣10|﹣(﹣3)÷(﹣1)‎ ‎=﹣1+18﹣3‎ ‎=14.‎ ‎2.(2018·湖北中考模拟)计算:‎ ‎(1)﹣15+(﹣8)﹣(﹣11)﹣12 ‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ ‎(4)﹣23+[(﹣4)2﹣(1﹣32)×3]‎ ‎【详解】‎ 原式 ‎.‎ 21‎ ‎(2)原式 ‎(3)原式 ‎,‎ ‎,‎ ‎(4)原式 ‎=32.‎ ‎3.(2018·海南琼山中学中考模拟)‎ ‎【详解】‎ 原式 考查题型六 用科学记数法表示绝对值较大的数 ‎1.(2019·河南郑州实验外国语中学中考模拟)我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作,根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人,这个数用科学记数法表示为  ‎ A.44×108 B.4.4×108 C.4.4×109 D.4.4×1010‎ ‎【详解】‎ 解:4 400 000 000=4.4×109,‎ 21‎ 故选C.‎ ‎2.(2018·河南中考真题)今年一季度,河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元,数据“214.7亿”用科学记数法表示为(  )‎ A.2.147×102 B.0.2147×103 C.2.147×1010 D.0.2147×1011‎ ‎【解析】‎ ‎214.7亿,用科学记数法表示为2.147×1010,‎ 故选:C.‎ ‎3.(2019·安徽中考模拟)据资料显示,地球的海洋面积约为360000000平方千米,请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】‎ 详解:将360000000用科学记数法表示为:3.6×108.‎ 故选:B.‎ ‎4.(2018·广东中考真题)260000000用科学计数法表示为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【详解】260000000的小数点向左移动8位得到2.6,‎ 所以260000000用科学记数法表示为,‎ 故选B.‎ ‎5.(2019·山东中考模拟)一个整数815550…0用科学记数法表示为8.1555×1010,则原数中“0”的个数为(  )‎ A.4 B.6 C.7 D.10‎ ‎【详解】∵8.1555×1010表示的原数为81555000000,‎ ‎∴原数中“0”的个数为6,‎ 故选B.‎ 考查题型七 根据精确度求近似值 ‎1.(2018·山东中考模拟)近似数3.02×106精确到(  )‎ A.百分位 B.百位 C.千位 D.万位 ‎【解析】‎ 近似数3.02×106精确到万位.‎ 21‎ 故选D.‎ ‎2.(2017·安徽中考模拟)用四舍五入法得到近似数4.005万,关于这个数有下列说法,其中正确的是(  )‎ A.它精确到万位 B.它精确到0.001‎ C.它精确到万分位 D.它精确到十位 ‎【解析】‎ 近似数4.005万精确到十位.‎ 故选D.‎ ‎3.(2019·山东中考模拟)近似数1.23×103精确到(  )‎ A.百分位 B.十分位 C.个位 D.十位 ‎【详解】‎ ‎∵1.23×103=1 230,‎ ‎∴这个近似数精确到十位.‎ 故选D.‎ ‎4.(2019·福建中考模拟)30269精确到百位的近似数是( )‎ A.303 B.30300 C. D.‎ ‎【详解】‎ 本题考查近似数的概念,按要求对30269取近似值,30269精确到百位的近似数应是303百,选项A明显错误,B选项精确到个位,C选项不是科学记数法的模型,D选项精确到百位,而且是规范的科学记数法.‎ 故选:D.‎ ‎5.(2019·四川中考真题)用四舍五入法将精确到千位,正确的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【详解】‎ 解:130542精确到千位是1.31×105.‎ 故选:C.‎ ‎6.(2019·河北中考模拟)近似数5.10精确到( )‎ A.个位 B.十分位 C.百分位 D.十位 ‎【详解】‎ 解:5.10精确到百分位. 故选:C.‎ 21‎ ‎7.(2018·江苏中考模拟)今年无锡马拉松参赛选手91879人,这个数据精确到千位并用科学记数法表示为(  )‎ A.91×103 B.92×103 C.9.1×104 D.9.2×104‎ ‎【详解】‎ ‎91879≈9.2×104, 故选:D.‎ ‎8.(2018·广西中考模拟)近似数精确到( )‎ A.十分位 B.个位 C.十位 D.百位 ‎【解析】‎ 根据近似数的精确度:近似数5.0×102精确到十位.‎ 故选:C.‎ 21‎

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