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- 2021-11-10 发布
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第二十六讲
与圆有关的位置关系
考点一 点与圆的位置关系
【
主干必备
】
点与圆的位置关系
1.
设圆
O
的半径为
r,
点
P
到圆心的距离为
OP=d.
则
:
(1)
点
P
在圆外
⇔
__________;
d>r
(2)
点
P
在圆上
⇔
__________;
(3)
点
P
在圆内
⇔
__________.
d=r
dr
d=r
d
C
3.(2019·
玄武区模拟
)
直径为
10 cm
的圆
,
若该圆的圆
心到直线的距离为
4 cm,
则该直线与圆的公共点个数为
________.
2
4.(2019·
达州中考
)
如图
,☉O
是△
ABC
的外接圆
,∠BAC
的平分线交☉
O
于点
D,
交
BC
于点
E,
过点
D
作直线
DF∥BC.
世纪金榜导学号
(1)
判断直线
DF
与☉
O
的位置关系
,
并说明理由
;
(2)
若
AB=6,AE= ,CE= ,
求
BD
的长
.
【
解析
】
(1) DF
与☉
O
相切
,
理由
:
连接
OD,
∵∠BAC
的平分线交☉
O
于点
D,∴∠BAD=∠CAD,
∴ ,∴OD⊥BC,
∵DF∥BC,∴OD⊥DF,∴DF
与☉
O
相切
.
(2)∵∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠C,
∴△ABD∽△AEC,∴ ,
∴ ,∴BD= .
考点三 切线的性质与判定
【
主干必备
】
1.
切线的定义、性质与判定
(1)
定义
:
和圆有
___________
公共点的直线
.
(2)
性质
:
圆的切线
_____________
过切点的半径
.
唯一
垂直于
(3)
判定
:
经过半径的外端
,
并且
___________
于这条半
径的直线是圆的切线
.
垂直
2.
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线
,
它们的切线长
___________,
这一点和圆心的连线
___________
两条切
线的夹角
.
相等
平分
【
微点警示
】
(1)
注意性质与判定的区别
:
知切线推得“垂直”是性质
,
知“垂直”推得切线是判定
.
(2)
注意“切线长”的含义
:
圆的切线是直线
,
本无长度
,“
切线长”专指圆外一点和切点之间的线段的长度
.
【
核心突破
】
例
3(2019·
菏泽中考
)
如图
,BC
是☉
O
的直径
,CE
是☉
O
的弦
,
过点
E
作☉
O
的切线
,
交
CB
的延长线于点
G,
过点
B
作
BF⊥GE
于点
F,
交
CE
的延长线于点
A.
(1)
求证
:∠ABG=2∠C.
(2)
若
GF=3 ,GB=6,
求☉
O
的半径
.
【
思路点拨
】
(1)
连接
OE,
根据切线的性质得到
OE⊥EG,
推出
OE∥AB,
得到∠
A=∠OEC,
根据等腰三角形的性质得
到∠
OEC=∠C,
求得∠
A=∠C,
根据三角形的外角的性质
即可得到结论
.
(2)
根据勾股定理得到
BF= =3,
根据相似三角
形的性质即可得到结论
.
【
自主解答
】
(1)
连接
OE,
∵EG
是☉
O
的切线
,
∴OE⊥EG,
∵BF⊥GE,
∴OE∥AB,
∴∠A=∠OEC,
∵OE=OC,
∴∠OEC=∠C,
∴∠A=∠C,
∵∠ABG=∠A+∠C,
∴∠ABG=2∠C.
(2)
略
例
4
【
原型题
】
(2019·
凉山州中考
)
如图
,
点
D
是以
AB
为直径的☉
O
上一点
,
过点
B
作☉
O
的切线
,
交
AD
的延长线于点
C,E
是
BC
的中点
,
连接
DE
并延长与
AB
的延长线交于点
F.
(1)
求证
:DF
是☉
O
的切线
.
(2)
若
OB=BF,EF=4,
求
AD
的长
.
【
自主解答
】
略
【
变形题
】
(
变换条件、结论
)
如图
,
在△
ABC
中
,AB=AC,
以
AB
为直径的☉
O
交
BC
边于点
D,
交
AC
边于点
E.
过点
D
作☉
O
的切线
,
交
AC
于点
F,
交
AB
的延长线于点
G,
连接
DE.
(1)
求证
:BD=CD.
(2)
若∠
G=40°,
求∠
AED
的度数
.
【
解析
】
(1)
连接
AD,
∵AB
为直径
,∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,∴BD=CD.
(2)
略
【
明
·
技法
】
与圆的切线有关的三种辅助线
(1)
若已知直线与圆相切
,
先连接圆心和切点
,
根据切线性质得到直角
,
再作进一步的计算或推理
,
可简述为
:
见切线
,
连半径
,
得垂直
.
(2)
若已知直线与圆的公共点
,
证该直线为圆的切线
,
则采用判定定理法
,
其基本思路是
:
当已知点在圆上时
,
连接过这点的半径
,
证明这条半径与直线垂直即可
,
可简述为
:
有公共点
,
连半径
,
证垂直
,
得切线
.
(3)
若未知直线与圆的交点
,
证该直线为圆的切线
,
则采用数量关系法
,
其基本思路是
:
过圆心作直线的垂线段
,
证明垂线段的长等于圆的半径
,
可简述为
:
无公共点
,
作垂线
,
证半径
,
得切线
.
【
题组过关
】
1.(2019·
无锡中考
)
如图
,PA
是☉
O
的切线
,
切点为
A,PO
的延长线交☉
O
于点
B,
若∠
P=40°,
则∠
B
的度数为
(
)
B
A.20°
B.25°
C.40°
D.50°
2.(2019·
石家庄市桥西区模拟
)
如图
,AB
是☉
O
的直径
,
点
P
是☉
O
外一点
,PO
交☉
O
于点
C,
连接
BC,PA.
若∠
P=
40°,
当∠
B
等于
____________
时
,PA
与☉
O
相切 世纪金
榜导学号
(
)
B
A.20°
B.25°
C.30°
D.40°
3.(2019·
菏泽东明县模拟
)
如图
,PA,PB
切☉
O
于点
A,B,
PA=10,CD
切☉
O
于点
E,
交
PA,PB
于
C,D
两点
,
则△
PCD
的周
长是
(
)
C
A.10 B.18 C.20 D.22
4.(2019·
河南模拟
)
如图
,
已知
AB
是☉
O
的直径
,AD,BD
是半圆的弦
,∠PDA=∠PBD,∠BDE=60°,
若
PD= ,
则
PA
的长为
________.
世纪金榜导学号
1
5.(2019·
天水中考
)
如图
,AB,AC
分别是☉
O
的直径和弦
,OD⊥AC
于点
D.
过点
A
作☉
O
的切线与
OD
的延长线交于点
P,PC,AB
的延长线交于点
F.
(1)
求证
:PC
是☉
O
的切线
.
(2)
若∠
ABC=60°,AB=10,
求线段
CF
的长
.
【
解析
】
(1)
连接
OC,
∵OD⊥AC,OD
经过圆心
O,
∴AD=CD,∴△PDA≌△PDC,∴PA=PC.
在△
OAP
和△
OCP
中
,∵
∴△OAP≌△OCP(SSS),∴∠OCP=∠OAP.
∵PA
是☉
O
的切线
,∴∠OAP=90°,∴∠OCP=90°,
即
OC⊥PC,
∴PC
是☉
O
的切线
.
(2)
略
考点四 三角形的外接圆与内切圆
【
主干必备
】
外
接
圆
定义
:
经过三角形的三个
___________
的圆
.
三角形的外心
:
三角形
_____________
的圆心
,
是
三角形三条边的
_________________
的交点
,
到
三角形
_______________
的距离相等
.
顶点
外接圆
垂直平分线
三个顶点
内
切
圆
定义
:
与三角形各边都
___________
的圆
.
三角形的内心
:
三角形
_____________
的圆心
,
是
三角形三条
_______________
的交点
,
到三角形
___________
的距离相等
.
相切
内切圆
角平分线
三边
【
微点警示
】
(1)
三角形外心与内心的位置
:
锐角三角形的外心在其内部
,
直角三角形的外心在其斜边上
,
钝角三角形的外心在其外部
;
而任意三角形的内心都在其内部
.
(2)
等边三角形的外心与内心
:
等边三角形的外接圆与内切圆是同心圆
,
即等边三角形的外心与内心合二为一
.
【
核心突破
】
例
5(2018·
长沙中考
)
如图
,
在△
ABC
中
,AD
是边
BC
上的中线
,∠BAD=∠CAD,CE∥AD,CE
交
BA
的延长线于点
E,
BC=8,AD=3.
(1)
求
CE
的长
.
(2)
求证
:△ABC
为等腰三角形
.
(3)
求△
ABC
的外接圆圆心
P
与内切圆圆心
Q
之间的距离
.
【
思路点拨
】
(1)
证明
AD
为△
BCE
的中位线得到
CE=2AD=6.
(2)
通过证明
AC=AE
得到
AB=AC.
(3)
取△
ABC
的外心点
P,
内心点
Q,
连接
BP,BQ,CQ,
先利用
勾股定理计算出
AB=5,
设☉
P
的半径为
R,☉Q
的半径为
r,
在
Rt△PBD
中利用勾股定理得到
(R-3)
2
+4
2
=R
2
,
解得
R= ,
则
PD= ,
再利用面积法求出
r= ,
即
QD= ,
然后计算
PD+QD
即可
.
【
自主解答
】
略
【
明
·
技法
】
与三角形的外心与内心有关的解题技巧
(1)
连接外心与三角形各顶点
,
可得等腰三角形
.
(2)
连接内心与三角形顶点的连线平分这个内角
.
【
题组过关
】
1.(
易错警示题
)
如图
,
点
I
是△
ABC
的内心
,
若∠
AIB=
125°,
则∠
C
等于
(
)
B
A.65° B.70° C.75° D.80°
2.(2019·
荆门中考
)
如图
,△ABC
的内心为
I,
连接
AI
并
延长交△
ABC
的外接圆于
D,
则线段
DI
与
DB
的大小关系是
世纪金榜导学号
(
)
A
A.DI=DB
B.DI>DB
C.DI
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