中考数学全程复习方略第二十二讲图形的相似与位似课件 49页

第二十二讲　 图形的相似与位似 考点一　平行线分线段成比例 【 主干必备 】 1. 平行线分线段成比例定理 : 两条直线被一组平行线所 截 , 所得 _______________ 成比例 .  对应线段 2. 平行线分线段成比例定理的推论 : 平行于三角形一边 的直线截其他两边 ( 或两边的延长线 ), 所得 ________ ________ 成比例 .  对应 线段 【 微点警示 】 (1) 注意对应性 : 如图 ,AB∥CD∥EF, 则可得 等多个比例式 , 其对应关系 可简述为 : (2) 注意辅助线 : 为了充分利用平行线分线段成比例定理及其推论 , 在已知线段比值的情况下往往过关键点作某一线段的平行线 . 【 核心突破 】 例 1(2018· 梧州中考 ) 如图 ,AG∶GD=4∶1,BD∶DC=2∶3, 则 AE∶EC 的值是 ( 　 　 ) A.3∶2 B.4∶3 C.6∶5 D.8∶5 D 【 明 · 技法 】 应用平行线分线段成比例解决问题的技巧 (1) 若已知条件中有平行线 , 求两条线段的比 , 可直接应用平行线分线段成比例定理求解 . (2) 若已知条件中无平行线 , 但告知线段的比 , 可先通过作平行线创造应用定理的条件 . 【 题组过关 】 1.(2019· 杭州中考 ) 如图 , 在△ ABC 中 , 点 D,E 分别在 AB 和 AC 上 ,DE∥BC,M 为 BC 边上一点 ( 不与点 B,C 重合 ), 连接 AM 交 DE 于点 N, 则 ( 　 　 ) C 2.(2019 · 淮安中考 ) 如图 , l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 , 直线 a,b 与 l 1 , l 2 , l 3 分 别相交于点 A,B,C 和点 D,E,F. 若 AB=3,DE=2,BC=6, 则 EF=________. 世纪金榜导学号   4 考点二　相似三角形的判定与性质 【 主干必备 】 判 定 判定 1: 平行于三角形一边的直线和其他两边 ( 或两边的 延长线 ) 相交 , 所构成的三角形与原 _____________ 相似 .  判定 2: 三边 _____________ 的两个三角形相似 .  判定 3: 两边 _____________ 且 _______________ 的两个三 角形相似 .  判定 4: 两角 _______________ 的两个三角形相似 .  三角形 成比例 成比例 夹角相等 分别相等 性 质 性质 1: 相似三角形的对应角 ___________, 对应边的比 ___________.  性质 2: 相似三角形周长的比等于 ________ ______.  性质 3: 相似三角形对应高的比、对应中线的 比、对应角平分线的比等于 _____________.  性质 4: 相似三角形面积的比等于相似比的 ___________.  相等 相等 相似 比 相似比 平方 【 微点警示 】 (1) 根据条件快选判定 : 有平行线一般用判定 1, 网格中三角形相似一般用判定 2 或判定 3, 有公共角、对顶角或圆中的三角形一般用判定 4. (2) 注意面积特殊之处 : 相似三角形对应线段比、周长比都等于相似比 , 唯独面积比等于相似比的平方 . 【 核心突破 】 命题角度 1: 相似三角形的判定 例 2(2018· 临安中考 ) 如图 , 小正方形的边长均为 1, 则 下列图中的三角形 ( 阴影部分 ) 与△ ABC 相似的是 ( 　 　 ) B 命题角度 2: 相似三角形的性质 例 3(2019· 常德中考 ) 如图 , 在等腰三 角形 ABC 中 ,AB=AC, 图中所有三角形均 相似 , 其中最小的三角形面积为 1,△ABC 的面积为 42, 则四边形 DBCE 的面积是 ( 　 　 ) A.20 　　　 B.22 　　　 C.24 　　　 D.26 D 命题角度 3: 相似三角形的判定与性质 例 4(2019· 凉山州中考 ) 如图 ,∠ABD=∠BCD=90°,DB 平分∠ ADC, 过点 B 作 BM∥CD 交 AD 于 M. 连接 CM 交 DB 于 N. (1) 求证 :BD2=AD·CD. (2) 若 CD=6,AD=8, 求 MN 的长 . 【 自主解答 】 (1) ∵ DB 平分∠ ADC, ∴ ∠ADB=∠CDB, 且∠ ABD=∠BCD=90 ° , ∴ △ABD∽△BCD, ∴ , ∴ BD 2 =AD·CD. (2) 略 【 明 · 技法 】 1. 判定三角形相似的“五个基本思路” (1) 条件中若有平行线 , 可采用相似三角形的预备定理 . (2) 条件中若有一对等角 , 可再找一对等角或再找夹这对等角的两边对应成比例 . (3) 条件中若有两边对应成比例 , 可找夹角相等 . (4) 条件中若有一对直角 , 可考虑再找一对等角或证明夹直角的两条直角边对应成比例 . (5) 条件中若有等腰三角形 , 可找顶角相等 , 或一对底角相等 , 或找底和腰对应成比例 . 2. 相似三角形性质的三个应用 (1) 利用相似三角形对应角相等计算角的度数 . (2) 利用相似三角形对应线段成比例确定已知线段和未知线段的关系 , 建立方程求出未知线段的长或解决与比例式 ( 等积式 ) 有关的证明问题 . (3) 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方 , 周长比等于相似比求三角形的面积或周长 . 【 题组过关 】 1.(2019· 上海崇明区模拟 ) 如图 , 如果∠ BAD=∠CAE, 那 么添加下列一个条件后 , 仍不能确定△ ABC∽△ADE 的是 ( 　 　 ) C 2.(2019· 巴中中考 ) 如图 ▱ ABCD,F 为 BC 中点 , 延长 AD 至 E, 使 DE∶AD=1∶3, 连接 EF 交 DC 于点 G, 则 S △DEG ∶S △CFG = ( 　 　 ) A.2∶3 　　　 B.3∶2 　　　 C.9∶4 　　　 D.4∶9 D 3.(2019· 自贡中考 ) 如图 , 在 Rt△ABC 中 ,∠ACB=90°, AB=10,BC=6,CD∥AB,∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 E,DE=          . 世纪金榜导学号  4.( 易错警示题 ) 如图 ,∠ACB=∠ADC=90°,AC= ,AD=2. 当这两个直角三角形相似时 ,AB 的长为 _________.  考点三　相似三角形的实际应用 【 主干必备 】 应用相似三角形解决实际问题的一般步骤 : (1) 画图 : 根据实际问题情境 , 画出几何图形 . (2) 判定 : 判定几何图形中有哪些三角形相似 , 必要时通过作辅助线构造出相似三角形 . (3) 性质 : 运用相似三角形的性质得到包含已知线段和未知线段的比例式 . (4) 结论 : 通过解方程得到未知线段 ( 或图形周长、面积 ), 结合所求写出实际问题答案 . 【 核心突破 】 例 5(2018· 陕西中考 ) 周末 , 小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽 . 测量时 , 他们选择了河对岸岸边的一棵大树 , 将其底部作为点 A, 在他们所在的岸边选择了点 B, 使得 AB 与河岸垂直 , 并在 B 点竖起标杆 BC, 再在 AB 的延长线上选择点 D, 竖起标杆 DE, 使得点 E 与点 C,A 共线 . 已知 :CB⊥AD,ED⊥AD, 测得 BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m. 测量示意图如图所示 . 请根据相关测量信息 , 求河宽 AB. 【 思路点拨 】 由 BC∥DE, 可得 , 构建方程即可 解决问题 . 【 自主解答 】 ∵ BC∥DE, ∴ △ABC∽△ADE, ∴ AB=17(m), 经检验 :AB=17 是分式方程的解 . 答 : 河宽 AB 的长为 17 m. 【 明 · 技法 】 运用相似三角形解决实际问题的一般步骤 1. 由实际问题抽象出几何图形 . 2. 根据几何图形判定得出相似三角形 . 3. 根据相似三角形的性质得到方程 . 4. 解方程求出有关线段长度 . 5. 写出实际问题的答案 . 【 题组过关 】 1.(2019· 毕节中考 ) 如图 , 在一块斜边长 30 cm 的直角 三角形木板 (Rt△ACB) 上截取一个正方形 CDEF, 点 D 在 边 BC 上 , 点 E 在斜边 AB 上 , 点 F 在边 AC 上 , 若 AF∶AC=1∶3, 则这块木板截取正方形 CDEF 后 , 剩余部分的面积为 ( 　 　 ) A.100 cm 2 　 B.150 cm 2 　 C.170 cm 2 　 D.200 cm 2 A 2.( 生活情境题 ) 如图 , 王明同学用 自制的直角三角形纸板 DEF 测量树 的高度 AB, 他调整自己的位置 , 设 法使斜边 DF 保持水平 , 并且边 DE 与点 B 在同一直线上 , 已 知纸板的两条边 DF=50 cm,EF=30 cm, 测得边 DF 离地面 的高度 AC=1.5 m,CD=20 m, 则树高 AB 为 _____________.  16.5 m 3.(2019· 西安莲湖区模拟 ) 如图 , 阳光通 过窗口照到某个房间内 , 竖直窗框 AB 在地 面上留下的影子长度 DE=1.8 m, 已知点 E 到窗下墙角的距离 CE=3.9 m, 窗框底边离地面的距离 BC=1.4 m, 试求窗框 AB 的长 . 世纪金榜导学号 【 解析 】 连接 AB, 由于阳光是平行光线 , 即 AE∥BD, 所以∠ AEC=∠BDC. 又因为∠ C 是公共角 , 所以△ AEC∽△BDC, 从而有 . 又 AC=AB+BC,DC=EC-ED,EC=3.9 m, ED=1.8 m,BC=1.4 m, 于是有 , 解得 AB=1.2 m. 答 : 窗框 AB 的长为 1.2 m. 考点四　位似 【 主干必备 】 定义 两个图形不仅是相似图形 , 而且每组对 应点连线都经过 _____________, 对应 边 _______________( 或在同一直线上 ), 这两个图形叫做位似图形 , 这个点叫做 位似中心  同一点 互相平行 性质 1. 位似图形上任意一对对应点到位似 中心的距离之比等于 _____________.  2. 在平面直角坐标系中 , 如果以原点 为位似中心 , 相似比为 k, 那么位似图 形上的对应点的坐标的比等于 _____ ________  相似比 k 或 -k 【 微点警示 】 (1) 注意位似和相似的关系 : 位似图形一定是相似图形 , 但相似图形不一定是位似图形 . (2) 注意位似中心的位置 : 位似中心可能在图形外 , 也可能在图形内或图形上 . (3) 注意关于原点的位似 : 在平面直角坐标系中 , 一个图形关于原点的位似图形有两个 , 一个同象限 , 一个异象限 . 【 核心突破 】 例 6(2019· 滨州中考 ) 在平面直角坐标系中 ,△ABO 三个 顶点的坐标分别为 A(-2,4),B(-4,0),O(0,0). 以原点 O 为位似中心 , 把这个三角形缩小为原来的 , 得到△ CDO, 则点 A 的对应点 C 的坐标是 _____________________.  (-1,2) 或 (1,-2) 【 明 · 技法 】 根据关于原点的位似变化求点的坐标的要点 (1) 先明确已知点的坐标及相似比 . (2) 区分原图形与位似图形是同侧还是异侧 . (3) 分别把横、纵坐标与相似比 ( 或相似比的相反数 ) 相乘 . 【 题组过关 】 1.(2019· 河池中考 ) 如图 , 以点 O 为位似中心 , 将△ OAB 放大后得到△ OCD,OA=2,AC=3, 则 =___.  2.(2019· 巴中中考 )△ABC 在边长为 1 的正方形网格中如图所示 . 世纪金榜导学号 (1) 以点 C 为位似中心 , 作出△ ABC 的位似图形△ A 1 B 1 C, 使其位似比为 1∶2. 且△ A 1 B 1 C 位于点 C 的异侧 , 并表示出 A 1 的坐标 . (2) 作出△ ABC 绕点 C 顺时针旋转 90° 后的图形△ A 2 B 2 C. (3) 在 (2) 的条件下求出点 B 经过的路径长 . 略