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- 2021-11-10 发布
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1
第六讲 转化—可化为一元二次方程的方程
数学(家)特有的思维方式是什么?若从量的方面考虑,通常运用符号进行形式化抽象,
在一个概念和公理体系内实施推理计算,若从“转化”这个侧面又该如何回答?匈牙利女数
学家路莎·彼得在《无穷的玩艺》一书中写道:“作为数学家的思维来说是很典型的,他们
往往不对问题进行正面攻击,而是不断地将它变形,直至把它转化为已经能够解决的问题.”
转化与化归是解分式方程和高次方程(次数高于二次的整式方程)的基本思想.解分式方
程,通过去分母和换元;解高次方程,利用因式分解和换元,转化为一元二次方程或一元一
次方程去求解.
【例题求解】
【例 1】 若 05
152
852 2
2
xx
xx ,则 152 2 xx 的值为 .
思路点拨 视 xx 52 2 为整体,令 yxx 52 2 ,用换元法求出 y 即可.
【例 2】 若方程 xxp 2 有两个不相等的实数根,则实数 p 的取值范围是( )
A. 1p B. 0p C. 01 p D. 01 p
思路点拨 通过平方有理化,将无理方程根的个数讨论转化为一元二次方程实根个数的讨
论,但需注意注 02 xxp 的隐含制约.
注:转化与化归是一种重要的数学思想,在数学学习与解数学题中,我们常常用到下列不同
途径的转化:实际问题转化大为数学问题,数与形的转化,常量与变量的转化,一般与特殊
的转化等.
解下列方程:
(1)
12
11
93
4
822
3
2
2
2
2
xx
xx
xx
xx ;
(2) 1)1998()1999( 33 xx ;
(3) 42)1
13(1
13 2
x
xxx
xx .
2
按照常规思路求解繁难,应恰当转化,对于(1),利用倒数关系换元;对于(2),从
1)1998()1999( xx 受到启示;对于(3),设
1
13
x
xy ,则可导出 yx 、 xy 的结果.
注:换元是建立在观察基础上的,换元不拘泥于一元代换,可根据问题的特点,进行多元代
换.
【例 4】 若关于 x 的方程
x
kx
xx
x
x
k 1
1
2
2
只有一个解(相等的解也算作一个),试求 k 的
值与方程的解.
思路点拨 先将分式方程转化为整式方程,把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨
论,“只有一个解”内涵丰富,在全面分析的基础上求出 k 的值.
注:分式方程转化为整式方程不一定是等价转化,有可能产生增根,分式方程只有一个解,
可能足转化后所得的整式方程只有一个解,也可能是转化后的整式方程有两个解,而其中一
个是原方程的增根,故分式方程的解的讨论,要运用判别式、增根等知识全面分析.
【例 5】 已知关于 x 的方程 655)( 2 x
axx
ax 有两个根相等,求 a 的值.
思路点拨 通过换元可得到两个关于 x 的含参数 a 的一元二次方程,利用判别式求出 的
值.
注:运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨,是近年中考、竞赛中一类
新题型,尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础,但对转换能力、思维周密提出了较高
要求.
学历训练
1.若关于 的方程 011
1
x
ax 有增根,则 的值为 ;若关于 的方程 12
2
x
ax 曾
3
=一 1 的解为正数,则 a 的取值范围是 .
2.解方程
12
1
)10)(9(
1
)2)(1(
1
)1(
1
)1(
1 xxxxxxxx
得 .
3.已知方程 mxmx 2
123 有一个根是 2,则 m = .
4.方程 9
73
33 2
2
xx
xx 的全体实数根的积为( )
A.60 B.一 60 C.10 D.一 10
5.解关于 x 的方程
111 2
x
x
x
k
x
x 不会产生增根,则是的值是( )
A.2 B.1 C.不为 2 或一 2 D.无法确定
6.已知实数 满足 011
2
2 xx
x
x ,那么
xx 1 的值为( )
A.1 或一 2 B.一 1 或 2 C.1 D.一 2
7.(1)如表,方程 1、方程 2、方程 3、……,是按照一定规律排列的一列方程,解方程 1,
并将它的解填在表中的空格处;
(2)若方程 11 bxx
a ( ba )的解是 1x =6, 2x =10,求 a 、b 的值.该方程是不是(1)中所
给的一列方程中的一个方程?如果是,它是第几个方程?
(3)请写出这列方程中的第 n 个方程和它的解,并验证所写出的解适合第 n 个方程.
序号 方 程 方程的解
1 12
16 xx = =
2 13
18 xx =4 =6
3 14
110 xx =5 =8
… … … …
8.解下列方程:
(1)
6
19
1
22
1
1
2
2
2
2
xx
xx
x
xx ;
(2) 0
813
1
82
1
811
1
222
xxxxxx
;
(3) 120)4)(3)(2)(1( xxxx ;
(4) 1)1(3)1(2 2
2 xx
x
x .
9.已知关于 的方程 0
22
12 2
2
2
mxx
mxx ,其中 m 为实数,当 m 为何值时,方程恰有
三个互不相等的实数根?求出这三个实数根.
4
10.方程 2
2 2121 xx
xx 的解是 .
11.解方程
21
4
127
1
65
1
23
11
2222
xxxxxxxx
得 .
12.方程
8
7
3
2
9
8
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x 的解是 .
13.若关于 x 的方程 03
1
2
1 4 22 xxa 恰有两个不同的实数解,则实数 a 的取值范围
是 .
14.解下列方程:
(1) 6)1)(43()76( 2 xxx ;
(2) 222222 )243()672()43( xxxxxx ;
(3) 3)1( 22 x
xx ;
(4)
3
10
2
21 x
x
x
.
15.当 a 取何值时,方程
2
2
1
2
2
1
2
xx
ax
x
x
x
x 有负数解?
16.已知 01585 234 xxxx ,求
xx 1 的值.
17.已知:如图,四边形 ABCD 为菱形,AF⊥上 AD 交 BD 于 E 点,交 BC 于点 F.
(1)求证:AD2= 2
1 DE×DB;
(2) 过点 E 作 EG ⊥ AE 交 AB 于点 G , 若 线 段 BE 、 DE(BE0)的两个根,且菱形 ABCD 的面积为 36 ,求 EG 的长.
5
参考答案
6
7