人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数优质课件章节全套 218页

人教版九年级数学下册精 编版课件 第二十八章 锐角三角函数 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 目 录 使用说明：点击对应课时，就会跳转到相应章节内容，方便使用。 28.1 锐角三角函数 28.2.1 解直角三角形 28.2.2 应用举例 RJ· 数学 28.1 锐角 三角函数 第一课时 第二课时 第三课时 第四课时 人教版 数学 九 年级 下册 正弦 第一课时 返回 鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现， 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11 ° 左 右时，人脚的感觉最舒适，假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米，请问鞋跟在几厘米高度为最佳？ 11 ˚ 导入新知 1. 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的 比值都固定 （即 正弦值 不变）这一事实 . 2. 理解锐角 正弦的概念 ，掌握 正弦 的表示方法 . 素养目标 3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的 正弦值 ，并且 能利用正弦求直角三角形的边长 . 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30° ，为使出水口的高度为 35m ，那么需要准备多长的水管？ 分析： 这个问题可以归结为，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90° ，∠ A ＝ 30° ， BC ＝ 35m ，求 AB 根据“在直角三角形中， 30° 角所对的边等于斜边的一半”，即 可得 AB ＝ 2 BC ＝ 70m ，也就是说，需要准备 70m 长的水管． A B C 探究新知 知识点 1 正弦的定义 解： B A C 30° 35m 【 思考 】 在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m ，那么需要准备多长的水管？ A B C 50m 35m B ' C ' AB' ＝ 2 B'C' ＝ 2×50 ＝ 100 ( m ) 探究新知 在一个直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么不管三角形的大小如何，这个角的 对边与斜边的比值 都等于 . 在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，由于∠ A ＝ 45° ，所以 Rt△ ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 : 因此 在直角三角形中，当一个锐角等于 45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图，任意画一个 Rt△ ABC ，使∠ C ＝ 90° ，∠ A ＝ 45° ，计算∠ A 的对边与斜边的比 ， 你能得出什么结论？ A B C 探究新知 探究新知 归纳总结 综上可知，在一个 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，当∠ A ＝ 30° 时，∠ A 的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠ A ＝ 45° 时，∠ A 的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值 . 【 思考 】 一般地，当∠ A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究新知 A B C A' B' C' 任意画 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' ，使得∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A ' ＝ α ，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 探究新知 因为 ∠ C ＝∠ C' ＝ 90° ，∠ A ＝∠ A' ＝ α ， 所以 Rt△ ABC ∽Rt△ A'B'C' . 因此 在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的 对边 与 斜边 的比都是一个 固定值 ． 探究新知 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正弦 ，记作 sin A 即 例如，当 ∠ A ＝ 30° 时，我们有 当∠ A ＝ 45° 时，我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳： 探究新知 ∠A 的对边 斜边 sin A = 注意 sin A 是一个完整的符号，它表示 ∠ A 的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sin A 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中 ∠ A 的对边与斜边的比； sin A 不表示“ sin ” 乘以“ A ” . 探究新知 例 1 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ，求 sin A 和 sin B 的值． 解： （ 1 ） 在 Rt△ ABC 中 ， 因此 （ 2 ） 在 Rt△ ABC 中 ， 因此 探究新知 素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 （ 1 ） A B C 13 5 （ 2 ） 求 sin A 就是要确定∠ A 的 对边与斜边的比 ；求 sin B 就是要确定∠ B 的 对边与斜边的比 1. 判断对错 : A 10m 6m B C ( 1 ) （ ） ( 2 ) （ ） ( 3 ) sin A= 0.6m （ ） ( 4 ) sin B= 0.8 （ ） √ √ × × sin A 是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2 ) 如图② ， （ ） × 巩固练习 A B C 1 ) 如图① 图 ① 图② 2. 在 Rt△ ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍 ，sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 巩固练习 例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P ( 3 ， 4 ) ，连接 OP ，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值 . 解： 如图，设点 A ( 3 ， 0 ) ，连接 PA . A (3 ， 0) 在 Rt △ APO 中，由勾股定理得 因此 α 探究新知 素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 探究新知 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的 正弦函数值 ，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线， 构造直角三角形 ，再结合勾股定理求解 . 3. 在平面直角坐标系中 , 已知点 A ( 3 , 0 ) 和 B ( 0 , -4 ) , 则 sin∠ OAB 等于 ____ 3 4 5 巩固练习 例 3 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90 °， ， BC = 3 ，求 sin B 及 Rt △ ABC 的面积 . A B C 提示： 已知 sin A 及 ∠ A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长 . 然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sin B 及 Rt △ ABC 的面积 . 素养考点 3 探究新知 利用正弦求直角三角形的边长 ∴ AB = 3 BC =3 × 3=9. ∴ ∴ ∴ 探究新知 A B C 解： ∵ 在 Rt △ ABC 中， ∴ 在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90 °， sin A = k ， sin B = h ， AB = c ，则 BC = ck ， AC = ch . 在 Rt △ ABC 中， ∠ C = 90 °， sin A = k ， sin B = h ， BC = a ，则 归纳： 探究新知 A B C ， . 8 巩固练习 4. 如图：在 Rt△ ABC 中， ∠C= 90°， AB= 10， ， BC 的长是 ． A Ｃ B 例 4 在 △ ABC 中，∠ C =90°， AC =24cm， ，求这个三角形的周长． 解： 设 BC =7 x ，则 AB =25 x ，在 Rt △ ABC 中，由勾股定理得 即 24 x = 24cm ，解得 x = 1 cm. 故 BC = 7 x = 7 cm ， AB = 25 x = 25 cm . 所以 △ ABC 的周长为 AB + BC + AC = 7+24+25 = 56 ( cm ) . 探究新知 素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段 5 . 如图 , 在 Rt△ ABC 中 , ∠C= 90°, , AC= 12 . 求 sin B 的值 . 5 13 解 : 在 Rt △ ABC 中 , 设 AB= 13 x ， BC= 5 x , 由勾股定理得 ： ( 5 x ) 2 +12 2 = ( 13 x ) 2 A B C 12 巩固练习 解得 x= 1. 所以 AB= 13 ， BC= 5 因此 1. （ 2018• 柳州）如图 ， 在 Rt△ ABC 中 ，∠C=90°， BC =4， AC =3， 则 sin B = （ 　　 ） A． B． C． D． 巩固练习 连接中考 A A B C 2. （2018•德州）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ ABC 的顶点都在格点上，则∠ BAC 的正弦值是 _______ ． 连接中考 巩固练习 1. 如图，已知点 P 的坐标是 ( a ， b ) ，则 sin α 等于 ( ) O x y P ( a ， b ) α A. B. C. D. D 课堂检测 基础巩固题 2. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大 2 倍，则 锐角 A 的正弦值 （ ） A. 扩大 2 倍 B. 不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 课堂检测 基础巩固题 D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 课堂检测 3. 在 Rt △ ABC 中， ∠C= 90 °， ， BC= 6 ，则 AB 的长为 （ ） 4. 在△ ABC 中， ∠C= 90° ，如果 ， AB= 6， 那么 BC = _____. 基础巩固题 5 . 如图，在正方形网格中有 △ ABC ，则 sin∠ ABC 的值为 . 课堂检测 解析： ∵ ， ， ， ∴ ∴ AB 2 ＝ BC 2 ＋ AC 2 ， ∴ ∠ ACB ＝90°， 基础巩固题 如图，在 △ ABC 中， AB = BC = 5 ， ，求 △ ABC 的面积 . D 5 5 C B A 解： 作 BD ⊥ AC 于点 D ， ∴ 又 ∵ △ ABC 为等腰三角形 ， BD ⊥ AC ， ∴ AC =2 AD =6 ， ∴ S △ ABC = AC × BD ÷ 2= 12 . 课堂检测 能力提升题 ∵ ， 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值 。 　　 如图 , ∠ C =90° ， CD ⊥ AB . sin B 可以由哪两条线段之比得到 ? 若 AC =5 , CD =3 , 求 sin B 的值 . ┌ A C B D 解 : ∵∠ B =∠ ACD ∴ sin B = sin∠ ACD 在 Rt△ ACD 中， 课堂检测 拓广探索题 ∴ ∴ 正弦函数 正弦函数的 概念 正弦函数的 应用 已知边长求 正弦值 已知正弦值求 边长 ∠ A 的对边 斜边 sin A = 课堂小结 余弦和正切 第二课时 返回 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C =90°. A C B 对边 a 邻边 b 斜边 c 当∠ A 确定时，∠ A 的对边与斜边的比就确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？ 导入新知 2. 能灵活运用 锐角三角函数 进行相关运算 . 1. 通过类比正弦函数，理解 余弦函数 、 正切函数 的定义， 进而得到锐角三角函数的概念 . 素养目标 3. 通过 锐角三角函数 的学习，培养学生 类比 学习的能力 . 如图， △ ABC 和 △ DEF 都是直角三角形， 其中∠ A =∠ D ，∠ C =∠ F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 探究新知 知识点 1 余弦的定义 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠ A= ∠ D ，∠ C= ∠ F= 90° ， ∴ ∠ B= ∠ E ， 从而 sin B = sin E ， 因此 A B C D E F 探究新知 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的 余弦 ，记作 cos A ，即 归纳： A B C 斜边 c 邻边 b 探究新知 ∠A 的邻边 斜边 cos A = 探究新知 归纳总结 从上述探究和证明过程，可以得到互余两角的三角函数之间的关系： 对于任意锐角 α ，有 cos α = sin ( 90°－ α ) , 或 sin α = cos ( 90°－ α ) . 1. sin A 、 cos A 是在 直角三角形 中定义的，∠ A 是 锐角 ( 注意 数形结合 ，构造直角三角形 ) . 2. sin A 、 cos A 是一个 比值 （ 数值 ） . 3. sin A 、 cos A 的大小只与 ∠ A 的大小 有关，而与 直角三角形的边长 无关 . 如图：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 正弦 余弦 探究新知 注意： A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a 1 ． Rt△ ABC 中，∠ C =90° ，如果 AB =2 ， BC =1 ，那么 cos B 的值为（ ） A . B . C . D . A 巩固练习 2. Rt△ ABC 中，∠ C =90° ，如果 AC =4 ， BC =3 ， 那么 cos B 的值为 _______ 如图， △ ABC 和 △ DEF 都是直角三角形， 其中∠ A =∠ D ，∠ C =∠ F = 90°，则 成立吗？为什么？ A B C D E F 探究新知 知识点 2 正切的定义 证明： ∵ ∠ C= ∠ F= 90° ， ∠ A= ∠ D ， ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ DEF 探究新知 A B C D E F ∴ 即 当直角三角形的一个锐角的大小确定时，其对边与邻边比值也是 唯 一确定的吗？ 探究新知 A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a 如图：在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， 我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的 正切 ，记作 tan A . 探究新知 在直角三角形中， 当 锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠ A 的对边与邻边的比是一个 固定值 . A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a 1. 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有什么关系？ 【 想一想 】 探究新知 2. 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗？为什么？ 可以大于 1 吗？ 3 ． 在Rt ∆ ABC 中，∠ C ＝90°，如果 那么tan B 的值为（ ） A . B . C . D . D 巩固练习 4. 在Rt ∆ ABC 中，∠ C ＝90°，如果 那么tan A 的值为 _______. 锐角 A 的正弦、余弦、和正切统称 ∠ A 的 锐角三角函数 . sin A = cos A = tan A = 脑中有“ 图 ”，心中有“ 式 ” 探究新知 知识点 3 锐角三角函数的定义 A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a ∠A 的邻边 斜边 ∠A 的对边 斜边 ∠A 的对边 ∠A 的邻边 例 1 如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90 °， AB =10 ， BC =6 ，求 sin A ， cos A ， tan A 的值 . A B C 10 6 解： 由勾股定理得 因此 探究新知 素养考点 1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值 探究新知 方法点拨 已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是：当所涉及的边是已知时，直接利用定义求锐角三角函数值；当所涉及的边未知时，可考虑运用 勾股定理 的知识求得边的长度，然后根据定义求锐角三角函数值． 5 ． Rt△ ABC 中 ， ∠ C 为直角 ， AC= 5 ， BC= 12 ， 那么下列 ∠ A 的四个三角函数中正确的是 ( ) 6 ． 如图： P 是 ∠ α 的边 OA 上一点，且 P 点的坐标为 （ 3 ， 4 ）， 则 cos α ______ ， tan α = ________. B 巩固练习 A. B ． C ． D ． α A A B C 6 又 在直角三角形中，如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其它的所有锐角三角函数值 . 探究新知 素养考点 2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值 例 2 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C = 90° ， BC = 6 ， ，求 cos A 、 tan B 的值． ∴ 解： ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∴ A B C 8 解： ∵ 在 Rt△ ABC 中， ∴ ∴ ∴ 巩固练习 7. 如图，在 Rt△ ABC 中 ，∠ C = 90° ， AC = 8 ， ， 求 sin A ， cos B 的值 ． 1. （2018•广州）如图，旗杆高 AB= 8m ，某一时刻，旗杆影子 长 BC= 16m ，则 tan C = ______ ． 巩固练习 连接中考 A B C 2. （2018•贵阳）如图， A 、 B 、 C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠ BAC 的值为（　　） A． B．1 C ． D． B 巩固练习 连接中考 1. 在Rt△ ABC 中，∠ C = 90°， AC = 12， AB =13. sin A =______，cos A =______，tan A =____， sin B =______，cos B =______，tan B =____. 基础巩固题 课堂检测 2. 如图，△ ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙ O 相切与点 C ，若 BC =4 ， AB =5 ，则 tan A =___. A B C 课堂检测 基础巩固题 3. 已知 ∠ A ， ∠ B 为锐角 ， ( 1 ) 若 ∠ A =∠ B ， 则 cos A cos B ； ( 2 ) 若 tan A = tan B ， 则 ∠ A ∠ B . ( 3 ) 若 tan A · tan B = 1 ， 则 ∠ A 与 ∠ B 的关系为： . = = ∠ A +∠ B = 90 ° 课堂检测 基础巩固题 如图，在 Rt△ ABC 中 ，∠ ACB = 90° ， CD ⊥ AB ， 垂足为 D . 若 AD = 6 ， CD = 8. 求 tan B 的值 . 解 : ∵ ∠ ACB ＝∠ ADC =90° ， ∴∠ B + ∠ A =90° ， ∠ ACD + ∠ A =90° ， ∴ ∠ B = ∠ ACD ， 能力提升题 ∴ 课堂检测 如图，在 △ ABC 中 ， AB = AC =4 ， BC =6. 求 cos B 及 tan B 的值 . 解： 过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D . ∵ AB = AC ， ∴ BD = CD = 3 ， 在 Rt△ ABD 中 , A B C D 提示： 求锐角的三角函数值问题，当图形中没有直角三角形时，可用恰当的方法构造直角三角形 . 拓广探索题 ∴ ∴ 课堂检测 余弦函数和 正切函数 余弦 正切 性质 课堂小结 ∠ A 的邻边 斜边 cos A = ∠ A 的对边 tan A = ∠ A 的邻边 ∠ A 的大小确定的情况下， cos A ， tan A 为定值，与 三角形的大小无关 30° 、 45° 、 60° 角的三角函数值 第三课时 返回 导入新知 还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗？即 ， ，你还能推导出 sin60° 的值及 30° 、 45° 、 60° 角的其它三角函数值吗？ 1. 理解 特殊角的三角函数值 的由来 . 3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用， 根据一个 特殊角的三角函数值 说出这个角 . 素养目标 2. 运用三角函数的知识，自主探索，推导出 30° 、 45° 、 60° 角的三角函数值 . 两块三角尺中有几个不同的 锐角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值？ 设 30° 所对的直角边长为 a ，那么斜边长为 2 a ， 另一条直角边长＝ 30° 60° 45° 45° 30° 探究新知 知识点 1 特殊角（ 30 °、 45 °、 60 °）的三角函数值 ∴ 设两条直角边长为 a ， 则斜边长＝ 60° 45° 探究新知 ∴ ∴ 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 锐角 a 30° 45° 60° sin a cos a tan a 探究新知 三角函数 仔细观察 , 说说你发现这张表有哪些规律 ? 例 1 求下列各式的值： （ 1 ） cos 2 60° ＋ sin 2 60° （ 2 ） 解： （ 1 ） cos 2 60° ＋ sin 2 60° = 1 （ 2 ） =0 探究新知 素养考点 1 特殊角的三角函数值的运算 提示： sin 2 60 ° 表示（ sin60 ° ） 2 这道 例题 的两个式子中包含几种运算？运算顺序是怎样的？ 探究新知 方法点拨 含特殊角三角函数值的计算注意事项： （ 1 ） 熟记 特殊角的锐角三角函数值是关键； （ 2 ）注意运算 顺序和法则 ； （ 3 ）注意特殊角三角函数值的 准确代入 ． 1. 计算： ( 1 ) sin30 ° + cos45 °； 解 ： （ 1 ） 原式 ( 2 ) sin 2 30 ° + cos 2 30 °－ tan45 ° . 巩固练习 （ 2 ）原式 ＝ 1-1 ＝ 0 解： 在 Rt△ ABC 中 A B C ∴ ∠ A = 45 ° . ∵ 探究新知 素养考点 2 利用三角函数值求特殊角 例 2 ( 1 ) 如图，在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90° ， ， ，求 ∠ A 的度数； 解： 在 Rt△ ABO 中 A B O ∴ α = 60 ° . 探究新知 ( 2 ) 如图， AO 是圆锥的高， OB 是底面半径， ，求 α 的度数 . ∵ 2. 在 Rt△ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90° ， 求 ∠ A 、 ∠ B 的度数 ． A B C 解 ： 由勾股定理 ∴ ∠ A =30° ∠B = 90° － ∠ A = 90 ° － 30°= 60° 巩固练习 ∴ 例 3 已知 △ ABC 中的 ∠ A 与 ∠ B 满足 ( 1 － tan A ) 2 ＋ |sin B － | ＝ 0 ，试判断 △ ABC 的形状． ∴ tan A ＝ 1 ， ， ∠ C ＝ 180° － 45° － 60° ＝ 75° ， ∴ △ ABC 是锐角三角形 ． 探究新知 素养考点 3 特殊角的三角函数值的应用 解： ∵ ( 1 － tan A ) 2 ＋ | sin B － | ＝ 0 ， ∴ ∠ A ＝ 45° ， ∠ B ＝ 60° ， 3. 已知： 求 ∠ A ， ∠ B 的度数。 解： 巩固练习 即 ∴ ∴ ∵ 连接中考 巩固练习 A 1. （2018•大庆）2cos60°=（ 　 ） A．1 B． C． D． 2. （201 9 •大庆） 计算：（ 2 019 -π ） 0 ＋ － sin60 ° 解： 原式＝ 1 ＋ － 1 － ＝ 1 ． 下列各式中不正确的是 （ ） A． B．sin30°+cos30°=1 C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45° 2 ． 计算 2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ） A．2 B． C． -1 D．1 B D 课堂检测 基础巩固题 sin 2 60 ° +cos 2 60 ° =1 3. 求满足下列条件的锐角 α . ( 1 ) 2sin α － = 0 ； ( 2 ) tan α － 1 = 0. ∴ ∠ α = 60 ° . ( 2 ) tan α =1 ， 课堂检测 解： ( 1 ) ， ∴ ∠ α = 45 ° . 基础巩固题 4 ． 在 △ ABC 中， ∠A、∠B 都是锐角，且 ， ，则△ ABC 的形状是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 B 课堂检测 5. 在 △ ABC 中，若 ， 则∠ C = . 120° 基础巩固题 6 . 求下列各式的值： ( 1 ) 1 － 2 sin30°cos30° ； ( 2 ) 3tan30° － tan45°+2sin60° ； ( 3 ) ； ( 4 ) 答案： ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 4 ) 课堂检测 基础巩固题 已知 α 为锐角，且 tan α 是方程 x 2 + 2 x －3 = 0 的一 个根，求 2 sin 2 α + cos 2 α － tan ( α +15° ) 的值． 解： 解方程 x 2 + 2 x － 3 = 0，得 x 1 = 1， x 2 = －3 . ∵ tan α ＞0，∴ tan α =1 ，∴ α = 45° . ∴ 2 sin 2 α + cos 2 α － tan ( α +15° ) = 2 sin 2 45°+cos 2 45°－ tan60° 能力提升题 课堂检测 如图，在 △ ABC 中 ， AD ⊥ BC ， M 为 AB 的中点 ， ∠ B =30° ， . 求 tan∠ BCM . E M D C B A 解： 过点 M 作 ME ⊥ BC 于点 E 课堂检测 拓广探索题 ∴ CD=AD , 又∵ M 是 AB 的中点 ∴ BE=DE ， AD= 2 ME. 又 ∵∠ B =30 °， ∵ AD ⊥ BC ， ∴ ∴ ∴ 30 °、 45 °、 60 °角 的三角函数值 通过 三角函数值 求角度 特殊角的三角函数值 课堂小结 用计算器求锐角三角函数值 第四课时 返回 锐角 a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 填写下表： 导入新知 前面我们学习了 特殊角 30° ， 45° ， 60° 的三角函数值 , 一些 非特殊角 ( 如 17° ， 56° ， 89° 等 ) 的三角函数值又怎么求呢 ? 这一节课我们就学习 借助计算器 来完成这个任务 . 导入新知 1. 会使用科学计算器求 锐角的三角函数值 . 2. 会根据锐角的三角函数值，借助科学计算器求 锐角的大小 . 素养目标 3. 熟练运用 计算器 解决锐角三角函数中的问题 . 例如 ( 1 ) 用计算器求 sin18° 的值； 解： 第一步：按计算器 键； sin 第二步：输入角度值 18 ； 屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994. 不同计算器操作的步骤可能不同！ 知识点 1 利用计算器求三角函数值、角的度数 探究新知 ( 2 ) 用计算器 求 tan30°36′ 的值 ； 解： 方法①： 第二步：输入角度值 30.6 ( 因为 30°36′ = 30.6° ) ； 屏幕显示答案： 0.591 398 351. 第一步：按计算器 键； tan 探究新知 屏幕显示答案： 0.591 398 351. 方法②： 第一步：按计算器 键； tan 探究新知 第二步：输入角度值 30 ，分值 36 ( 使用 键 ) ； ° ′ ″ ( 3 ) 已知 sin A = 0.501 8 ，用计算器求锐角 ∠ A 的度 数 . 第二步：输入函数值 0. 501 8 ； 屏幕显示答案： 30.119 158 67° ( 按实际需要进行 精确 ). 解： 第一步：依次按计算器 键； 2nd F sin 还可以利用 键，进一步得到 ∠ A = 30°07′08.97 ″ ( 这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果 为 30°7′ ，精确到 1″ 的结果为 0°7′9″ ) . 2nd F ° ′ ″ 探究新知 1. 用计算器求下列各式的值 ( 精确到 0.0001 ) ： ( 1 ) sin47° ； ( 2 ) sin12°30′ ； ( 3 ) cos25°18′ ； ( 4 ) sin18° ＋ cos55° － tan59°. 答案： ( 1 ) 0.7314 ( 2 ) 0.2164 ( 3 ) 0.9041 ( 4 ) － 0.7817 巩固练习 2 . 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角 ∠ A ， ∠ B 的度数 (结果精确到 0.1° ) ： ( 1 ) sin A ＝0.7，sin B ＝0.01 ； ( 2 ) cos A ＝0.15，cos B ＝0.8 ； ( 3 ) tan A ＝2.4，tan B ＝0.5. 答案 ： ( 1 ) ∠ A ≈ 44.4°；∠ B ≈ 0.6°. ( 2 ) ∠ A ≈ 81.4°；∠ B ≈ 36.9°. ( 3 ) ∠ A ≈ 67.4°；∠ B ≈ 26.6°. 巩固练习 （ 1 ）通过计算 (可用计算器)，比较下列各组数的大小，并提出你的猜想： ① sin30°____2sin15°cos15°； ② sin3 8 °____2sin1 9 °cos1 9 °； ③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°； ④ sin60°____2sin30°cos30°； ⑤ sin8 4 °____2sin4 2 °cos4 2 °. 猜想： 已知 0°＜ α ＜45°， 则 sin2 α ___2sin α cos α . = 探究新知 知识点 2 利用计算器探索三角函数的性质 = = = = = ( 2 ) 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ＝1，∠ BAC ＝2 α ， 请利用面积方法验证 ( 1 ) 中的结论． 证明： ∵ S △ ABC = AB · sin2 α · AC = sin2 α ， S △ ABC = ×2 AB sin α · AC cos α = sin α · cos α ， ∴sin2 α ＝2sin α cos α . 探究新知 2 α （ 1 ） sin35°= ， cos35°= ， sin 2 35°= ， cos 2 35°= ； 猜想： 已知 0°＜ α ＜ 90 °， 则 sin 2 α + cos 2 α = . 0.3420 0.5735 0.9397 0.1170 0.8830 0.8192 0.3290 0.6710 3. 利用计算器求值，并提出你的猜想： 1 巩固练习 （ 2 ） sin20°= ， cos20°= ， sin 2 20°= ， cos 2 20°= ； 4. 已知 ： sin 2 54 °+ cos 2 α =1， 则锐角 α = . 　 54 ° 5. 用计算器比较大小 ： 20sin87° tan87°. ＞ 巩固练习 sin20° cos20° ， sin 2 20° cos 2 20° ； sin35° cos35°. ＜ ＜ ＜ （2018•淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是 （　　） A． B． C． D． 巩固练习 连接中考 A 1. 下列式子中，不成立的是 ( ) A．sin35°= cos55° B．sin 25 °+ sin4 0 °= sin 6 5° C． cos 47 ° = sin43° D．sin 2 18 °+ cos 2 18 °=1 B 课堂检测 基础巩固题 2. 用计算器求sin24°37′18″的值，以下按键顺序正确的是 （ ） A． B． C． D． A sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F sin 2 4 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F 课堂检测 基础巩固题 ( 1 ) sin40 ° ≈ ( 精确到 0.0001 ) ； ( 2 ) tan63 ° 27′ ≈ ( 精确到 0.0001 ) ； ( 3 ) co s18 ° 59′27″ ≈ ( 精确到 0.0001 ) ； ( 4 ) 若 sin α = 0.5225 ， 则 α ≈ ( 精确到 0.1° ) ； ( 5 ) 若 co s α = 0.3145 ， 则 α ≈ ( 精确到 0.1° ) . 0.6428 2.0013 31.5° 3. 利用计算器求值： 71.7° 课堂检测 0.9452 基础巩固题 如图，在 Rt△ AB C 中，∠ C =90°，请验证 sin 2 α + cos 2 α = 1 的结论 . 证明： 在 Rt△ ABC 中， a 2 + b 2 = c 2 ， b A B C a c α ∴ 课堂检测 能力提升题 在 Rt△ ABC 中，∠ C = 90°， ∠ BAC = 42°24′， ∠ A 的 平分线 AT = 14.7cm，用计算器求 AC 的长 ( 精确到0.001 ) . 解： ∵ AT 平分∠ BAC ，且 ∠ BAC = 42°24′， 在 Rt△ ACT 中 , ， ∴ AC = AT · cos∠ CAT = 14.7×cos21°12′ ≈ 13.705 ( cm ) . 课堂检测 拓广探索题 A B C T ∴ . 用计算器求锐角三角函数值及锐角 课堂小结 用计算器求锐角的 三角函数值或角的度数 注意：不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器 探索 锐角三角函数的性质 28.2 解直角三角形及其应用 人教版 数学 九 年级 下册 28.2.1 解直角三角形 导入新知 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤ α ≤75° . 现有一个长 6m 的梯子，问： （ 1 ）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到 0.1m ）？ （ 2 ）当梯子底端距离墙面 2.4m 时，梯子与地面所成的角 α 等于多少（精确到 1 ° ）？这时人能够安全使用这个梯子吗？ 1. 了解解直角三角形的 意义和条件 . 2. 理解 直角三角形 中的五个元素之间的联系 . 素养目标 3. 能根据直角三角形中除直角以外的 两个元素 （ 至少有一个是边 ），解直角三角形 . 利用计算器可得 . 根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角． 你愿意试着计算一下吗？ 如图，设塔顶中心点为 B ，塔身中心线与垂直中心线的夹角 为∠ A ，过 B 点向垂直中心线引垂线，垂足为点 C ，在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， BC ＝ 5.2m ， AB ＝ 54.5m . A B C 将上述问题推广到一般情形，就是：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数 . 探究新知 知识点 1 解直角三角形的概念 在直角三角形中知道几个条件可以求解呢？ 在 Rt△ ABC 中 , 不能 不能 一角 一角一边 A B C 两角 （ 2 ）根据 ∠ A =60°,∠ B =30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗 ? （ 1 ）根据 ∠ A = 60° ，你能求出这个三角形的其他元素吗 ? （ 3 ）根据 ∠ A = 60° , 斜边 AB =4 , 你能求出这个三角形的其他元素吗 ? ∠ B AC BC 两边 ∠ A ∠ B AB 探究新知 （ 4 ）根据 ， AC = 2 ， 你能求出这个三角形的 其他元素吗？ 你发现了什么？ 在 Rt△ ABC 中 , 在直角三角形的六个元素中 , 除直角外 , 如果知道 两 个元素 , ( 其中至少有 一个是边 ), 就可以求出其余三个元素 . 我发现了： 一角一边 两边 两角 不能求其它元素 一角 能求其它元素 探究新知 归纳总结 解直角三角形的 依据 ： Ａ Ｃ Ｂ a b c a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 （勾股定理）； ( 1 ) 三边之间的关系 : ( 2 ) 锐角之间的关系 : ∠ A ＋ ∠ B ＝ 90º ； ( 3 ) 边角之间的关系 : 探究新知 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作 解直角三角形 . 探究新知 归纳总结 解直角三角形的 原则 ： ( 1 ) 有斜 （斜边） 用弦 （正弦、余弦）， 无斜 （斜边） 用切 （正切）； ( 2 ) 宁乘勿除 ：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法计算； ( 3 ) 取原避中 ：若能用原始数据计算，应避免使用中间数据求解 . 如图，在 Rt△ ABC 中， 根据 AC ＝ 2.4 ，斜边 AB ＝ 6 ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 2.4 探究新知 知识点 2 知道两边解直角三角形 A B C 例 1 如图，在Rt△ ABC 中，∠ C = 90°， ， ，解这个直角三角形. 探究新知 素养考点 1 已知两边解直角三角形 解： ∵ ∴ 1. 在 Rt△ ABC 中，∠ C ＝ 90° ， a = 30 , b = 20, 解这个直角三角形 . 解： 根据勾股定理 A B C b= 20 a= 30 c 巩固练习 ∵ ∴ 如图，在 Rt△ ABC 中，根据 ∠ A ＝ 75° ，斜边 AB ＝ 6 ，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？ A B C 6 75 ° 探究新知 知识点 3 已知一边和一锐角解直角三角形 例 2 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C ＝90° ， ∠ B ＝ 35 °， b =20 ， 解这个直角三角形 ( 结果保留小数点后一位 ). A B C b 20 c a 35 ° 解 ： 探究新知 素养考点 1 已知一边和一锐角解直角三角形 2. 在 Rt△ ABC ,∠ C =90°, ∠ A =45°, c =4 解这个直角三角形 . C B A 45° c= 4 解： ∵ ∠ A =45° ∴ ∠ B =90° — ∠ A =45°, a b 巩固练习 ∵ ∴ ∵ ∴ 也可以： ∵ ∠A= ∠B= 45° ∴ b=a= 解 ： 过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D . 在 △ AC D 中， ∠ C =45° ， AC = 2 ， ∴ CD = AD = AC · sin C = 2sin45°= . 在 △ A BD 中， ∠ B =30° ， 3. 如图，在 △ ABC 中， ∠ B =30° ，∠ C =45° ， AC = 2 ， 求 BC . D A B C 巩固练习 ∴ ∴ 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90° ， ， BC = 5 ， 试求 AB 的长 . A C B 设 在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解 . 探究新知 已知一边和三角函数值解直角三角形 知识点 4 ∴ ∵ 解： ∵ ∴ ∴ （舍去） ∴ AB 的长为 4. 在 Rt△ ABC 中， ∠ C =90°，sin A = 0.8 ， BC = 8 ， 则 A C 的值为 ( ) A．4 B．6 C．8 D．10 B 5. 如图，在菱形 ABCD 中， AE ⊥ BC 于点 E ， EC =4， ， 则菱形的周长是 ( ) A．10 B．20 C．40 D．28 C 巩固练习 （2018• 自贡）如图，在 △ ABC 中 ， BC =12， ， B =30°； 求 AC 和 AB 的长 ． 巩固练习 连接中考 解： 如图作 CH ⊥ AB 于 H ． 在 Rt △ BCH 中 ，∵ BC =12，∠ B =30°， H ∴ ， ， ∴ ， ∴ AH =8， 在Rt△ ACH 中， ， ∴ . 1. 在下列直角三角形中不能求解的是（ ） A. 已知一直角边一锐角 B. 已知一斜边一锐角 C. 已知两边 D. 已知两角 D 课堂检测 基础巩固题 2. 在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90 °， ∠ B =37 °， BC =32 ， 则 AC =______ ( 参考数据： sin37 ° ≈0.60 ， cos37 ° ≈0.80 ， tan37 ° ≈0.75 ) . 3. 如图，已知 Rt△ ABC 中，斜边 BC 上的高 AD =3， 则 AC 的长为 . 24 3. 7 5 课堂检测 基础巩固题 4. 在 Rt△ ABC 中 ，∠ C ＝ 90° ， ∠ B ＝ 72° ， c = 14. 根据条件解直角三角形 . A B C b a c= 14 课堂检测 ∵ 解： ∵ ∴ ∴ 基础巩固题 如图，已知 AC = 4 ，求 AB 和 BC 的长． 能力提升题 分析： 作 CD ⊥ AB 于点 D ，根据三角函数的定义，在Rt△ ACD ，Rt△ CDB 中，即可求出 CD ， AD ， BD 的长，从而求解． 课堂检测 在 Rt△ CDB 中 ，∵∠ DCB =∠ ACB －∠ ACD =45°， D 解： 如图， 作 CD ⊥ AB 于点 D ， 在 Rt△ ACD 中 ，∵∠ A =30°， ∴∠ ACD =90°-∠ A =60°， ∴ BD = CD =2 . 能力提升题 课堂检测 ∴ 如图，在 Rt△ ABC 中， ∠ C ＝90°， AC =6， ∠ BAC 的平分线 ，解这个直角三角形. ∵ AD 平分 ∠ BAC ， D A B C 6 课堂检测 拓广探索题 ∴ ∠ C AD= 30° 解： ∵ ∴ ∴ ∠ C AB= 60° , ∠ B= 30°, 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（ 至少有一个是边 ），就可以求出余下的三个未知元素 . 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 28.2 解直角三角形及其应用 第一课时 第二课时 第三课时 人教版 数学 九 年级 下册 28.2.2 应用举例 解直角三角形的简单应用 第一课时 返回 高跟鞋深受很多女性的喜爱，但有时候，如果鞋跟太高，也有可能 “ 喜剧 ” 变 “ 悲剧 ”. 导入新知 你知道 高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 多少度 时，人脚的感觉最舒适 吗？ 3. 体会数学在解决实际问题中的应用，逐步培养学生 分析问题 、 解决问题 的能力． 1. 巩固 解直角三角形 相关知识 . 素养目标 2. 能从实际问题中构造直角三角形，会把实际问题转化为 解直角三角形 的问题，并能灵活选择三角函数解决问题 . （ 2 ）两锐角之间的关系 （ 3 ）边角之间的关系 （ 1 ）三边之间的关系 A B a b c C 探究新知 知识点 1 利用解直角三角形解答简单的问题 小明去景点游玩，搭乘观光索道缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时，它走过了 300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30 ° ， 你知道缆车垂直上升的距离是多少吗 ? A B A B D 30° 300m 解： BD = AB sin30 ° =150m 探究新知 D A B C 小明乘坐索道缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200m 的点 C ， 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60° ，缆车行进速度为 2m/s ，小明需要多长时间才能到达目的地？ A B D C E 60° 200m 小明 需要 115.5s 才 能到达目的地 . 探究新知 解： 231÷2=115.5 （ s ） 30 ° 例 1 2012 年 6 月 18 日， “ 神舟 ” 九号载人航天飞船与 “ 天宫 ” 一号目标飞行器成功实现交会对接 . “ 神舟 ” 九号与 “ 天宫 ” 一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行 . 如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400km ， π 取 3.142 ， 结果取整数）？ O F P Q FQ 是 ☉ O 的切线， ∠ FQO 为直角 . 最远点 求 的长，要先求 ∠ POQ 的度数 探究新知 素养考点 1 建立直角三角形模型解答简单的问题 解： 设∠ FOQ =α ， FQ 是⊙ O 切线，△ FOQ 是直角三角形． 当 组合体 在 P 点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051km . 探究新知 O F P Q ∴ 的长为 【 讨论 】 从 前面 的例题解答中，你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗？如何进行？ 【 方法点拨 】 一般情况下，直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件，故当题目中提供的并 非直角三角形 时，需添加辅助线 构造直角三角形 ，然后运用三角函数解决问题． 探究新知 小结 探究新知 归纳总结 解直角三角形的应用： ( 1 ) 将实际问题抽象为数学问题 ( 画出平面图形，转化为 解直角三角形 的问题 ) ； ( 2 ) 根据条件的特点，适当选用 锐角三角函数 等知识去解直角三角形； ( 3 ) 得到 数学问题 答案； ( 4 ) 得到 实际问题 答案。 注： 数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解 . 1. 如图，某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于 60° ，否则就有危险，那么梯子的长至少为多少米？ A B C 解： 如图所示，依题意可知 ∠ B = 60° 答： 梯子的长至少 4.62 米 . 巩固练习 例 2 如图，秋千链子的长度为 3m ，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面 0.5m ．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 60° ，则秋千踏板与地面的最大距离为多少？ 0.5m 3m 60° 探究新知 素养考点 2 建立直角三角形模型解答生活问题 0.5m 3m A B C D E 60° 探究新知 分析： 根据题意，可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度 . 因此，本题可抽象为： 已知 DE =0.5m ， AD = AB =3m ， ∠ DAB =60 °，△ ACB 为直角三角形，求 CE 的长度 . 解： ∵∠ CAB =60 °， AD = AB =3m ， 3m A B D E 60° C ∴ AC = AB cos∠ CAB = 1.5m ， ∴ CD = AD － AC = 1.5m ， ∴ CE = AD + DE = 2.0m . 即秋千踏板与地面的最大距离为 2.0m . 探究新知 F E A 2. ( 1 ) 小华去实验楼做实验 , 两幢实验楼的高度 AB = CD =20m ， 两楼间的距离 BC =15m ， 已知太阳光与水平线的夹角为 30° ， 求南楼的影子在北楼上有多高？ 北 A B D C 20m 15m E F 南 解： 过点 E 作 EF ∥ BC ， ∴∠ AFE =90 °， FE=BC =15m. 即南楼的影子在北楼上的高度为 ∴ 巩固练习 ∴ ( 2 ) 小华想：若设计时要求北楼的采光，不受南楼的影响，请问楼间距 BC 至少应为多少米 ? A B 20m ? m 北 D C 南 答案： BC 至少为 巩固练习 （ 2018• 台州）图 1 是一辆吊车的实物图，图 2 是其工作示意图， AC 是可以伸缩的起重臂，其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m ．当起重臂 AC 长度为 9m ，张角 ∠ HAC 为118° 时，求操作平台 C 离地面的高度（结果保留小数点后一位：参考数据： sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53 ） 巩固练习 连接中考 图 1 图 2 巩固练习 连接中考 解： 作 CE ⊥ BD 于 E ， AF ⊥ CE 于 F ，易得四边形 AHEF 为矩形， ∴ EF=AH =3.4m，∠ HAF =90°， ∴∠ CAF =∠ CAH ﹣∠ HAF =118°﹣90°=28°， 在 Rt △ ACF 中，∵ ， ∴ CF =9sin28°=9×0.47=4.23 ， ∴ CE = CF + EF =4.23+3.4≈7.6（m） ， 答： 操作平台 C 离地面的高度为 7.6m ． 图 2 E F 1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A 、 B 的距离，他们设计了如图所示的测量方案： 从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E ，再从 E 沿着垂直于 AE 的方向走到 F ， C 为 AE 上一点，其中 3 位同学分别测得三组数据： ① AC ，∠ ACB ；② EF 、 DE 、 AD ；③ CD ，∠ ACB ，∠ ADB ． 其中能根据所测数据求得 A 、 B 两 树距离的有 ( ) A . 0 组 B . 1 组 C . 2 组 D. 3 组 D 课堂检测 基础巩固题 2. 如图，要测量 B 点到河岸 AD 的距离，在 A 点测得 ∠ BAD =30 ° ，在 C 点测得 ∠ BCD =60 ° ，又测得 AC =100 米，则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( ) B D C A A. 100 米 B . 米 C. 米 D. 50 米 B 课堂检测 基础巩固题 3. 一次台风将一棵大树刮断，经测量，大树刮断一端的 着地点 A 到树根部 C 的距离为 4 米，倒下部分 AB 与地平面 AC 的夹角为 45° ，则这棵大树高是 米. A C B 4 米 45 ° 课堂检测 基础巩固题 · O C B A “欲穷千里目，更上一层楼”是 唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点 1000 里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢 ？ 存在这样的楼房吗(设 代表地面， O 为地球球心， C 是地面上一点， =500km ，地球的半径为 6370 km ， cos4.5 ° = 0.997 )？ 能力提升题 课堂检测 解： 设登到 B 处，视线 BC 在 C 点与地球相切，也就是 看 C 点， AB 就是“楼”的高度， ∴ AB = OB － OA =6389－6370=19(km) . 即这层楼至少要高19km ， 即19000m. 这是不存在的. · O C B A 在Rt△ OCB 中， ∠ O 课堂检测 能力提升题 如图，在电线杆上的 C 处引拉线 CE ， CF 固定电线杆 . 拉线 CE 和地面成 60° 角，在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30° ，已知 A 与地面的距离为 1.5 米，求拉线 CE 的长 . （结果保留根号） G 解： 作 AG ⊥ CD 于点 G ， 则 AG = BD =6 米， DG = AB =1.5 米. ∴ ( 米 ). 拓广探索题 课堂检测 G ∴ CD = CG + DG = ( +1.5 ) ( 米 ) ， ∴ ( 米 ). 课堂检测 拓广探索题 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形 ； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案 . 课堂小结 利用俯角和仰角解直角三角形 第二课时 返回 青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部 A 处测得懒羊羊所在地 B 处的俯角为 60° ,然后下到城堡的 C 处,测得 B 处的俯角为 30° .已知 AC =40 m ,若灰太狼以 5 m/s 的速度从城堡底部 D 处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动) 导入新知 1. 使学生了解 仰角 、 俯角 的概念，并能够根据直角三角形的知识解决实际问题 . 2. 在解题过程中进一步体会 数形结合 、 转化 、 方程 的数学思想，并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路 . 素养目标 3. 进一步 培养学生 分析问题 、 解决问题 的能力 . 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在测量中，我们把在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做 仰角 ，视线在水平线下方的叫做 俯角 . 探究新知 俯角、仰角问题 知识点 1 巧记“上仰下俯” 例 1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30° ，看这栋楼底部的俯角为 60° ，热气球与楼的水平距离为 120m ，这栋楼有多高 （结果取整数）？ 分析 ： 我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中， α =30°, β =60 ° . 在 Rt△ ABD 中， α =30° ， AD ＝ 120 ， 所以利用解直角三角形的知识求出 BD ；类似地可以求出 CD ，进而求出 BC ． A B C D α β 仰角 水平线 俯角 探究新知 一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 素养考点 1 解： 如图， α = 30°, β = 60 ° ， AD ＝ 120 ． 答： 这栋楼高约为 277m. A B C D α β 探究新知 （ m ） 探究新知 方法点拨 解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义 画出水平线、视线 ， 找准仰角、俯角 ，结合题意，从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形，然后利用 解直角三角形 使问题获解 . 1. 如图，在电线杆上离地面高度5m的 C 点处引两根拉线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成60°角，另一根拉线 BC 和地面成45°角．则两根拉线的总长度为 m ( 结果用带根号的数的形式表示 ) . 巩固练习 例 2 如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点 处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45 ° ，求飞机的高度 . （结果取整数 . 参考数据： sin37°≈0.8，cos37 °≈0.6， tan 37°≈0.75 ） A B 37° 45° 400 米 P 素养考点 2 探究新知 两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 A B O 37° 45° 400 米 P 设 PO = x 米， 在 Rt△ POB 中， ∠ PBO =45° ， 在 Rt△ POA 中 ，∠ PAB =37°， OB = PO = x 米 . 解得 x =1200 . 解： 作 PO ⊥ AB 交 AB 的延长线于 O . 即 故飞机的高度为 1200 米 . 探究新知 2. 如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择 一点 A ，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30° ，在 A 、 C 之间选择一点 B （ A 、 B 、 C 三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75° ，且 AB 间的距离为 40m ． ( 1 ) 求点 B 到 AD 的距离； 答案： 点 B 到 AD 的距离为 20m . E 巩固练习 ( 2 ) 求塔高 CD （结果用根号表示）． 解： 在Rt△ ABE 中， ∵∠ A =30°，∴∠ ABE =60°， ∵∠ DBC =75°，∴∠ EBD =180°－60°－75°=45°， ∴ DE = EB =20m， 则 ( m ) ， 在Rt△ ADC 中，∠ A =30°， 答： 塔高 CD 为 m . ∴ (m). 巩固练习 E α （ 2018 •长春）如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A、B 在同一水平面上）．为了测量 A、B 两地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α ，则 A、B 两地之间的距离为（　　） A . 800sinα 米 B . 800tanα 米 C ． 米 D ． 米 连接中考 巩固练习 D 1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处，观测海平面上一艘 小船 B ，并测得它的俯角为 45° ，则船与观测者之间的水平距离 BC =____ 米. 2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30 米，从 A 点测得 D 点的俯角为 30° ，测得 C 点的俯角为 60° ，则建筑物 CD 的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30 ° 60 ° 基础巩固题 课堂检测 3. 为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树 15 米的 E 处， 测得仰角 ∠ ACD =52° ，已知人的高度是 1.72 米，则 树高 ( 精确到 0.1 米） . A D B E C 20.9 米 课堂检测 基础巩固题 4. 如图，小明想测量塔 AB 的高度 . 他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30° ，再往塔的方向前进 50m 至 C 处 . 测得仰角为 60° ，小明的身高 1.5 m . 那么该塔有多高 ?( 结果精确到 1 m ) ，你能帮小明算出该塔有多高吗 ? D ′ A B ′ B D C ′ C 课堂检测 基础巩固题 解： 由题意可知， ∠ AD′B′= 30° ，∠ AC′B′= 60° ， D′C′= 50m . 课堂检测 ∴ D′B′=x· tan60 °， C′B′=x ·tan30 °， ∴ x ·tan60 ° - x ·tan30 ° =50 ， D ′ A B ′ B D C ′ C ∵ ∴ ∠ D′AB′= 60° ， ∠ C′AB′= 30° ， 设 AB′=x m . ∴ ∴ 基础巩固题 建筑物 BC 上有一旗杆 AB ，由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54° ，观察底部 B 的仰角为 45° ，求旗杆的高度（精确到 0.1m ） . A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解： 在等腰 Rt △ BCD 中，∠ ACD =90° ， BC = DC =40m. 在 Rt△ ACD 中 ， ∴ AB = AC － BC =55.2 － 40=15.2 ( m ) . 课堂检测 能力提升题 ∴ AC=DC· tan∠ ADC =tan54 °× 40≈1.38×40=55.2 （ m ) 解： 由题意， AC ＝ AB ＝ 610 （米） . 拓广探索题 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45° ，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39° ．（ tan39 ° ≈0.81 ） ( 1 ) 求大楼与电视塔之间的距离 AC ； 课堂检测 解： DE ＝ AC ＝ 610 （米） ， 在 Rt△ BDE 中 ， . ( 2 ) 求大楼的高度 CD （精确到 1 米） ∴ BE ＝ DE tan39° ． ∵ CD ＝ AE ， ∴ CD ＝ AB － DE ·tan39° ＝ 610 － 610×tan39° ≈116 （米） . 课堂检测 拓广探索题 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角 的概念 运用 解直角三角形 解决仰角、俯角问题 课堂小结 利用方 向 角、坡度解直角三角形 第三课时 返回 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一 ( 如图① ) .喜爱数学的小伟决定用 所学 的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点 B 处利用测角仪测得大观楼最高点 P 的仰角为45°,又前进了12 m到达点 A 处,测得点 P 的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度 ( 测角仪的高度忽略不计,结果保留整数 ) . 导入新知 图② 图① 1. 正确理解 方向角 、 坡度 的概念 . 2. 能运用解直角三角形知识解决 方向角、 坡度 的问题 . 素养目标 3. 能够解决与解直角三角形有关的 实际问题 ,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等 . 方向角的定义： 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角叫做 方向角 。 北偏东 30° 南偏西 45° 30° 45° B O A 东 西 北 南 探究新知 知识点 1 方向角的有关问题 也叫西南方向 探究新知 注意 （ 1 ）因为方向角是 指北或指南方向线与目标方向线所成的角，所以方向角通常都写成“ 北偏 …… ” , “ 南偏 …… ” , 的形式 . （ 2 ）解决实际问题时，可利用正 南、 正北 、 正西 、 正东 方向线构造直角三角形 来求解 . （ 3 ）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的 南北方 向线是互相平行 的，通常借助于此性质进行 角度转换 . 例 1 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？ 65° 34° P B C A 探究新知 有关方向角的实际问题 —— 距离 素养考点 1 解： 如图 ，在 Rt△ APC 中 ， PC = PA ·cos （ 90° － 65° ） =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505 . 在 Rt△ BPC 中， ∠ B =34° ， 因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时， 它距离灯塔 P 大约 130n mile ． 65° 34° P B C A 探究新知 探究新知 归纳总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程 是： （ 1 ）将实际问题 抽象为数学问题 （画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （ 2 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形 ； （ 3 ）得到 数学问题 的答案； （ 4 ）得到 实际问题 的答案． 巩固练习 1. 美丽的东昌湖滨位于江北水城 , 周边景点密布 . 如图所示 ， A 、 B 为湖滨的两个景点 ， C 为湖心一个景点 . 景点 B 在景点 C 的正东 ， 从景点 A 看 ， 景点 B 在北偏东 75° 方向 ， 景点 C 在北偏东 30° 方向 . 一游客自景点 A 驾船以每分钟 20 m 的速度行驶了 10 分钟到达景点 C ， 之后又以同样的速度驶向景点 B ， 该游客从景点 C 到景点 B 需用多长时间 ( 精确到 1 分钟 ) ? 解: 根据题意,得 AC =20×10=200 ( m ) . 如图所示,过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D . 在 Rt △ ADC 中, , DC = AC ·sin ∠ CAD =200·sin 30°=100. 在Rt△ ADB 中, . ∴ . ∴ ( 分) . 例 2 海中有一个小岛 A ，它周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60° 方向上，航行 12 海里到达 C 点，这时测得小岛 A 在北偏东 30° 方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ B A C 60° 素养考点 2 探究新知 有关方向角的实际问题 —— 预测路线 30° 解： 过 A 作 AF ⊥ BC 于点 F ， 则 AF 的长是 A 到 BC 的最短距离 . ∵ BD∥CE∥AF ， ∴∠ DBA= ∠ BAF= 60 °， ∠ ACE= ∠ CAF =30° ， ∴∠ BAC= ∠ BAF － ∠ CAF =60 °－ 30 ° =30 ° . 北 东 A C B 60 ° 30 ° D E F 探究新知 又 ∵∠ ABC =∠ DBF － ∠ DBA = 90 °－ 60 ° =30 ° =∠ BAC ， ∴ BC = AC =12 海里 ， ， 故渔船继续向正东方向行驶， 没有触礁的危险． 北 东 A C B 60 ° 30 ° D E F 探究新知 ∴ ( 海里 ) ， 2. 如图所示， A 、 B 两城市相距 200km . 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 ( 即线段 AB ) ，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心， 100km 为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 ( 参考数据 ： ≈1.732 ， ≈1.414 ) ? 巩固练习 北 东 解： 过点 P 作 PC ⊥ AB 于点 C ． 则 ∠ APC ＝30°，∠ BPC ＝45°， AC ＝ PC ·tan30°， BC ＝ PC ·tan45°. ∵ AC ＋ BC ＝ AB ， ∴ PC · tan30°＋ PC · tan45°＝200， 即 ， 解得 PC ≈126.8km＞100km . 答： 计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区． C 巩固练习 解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝 或山 的高度 h 时， 我们无法直接测量 ， 我们又该如何呢？ h h α α l l 知识点 2 坡度、坡角有关的问题 探究新知 【 思考 】 如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC ，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 探究新知 坡角： 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ，用字母 α 表示。 坡度（坡比）： 坡面的铅直高度 h 和水平距离 l 的比叫做 坡度 ，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成 的形式。 h l 坡度越大 坡角越大 坡面越陡 探究新知 α 水平面 坡面 （ 1 ）斜坡的坡度是 ，则坡角 α =____ 度 . （ 2 ）斜坡的坡角是 45 ° ，则坡比是 _____. （ 3 ）斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是 _______. α l h 30 1 : 1 巩固练习 3. 完成下列各题 例 3 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD ，其中 AD ∥ BC ，α=60°，汛期来临前对其进行了加固，改造 后的背水面坡角β=45°．若原坡长 AB =20m，求改造后 的坡长 AE ． ( 结果保留根号 ) 探究新知 利用坡度、坡角解答大坝问题 素养考点 1 解： 过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F ， 在 Rt△ ABF 中， ∠ ABF =∠ α =60° ， 则 AF = AB ·sin60°= ( m ) ， 在 Rt△ AEF 中，∠ E =∠ β =45° ， 则 ( m ) . 故改造后的坡长 AE 为 m. F 探究新知 4. 如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 ( 横断面为梯形 ABCD ) 急需加固，背水坡的坡角为 45° ，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比 ．求加固后坝底增加的宽度 AF . ( 结果保留根号 ) A B C D E F 45° 巩固练习 A B C D E F 45° G H 解： 作 DG ⊥ AB 于 G ， EH ⊥ AB 于 H ， 则 GH = DE =2 米， EH = DG =10 米 . ( 米 ) ， ( 米 ). 又 ∵ AG = DG =10 米， 故 加固后坝底增加的宽度 AF 为 米 . 巩固练习 ∴ ( 米 ). 例 4 如图，一山坡的坡度为 i =1:2 . 小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240m 到达点 C . 这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到 0.01° ，长度精确到 0.1m ）？ i =1:2 探究新知 素养考点 2 利用坡度、坡角解答山坡问题 在 Rt△ ABC 中 ，∠ B =90° ，∠ A =26.57° ， AC =240m ， 解： 用 α 表示坡角的大小，由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答： 这座山坡的坡角约为 26.57° ，小刚上升了约 107.3 m ． 从而 BC =240×sin26.57°≈107.3 （ m ）． 因此 探究新知 B A C i =1:2 5. 如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2 ，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 3 0 ° ．请求出点 B 和点 C 的水平距离． A C B D 30 ° 答案： 点 B 和点 C 的水平距离为 米. 巩固练习 E 1. （2018•徐州）如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到 0.1m ）参考数据 ： ， 巩固练习 连接中考 连接中考 巩固练习 解： 在Rt△ CDE 中 ，∵ ， ∴ ， ∴ EF = AD = 6m， AF = DE =7m ∵四边形 AFED 是矩形， 答： 该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m． 在 R t△ ABF 中，∵∠ B =45°， ∴ BF = AF =7m， ∴ BC = BF + EF + EC ≈ 7+6+12.12=25.12≈25.1 （ m ） ， 2 . （2018•重庆）如图， AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端 B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C ，再经过一段坡度（或坡比）为 i=1：0.75 、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D ，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E （ A ， B ， C ， D ， E 均在同一平面内）．在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24° ，则建筑物 AB 的高度约为（参考数据： sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45） （　　） A．21.7 米 B．22.4 米 C．27.4 米 D．28.8 米 A 巩固练习 连接中考 1. 如图， C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向， C 岛在 B 岛 的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A ， B 两岛的视角 ∠ ACB 等于 ． 90° 基础巩固题 课堂检测 2 . 如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上，航行半小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30° 方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是（ ） A. 10 分钟 B. 15 分钟 C. 20 分钟 D. 25 分钟 B 课堂检测 基础巩固题 3 . 如图，海上 B 、 C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向，一艘 船从 A 岛出发，以 18 海里/时的速度向正北方向航行 2 小时到达 C 岛，此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43 ° 方向，则 A 、 B 两岛之间的距离为 ． ( 结果精确到 0.1 海里， 参考数据： sin43°=0.68， cos43°=0.73， tan43°=0.93 ) 33.5海里 课堂检测 基础巩固题 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m ，坝高 23m ，斜坡 AB 的坡度 i =1∶3 ，斜坡 CD 的坡度 i =1∶2.5 ，求： ( 1 ) 斜坡 CD 的坡角 α ( 精确到 1° ) ； A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5=0.4 ，由计算器可算得 α ≈22 ° . 故 斜坡 CD 的坡角 α 为 22 ° . 课堂检测 能力提升题 解： 分别过点 B 、 C 作 BE ⊥ AD 于 E ， CF ⊥ AD 于 F ， 由题意可知 BE = CF =23m ， EF = BC =6m. 在 Rt△ ABE 中， ( 2 ) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 ( 精确到 0.1m ). E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 课堂检测 能力提升题 在 Rt△ ABE 中，由勾股定理可得 在 Rt△ DCF 中，同理可得 故坝底 AD 的长度为 132.5m ，斜坡 AB 的长度为 72.7m . ∴ AD=AE+EF+FD= 69+6+57.5=132.5 ( m ) FD =2.5 CF =2.5×23=57.5 ( m ) ， 课堂检测 A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 E F 能力提升题 解： 作 DE ⊥ AB 于 E ， CF ⊥ AB 于 F ， 由题意可知 D E ＝ CF ＝ 4 ( 米 ) ， CD ＝ EF ＝ 12 ( 米 ) ． 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米， 路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30° ，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1 米， ， ).   45° 30° 4 米 12 米 A B C D 在 Rt△ ADE 中， E F 课堂检测 拓广探索题 在 Rt△ BCF 中，同理可得 因此 AB ＝ AE ＋ EF ＋ BF ≈4 ＋ 12 ＋ 6.93≈22.9 ( 米 ) ． 答： 路基下底的宽约为 22.9 米． ( 米 ) . ( 米 ) . 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F 课堂检测 拓广探索题 解直角三角形的应用 坡度问题 方向角 问题 坡角 坡度 ( 或坡比 ) 课堂小结