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  • 2021-11-10 发布

人教版数学九年级下册第28章锐角三角函数优质课件章节全套

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人教版九年级数学下册精 编版课件 第二十八章 锐角三角函数 [ 教育部审定 ] RJ· 数学 目 录 使用说明:点击对应课时,就会跳转到相应章节内容,方便使用。 28.1 锐角三角函数 28.2.1 解直角三角形 28.2.2 应用举例 RJ· 数学 28.1 锐角 三角函数 第一课时 第二课时 第三课时 第四课时 人教版 数学 九 年级 下册 正弦 第一课时 返回 鞋跟多高合适 美国人体工程研究学人员调查发现, 当高跟鞋的鞋底与地面的夹角为11 ° 左 右时,人脚的感觉最舒适,假设某成年人前脚掌到 脚后跟长为15厘米,请问鞋跟在几厘米高度为最佳? 11 ˚ 导入新知 1. 经历当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的 比值都固定 (即 正弦值 不变)这一事实 . 2. 理解锐角 正弦的概念 ,掌握 正弦 的表示方法 . 素养目标 3. 会根据直角三角形的边长求一个锐角的 正弦值 ,并且 能利用正弦求直角三角形的边长 . 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30° ,为使出水口的高度为 35m ,那么需要准备多长的水管? 分析: 这个问题可以归结为,在 Rt△ ABC 中,∠ C =90° ,∠ A = 30° , BC = 35m ,求 AB 根据“在直角三角形中, 30° 角所对的边等于斜边的一半”,即 可得 AB = 2 BC = 70m ,也就是说,需要准备 70m 长的水管. A B C 探究新知 知识点 1 正弦的定义 解: B A C 30° 35m 【 思考 】 在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m ,那么需要准备多长的水管? A B C 50m 35m B ' C ' AB' = 2 B'C' = 2×50 = 100 ( m ) 探究新知 在一个直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么不管三角形的大小如何,这个角的 对边与斜边的比值 都等于 . 在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° ,由于∠ A = 45° ,所以 Rt△ ABC 是等腰直角三角形,由勾股定理得 : 因此 在直角三角形中,当一个锐角等于 45° 时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比都等于 . 如图,任意画一个 Rt△ ABC ,使∠ C = 90° ,∠ A = 45° ,计算∠ A 的对边与斜边的比 , 你能得出什么结论? A B C 探究新知 探究新知 归纳总结 综上可知,在一个 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° ,当∠ A = 30° 时,∠ A 的对边与斜边的比都等于 ,是一个固定值;当∠ A = 45° 时,∠ A 的对边与斜边的比都等于 ,也是一个固定值 . 【 思考 】 一般地,当∠ A 取其他一定度数的锐角时,它的对边与斜边的比是否也是一个固定值? 探究新知 A B C A' B' C' 任意画 Rt△ ABC 和 Rt△ A'B'C' ,使得∠ C =∠ C' = 90° ,∠ A =∠ A ' = α ,那么 与 有什么关系?你能解释一下吗? 探究新知 因为 ∠ C =∠ C' = 90° ,∠ A =∠ A' = α , 所以 Rt△ ABC ∽Rt△ A'B'C' . 因此 在直角三角形中,当锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠ A 的 对边 与 斜边 的比都是一个 固定值 . 探究新知 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° ,我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠ A 的 正弦 ,记作 sin A 即 例如,当 ∠ A = 30° 时,我们有 当∠ A = 45° 时,我们有 A B C c a b 对边 斜边 归纳: 探究新知 ∠A 的对边 斜边 sin A = 注意 sin A 是一个完整的符号,它表示 ∠ A 的正弦,记号里习惯省去角的符号“∠”; sin A 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中 ∠ A 的对边与斜边的比; sin A 不表示“ sin ” 乘以“ A ” . 探究新知 例 1 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° ,求 sin A 和 sin B 的值. 解: ( 1 ) 在 Rt△ ABC 中 , 因此 ( 2 ) 在 Rt△ ABC 中 , 因此 探究新知 素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 ( 1 ) A B C 13 5 ( 2 ) 求 sin A 就是要确定∠ A 的 对边与斜边的比 ;求 sin B 就是要确定∠ B 的 对边与斜边的比 1. 判断对错 : A 10m 6m B C ( 1 ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 3 ) sin A= 0.6m ( ) ( 4 ) sin B= 0.8 ( ) √ √ × × sin A 是一个比值(注意比的顺序),无单位; 2 ) 如图② , ( ) × 巩固练习 A B C 1 ) 如图① 图 ① 图② 2. 在 Rt△ ABC 中,锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍 ,sin A 的值 ( ) A. 扩大 100 倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 巩固练习 例 2 如图,在平面直角坐标系内有一点 P ( 3 , 4 ) ,连接 OP ,求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值 . 解: 如图,设点 A ( 3 , 0 ) ,连接 PA . A (3 , 0) 在 Rt △ APO 中,由勾股定理得 因此 α 探究新知 素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的正弦值 探究新知 方法点拨 结合平面直角坐标系求某角的 正弦函数值 ,一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线, 构造直角三角形 ,再结合勾股定理求解 . 3. 在平面直角坐标系中 , 已知点 A ( 3 , 0 ) 和 B ( 0 , -4 ) , 则 sin∠ OAB 等于 ____ 3 4 5 巩固练习 例 3 如图,在 Rt △ ABC 中, ∠ C =90 °, , BC = 3 ,求 sin B 及 Rt △ ABC 的面积 . A B C 提示: 已知 sin A 及 ∠ A 的对边 BC 的长度,可以求出斜边 AB 的长 . 然后再利用勾股定理,求出 AC 的长度,进而求出 sin B 及 Rt △ ABC 的面积 . 素养考点 3 探究新知 利用正弦求直角三角形的边长 ∴ AB = 3 BC =3 × 3=9. ∴ ∴ ∴ 探究新知 A B C 解: ∵ 在 Rt △ ABC 中, ∴ 在 Rt △ ABC 中, ∠ C = 90 °, sin A = k , sin B = h , AB = c ,则 BC = ck , AC = ch . 在 Rt △ ABC 中, ∠ C = 90 °, sin A = k , sin B = h , BC = a ,则 归纳: 探究新知 A B C , . 8 巩固练习 4. 如图:在 Rt△ ABC 中, ∠C= 90°, AB= 10, , BC 的长是 . A C B 例 4 在 △ ABC 中,∠ C =90°, AC =24cm, ,求这个三角形的周长. 解: 设 BC =7 x ,则 AB =25 x ,在 Rt △ ABC 中,由勾股定理得 即 24 x = 24cm ,解得 x = 1 cm. 故 BC = 7 x = 7 cm , AB = 25 x = 25 cm . 所以 △ ABC 的周长为 AB + BC + AC = 7+24+25 = 56 ( cm ) . 探究新知 素养考点 4 利用方程和正弦求直角三角形中线段 5 . 如图 , 在 Rt△ ABC 中 , ∠C= 90°, , AC= 12 . 求 sin B 的值 . 5 13 解 : 在 Rt △ ABC 中 , 设 AB= 13 x , BC= 5 x , 由勾股定理得 : ( 5 x ) 2 +12 2 = ( 13 x ) 2 A B C 12 巩固练习 解得 x= 1. 所以 AB= 13 , BC= 5 因此 1. ( 2018• 柳州)如图 , 在 Rt△ ABC 中 ,∠C=90°, BC =4, AC =3, 则 sin B = (    ) A. B. C. D. 巩固练习 连接中考 A A B C 2. (2018•德州)如图,在4×4的正方形方格图形中,小正方形的顶点称为格点,△ ABC 的顶点都在格点上,则∠ BAC 的正弦值是 _______ . 连接中考 巩固练习 1. 如图,已知点 P 的坐标是 ( a , b ) ,则 sin α 等于 ( ) O x y P ( a , b ) α A. B. C. D. D 课堂检测 基础巩固题 2. 在直角三角形 ABC 中,若三边长都扩大 2 倍,则 锐角 A 的正弦值 ( ) A. 扩大 2 倍 B. 不变 C. 缩小 D. 无法确定 B 课堂检测 基础巩固题 D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 2 课堂检测 3. 在 Rt △ ABC 中, ∠C= 90 °, , BC= 6 ,则 AB 的长为 ( ) 4. 在△ ABC 中, ∠C= 90° ,如果 , AB= 6, 那么 BC = _____. 基础巩固题 5 . 如图,在正方形网格中有 △ ABC ,则 sin∠ ABC 的值为 . 课堂检测 解析: ∵ , , , ∴ ∴ AB 2 = BC 2 + AC 2 , ∴ ∠ ACB =90°, 基础巩固题 如图,在 △ ABC 中, AB = BC = 5 , ,求 △ ABC 的面积 . D 5 5 C B A 解: 作 BD ⊥ AC 于点 D , ∴ 又 ∵ △ ABC 为等腰三角形 , BD ⊥ AC , ∴ AC =2 AD =6 , ∴ S △ ABC = AC × BD ÷ 2= 12 . 课堂检测 能力提升题 ∵ , 求一个角的正弦值,除了用定义直接求外,还可以转化为 求和它相等角的正弦值 。    如图 , ∠ C =90° , CD ⊥ AB . sin B 可以由哪两条线段之比得到 ? 若 AC =5 , CD =3 , 求 sin B 的值 . ┌ A C B D 解 : ∵∠ B =∠ ACD ∴ sin B = sin∠ ACD 在 Rt△ ACD 中, 课堂检测 拓广探索题 ∴ ∴ 正弦函数 正弦函数的 概念 正弦函数的 应用 已知边长求 正弦值 已知正弦值求 边长 ∠ A 的对边 斜边 sin A = 课堂小结 余弦和正切 第二课时 返回 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C =90°. A C B 对边 a 邻边 b 斜边 c 当∠ A 确定时,∠ A 的对边与斜边的比就确定,此时,其他边之间的比是否也确定呢? 导入新知 2. 能灵活运用 锐角三角函数 进行相关运算 . 1. 通过类比正弦函数,理解 余弦函数 、 正切函数 的定义, 进而得到锐角三角函数的概念 . 素养目标 3. 通过 锐角三角函数 的学习,培养学生 类比 学习的能力 . 如图, △ ABC 和 △ DEF 都是直角三角形, 其中∠ A =∠ D ,∠ C =∠ F = 90°,则 成立吗?为什么? A B C D E F 探究新知 知识点 1 余弦的定义 我们来试着证明前面的问题: ∵ ∠ A= ∠ D ,∠ C= ∠ F= 90° , ∴ ∠ B= ∠ E , 从而 sin B = sin E , 因此 A B C D E F 探究新知 在有一个锐角相等的所有直角三角形中,这个锐角的邻边与斜边的比值是一个常数,与直角三角形的大小无关. 如下图所示,在直角三角形中,我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 ∠ A 的 余弦 ,记作 cos A ,即 归纳: A B C 斜边 c 邻边 b 探究新知 ∠A 的邻边 斜边 cos A = 探究新知 归纳总结 从上述探究和证明过程,可以得到互余两角的三角函数之间的关系: 对于任意锐角 α ,有 cos α = sin ( 90°- α ) , 或 sin α = cos ( 90°- α ) . 1. sin A 、 cos A 是在 直角三角形 中定义的,∠ A 是 锐角 ( 注意 数形结合 ,构造直角三角形 ) . 2. sin A 、 cos A 是一个 比值 ( 数值 ) . 3. sin A 、 cos A 的大小只与 ∠ A 的大小 有关,而与 直角三角形的边长 无关 . 如图:在 Rt △ ABC 中,∠ C = 90° , 正弦 余弦 探究新知 注意: A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a 1 . Rt△ ABC 中,∠ C =90° ,如果 AB =2 , BC =1 ,那么 cos B 的值为( ) A . B . C . D . A 巩固练习 2. Rt△ ABC 中,∠ C =90° ,如果 AC =4 , BC =3 , 那么 cos B 的值为 _______ 如图, △ ABC 和 △ DEF 都是直角三角形, 其中∠ A =∠ D ,∠ C =∠ F = 90°,则 成立吗?为什么? A B C D E F 探究新知 知识点 2 正切的定义 证明: ∵ ∠ C= ∠ F= 90° , ∠ A= ∠ D , ∴ Rt△ ABC ∽ Rt△ DEF 探究新知 A B C D E F ∴ 即 当直角三角形的一个锐角的大小确定时,其对边与邻边比值也是 唯 一确定的吗? 探究新知 A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a 如图:在 Rt △ ABC 中,∠ C = 90° , 我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠ A 的 正切 ,记作 tan A . 探究新知 在直角三角形中, 当 锐角 A 的度数一定时,不管三角形的大小如何,∠ A 的对边与邻边的比是一个 固定值 . A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a 1. 如果两个角互余,那么这两个角的正切值有什么关系? 【 想一想 】 探究新知 2. 锐角 A 的正切值可以等于 1 吗?为什么? 可以大于 1 吗? 3 . 在Rt ∆ ABC 中,∠ C =90°,如果 那么tan B 的值为( ) A . B . C . D . D 巩固练习 4. 在Rt ∆ ABC 中,∠ C =90°,如果 那么tan A 的值为 _______. 锐角 A 的正弦、余弦、和正切统称 ∠ A 的 锐角三角函数 . sin A = cos A = tan A = 脑中有“ 图 ”,心中有“ 式 ” 探究新知 知识点 3 锐角三角函数的定义 A B C 斜边 c ∠ A 的 邻边 b ∠ A 的 对边 a ∠A 的邻边 斜边 ∠A 的对边 斜边 ∠A 的对边 ∠A 的邻边 例 1 如图,在 Rt △ ABC 中, ∠ C =90 °, AB =10 , BC =6 ,求 sin A , cos A , tan A 的值 . A B C 10 6 解: 由勾股定理得 因此 探究新知 素养考点 1 已知直角三角形两边求锐角三角函数的值 探究新知 方法点拨 已知直角三角形中的两条边求锐角三角函数值的一般思路是:当所涉及的边是已知时,直接利用定义求锐角三角函数值;当所涉及的边未知时,可考虑运用 勾股定理 的知识求得边的长度,然后根据定义求锐角三角函数值. 5 . Rt△ ABC 中 , ∠ C 为直角 , AC= 5 , BC= 12 , 那么下列 ∠ A 的四个三角函数中正确的是 ( ) 6 . 如图: P 是 ∠ α 的边 OA 上一点,且 P 点的坐标为 ( 3 , 4 ), 则 cos α ______ , tan α = ________. B 巩固练习 A. B . C . D . α A A B C 6 又 在直角三角形中,如果已知一边长及一个锐角的某个三角函数值,即可求出其它的所有锐角三角函数值 . 探究新知 素养考点 2 已知一边及一锐角三角函数值求函数值 例 2 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ C = 90° , BC = 6 , ,求 cos A 、 tan B 的值. ∴ 解: ∵ 在 Rt△ ABC 中, ∴ A B C 8 解: ∵ 在 Rt△ ABC 中, ∴ ∴ ∴ 巩固练习 7. 如图,在 Rt△ ABC 中 ,∠ C = 90° , AC = 8 , , 求 sin A , cos B 的值 . 1. (2018•广州)如图,旗杆高 AB= 8m ,某一时刻,旗杆影子 长 BC= 16m ,则 tan C = ______ . 巩固练习 连接中考 A B C 2. (2018•贵阳)如图, A 、 B 、 C 是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan∠ BAC 的值为(  ) A. B.1 C . D. B 巩固练习 连接中考 1. 在Rt△ ABC 中,∠ C = 90°, AC = 12, AB =13. sin A =______,cos A =______,tan A =____, sin B =______,cos B =______,tan B =____. 基础巩固题 课堂检测 2. 如图,△ ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙ O 相切与点 C ,若 BC =4 , AB =5 ,则 tan A =___. A B C 课堂检测 基础巩固题 3. 已知 ∠ A , ∠ B 为锐角 , ( 1 ) 若 ∠ A =∠ B , 则 cos A cos B ; ( 2 ) 若 tan A = tan B , 则 ∠ A ∠ B . ( 3 ) 若 tan A · tan B = 1 , 则 ∠ A 与 ∠ B 的关系为: . = = ∠ A +∠ B = 90 ° 课堂检测 基础巩固题 如图,在 Rt△ ABC 中 ,∠ ACB = 90° , CD ⊥ AB , 垂足为 D . 若 AD = 6 , CD = 8. 求 tan B 的值 . 解 : ∵ ∠ ACB =∠ ADC =90° , ∴∠ B + ∠ A =90° , ∠ ACD + ∠ A =90° , ∴ ∠ B = ∠ ACD , 能力提升题 ∴ 课堂检测 如图,在 △ ABC 中 , AB = AC =4 , BC =6. 求 cos B 及 tan B 的值 . 解: 过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D . ∵ AB = AC , ∴ BD = CD = 3 , 在 Rt△ ABD 中 , A B C D 提示: 求锐角的三角函数值问题,当图形中没有直角三角形时,可用恰当的方法构造直角三角形 . 拓广探索题 ∴ ∴ 课堂检测 余弦函数和 正切函数 余弦 正切 性质 课堂小结 ∠ A 的邻边 斜边 cos A = ∠ A 的对边 tan A = ∠ A 的邻边 ∠ A 的大小确定的情况下, cos A , tan A 为定值,与 三角形的大小无关 30° 、 45° 、 60° 角的三角函数值 第三课时 返回 导入新知 还记得我们推导正弦关系的时候所得到的结论吗?即 , ,你还能推导出 sin60° 的值及 30° 、 45° 、 60° 角的其它三角函数值吗? 1. 理解 特殊角的三角函数值 的由来 . 3. 熟记三个特殊锐角的三角函数值,并能准确地加以运用, 根据一个 特殊角的三角函数值 说出这个角 . 素养目标 2. 运用三角函数的知识,自主探索,推导出 30° 、 45° 、 60° 角的三角函数值 . 两块三角尺中有几个不同的 锐角?分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值? 设 30° 所对的直角边长为 a ,那么斜边长为 2 a , 另一条直角边长= 30° 60° 45° 45° 30° 探究新知 知识点 1 特殊角( 30 °、 45 °、 60 °)的三角函数值 ∴ 设两条直角边长为 a , 则斜边长= 60° 45° 探究新知 ∴ ∴ 30° 、 45° 、 60° 角的正弦值、余弦值和正切值如下表: 锐角 a 30° 45° 60° sin a cos a tan a 探究新知 三角函数 仔细观察 , 说说你发现这张表有哪些规律 ? 例 1 求下列各式的值: ( 1 ) cos 2 60° + sin 2 60° ( 2 ) 解: ( 1 ) cos 2 60° + sin 2 60° = 1 ( 2 ) =0 探究新知 素养考点 1 特殊角的三角函数值的运算 提示: sin 2 60 ° 表示( sin60 ° ) 2 这道 例题 的两个式子中包含几种运算?运算顺序是怎样的? 探究新知 方法点拨 含特殊角三角函数值的计算注意事项: ( 1 ) 熟记 特殊角的锐角三角函数值是关键; ( 2 )注意运算 顺序和法则 ; ( 3 )注意特殊角三角函数值的 准确代入 . 1. 计算: ( 1 ) sin30 ° + cos45 °; 解 : ( 1 ) 原式 ( 2 ) sin 2 30 ° + cos 2 30 °- tan45 ° . 巩固练习 ( 2 )原式 = 1-1 = 0 解: 在 Rt△ ABC 中 A B C ∴ ∠ A = 45 ° . ∵ 探究新知 素养考点 2 利用三角函数值求特殊角 例 2 ( 1 ) 如图,在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° , , ,求 ∠ A 的度数; 解: 在 Rt△ ABO 中 A B O ∴ α = 60 ° . 探究新知 ( 2 ) 如图, AO 是圆锥的高, OB 是底面半径, ,求 α 的度数 . ∵ 2. 在 Rt△ ABC 中 , ∠ C = 90° , 求 ∠ A 、 ∠ B 的度数 . A B C 解 : 由勾股定理 ∴ ∠ A =30° ∠B = 90° - ∠ A = 90 ° - 30°= 60° 巩固练习 ∴ 例 3 已知 △ ABC 中的 ∠ A 与 ∠ B 满足 ( 1 - tan A ) 2 + |sin B - | = 0 ,试判断 △ ABC 的形状. ∴ tan A = 1 , , ∠ C = 180° - 45° - 60° = 75° , ∴ △ ABC 是锐角三角形 . 探究新知 素养考点 3 特殊角的三角函数值的应用 解: ∵ ( 1 - tan A ) 2 + | sin B - | = 0 , ∴ ∠ A = 45° , ∠ B = 60° , 3. 已知: 求 ∠ A , ∠ B 的度数。 解: 巩固练习 即 ∴ ∴ ∵ 连接中考 巩固练习 A 1. (2018•大庆)2cos60°=(   ) A.1 B. C. D. 2. (201 9 •大庆) 计算:( 2 019 -π ) 0 + - sin60 ° 解: 原式= 1 + - 1 - = 1 . 下列各式中不正确的是 ( ) A. B.sin30°+cos30°=1 C.sin35°=cos55° D.tan45°>sin45° 2 . 计算 2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是( ) A.2 B. C. -1 D.1 B D 课堂检测 基础巩固题 sin 2 60 ° +cos 2 60 ° =1 3. 求满足下列条件的锐角 α . ( 1 ) 2sin α - = 0 ; ( 2 ) tan α - 1 = 0. ∴ ∠ α = 60 ° . ( 2 ) tan α =1 , 课堂检测 解: ( 1 ) , ∴ ∠ α = 45 ° . 基础巩固题 4 . 在 △ ABC 中, ∠A、∠B 都是锐角,且 , ,则△ ABC 的形状是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 B 课堂检测 5. 在 △ ABC 中,若 , 则∠ C = . 120° 基础巩固题 6 . 求下列各式的值: ( 1 ) 1 - 2 sin30°cos30° ; ( 2 ) 3tan30° - tan45°+2sin60° ; ( 3 ) ; ( 4 ) 答案: ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 2 ( 4 ) 课堂检测 基础巩固题 已知 α 为锐角,且 tan α 是方程 x 2 + 2 x -3 = 0 的一 个根,求 2 sin 2 α + cos 2 α - tan ( α +15° ) 的值. 解: 解方程 x 2 + 2 x - 3 = 0,得 x 1 = 1, x 2 = -3 . ∵ tan α >0,∴ tan α =1 ,∴ α = 45° . ∴ 2 sin 2 α + cos 2 α - tan ( α +15° ) = 2 sin 2 45°+cos 2 45°- tan60° 能力提升题 课堂检测 如图,在 △ ABC 中 , AD ⊥ BC , M 为 AB 的中点 , ∠ B =30° , . 求 tan∠ BCM . E M D C B A 解: 过点 M 作 ME ⊥ BC 于点 E 课堂检测 拓广探索题 ∴ CD=AD , 又∵ M 是 AB 的中点 ∴ BE=DE , AD= 2 ME. 又 ∵∠ B =30 °, ∵ AD ⊥ BC , ∴ ∴ ∴ 30 °、 45 °、 60 °角 的三角函数值 通过 三角函数值 求角度 特殊角的三角函数值 课堂小结 用计算器求锐角三角函数值 第四课时 返回 锐角 a 三角 函数 30° 45° 60° sin a cos a tan a 1 填写下表: 导入新知 前面我们学习了 特殊角 30° , 45° , 60° 的三角函数值 , 一些 非特殊角 ( 如 17° , 56° , 89° 等 ) 的三角函数值又怎么求呢 ? 这一节课我们就学习 借助计算器 来完成这个任务 . 导入新知 1. 会使用科学计算器求 锐角的三角函数值 . 2. 会根据锐角的三角函数值,借助科学计算器求 锐角的大小 . 素养目标 3. 熟练运用 计算器 解决锐角三角函数中的问题 . 例如 ( 1 ) 用计算器求 sin18° 的值; 解: 第一步:按计算器 键; sin 第二步:输入角度值 18 ; 屏幕显示结果 sin18°= 0.309 016 994. 不同计算器操作的步骤可能不同! 知识点 1 利用计算器求三角函数值、角的度数 探究新知 ( 2 ) 用计算器 求 tan30°36′ 的值 ; 解: 方法①: 第二步:输入角度值 30.6 ( 因为 30°36′ = 30.6° ) ; 屏幕显示答案: 0.591 398 351. 第一步:按计算器 键; tan 探究新知 屏幕显示答案: 0.591 398 351. 方法②: 第一步:按计算器 键; tan 探究新知 第二步:输入角度值 30 ,分值 36 ( 使用 键 ) ; ° ′ ″ ( 3 ) 已知 sin A = 0.501 8 ,用计算器求锐角 ∠ A 的度 数 . 第二步:输入函数值 0. 501 8 ; 屏幕显示答案: 30.119 158 67° ( 按实际需要进行 精确 ). 解: 第一步:依次按计算器 键; 2nd F sin 还可以利用 键,进一步得到 ∠ A = 30°07′08.97 ″ ( 这说明锐角 A 精确到 1′ 的结果 为 30°7′ ,精确到 1″ 的结果为 0°7′9″ ) . 2nd F ° ′ ″ 探究新知 1. 用计算器求下列各式的值 ( 精确到 0.0001 ) : ( 1 ) sin47° ; ( 2 ) sin12°30′ ; ( 3 ) cos25°18′ ; ( 4 ) sin18° + cos55° - tan59°. 答案: ( 1 ) 0.7314 ( 2 ) 0.2164 ( 3 ) 0.9041 ( 4 ) - 0.7817 巩固练习 2 . 已知下列锐角三角函数值,用计算器求锐角 ∠ A , ∠ B 的度数 (结果精确到 0.1° ) : ( 1 ) sin A =0.7,sin B =0.01 ; ( 2 ) cos A =0.15,cos B =0.8 ; ( 3 ) tan A =2.4,tan B =0.5. 答案 : ( 1 ) ∠ A ≈ 44.4°;∠ B ≈ 0.6°. ( 2 ) ∠ A ≈ 81.4°;∠ B ≈ 36.9°. ( 3 ) ∠ A ≈ 67.4°;∠ B ≈ 26.6°. 巩固练习 ( 1 )通过计算 (可用计算器),比较下列各组数的大小,并提出你的猜想: ① sin30°____2sin15°cos15°; ② sin3 8 °____2sin1 9 °cos1 9 °; ③ sin45°____2sin22.5°cos22.5°; ④ sin60°____2sin30°cos30°; ⑤ sin8 4 °____2sin4 2 °cos4 2 °. 猜想: 已知 0°< α <45°, 则 sin2 α ___2sin α cos α . = 探究新知 知识点 2 利用计算器探索三角函数的性质 = = = = = ( 2 ) 如图,在△ ABC 中, AB = AC =1,∠ BAC =2 α , 请利用面积方法验证 ( 1 ) 中的结论. 证明: ∵ S △ ABC = AB · sin2 α · AC = sin2 α , S △ ABC = ×2 AB sin α · AC cos α = sin α · cos α , ∴sin2 α =2sin α cos α . 探究新知 2 α ( 1 ) sin35°= , cos35°= , sin 2 35°= , cos 2 35°= ; 猜想: 已知 0°< α < 90 °, 则 sin 2 α + cos 2 α = . 0.3420 0.5735 0.9397 0.1170 0.8830 0.8192 0.3290 0.6710 3. 利用计算器求值,并提出你的猜想: 1 巩固练习 ( 2 ) sin20°= , cos20°= , sin 2 20°= , cos 2 20°= ; 4. 已知 : sin 2 54 °+ cos 2 α =1, 则锐角 α = .   54 ° 5. 用计算器比较大小 : 20sin87° tan87°. > 巩固练习 sin20° cos20° , sin 2 20° cos 2 20° ; sin35° cos35°. < < < (2018•淄博)一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米,其铅直高度上升了15米.在用科学计算器求坡角α的度数时,具体按键顺序是 (  ) A. B. C. D. 巩固练习 连接中考 A 1. 下列式子中,不成立的是 ( ) A.sin35°= cos55° B.sin 25 °+ sin4 0 °= sin 6 5° C. cos 47 ° = sin43° D.sin 2 18 °+ cos 2 18 °=1 B 课堂检测 基础巩固题 2. 用计算器求sin24°37′18″的值,以下按键顺序正确的是 ( ) A. B. C. D. A sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F sin 2 4 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = sin 2 4 ° ′ ″ 3 7 ° ′ ″ 8 1 ° ′ ″ = 2nd F 课堂检测 基础巩固题 ( 1 ) sin40 ° ≈ ( 精确到 0.0001 ) ; ( 2 ) tan63 ° 27′ ≈ ( 精确到 0.0001 ) ; ( 3 ) co s18 ° 59′27″ ≈ ( 精确到 0.0001 ) ; ( 4 ) 若 sin α = 0.5225 , 则 α ≈ ( 精确到 0.1° ) ; ( 5 ) 若 co s α = 0.3145 , 则 α ≈ ( 精确到 0.1° ) . 0.6428 2.0013 31.5° 3. 利用计算器求值: 71.7° 课堂检测 0.9452 基础巩固题 如图,在 Rt△ AB C 中,∠ C =90°,请验证 sin 2 α + cos 2 α = 1 的结论 . 证明: 在 Rt△ ABC 中, a 2 + b 2 = c 2 , b A B C a c α ∴ 课堂检测 能力提升题 在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90°, ∠ BAC = 42°24′, ∠ A 的 平分线 AT = 14.7cm,用计算器求 AC 的长 ( 精确到0.001 ) . 解: ∵ AT 平分∠ BAC ,且 ∠ BAC = 42°24′, 在 Rt△ ACT 中 , , ∴ AC = AT · cos∠ CAT = 14.7×cos21°12′ ≈ 13.705 ( cm ) . 课堂检测 拓广探索题 A B C T ∴ . 用计算器求锐角三角函数值及锐角 课堂小结 用计算器求锐角的 三角函数值或角的度数 注意:不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器 探索 锐角三角函数的性质 28.2 解直角三角形及其应用 人教版 数学 九 年级 下册 28.2.1 解直角三角形 导入新知 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角 α 一般要满足 50°≤ α ≤75° . 现有一个长 6m 的梯子,问: ( 1 )使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到 0.1m )? ( 2 )当梯子底端距离墙面 2.4m 时,梯子与地面所成的角 α 等于多少(精确到 1 ° )?这时人能够安全使用这个梯子吗? 1. 了解解直角三角形的 意义和条件 . 2. 理解 直角三角形 中的五个元素之间的联系 . 素养目标 3. 能根据直角三角形中除直角以外的 两个元素 ( 至少有一个是边 ),解直角三角形 . 利用计算器可得 . 根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中心线的夹角. 你愿意试着计算一下吗? 如图,设塔顶中心点为 B ,塔身中心线与垂直中心线的夹角 为∠ A ,过 B 点向垂直中心线引垂线,垂足为点 C ,在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° , BC = 5.2m , AB = 54.5m . A B C 将上述问题推广到一般情形,就是:已知直角三角形的斜边和一条直角边,求它的锐角的度数 . 探究新知 知识点 1 解直角三角形的概念 在直角三角形中知道几个条件可以求解呢? 在 Rt△ ABC 中 , 不能 不能 一角 一角一边 A B C 两角 ( 2 )根据 ∠ A =60°,∠ B =30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗 ? ( 1 )根据 ∠ A = 60° ,你能求出这个三角形的其他元素吗 ? ( 3 )根据 ∠ A = 60° , 斜边 AB =4 , 你能求出这个三角形的其他元素吗 ? ∠ B AC BC 两边 ∠ A ∠ B AB 探究新知 ( 4 )根据 , AC = 2 , 你能求出这个三角形的 其他元素吗? 你发现了什么? 在 Rt△ ABC 中 , 在直角三角形的六个元素中 , 除直角外 , 如果知道 两 个元素 , ( 其中至少有 一个是边 ), 就可以求出其余三个元素 . 我发现了: 一角一边 两边 两角 不能求其它元素 一角 能求其它元素 探究新知 归纳总结 解直角三角形的 依据 : A C B a b c a 2 + b 2 = c 2 (勾股定理); ( 1 ) 三边之间的关系 : ( 2 ) 锐角之间的关系 : ∠ A + ∠ B = 90º ; ( 3 ) 边角之间的关系 : 探究新知 由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫作 解直角三角形 . 探究新知 归纳总结 解直角三角形的 原则 : ( 1 ) 有斜 (斜边) 用弦 (正弦、余弦), 无斜 (斜边) 用切 (正切); ( 2 ) 宁乘勿除 :选取便于计算的关系式,若能用乘法计算就不用除法计算; ( 3 ) 取原避中 :若能用原始数据计算,应避免使用中间数据求解 . 如图,在 Rt△ ABC 中, 根据 AC = 2.4 ,斜边 AB = 6 ,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? A B C 6 2.4 探究新知 知识点 2 知道两边解直角三角形 A B C 例 1 如图,在Rt△ ABC 中,∠ C = 90°, , ,解这个直角三角形. 探究新知 素养考点 1 已知两边解直角三角形 解: ∵ ∴ 1. 在 Rt△ ABC 中,∠ C = 90° , a = 30 , b = 20, 解这个直角三角形 . 解: 根据勾股定理 A B C b= 20 a= 30 c 巩固练习 ∵ ∴ 如图,在 Rt△ ABC 中,根据 ∠ A = 75° ,斜边 AB = 6 ,你能求出这个直角三角形的其他元素吗? A B C 6 75 ° 探究新知 知识点 3 已知一边和一锐角解直角三角形 例 2 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ C =90° , ∠ B = 35 °, b =20 , 解这个直角三角形 ( 结果保留小数点后一位 ). A B C b 20 c a 35 ° 解 : 探究新知 素养考点 1 已知一边和一锐角解直角三角形 2. 在 Rt△ ABC ,∠ C =90°, ∠ A =45°, c =4 解这个直角三角形 . C B A 45° c= 4 解: ∵ ∠ A =45° ∴ ∠ B =90° — ∠ A =45°, a b 巩固练习 ∵ ∴ ∵ ∴ 也可以: ∵ ∠A= ∠B= 45° ∴ b=a= 解 : 过点 A 作 AD ⊥ BC 于 D . 在 △ AC D 中, ∠ C =45° , AC = 2 , ∴ CD = AD = AC · sin C = 2sin45°= . 在 △ A BD 中, ∠ B =30° , 3. 如图,在 △ ABC 中, ∠ B =30° ,∠ C =45° , AC = 2 , 求 BC . D A B C 巩固练习 ∴ ∴ 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ C =90° , , BC = 5 , 试求 AB 的长 . A C B 设 在解直角三角形中,已知一边与一锐角三角函数值,一般可结合方程思想求解 . 探究新知 已知一边和三角函数值解直角三角形 知识点 4 ∴ ∵ 解: ∵ ∴ ∴ (舍去) ∴ AB 的长为 4. 在 Rt△ ABC 中, ∠ C =90°,sin A = 0.8 , BC = 8 , 则 A C 的值为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 B 5. 如图,在菱形 ABCD 中, AE ⊥ BC 于点 E , EC =4, , 则菱形的周长是 ( ) A.10 B.20 C.40 D.28 C 巩固练习 (2018• 自贡)如图,在 △ ABC 中 , BC =12, , B =30°; 求 AC 和 AB 的长 . 巩固练习 连接中考 解: 如图作 CH ⊥ AB 于 H . 在 Rt △ BCH 中 ,∵ BC =12,∠ B =30°, H ∴ , , ∴ , ∴ AH =8, 在Rt△ ACH 中, , ∴ . 1. 在下列直角三角形中不能求解的是( ) A. 已知一直角边一锐角 B. 已知一斜边一锐角 C. 已知两边 D. 已知两角 D 课堂检测 基础巩固题 2. 在 Rt △ ABC 中, ∠ C =90 °, ∠ B =37 °, BC =32 , 则 AC =______ ( 参考数据: sin37 ° ≈0.60 , cos37 ° ≈0.80 , tan37 ° ≈0.75 ) . 3. 如图,已知 Rt△ ABC 中,斜边 BC 上的高 AD =3, 则 AC 的长为 . 24 3. 7 5 课堂检测 基础巩固题 4. 在 Rt△ ABC 中 ,∠ C = 90° , ∠ B = 72° , c = 14. 根据条件解直角三角形 . A B C b a c= 14 课堂检测 ∵ 解: ∵ ∴ ∴ 基础巩固题 如图,已知 AC = 4 ,求 AB 和 BC 的长. 能力提升题 分析: 作 CD ⊥ AB 于点 D ,根据三角函数的定义,在Rt△ ACD ,Rt△ CDB 中,即可求出 CD , AD , BD 的长,从而求解. 课堂检测 在 Rt△ CDB 中 ,∵∠ DCB =∠ ACB -∠ ACD =45°, D 解: 如图, 作 CD ⊥ AB 于点 D , 在 Rt△ ACD 中 ,∵∠ A =30°, ∴∠ ACD =90°-∠ A =60°, ∴ BD = CD =2 . 能力提升题 课堂检测 ∴ 如图,在 Rt△ ABC 中, ∠ C =90°, AC =6, ∠ BAC 的平分线 ,解这个直角三角形. ∵ AD 平分 ∠ BAC , D A B C 6 课堂检测 拓广探索题 ∴ ∠ C AD= 30° 解: ∵ ∴ ∴ ∠ C AB= 60° , ∠ B= 30°, 解直角三角形 依据 解法:只要知道五个元素中的两个元素( 至少有一个是边 ),就可以求出余下的三个未知元素 . 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 课堂小结 28.2 解直角三角形及其应用 第一课时 第二课时 第三课时 人教版 数学 九 年级 下册 28.2.2 应用举例 解直角三角形的简单应用 第一课时 返回 高跟鞋深受很多女性的喜爱,但有时候,如果鞋跟太高,也有可能 “ 喜剧 ” 变 “ 悲剧 ”. 导入新知 你知道 高跟鞋的鞋底与地面的夹角为 多少度 时,人脚的感觉最舒适 吗? 3. 体会数学在解决实际问题中的应用,逐步培养学生 分析问题 、 解决问题 的能力. 1. 巩固 解直角三角形 相关知识 . 素养目标 2. 能从实际问题中构造直角三角形,会把实际问题转化为 解直角三角形 的问题,并能灵活选择三角函数解决问题 . ( 2 )两锐角之间的关系 ( 3 )边角之间的关系 ( 1 )三边之间的关系 A B a b c C 探究新知 知识点 1 利用解直角三角形解答简单的问题 小明去景点游玩,搭乘观光索道缆车的吊箱经过点 A 到达点 B 时,它走过了 300m. 在这段路程中缆车行驶的路线与水平面的夹角为 30 ° , 你知道缆车垂直上升的距离是多少吗 ? A B A B D 30° 300m 解: BD = AB sin30 ° =150m 探究新知 D A B C 小明乘坐索道缆车继续从点 B 到达比点 B 高 200m 的点 C , 如果这段路程缆车的行驶路线与水平面的夹角为 60° ,缆车行进速度为 2m/s ,小明需要多长时间才能到达目的地? A B D C E 60° 200m 小明 需要 115.5s 才 能到达目的地 . 探究新知 解: 231÷2=115.5 ( s ) 30 ° 例 1 2012 年 6 月 18 日, “ 神舟 ” 九号载人航天飞船与 “ 天宫 ” 一号目标飞行器成功实现交会对接 . “ 神舟 ” 九号与 “ 天宫 ” 一号的组合体在离地球表面 343km 的圆形轨道上运行 . 如图,当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为 6 400km , π 取 3.142 , 结果取整数)? O F P Q FQ 是 ☉ O 的切线, ∠ FQO 为直角 . 最远点 求 的长,要先求 ∠ POQ 的度数 探究新知 素养考点 1 建立直角三角形模型解答简单的问题 解: 设∠ FOQ =α , FQ 是⊙ O 切线,△ FOQ 是直角三角形. 当 组合体 在 P 点正上方时,从中观测地球表面时的最远点距离 P 点约 2051km . 探究新知 O F P Q ∴ 的长为 【 讨论 】 从 前面 的例题解答中,你能体会到解直角三角形的应用前提条件是什么吗?如何进行? 【 方法点拨 】 一般情况下,直角三角形是求解或运用三角函数值的前提条件,故当题目中提供的并 非直角三角形 时,需添加辅助线 构造直角三角形 ,然后运用三角函数解决问题. 探究新知 小结 探究新知 归纳总结 解直角三角形的应用: ( 1 ) 将实际问题抽象为数学问题 ( 画出平面图形,转化为 解直角三角形 的问题 ) ; ( 2 ) 根据条件的特点,适当选用 锐角三角函数 等知识去解直角三角形; ( 3 ) 得到 数学问题 答案; ( 4 ) 得到 实际问题 答案。 注: 数学问题的解符合实际意义才可以成为实际问题的解 . 1. 如图,某人想沿着梯子爬上高 4 米的房顶,梯子的倾斜角(梯子与地面的夹角)不能大于 60° ,否则就有危险,那么梯子的长至少为多少米? A B C 解: 如图所示,依题意可知 ∠ B = 60° 答: 梯子的长至少 4.62 米 . 巩固练习 例 2 如图,秋千链子的长度为 3m ,静止时的秋千踏板(大小忽略不计)距地面 0.5m .秋千向两边摆动时,若最大摆角(摆角指秋千链子与铅垂线的夹角)约为 60° ,则秋千踏板与地面的最大距离为多少? 0.5m 3m 60° 探究新知 素养考点 2 建立直角三角形模型解答生活问题 0.5m 3m A B C D E 60° 探究新知 分析: 根据题意,可知秋千踏板与地面的最大距离为 CE 的长度 . 因此,本题可抽象为: 已知 DE =0.5m , AD = AB =3m , ∠ DAB =60 °,△ ACB 为直角三角形,求 CE 的长度 . 解: ∵∠ CAB =60 °, AD = AB =3m , 3m A B D E 60° C ∴ AC = AB cos∠ CAB = 1.5m , ∴ CD = AD - AC = 1.5m , ∴ CE = AD + DE = 2.0m . 即秋千踏板与地面的最大距离为 2.0m . 探究新知 F E A 2. ( 1 ) 小华去实验楼做实验 , 两幢实验楼的高度 AB = CD =20m , 两楼间的距离 BC =15m , 已知太阳光与水平线的夹角为 30° , 求南楼的影子在北楼上有多高? 北 A B D C 20m 15m E F 南 解: 过点 E 作 EF ∥ BC , ∴∠ AFE =90 °, FE=BC =15m. 即南楼的影子在北楼上的高度为 ∴ 巩固练习 ∴ ( 2 ) 小华想:若设计时要求北楼的采光,不受南楼的影响,请问楼间距 BC 至少应为多少米 ? A B 20m ? m 北 D C 南 答案: BC 至少为 巩固练习 ( 2018• 台州)图 1 是一辆吊车的实物图,图 2 是其工作示意图, AC 是可以伸缩的起重臂,其转动点 A 离地面 BD 的高度 AH 为 3.4m .当起重臂 AC 长度为 9m ,张角 ∠ HAC 为118° 时,求操作平台 C 离地面的高度(结果保留小数点后一位:参考数据: sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53 ) 巩固练习 连接中考 图 1 图 2 巩固练习 连接中考 解: 作 CE ⊥ BD 于 E , AF ⊥ CE 于 F ,易得四边形 AHEF 为矩形, ∴ EF=AH =3.4m,∠ HAF =90°, ∴∠ CAF =∠ CAH ﹣∠ HAF =118°﹣90°=28°, 在 Rt △ ACF 中,∵ , ∴ CF =9sin28°=9×0.47=4.23 , ∴ CE = CF + EF =4.23+3.4≈7.6(m) , 答: 操作平台 C 离地面的高度为 7.6m . 图 2 E F 1. 数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘相隔的两棵树 A 、 B 的距离,他们设计了如图所示的测量方案: 从树 A 沿着垂直于 AB 的方向走到 E ,再从 E 沿着垂直于 AE 的方向走到 F , C 为 AE 上一点,其中 3 位同学分别测得三组数据: ① AC ,∠ ACB ;② EF 、 DE 、 AD ;③ CD ,∠ ACB ,∠ ADB . 其中能根据所测数据求得 A 、 B 两 树距离的有 ( ) A . 0 组 B . 1 组 C . 2 组 D. 3 组 D 课堂检测 基础巩固题 2. 如图,要测量 B 点到河岸 AD 的距离,在 A 点测得 ∠ BAD =30 ° ,在 C 点测得 ∠ BCD =60 ° ,又测得 AC =100 米,则 B 点到河岸 AD 的距离为 ( ) B D C A A. 100 米 B . 米 C. 米 D. 50 米 B 课堂检测 基础巩固题 3. 一次台风将一棵大树刮断,经测量,大树刮断一端的 着地点 A 到树根部 C 的距离为 4 米,倒下部分 AB 与地平面 AC 的夹角为 45° ,则这棵大树高是 米. A C B 4 米 45 ° 课堂检测 基础巩固题 · O C B A “欲穷千里目,更上一层楼”是 唐代诗人李白的不朽诗句.如果我们想在地球上看到距观测点 1000 里处景色,“更上一层楼”中的楼至少有多高呢 ? 存在这样的楼房吗(设 代表地面, O 为地球球心, C 是地面上一点, =500km ,地球的半径为 6370 km , cos4.5 ° = 0.997 )? 能力提升题 课堂检测 解: 设登到 B 处,视线 BC 在 C 点与地球相切,也就是 看 C 点, AB 就是“楼”的高度, ∴ AB = OB - OA =6389-6370=19(km) . 即这层楼至少要高19km , 即19000m. 这是不存在的. · O C B A 在Rt△ OCB 中, ∠ O 课堂检测 能力提升题 如图,在电线杆上的 C 处引拉线 CE , CF 固定电线杆 . 拉线 CE 和地面成 60° 角,在离电线杆 6 米的 A 处测得 AC 与水平面的夹角为 30° ,已知 A 与地面的距离为 1.5 米,求拉线 CE 的长 . (结果保留根号) G 解: 作 AG ⊥ CD 于点 G , 则 AG = BD =6 米, DG = AB =1.5 米. ∴ ( 米 ). 拓广探索题 课堂检测 G ∴ CD = CG + DG = ( +1.5 ) ( 米 ) , ∴ ( 米 ). 课堂检测 拓广探索题 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程: 1. 将实际问题抽象为数学问题; 2. 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形 ; 画出平面图形,转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案; 4. 得到实际问题的答案 . 课堂小结 利用俯角和仰角解直角三角形 第二课时 返回 青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且屡败屡试,永不言弃.如图所示,一天,灰太狼在自家城堡顶部 A 处测得懒羊羊所在地 B 处的俯角为 60° ,然后下到城堡的 C 处,测得 B 处的俯角为 30° .已知 AC =40 m ,若灰太狼以 5 m/s 的速度从城堡底部 D 处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)(假设懒洋洋不动) 导入新知 1. 使学生了解 仰角 、 俯角 的概念,并能够根据直角三角形的知识解决实际问题 . 2. 在解题过程中进一步体会 数形结合 、 转化 、 方程 的数学思想,并从这些问题中归纳出常见的基本模型及解题思路 . 素养目标 3. 进一步 培养学生 分析问题 、 解决问题 的能力 . 铅直线 水平线 视线 视线 仰角 俯角 在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做 仰角 ,视线在水平线下方的叫做 俯角 . 探究新知 俯角、仰角问题 知识点 1 巧记“上仰下俯” 例 1 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30° ,看这栋楼底部的俯角为 60° ,热气球与楼的水平距离为 120m ,这栋楼有多高 (结果取整数)? 分析 : 我们知道,在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角,视线在水平线下方的是俯角,因此,在图中, α =30°, β =60 ° . 在 Rt△ ABD 中, α =30° , AD = 120 , 所以利用解直角三角形的知识求出 BD ;类似地可以求出 CD ,进而求出 BC . A B C D α β 仰角 水平线 俯角 探究新知 一个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 素养考点 1 解: 如图, α = 30°, β = 60 ° , AD = 120 . 答: 这栋楼高约为 277m. A B C D α β 探究新知 ( m ) 探究新知 方法点拨 解决与仰角、俯角有关的实际问题的方法 根据仰角、俯角的定义 画出水平线、视线 , 找准仰角、俯角 ,结合题意,从实际问题情境中抽象出含仰角或俯角的直角三角形,然后利用 解直角三角形 使问题获解 . 1. 如图,在电线杆上离地面高度5m的 C 点处引两根拉线固定电线杆,一根拉线 AC 和地面成60°角,另一根拉线 BC 和地面成45°角.则两根拉线的总长度为 m ( 结果用带根号的数的形式表示 ) . 巩固练习 例 2 如图,直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点 处,在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45 ° ,求飞机的高度 . (结果取整数 . 参考数据: sin37°≈0.8,cos37 °≈0.6, tan 37°≈0.75 ) A B 37° 45° 400 米 P 素养考点 2 探究新知 两个观测点构造两个直角三角形解答实际问题 A B O 37° 45° 400 米 P 设 PO = x 米, 在 Rt△ POB 中, ∠ PBO =45° , 在 Rt△ POA 中 ,∠ PAB =37°, OB = PO = x 米 . 解得 x =1200 . 解: 作 PO ⊥ AB 交 AB 的延长线于 O . 即 故飞机的高度为 1200 米 . 探究新知 2. 如图,为了测出某塔 CD 的高度,在塔前的平地上选择 一点 A ,用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30° ,在 A 、 C 之间选择一点 B ( A 、 B 、 C 三点在同一直线上).用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75° ,且 AB 间的距离为 40m . ( 1 ) 求点 B 到 AD 的距离; 答案: 点 B 到 AD 的距离为 20m . E 巩固练习 ( 2 ) 求塔高 CD (结果用根号表示). 解: 在Rt△ ABE 中, ∵∠ A =30°,∴∠ ABE =60°, ∵∠ DBC =75°,∴∠ EBD =180°-60°-75°=45°, ∴ DE = EB =20m, 则 ( m ) , 在Rt△ ADC 中,∠ A =30°, 答: 塔高 CD 为 m . ∴ (m). 巩固练习 E α ( 2018 •长春)如图,某地修建高速公路,要从 A 地向 B 地修一条隧道(点 A、B 在同一水平面上).为了测量 A、B 两地之间的距离,一架直升飞机从 A 地出发,垂直上升 800 米到达 C 处,在 C 处观察 B 地的俯角为 α ,则 A、B 两地之间的距离为(  ) A . 800sinα 米 B . 800tanα 米 C . 米 D . 米 连接中考 巩固练习 D 1. 如图①,在高出海平面 100 米的悬崖顶 A 处,观测海平面上一艘 小船 B ,并测得它的俯角为 45° ,则船与观测者之间的水平距离 BC =____ 米. 2. 如图②,两建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30 米,从 A 点测得 D 点的俯角为 30° ,测得 C 点的俯角为 60° ,则建筑物 CD 的高为_____米. 100 图① B C A 图② B C A D 30 ° 60 ° 基础巩固题 课堂检测 3. 为测量松树 AB 的高度,一个人站在距松树 15 米的 E 处, 测得仰角 ∠ ACD =52° ,已知人的高度是 1.72 米,则 树高 ( 精确到 0.1 米) . A D B E C 20.9 米 课堂检测 基础巩固题 4. 如图,小明想测量塔 AB 的高度 . 他在 D 处仰望塔顶,测得仰角为 30° ,再往塔的方向前进 50m 至 C 处 . 测得仰角为 60° ,小明的身高 1.5 m . 那么该塔有多高 ?( 结果精确到 1 m ) ,你能帮小明算出该塔有多高吗 ? D ′ A B ′ B D C ′ C 课堂检测 基础巩固题 解: 由题意可知, ∠ AD′B′= 30° ,∠ AC′B′= 60° , D′C′= 50m . 课堂检测 ∴ D′B′=x· tan60 °, C′B′=x ·tan30 °, ∴ x ·tan60 ° - x ·tan30 ° =50 , D ′ A B ′ B D C ′ C ∵ ∴ ∠ D′AB′= 60° , ∠ C′AB′= 30° , 设 AB′=x m . ∴ ∴ 基础巩固题 建筑物 BC 上有一旗杆 AB ,由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54° ,观察底部 B 的仰角为 45° ,求旗杆的高度(精确到 0.1m ) . A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解: 在等腰 Rt △ BCD 中,∠ ACD =90° , BC = DC =40m. 在 Rt△ ACD 中 , ∴ AB = AC - BC =55.2 - 40=15.2 ( m ) . 课堂检测 能力提升题 ∴ AC=DC· tan∠ ADC =tan54 °× 40≈1.38×40=55.2 ( m ) 解: 由题意, AC = AB = 610 (米) . 拓广探索题 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔.如图所示,新电视塔高 AB 为 610 米,远处有一栋大楼,某人在楼底 C 处测得塔顶 B 的仰角为 45° ,在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39° .( tan39 ° ≈0.81 ) ( 1 ) 求大楼与电视塔之间的距离 AC ; 课堂检测 解: DE = AC = 610 (米) , 在 Rt△ BDE 中 , . ( 2 ) 求大楼的高度 CD (精确到 1 米) ∴ BE = DE tan39° . ∵ CD = AE , ∴ CD = AB - DE ·tan39° = 610 - 610×tan39° ≈116 (米) . 课堂检测 拓广探索题 利用仰俯角解直角三角形 仰角、俯角 的概念 运用 解直角三角形 解决仰角、俯角问题 课堂小结 利用方 向 角、坡度解直角三角形 第三课时 返回 宜宾是国家级历史文化名城,大观楼是其标志性建筑之一 ( 如图① ) .喜爱数学的小伟决定用 所学 的知识测量大观楼的高度,如图②所示,他站在点 B 处利用测角仪测得大观楼最高点 P 的仰角为45°,又前进了12 m到达点 A 处,测得点 P 的仰角为60°.请你帮助小伟算一算大观楼的高度 ( 测角仪的高度忽略不计,结果保留整数 ) . 导入新知 图② 图① 1. 正确理解 方向角 、 坡度 的概念 . 2. 能运用解直角三角形知识解决 方向角、 坡度 的问题 . 素养目标 3. 能够解决与解直角三角形有关的 实际问题 ,如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等 . 方向角的定义: 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90° 的角叫做 方向角 。 北偏东 30° 南偏西 45° 30° 45° B O A 东 西 北 南 探究新知 知识点 1 方向角的有关问题 也叫西南方向 探究新知 注意 ( 1 )因为方向角是 指北或指南方向线与目标方向线所成的角,所以方向角通常都写成“ 北偏 …… ” , “ 南偏 …… ” , 的形式 . ( 2 )解决实际问题时,可利用正 南、 正北 、 正西 、 正东 方向线构造直角三角形 来求解 . ( 3 )观测点不同,所得的方向角也不同,但各个观测点的 南北方 向线是互相平行 的,通常借助于此性质进行 角度转换 . 例 1 如图,一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向,距离灯塔 80 n mile 的 A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处,这时,海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远(结果取整数)? 65° 34° P B C A 探究新知 有关方向角的实际问题 —— 距离 素养考点 1 解: 如图 ,在 Rt△ APC 中 , PC = PA ·cos ( 90° - 65° ) =80×cos25° ≈80×0.91 =72.505 . 在 Rt△ BPC 中, ∠ B =34° , 因此,当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时, 它距离灯塔 P 大约 130n mile . 65° 34° P B C A 探究新知 探究新知 归纳总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的 一般过程 是: ( 1 )将实际问题 抽象为数学问题 (画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); ( 2 )根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去 解直角三角形 ; ( 3 )得到 数学问题 的答案; ( 4 )得到 实际问题 的答案. 巩固练习 1. 美丽的东昌湖滨位于江北水城 , 周边景点密布 . 如图所示 , A 、 B 为湖滨的两个景点 , C 为湖心一个景点 . 景点 B 在景点 C 的正东 , 从景点 A 看 , 景点 B 在北偏东 75° 方向 , 景点 C 在北偏东 30° 方向 . 一游客自景点 A 驾船以每分钟 20 m 的速度行驶了 10 分钟到达景点 C , 之后又以同样的速度驶向景点 B , 该游客从景点 C 到景点 B 需用多长时间 ( 精确到 1 分钟 ) ? 解: 根据题意,得 AC =20×10=200 ( m ) . 如图所示,过点 A 作 AD ⊥ BC 于点 D . 在 Rt △ ADC 中, , DC = AC ·sin ∠ CAD =200·sin 30°=100. 在Rt△ ADB 中, . ∴ . ∴ ( 分) . 例 2 海中有一个小岛 A ,它周围 8 海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在 B 点测得小岛 A 在北偏东 60° 方向上,航行 12 海里到达 C 点,这时测得小岛 A 在北偏东 30° 方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险? B A C 60° 素养考点 2 探究新知 有关方向角的实际问题 —— 预测路线 30° 解: 过 A 作 AF ⊥ BC 于点 F , 则 AF 的长是 A 到 BC 的最短距离 . ∵ BD∥CE∥AF , ∴∠ DBA= ∠ BAF= 60 °, ∠ ACE= ∠ CAF =30° , ∴∠ BAC= ∠ BAF - ∠ CAF =60 °- 30 ° =30 ° . 北 东 A C B 60 ° 30 ° D E F 探究新知 又 ∵∠ ABC =∠ DBF - ∠ DBA = 90 °- 60 ° =30 ° =∠ BAC , ∴ BC = AC =12 海里 , , 故渔船继续向正东方向行驶, 没有触礁的危险. 北 东 A C B 60 ° 30 ° D E F 探究新知 ∴ ( 海里 ) , 2. 如图所示, A 、 B 两城市相距 200km . 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 ( 即线段 AB ) ,经测量,森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上.已知森林保护区的范围在以 P 点为圆心, 100km 为半径的圆形区域内,请问:计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区 ( 参考数据 : ≈1.732 , ≈1.414 ) ? 巩固练习 北 东 解: 过点 P 作 PC ⊥ AB 于点 C . 则 ∠ APC =30°,∠ BPC =45°, AC = PC ·tan30°, BC = PC ·tan45°. ∵ AC + BC = AB , ∴ PC · tan30°+ PC · tan45°=200, 即 , 解得 PC ≈126.8km>100km . 答: 计划修筑的这条高速公路不会 穿越保护区. C 巩固练习 解直角三角形有广泛的应用,解决问题时,要根据实际情况灵活运用相关知识,例如,当我们要测量如图所示大坝 或山 的高度 h 时, 我们无法直接测量 , 我们又该如何呢? h h α α l l 知识点 2 坡度、坡角有关的问题 探究新知 【 思考 】 如图,从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC ,问哪条路比较陡? 如何用数量来刻画哪条路陡呢? A B C 探究新知 坡角: 坡面与水平面的夹角叫做 坡角 ,用字母 α 表示。 坡度(坡比): 坡面的铅直高度 h 和水平距离 l 的比叫做 坡度 ,用字母 i 表示,如图,坡度通常写成 的形式。 h l 坡度越大 坡角越大 坡面越陡 探究新知 α 水平面 坡面 ( 1 )斜坡的坡度是 ,则坡角 α =____ 度 . ( 2 )斜坡的坡角是 45 ° ,则坡比是 _____. ( 3 )斜坡长是 12 米,坡高 6 米,则坡比是 _______. α l h 30 1 : 1 巩固练习 3. 完成下列各题 例 3 如图,防洪大堤的横截面是梯形 ABCD ,其中 AD ∥ BC ,α=60°,汛期来临前对其进行了加固,改造 后的背水面坡角β=45°.若原坡长 AB =20m,求改造后 的坡长 AE . ( 结果保留根号 ) 探究新知 利用坡度、坡角解答大坝问题 素养考点 1 解: 过点 A 作 AF ⊥ BC 于点 F , 在 Rt△ ABF 中, ∠ ABF =∠ α =60° , 则 AF = AB ·sin60°= ( m ) , 在 Rt△ AEF 中,∠ E =∠ β =45° , 则 ( m ) . 故改造后的坡长 AE 为 m. F 探究新知 4. 如图,某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 ( 横断面为梯形 ABCD ) 急需加固,背水坡的坡角为 45° ,高 10 米.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:沿背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽 2 米,加固后背水坡 EF 的坡比 .求加固后坝底增加的宽度 AF . ( 结果保留根号 ) A B C D E F 45° 巩固练习 A B C D E F 45° G H 解: 作 DG ⊥ AB 于 G , EH ⊥ AB 于 H , 则 GH = DE =2 米, EH = DG =10 米 . ( 米 ) , ( 米 ). 又 ∵ AG = DG =10 米, 故 加固后坝底增加的宽度 AF 为 米 . 巩固练习 ∴ ( 米 ). 例 4 如图,一山坡的坡度为 i =1:2 . 小刚从山脚 A 出发,沿山坡向上走了 240m 到达点 C . 这座山坡的坡角是多少度?小刚上升了多少米(角度精确到 0.01° ,长度精确到 0.1m )? i =1:2 探究新知 素养考点 2 利用坡度、坡角解答山坡问题 在 Rt△ ABC 中 ,∠ B =90° ,∠ A =26.57° , AC =240m , 解: 用 α 表示坡角的大小,由题意可得 因此 α ≈ 26.57°. 答: 这座山坡的坡角约为 26.57° ,小刚上升了约 107.3 m . 从而 BC =240×sin26.57°≈107.3 ( m ). 因此 探究新知 B A C i =1:2 5. 如图,小明周末上山踏青,他从山脚处的 B 点出发时,测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2 ,走   米到达山顶 A 处.这时,他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 3 0 ° .请求出点 B 和点 C 的水平距离. A C B D 30 ° 答案: 点 B 和点 C 的水平距离为 米. 巩固练习 E 1. (2018•徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽(精确到 0.1m )参考数据 : , 巩固练习 连接中考 连接中考 巩固练习 解: 在Rt△ CDE 中 ,∵ , ∴ , ∴ EF = AD = 6m, AF = DE =7m ∵四边形 AFED 是矩形, 答: 该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m. 在 R t△ ABF 中,∵∠ B =45°, ∴ BF = AF =7m, ∴ BC = BF + EF + EC ≈ 7+6+12.12=25.12≈25.1 ( m ) , 2 . (2018•重庆)如图, AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端 B 出发,先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C ,再经过一段坡度(或坡比)为 i=1:0.75 、坡长为 10 米的斜坡 CD 到达点 D ,然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E ( A , B , C , D , E 均在同一平面内).在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24° ,则建筑物 AB 的高度约为(参考数据: sin24°≈0.41,cos24°≈0.91,tan24°=0.45) (  ) A.21.7 米 B.22.4 米 C.27.4 米 D.28.8 米 A 巩固练习 连接中考 1. 如图, C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向, C 岛在 B 岛 的北偏西 40° 方向,则从 C 岛看 A , B 两岛的视角 ∠ ACB 等于 . 90° 基础巩固题 课堂检测 2 . 如图,某渔船在海面上朝正东方向匀速航行,在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上,航行半小时后到达 B 处,此时观测到灯塔 M 在北偏东 30° 方向上,那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是( ) A. 10 分钟 B. 15 分钟 C. 20 分钟 D. 25 分钟 B 课堂检测 基础巩固题 3 . 如图,海上 B 、 C 两岛分别位于 A 岛的正东和正北方向,一艘 船从 A 岛出发,以 18 海里/时的速度向正北方向航行 2 小时到达 C 岛,此时测得 B 岛在 C 岛的南偏东 43 ° 方向,则 A 、 B 两岛之间的距离为 . ( 结果精确到 0.1 海里, 参考数据: sin43°=0.68, cos43°=0.73, tan43°=0.93 ) 33.5海里 课堂检测 基础巩固题 水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽 6m ,坝高 23m ,斜坡 AB 的坡度 i =1∶3 ,斜坡 CD 的坡度 i =1∶2.5 ,求: ( 1 ) 斜坡 CD 的坡角 α ( 精确到 1° ) ; A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解: 斜坡 CD 的坡度 i = tan α = 1 : 2.5=0.4 ,由计算器可算得 α ≈22 ° . 故 斜坡 CD 的坡角 α 为 22 ° . 课堂检测 能力提升题 解: 分别过点 B 、 C 作 BE ⊥ AD 于 E , CF ⊥ AD 于 F , 由题意可知 BE = CF =23m , EF = BC =6m. 在 Rt△ ABE 中, ( 2 ) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 ( 精确到 0.1m ). E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 课堂检测 能力提升题 在 Rt△ ABE 中,由勾股定理可得 在 Rt△ DCF 中,同理可得 故坝底 AD 的长度为 132.5m ,斜坡 AB 的长度为 72.7m . ∴ AD=AE+EF+FD= 69+6+57.5=132.5 ( m ) FD =2.5 CF =2.5×23=57.5 ( m ) , 课堂检测 A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 E F 能力提升题 解: 作 DE ⊥ AB 于 E , CF ⊥ AB 于 F , 由题意可知 D E = CF = 4 ( 米 ) , CD = EF = 12 ( 米 ) . 一段路基的横断面是梯形,高为 4 米,上底的宽是 12 米, 路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30° ,求路基下底的宽 ( 精确到 0.1 米, , ).   45° 30° 4 米 12 米 A B C D 在 Rt△ ADE 中, E F 课堂检测 拓广探索题 在 Rt△ BCF 中,同理可得 因此 AB = AE + EF + BF ≈4 + 12 + 6.93≈22.9 ( 米 ) . 答: 路基下底的宽约为 22.9 米. ( 米 ) . ( 米 ) . 45° 30° 4 米 12 米 A B C D E F 课堂检测 拓广探索题 解直角三角形的应用 坡度问题 方向角 问题 坡角 坡度 ( 或坡比 ) 课堂小结