九年级数学上册第二十四章圆24-2点和圆直线和圆的位置关系 切线长定理4 21页

第 24 章 切线长定理4 24.2.2 直线与圆（ 3 ） 1. 了解切线长的概念。 2. 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练并能运用它解决实际问题。 3. 经历探究切线长定理的过程，进一步体会圆的对称性。 学习目标： 复习 1 、切线的判定定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2 、切线的性质归纳 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件。这三个条件是： (1) 过圆心； (2) 过切点； (3) 垂直于切线。 如图，纸上有一⊙ O ， PA 为⊙ O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B 。 1 、 OB 是⊙ O 的一条半径吗？ 2 、 PB 是⊙ O 的切线吗？ O P A O P A B 经过圆外一点，可以做圆的 条切线 2 活 动 一 O P A B 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 切线长概念 如右图，线段 PA ， PB 叫做点 P 到⊙ O 的切线长，对吗？ 想一想：切线和切线长是一回事么？ P (1) 切线是一条与圆相切的直线，不能度量 . (2) 切线长是一条线段的长，它是一个数量 , 可以度量 . O P A B 注意：切线和切线长是两个不同的概念 概念辨析 如图，纸上有一⊙ O ， PA 为⊙ O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B 。 利用图形轴对称性解释 3 、 PA 、 PB 有何关系？ 4 、 ∠ APO 和 ∠ BPO 有何关系？ O P A O P A B PA=PB ∠ APO= ∠ BPO 活 动 二 O P A B 推理论证 已知：从⊙ O 外的一点 P 引两条切线 PA ， PB ，切点分别是 A 、 B. 求证： AP=BP ， ∠ OPA=∠OPB O P A B 证明：连接 OA ， OB ∵PA ， PB 与⊙ O 相切， 点 A ， B 是切点 ∴ OA⊥PA ， OB⊥PB 即 ∠ OAP=∠OBP=90° ∵ OA=OB ， OP=OP ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL) ∴ PA = PB ∠OPA=∠OPB 切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 PA 、 PB 分别切⊙ O 于 A 、 B PA = PB ∠ OPA=∠OPB 符号语言 : B O P A 归纳 ：切线长定理为证明 线段相等 、 角相等 提供新的方法 应用新知 1 、判断 （ 1 ）过一点可以做圆的两条切线（ ） （ 2 ）切线长就是切线的长。（ ） × × 2 、已知 PA 、 PB 与⊙ O 相切于点 A 、 B ，⊙ O 的半径为 2 （ 1 ）若四边形 OAPB 的周长为 10 ，则 PA= 。 （ 2 ）若∠ APB=60° ，则 PA= _______ 。 O P A B 3 2 2 30° 4 已知： PA 、 PB 分别与⊙ O 切于点 AB ，连接 AB 交 OP 于点 M ，那么 OP 除了平分∠ APB 以外，还有什么作用？ 请说明理由。 (1)OP 垂直平分 AB 思考 A P O B M (3)OP 平分∠ AOB 即 OP⊥AB ， AM=BM 即 ∠ AOP=∠BOP (2)OP 平分 ⌒ AB ⌒ AM ⌒ BM 即 = 切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。 （ 3 ）连结圆心和圆外一点 （ 2 ）连结两切点 （ 1 ）分别连接圆心和切点 在解决有关圆的切线长问题时，往往需要我们构建基本图形。 归纳：作辅助线方法 A P O B M 练习： PA 、 PB 是⊙ O 的两条切线， A 、 B 为切点，直线 OP 交于⊙ O 于点 D 、 E ，交 AB 于 C 。 A B P O C E D （ 1 ）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA ， OB ⊥PB ， AB ⊥OP （ 2 ）写出图中所有的全等三角形 △ AOP≌ △BOP ， △ AOC≌ △BOC ， △ ACP≌ △BCP （ 3 ）写出图中所有的等腰三角形 △ ABP △AOB 例：如图， PA 、 PB 分别切 ⊙ O 于 A 、 B ， CD 与 ⊙ O 切于点 E ，分别交 PA ， PB 于 C 、 D ，已知 PA=7cm ，求△ PCD 的周长． C · O P B D A E 例题 C · O P B D A E 证明 ： ∵ PA 、 DC 为⊙ O 的切线 ∴ DA=DE （切线长定理） 同理可证 CE=CB ， PA=PB 又∵ C △PCD =PD+PC+CD =PD+PC+DE+CE =PA+PB =7+7 =14 cm 课堂小结 1 、切线长概念 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 2 、切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 3 、切线长定理为证明线段相等，角相等，弧相等，垂直关系提供了理论依据。 4 、圆的外切四边形的两组对边的和相等． D L M N A B C O P 练习： 如图，四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 和圆⊙ O 分别相切于点 L 、 M 、 N 、 P 求证： AD+BC=AB+CD 证明： ∴ AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP 即 AB+CD=AD+BC 补充结论：圆的外切四边形的两组对边的和相等． D L M N A B C O P ∴ AL=AP ， LB=MB, NC=MC ， DN=DP ∵四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 和圆⊙ O 分别相切于点 L 、 M 、 N 、 P