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- 2021-11-10 发布
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通过复习.掌握一元二次方程的概念.并能够熟
练的解一元二次方程.并且利用一元二次方程解决
实际问题.
一
元
二
次
方
程
一般形式
解法
根的判别式:
根与系数的关系:
应用
配方法求最值问题
实际应用
思想方法 转化思想; 配方法、换元法
2 4b ac
1 2 1 2,b cx x x x
a a
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
2( ) 0x a b b
2 2
2 0
2 2
b bx bx x c c
2 4 0
2
b b acx
a
( )( ) 0x a x b
ax2+bx+c=0 (a≠0)
一元二次方程的概念
下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
A.3(x+1)2=2(x+1) B.
2
1 1
x x
C.x2+xy+y2=0 D.x2+2x=x2-1
-2=0
等号两边都是整式.只含有一个未知数(一元).并且未
知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
特点: ①都是整式方程.
②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
A
(1)4x- x² + =0 (2)3x² - y -1=0
(3)ax² +bx+c=0 (4)x + =0
2
1
3
x
1
试一试
1.判断下列方程是不是一元二次方程
是 不是
不一定 不是
2.关于x的方程(m²-1)x²+(m-1)x-2m+1=0.
当m 时是一元二次方程
当m= 时是一元一次方程.
当m= 时.x=0.
3.若(m+2)x 2 +(m-2)x-2=0是关于x的一元二次方
程则m 。
≠±1
-1
≠-2
当 时,它不是一元二次方程.0a
0a当 时,它是一元二次方程;
方程2ax2 -2bx+a=4x2,
(1)在什么条件下此方程为一元二次方程?
(2)在什么条件下此方程为一元一次方程?
解: 原方程转化为(2a-4) x2 -2bx+a=0
当a≠2时是一元二次方程;
当a=2,b≠0时是一元一次方程;
(a,b,c为常数,a≠0)
一元二次方程的一般形式
1.判断下面哪些方程是一元二次方程
2 2
2
2
2 1
x
2
y 2
4
(1)x -3x+4=x -7 ( )
(2) 2X = -4 ( )
(3)3 X+5X-1=0 ( )
(4) 3x - 2 0 ( )
(5) 1 3 ( )
(6) 0 ( )
x
y
√
√
×
×
×
×
试一试
2.当k 时,方程 是关于x
的一元二次方程.
123 22 xxkx≠2
3.方程2x(x-1)=18化成一般形式为 其中常
数项为 .二次项为 .一次项为 .二次项系数
为 .一次项系数为 .
x2-x-9=0
-9 x2
1 -1
-x
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解.
一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
一元二次方程的根
1.已知x=-1是方程x²-ax+6=0的一个根.则a=___,
另一个根为__.
- 7
6
2.若关于X的一元二次方程 的一
个根为0.则a的值为( )
011 22 axxa
B
A.1 B.-1 C. 1或 -1 D. 4
1
3、一元二次方程ax²+bx+c =0,
若x=1是它的一个根,则a+b+c= .
若a-b+c=0,则方程必有一根为 .
0
-1
4.一元二次方程3x2=2x的解是 .
5.一元二次方程(m-2)x2+3x+m2-4=0有一解为0.则m的
值是 .
7.一元二次方程ax2+bx+c=0有一根-2,则 的值为 4a+c
b
6.已知m是方程x2-x-2=0的一个根那么代数式m2-m = .
x1=0,x2= 3
2
m=-2
2
2
02 cbxax一元二次方程 )0( a
,042 acb
,042 acb
,042 acb
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
一元二次方程的根的情况
不求根,判别一元二次方程 根的情况.0234 2 xx
所以此方程没有实根.
1.已知x=-1是方程x²-ax+6=0的一
个根,则a=___另一个根为__
2.若关于X的一元二次方程
的一个根为0,则 的值为( )
2 2( 1) 1 0a x x a- + + - =
a
A.1 B.-1 C.1或-1 D.
1
2
-7 -6
B
试一试
解一元二次方程的方法
一元二次方程的几种解法
(1)直接开平方法 (2)因式分解法
(3)配方法 (4)公式法
例:(2)
23 x
一元二次方程的解法:
2 6 7 0x x
解: 2 6 7x x
注:当一元二次方程二次项系数为1且一次项系数
为偶数时常用配方法比较简便。
2 6 9 7 9x x
23 2x
(配方法)
— —
23,23 21 xx
配方时应注意
①先将二次项系数
转化为1
②两边都加上一次
项系数一半的平方
配方法解一元二次方程的解题过程
1.把方程化成一元二次方程的一般形式.
2.把二次项系数化为1.
3.把含有未知数的项放在方程的左边,不含未知
数的项放在方程的右边.
4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方.
5.方程的左边化成完全平方的形式,方程的右边化
成非负数.
6.利用直接开平方的方法去解.
例:(3)
一元二次方程的解法:
22 3 4 0x x
解:
1 2
3 41 3 41,
4 4
x x
2, 3, 4a b c
2 4b ac 23 4 2 4
9 32 41
3 41
2 2
x
(公式法)
注:当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
公式法解一元二次方程的解题过程
1. 把方程化成一元二次方程的一般形式
2. 写出方程各项的系数(系数包括前面符号)
3. 计算出b2-4ac的值,看b2-4ac的值与0的关
系,若b2-4ac的值小于0,则此方程没有实
数根 。
4. 当b2-4ac的值大于、等于0时, 代入求根
公式 计算出方程的解
4
2
4 0ac
a
ac
2
2-b b
bx= ( )
(因式分解法)
解:原方程化为 (y+2) 2﹣3(y+2)=0
(y+2)(y+2-3)=0
(y+2)(y-1)=0
y+2=0 或 y-1=0
∴y1=-2 y2=1
把y+2看作一个
整体,变成
a×b=0形式(即
两个因式的积
的形式)。
例: 22) 3( 2)y y (
一元二次方程的解法:
注:在解一元二次方程时, 要先观察方程,选择适当的方法.配
方法、公式法适用于任何一个一元二次方程,但公式法首先
要将方程转化为一般式,而因式分解法只适用于某些一元二
次方程.总之它 的基本思路就是将二次方程转化为一次方程,
即降次.
因式分解法的解题过程
1.移项,使方程的右边为0。
2.将方程左边分解因式 。
3.令每个因式分别为零,得到两个一元
一次方程。
4.解这两个一元一次方程,它们的解就
是原方程的解。
1、用配方法解方程2x² +4x +1 =0,配方后得到的方程
是 。
maa mm 是同类项,则与若 944 59
2
4.方程2 x ²-mx-m² =0有一个根为 – 1,则m= ,另一个根
为 。
2(x+1)²=1
5或-1
2或-1
2或1/2
3.已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是2,则k=_____
它的另一个根______.
-7
-3/5
2.
1 D. 2 C. 2 . 2 A.
) ( ,
01 .7
022 D. 022 C.
0cb . 0cb A.
). (,,,02)2(
)2( 1 .6
D. 0 C. 1 B. 1 A.
). (,
,0 .5
2
2
2
B
p
pxxx
cba cba
aBa
cbaacxcb
xbax
cab
cbxaxx
的值为则身实数根的倒数恰是它本
的一个的一元二次方程若关于
满足的关系是则的根
的一元二次方程是关于已知
不能确定
一个根为则至少可以确定方程的满足
且的一元二次方程已知关于
.______ ,
04 32 .7
.________
, 06 .6
._______ , 4
02 .5
._____ , 0 2 .4
2
2
2
2
2
的值是则的一个根
的一元二次方程是关于已知
的值等于
则代数式的一个根为方程已知
的值是则是
的一个根的一元二次方程关于
则的一个根是方程已知
c
cxxx
mm
xxm
t
ttxxx
ccx
8. 已知: (a2+b2)(a2+b2-3)=10, 求 a2+b2 的值。
4
3
8
-6
1
2,5:
2,5:
0103:,:
2222
222
baba
xx
xxbax
或即
或解得
则原方程化为设分析
(舍去)
.
,0)()(2)(
,,,.1
2
是等腰三角形
则有两个相等的实数根
的一元二次方程若关于的三条边的长是已知
ABC
baxabbc
xABCcba
x
是等腰三角形
)(, 或
))((根 方程有两个相等的实数
))((
)()()(
)()(
))((证明: )(
ABC
bccabacaba
caba
caba
bacbaabcacab
bcabacab
babc
a
bab
ab
000
04
4
]][44
424
4
2
222
2]2[
.
0)1(,.2 2
的完全平方式 是关于
二次三项式为何值时
x
kxkk x
的完全平方式。是关于
)(
时,当
则有两个相等的实数根,)(解:若方程
)(
)(
x
xkxk
kk
kk
kxk
xxx
kk
x
1
1
222
22
2
121
11
0124
01
小结:
1.会判断一个方程是不是一元二次方程,能够熟
练地将一元二次方程化为一般形式,并准确地
写出其各项的系数。
2.能灵活运用一元二次方程的四种基本解法求方
程的解。
3.能根据方程根的定义解决有关问题。
本节课我们主要复习了一元二次方程的定义和解
法,要求大家掌握以下几点:
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标(RJ)
【针对第6题训练 】
1.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( )
A.-1 B.2
C.1和2 D.-1和2
2.方程x(x-1)=2的解是( )
A.x=-1 B.x=-2
C.x1=1,x2=-2 D.x1=-1,x2=2
D
D
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
2.若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有实数根,则a的
取值范围是________.
3.如果方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根,则实数a
的取值范围是____________________.
a≤1
a<1且a≠0
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
3.已知关于x的一元二次方程x2-x-m=0有两个不相等的
实数根,则实数m的取值范围是________.
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
【针对第8题训练 】
1.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一
张表示留念,全班共送1035张照片,如果全班有x名同学,根据
题意,列出方程为( )
A.x(x+1)=1035
B.x(x-1)=1035
C.x(x-1)=1035×2
D.2x(x+1)=1035
B
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
2.生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员
各赠送一件,全组共互赠了182件,如果全组有x名同学,则根
据题意列出的方程是________________.
3.某地举行一次乒乓球比赛,在女子单打的第一轮比赛中,
每一个选手都和其他选手进行一场比赛,优胜者将参加下一轮
比赛.
(1)如果第一轮有10名选手参加比赛,则一共要进行________
场比赛;
x(x-1)=182
45
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
(2)如果第一轮有n名选手参加比赛,则一共要进行________
场比赛;
(3)如果第一轮共进行了300场比赛,则参加这次乒乓球女子
单打比赛的选手共有多少名?
25名
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
2.如图JD1-2所示,某幼儿园有一道长为16米的墙,计划
用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪
ABCD.求该矩形草坪BC边的长.
图JD1-2
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
阶段综合测试一┃ 试卷讲练
【针对第23题训练 】
1.某旅游景点三月份共接待游客25万人次,五月份共接待
游客64万人次,设每月的平均增长率为x,则可列方程为( )
A.25(1+x)2=64 B.25(1-x)2=64
C.64(1+x)2=25 D.64(1-x)2=25
A
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是
( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2. 方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.下列一元一次方程中,有实数根的是
( )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
C
316x
3
2
5.0 x
a 3 25 例2:在 、 、 、 、
中,最简二次根式的个数是 ____. 1
1 21, 4x x
x 2 11 6 8 0kk x x 2.关于 的一元二次方程
的解为_________________。
例9:某公司成立3年以来,积极向国家上交
利税,由第一年的200万元,增长到80
0万元,则平均每年增长的百分数是___
_ 100%
例10:已知m是方程x2-x-1=0的一个根
,则代数m2-m的值等于 1
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3:比较 和0.5的大小。
2
15
1:写出一个3到4之间的无理数 。
二次根式估算
B
c
A
C
D
D
(1)你能举出生活中的中心对称图形吗?
(2)下面的扑克牌中,哪些牌的牌面是中心对
称图形?
判断下列图形是中心对称图形还是轴对
称图形?是中心对称图形指明对称中心。
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
B
1.平面图形的旋转一般情况下改变图形的( )
A.位置 B.大小 C.形状 D.性质
2. 九点钟时,钟表的时针与分针的夹角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.把一个正方形绕它的中心旋转一周和原来的图形重合______
5.钟表上的时针随时间的变化而转动,这可以看做的数学上的____
6.钟表的分针经过20分钟,旋转了 ° .
7.等边三角形至少旋转 °才能与自身重合.
8.如图,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°,得到
的△ABB1是 三角形。
4:下列四个多边形:
①等边三角形;②正方形;③正五边形;
④正六边形.
其中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是
( )
A.①② B.②③ C.②④ D.①④
2.在①线段、 ②角、 ③等腰三角形、 ④等腰梯
形、⑤平行四边形、 ⑥矩形、 ⑦菱形、 ⑧正方形
和⑨圆中,是轴对称图形的有______________,是
中心对称图形的有____________,既是轴对称图形
又是中心对称图形的有____________.
①⑤⑥⑦⑧⑨
①②③④⑥⑦⑧⑨
①⑥⑦⑧⑨
在26个英文大写正体字母中,哪些字母
是中心对称图形?哪些字母是轴对称图形?
02-5)1( 22 mmxxm
1.若关于x的一元二次方程
的常数项为0,则m=______.
4(x+1)2 = 9(2x-5)2
04)23(4)23( 2 xx
01)1(3 xxx
解方程:
22 ___)(2_________52 xxx
22 ___)(3_________43 xxx
Ø课时训练
1.一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况
是 ( )
A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根
D
2.方程x2-3x+1=0的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D.只有一个实数根
A
3.下列一元一次方程中,有实数根的是
( )
A.x2-x+1=0 B.x2-2x+3=0
C.x2+x-1=0 D.x2+4=0
C
1.关于x的方程
在什么条件下是一元二次方程?
在什么条件下是一元一次方程?
03 2 mnxxm
课堂练习
?
A.1 B.-1 C.1或-1 D.0
B
-1
1
2
x 3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.07
A 3<x <3.23
C 3.24<x <3.25 D 3.25<x <3.26
B 3.23<x <3.24
C
2.用配方法解一元二次方程x2-4x=5的过程中,配
方正确的是( )
(A)(x+2)2=1 (B)(x-2)2=1
(C)(x+2)2=9 (D)(x-2)2=9
【解析】选D.由x2-4x=5,得x2-4x+4=5+4,即(x-
2)2=9.
4、若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+k=0的一个
根是-2,则另一个根是______.
【解析】把x=-2代入方程x2+(k+3)x+k=0得(-
2)2+(k+3)×(-2)+k=0,
解得k=-2,
∴此方程为x2+x-2=0,
解得x1=1,x2=-2,
∴此方程的另一个根为x=1.
答案:1
3.钟表的分针经过40分钟,那么它转过的角度是( )
(A)120° (B)240° (C)150° (D)160°
【解析】选B.分针1分钟旋转6°,那么40分钟就旋转了240°.
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2010·常州中考)下列运算错误的是( )
【解析】选A.在该题中 和 是不能合并的,所以A是错的.2 3
2.(2010·山西中考)估算 -2的值( )
(A)在1和2之间 (B)在2和3之间
(C)在3和4之间 (D)在4和5之间
【解析】选C.∵25<( )2=31<36,∴5< <6,∴3<
-2<4,所以答案选C.
31
31 31 31
3. 的值为( )
(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)-9
【解析】选B. =-|-3|=-3,答案选B.
2- (-3)
2- (-3)
4.(2010·中山中考)下列式子运算正确的是( )
【解析】选D. 和 是不能合并的,所以A是错的; =2 ,
所以B是错的; ,所以C是错的.答案选D.
2 3 28
二、填空题(每小题6分,共24分)
6.(2010·青岛中考)化简: =_____.
【解析】
答案:
48- 3
7.若实数x,y满足 +(y- )2=0,则xy的值是_____.
【解析】由题意可得x+2=0,y- =0.
∴x=-2,y= ,∴xy=-2 .
答案:-2
x+2
3
3 3
3
3
8.化简:(2+ )2 011(2- )2 010=_____.
【解析】原式=(2+ )(2+ )2 010(2- )2 010
=(2+ )[(2+ )(2- )]2 010
=(2+ )(4- )2 010=2+ .
答案:2+
5
5 5
555
5 5
5
5
5
5
13.(12分)观察下列分母有理化的计算:
从计算结果中找出规律,并利用这一规律计算:
【解析】
类型三 二次根式的运算
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2010·常州中考)下列运算错误的是( )
【解析】选A.在该题中 和 是不能合并的,所以A是错的.2 3
2.(2010·山西中考)估算 -2的值( )
(A)在1和2之间 (B)在2和3之间
(C)在3和4之间 (D)在4和5之间
【解析】选C.∵25<( )2=31<36,∴5< <6,∴3<
-2<4,所以答案选C.
31
31 31 31
3. 的值为( )
(A)3 (B)-3 (C)±3 (D)-9
【解析】选B. =-|-3|=-3,答案选B.
2- (-3)
2- (-3)
4.(2010·中山中考)下列式子运算正确的是( )
【解析】选D. 和 是不能合并的,所以A是错的; =2 ,
所以B是错的; ,所以C是错的.答案选D.
2 3 28
判断下列方程是不是一元二次方程,若不是一元二
次方程,请说明理由?
1、(x-1)2=4 2、x2-2x=8
4、x2=y+1
5、x3-2x2=1 6、ax2 + bx + c=1
3、x2+ =1
x
1
×
√ √
×
× ×
2
2、若方程
是关于x的一元二次方程,则m的值为 。
02)1()2( 22
xmxm m
3.若x=2是方程x2+ax-8=0的解,则a= ;2
4、写出一个根为2,另一个根为5的一元二次方
程 。
1、若 是关于x的一元二次
方程则m 。
0222 2 xmxm
≠- 2
2、已知一元二次方程x2=2x 的解是( )
(A)0 (B)2 (C)0或-2 (D)0或2
D
1、已知一元二次方程(x+1)(2x-1)=0的解是( )
(A)-1 (B)1/2 (C)-1或-2 (D)-1或1/2
D
用适当的方法解下列方程
24 3 1 0x x
21 3 0x x 22 (2 1) 9 0x
23 4 1x x
1
25
16
2x (1) 2x5 2x (2) 22 9x)-(x (3) 2
4x13 2x (4)
选择适当的方法解下列方程
(5)x(2x-7)=2x (6)x²+4x=3
(7)x²-5x=-4 (8)2x²-3x-1=0 (9) (x-1)(x+1)=x
(10) x (2x+5)=2 (2x+5) (11) (2x-1)2=4(x+3)2
(12) 3(x-2)2-9=0
已知方程x2+kx = - 3 的一个根是-1,则
k= , 另一根为______ 4 x=-3
2 5 0x x 2 1a a
6
若a为方程 的解,则 的值
为
22 132 yy
解方程:
223 xxx
解方程:
下列各式中,是二次根式的有几个?
?
(x﹥0), (a,b 异号)
42 6 (7) , a (6)
-ab (5)2x-(4)
,18 (3) 6, (2) ,4 (1)
2
x取何值时,下列各式有意义?
a-1√
a2+4√ a+1√ 3-a√+
已知a.b为实数,且满足
求a与b 的值.
12112 bba
解:∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0,
又∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0,
∴a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。
∴a= -2 , b= 3 ,c= 4。
∴2a-b+c=2×(-2) -3+4 = -3。
随堂练习:
2)4( 2)01.0( 2)
3
1(
2)0(
aa
2
(a≥0)
0
4 0.01 3
1
观察上述等式的两边,
你有什么结论?
2(1)( 3 ) ___ 21(2)( 3 ) ____
2
2(3)( 5 ) ____
23(4)( 2 ) ____
2
3
13
2
5
6
在实数范围内因式分解:4 - 3
?
2x
2
33 ∵
)32)(32(
3)2(34
222
xx
xx∴
解:
2(1) ( 1) ____
21(3) ( 2 ) ____
3
1
12
3
(2)√(-5)2 = 5
2
211
22 23 yxyx
(x﹤y)
212 x
(x>0 )
讨论与思考
将下列各式化简:
.
,12
的值求自然数
为一个整数
n
n
( 2005年·河南省)实数p在数轴上的位
置如图所示,化简 22 2)1( pp
1
21
)2(1
pp
pp
22 )()(
,,,)2(
cabcba
ABCcba
化简
的三边长为△已知
某百货大楼服装柜在销售中发现:“宝乐”
牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40
元.为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取
适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽
快减少库存.经市场调查发现:如果每件童装
降价4元,那么平均每天就可多售出8件.要想
平均每天在销售这种童装上盈利1200元,那么
每件童装应降价多少?
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
数学·新课标(RJ)
如图22-2,在宽为20米、长为30米的矩形地
面上修建两条同样宽的道路,余下部分作为耕
地.若耕地面积需要551米2,则修建的路宽应
为多少米?
图22-2
第22章讲练 ┃ 试卷讲练
• 1 下列方程中是关于x的一元二次方程的
是( )
• A
• B
• C
• D
2
2
1 0x
x
2 0ax bx c
( 1)( 2) 1x x
2 23 2 5 0x xy y
2.已知 是关于x的
一元二次方程,则m =_______________.
3.将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化为一元二次
方程的一般式是
_________________________.
2 1( 1) 4 2 0mm x x
• 4 一元二次方程 x2=2x的根是 ( )
• A.x=2 B. x=0
• C.x1=0,x2=2 D. x1=0,x2= -2
• 5 已知方程x2+bx+a=0有一个根是-
a(a≠0),则是a - b的值为( )
• A.-1 B. 0 C.1 D.2
• 6 已知关于x的方程x2+mx-6=0的一个根
为2,则m=_____,另一个根是______.
用合适的方法解下列方程
• (1) (2x+1)2-25=0
• (2) 2x2-7x-2=0
• (3)(x+2)2=3(x+2)
• (4) x2+x-6=0
• ► 考点三 一元二次方程根的情况
• 一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)根的情况与
b2-4ac的值有关.
• 1.b2-4ac>0⇔方程有___________的实数
根.
• 2.b2-4ac=0⇔方程有___________的实
数根.
• 3.b2-4ac<0⇔方程____________实数
根.
[注意] b2-4ac≥0时一元二次方程有实数根.
两个不相等
两个相等
没有
• 1 下列关于x的一元二次方程中,有两个不
相等的实数根的方程是( )
A.x2+1=0 B.9x2-6x+1=0
C.x2-x+2=0 D.x2-2x-1=0
1.(2011•扬州)某公司4月份的利润为160万元,
要使6月份的利润达到250万元,则平均每月增
长的百分率是_______.
4. (2011•宿迁)如图,邻边不等的矩形花圃
ABCD,它的一边AD利用已有的围墙,另外三边
所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m2,
则AB的长度是 ____m(可利用的围墙长度超过
6m).
5.(2011•芜湖)如图,用两段等长的铁丝恰好可
以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正
五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长
为(x2+2x)cm (其中x>0).求这两段铁丝的
总长.
第21章 二次根式
第22章 一元二次方程
第23章 旋转
第24章 圆
第25章 概率初步
期末总复习
一、知识结构
第21章 二次根式
一、知识结构
第22章 一元二次方程
一、知识结构
第23章 旋转
一、知识结构
第24章 圆
一、知识结构
第25章 概率初步
二、知识归纳
关于二次根式的运算,由于二次根式的乘除相对
于二次根式的加减来说更易于掌握,教科书先安排二
次根式的乘除,再安排二次根式的加减。在“二次根
式”一章,主要是了解二次根式的概念及其加、减、
乘、除运算法则,并会用它们进行有关实数的简单四
则运算。
第21章 二次根式
二、知识归纳
在“一元二次方程”一章,主要是让大家能够根
据具体问题中的数量关系,列出一元二次方程,进一
步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型;
理解配方法,会用配方法、公式法、因式分解法解简
单的数字系数的一元二次方程。
第22章 一元二次方程
二、知识归纳
在“旋转”一章,主要是通过具体实例认识旋转
,探索它的基本性质,理解对应点到旋转中心的距离
相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性
质;能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形;了
解平行四边形、圆是中心对称图形;探索图形之间的
变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),灵活运
用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计
第23章 旋转
二、知识归纳
圆是一种常见的图形.在“圆”这一章,大家将
进一步认识圆,探索它的性质,并用这些知识解决一
些实际问题.通过这一章的学习,大家的解决图形问
题的能力将会进一步提高.在“圆”一章,主要是对
圆及其相关图形的认识,很多内容带有一定的综合
性.
第24章 圆
二、知识归纳
在“概率”一章,从频率的稳定值出发引出概率
的概念,介绍用频率估计概率的方法,都加强了概率
与统计的联系。主要是让大家在具体情境中了解概率
的意义,会用列举法计算简单事件发生的概率;知道
大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值;
通过实例进一步丰富对概率的认识,并能解决一些实
际问题.
第25章 概率
三、典型例题
02
1
21 )2()3()322(25.0
例1:计算
1
a 2 2122 aaa 如果1≤ ≤ ,则 的值是
引申:
三、典型例题
316x
3
2
5.0 x
a 3 25 例2:在 、 、 、 、
中,最简二次根式的个数是 ____. 1
2 12 22 32在中任取其中两个数相乘.
积为有理数的概率为 。
6
1
三、典型例题
例3:在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆
中,既是中心对称图形又是轴对称图形的图形
个数为____. 4
下列各图中,不是中心对称图形的是 B
三、典型例题
B
A C
A’
B
A B C
C B,
例4:如图,一块等腰直角的三角板 ABC在水平桌面
按顺时针方向旋转到 的位置,使A,
三点共线,那么旋转角度的大小为
上绕点C
’
三、典型例题
例5:一块等边三角形的木板,边长为1,现将木板
沿水平线翻滚(如图),那么B点从开始至结束所
走过的路径长度为________.
3
4
例6:已知:如图在平行四边形ABCD中,BC=2AB,
M为AD的中点,CE⊥AB于E.
求证:∠DME=3∠ AEM.
分析:由AB//CD,M为AD的中点,正符合中心对称
全等形的特征,故想到可延长EM证题.
A M
B C
D3
2
1
N
三、典型例题
构造中心对称
证法:
延长EM交CD的延长线于点N,连结CM
四边形ABCD是平行四边形
AD//CB,AD=CB,AB//CD,AB=CD
∠ AEM= ∠N, ∠ A=∠ AND
AM=DM
△AEM≌ △DNM
EM=NM
三、典型例题
CE⊥AB
∴CE⊥CD
∵CM=MN=EM
∴∠2= ∠N
又BC=2AB,
CD=DM
∠1=∠ 2
∠3= ∠2 +∠N
∠DME=3∠ N =3∠ AEM
三、典型例题
3
2
1
N
例7.如图,已知E、F分别在正方形ABCD的边
BC和CD上,且∠EAF=45°,AK为自A向EF所引
的垂线,K为垂足,
求证:AK=AB.
K
E
D
C
A
B
F
三、典型例题
旋转型
分析:
将 △ADF绕点A旋转至 △BAG,则AF=AG
∠FAD=∠GAB,∠FAD+ ∠BAE=45°,
∠GAB=45°
又AG=AF,
△AGE≌ △AFE
AK=AB
G
三、典型例题
K
E
D
C
A
B
F
三、典型例题
解方程: x x x x2 2 22 2 6 0
解:
设y x x 2 2
则原方程变形为:y y2 6 0
解之得: ,y y1 22 3
当 时, ,解之得:无解。y x x 2 2 22
当 时, ,解之得:y x x 3 2 32
x x1 21 2 ,
原方程的解为 ,x x1 21 2
三、典型例题
1 21, 4x x
x 2 11 6 8 0kk x x 关于 的一元二次方程
的解为_________________。
例9:某公司成立3年以来,积极向国家上交利税,
由第一年的200万元,增长到800万元,则平
均每年增长的百分数是____ 100%
三、典型例题
例10:已知m是方程x2-x-1=0的一个根
,则代数m2-m的值等于 1
011
2
2
x
x
x
x
x
x 1
已知实数x满足 ,那么
的值是 1或-2
三、典型例题
例11:一件产品原来每件的成本是100元,由于
连续两次降低成本,现在的成本是81元,则平均
每次降低成本_______ 9%
解方程:x2 -|x-1|-1=0
原方程的解是x=1或x=-2
三、典型例题
o
pA B
例12:如图:同心圆,大⊙O的弦AB切小⊙O于P,且
AB=6,则圆环的面积为 。9
三、典型例题
如图,在⊙ O中,CD是⊙ O的直径,弦AB⊥CD于
M,若OM=1厘米,OA=5厘米,则AB的长是
( ) 厘米 64
三、典型例题
例14:如图,半径为2的圆内有两条互相
垂直的弦AB和CD,它们的交点E到圆心O的
距离等于1,则 ________22 CDAB 28
三、典型例题
如图,已知AB是⊙O的直径,CD是切线,AE⊥CD于
E,BF⊥CD于F,且AE=4cm,BF=10cm,则⊙O的直
径为__________ 14cm
三、典型例题
例15:如图,在Rt△ABC中,
∠C=90°,AC=4,BC=3,以BC上一点
O为圆心作⊙O与AC、AB相切,又⊙O
与BC的另一个交点为D,则线段BD的
长为
3
1
如图,AC为⊙O的切线,
切点为A,点B在⊙O上,
如果∠CAB=55°,则
∠AOB等于________ 110°
三、典型例题
例16:已知⊙ O的半径OA=6,扇形OAB的面积等
于12π,则弧AB所对的圆周角的度数是 60°
已知关于x的一元二次方程x2-2(R+r)
x+d2=0没有实数根,其中R、r分别为⊙ O1
、⊙ O2的半径,d为两圆的圆心距,则⊙ O1与⊙
O2的位置关系是 外离
三、典型例题
例17:有一个1万人的小镇,随机调查3000人,其
中450人,其中450人看过《士兵突击》,在该镇随
便问一人,他(她)看《士兵突击》的概率是
20
3
三、典型例题
例18:一个口袋中有8个黑球和若干个白球,(不许将
球倒出来数)从口袋中随机摸出一球,记下其颜色,再
把它放回口袋中,不断重复上述过程,如果共摸了200
次,其中有60次摸到黑球,那么请你估计口袋中大约
有多少个白球?
为了估计池塘里有多少条鱼,从池塘里捕捞了
1000条鱼做上标记,然后放回池塘里,经过一段时
间,等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后,再捕捞
200条,若其中有标记的鱼有10条,则估计池塘里
有鱼______________条 .20000
例19:从一副扑克牌(除去大小王)中任抽一张。
P (抽到红心) = ;
P (抽到黑桃) = ;
P (抽到红心3)= ;
P (抽到5)= 。
1
4
-
1
4
-
1-
52
1-
13
三、典型例题
三、典型例题
例20:小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏,转
动两个转盘各一次,若两次数字和为奇数,则小莉胜
;若两次数字和为偶数,则小慧胜.这个游戏对双方
公平吗?试用列表法或树状图加以分析.
总共有12,种结果,每种结果出现的可
能性相同,而两数和为奇数的结果有6
种