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- 2021-11-10 发布
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23 2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷
第Ⅰ卷(机读卷 共32分)
一、选择题(共8个小题,每小题4分,共32分)
1.-4的倒数是( )
A.4 B.-4 C. D.
2.下列各式计算正确的是( )
A.3x-2x=1 B.(x2)3=x5
C.x3·x=x4 D.(a+b)(b-a)=a2-b2
3.人体中红细胞的直径约为0.0000077m,将数字0.0000077用科学记数法表示为( )
A.7.7×10-5 B.7.7×10-6
C.77×10-7 D.0.77×10-5
4.要比较两位同学在五次体育测验中谁的成绩比较稳定,应选用的统计量是( )
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.方差
5.函数中,自变量x的取值范围是( )
A.x≥-2且x≠0 B.x≥-2
C.x>-2且x ≠0 D.x>-2
6.某校准备在八年级(1)班的10名团员中选2名作为“奥运志愿者”,其中团员晶晶被选中的概率为( )
A. B. C. D.
7.下列所给的正方体的四个展开图中,是中心对称图形的有( )
第7题图
A.①②③ B.①②④
C.②③④ D.①②③④
8.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c,OA=OC,下列关系式中正确的是( )
第8题图
A.ac+1=b B.ab+1=c
C.bc+1=a D.ab+c=0
第Ⅱ卷(非机读卷 共88分)
二、填空题(共4个小题,每小题4分,共16分)
9.因式分解ax2-10ax+25a=________.
10.下面是按一定规律排列的北京2008奥运会28项比赛项目中的五项比赛项目的图标(如图),按此规律画出的第2008个图标应该是________.(请在横线上写出符合题意的比赛项目名称)
第10题图
11.如图,△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,以点C为圆心、CA长为半径的圆交AB于点D,若AC=6,则的长为_______.
第11题图
12.已知等腰三角形ABC内接于半径为5的⊙O中,如果底边BC的长为8,那么底角的正切值是________.
三、解答题(共13个小题,共72分)
13.(5分)计算2-1+-4sin60°-(-)0.
14.(5分)已知a2-a-1=0,求代数式的值.
15.(5分)解方程.
16.(5分)为了让学生知道更多的奥运知识,某中学举行了一次奥运知识竞赛.为了解这次竞赛的成绩情况,抽取部分学生成绩(成绩取整数,满分为100分)作为样本,绘制了如下的直方图,请结合此图回答下列问题:
(1)此样本抽取了多少名学生的成绩?
(2)此样本数据的中位数落在哪一个范围内?
(3)若这次竞赛成绩80分以上(不含80分)的学生可获奖,请估计获奖人数占参赛总人数的百分比是多少.
第16题图
17.(5分)如图,某场馆门前台阶的总高度CB为0.9m,为了方便残疾人通行,该场馆决定将其中一个门的门前台阶改造成供轮椅通行的斜坡,并且设计斜坡的倾斜角∠A为8°,请计算从斜坡起点A到台阶最高点D的距离(即斜坡AD的长).
(结果精确到0.1m,参考数据:sin8°≈0.14,cos8°≈0.99,tan8°≈0.14)
第17题图
18.(5分)如图,在矩形ABCD中,以点B为圆心、BC长为半径画弧,交AD于点E,连结BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F.猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等.
先将你猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明.
结论:BF=________.
第18题图
19.(5分)列方程(组)解应用题.
某新建公园的绿化给公园周边的环境带来了明显的改善.下面的条形统计图是近几年来这个新建公园绿地面积的变化图,请你根据图中所给的数据解答下列问题:
(1)求这个公园2005年底至2007年底这两年绿地面积的年平均增长率;
(2)根据这个平均增长率,请你预测2008年底这个公园的绿地面积将达到多少万平方米.
第19题图
20.(5分)如图,在矩形ABCD中,AD=8cm,AB=6cm,点A处有一动点E以1cm/s的速度由点A向点B运动,同时点C处也有一动点F以2cm/s的速度由点C向点D运动,设运动的时间为xs,四边形EBFD的面积为ycm2,求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.
第20题图
21.(5分)已知a、b是关于x的一元二次方程kx2+2(k-3)x+k+3=0的两个实数根,其中k为非负整数,点A(a,b)是一次函数y=(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点,且m、n为常数.
(1)求k的值;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式.
22.(5分)已知:如图,在⊙O中,弦CD垂直于直径AB,垂足为M,AB=4,CD=2,点E在AB的延长线上,且tanE=.
(1)求证:DE是⊙O的切线.
(2)将△ODE平移,平移后所得的三角形记为△.求当点与点C重合时,△与⊙O重合部分的面积.
第22题图
23.(7分)我们给出如下定义:若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则称这个四边形为等平方和四边形.
(1)写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称:________.
(2)如图①,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC⊥BD,垂足为O.
求证:AD2+BC2=AB2+DC2,即四边形ABCD是等平方和四边形.
第23题图①
(3)如果将图①中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转角a (0°<a <90°)后得到图②,那么四边形ABCD能否成为等平方和四边形?若能,请证明;若不能,请说明理由.
第23题图②
24.(7分)如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,则有结论EF=BE+FD成立.
第24题图
(1)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)若将(1)中的条件改为:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.
25.(8分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C(0,3),过点C作x轴的平行线,与抛物线交于点D,抛物线的顶点为M,直线y=x+5经过D、M两点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)连结AM、AC、BC,试比较∠MAB和∠ACB的大小,并说明你的理由.
答 案
23.2008年北京市朝阳区中考数学一模试卷
一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.B 8.A
二、填空题
9.a(x-5)2 10.体操 11.2p 12.2或
三、解答题
13.解:原式.
14.解:∵a2-a-1=0,∴a2-a=1..
15.解:方程两边同时乘(x+1)(x-1),得x(x-1)-3=(x+1)(x-1).x2-x-3=x2-1,x=-2.经检验:x=-2是原方程的解.
16.解:(1)52+23+15+10=100,故此样本抽取了100名学生的成绩.
(2)中位数落在80.5~90.5这个范围内.
(3)(23+52)÷100=75%,估计获奖人数占参赛总人数的75%.
17.解:过点D作DE⊥AB于点E.∵∠B=90°,CD∥AB,∴DE=CB=0.9.在Rt△ADE中,.
故斜坡AD的长约为6.4m.
第17题答图
18.结论:BF=AE.
第18题答图
证明:在矩形ABCD中,∵AE∥BC,∴∠1=∠2.
∵CF⊥BE,∴∠BFC=90°.∴∠A=∠BFC=90°.
由题意得,BC=BE.在△AEB和△FBC中,
∴△AEB≌△FBC(AAS).∴BF=AE.
19.解:(1)设这两年绿地面积年平均增长率为x.
依题意,得90(1+x)2=108.9.
解得x1=0.1,x2=-2.1(不合题意,舍去).
∴x=0.1=10%.
故这两年绿地面积年平均增长率为10%.
(2)108.9(1+10%)=119.79.
故预测2008年底这个公园的绿地面积将达到119.79万平方米.
20.解:依题意,得AE=x,CF=2x.
在矩形ABCD中,AB∥DC,AB=CD=6,AD=8,
∴BE=6-x,DF=6-2x.
∴四边形EBFD的面积.
即y=-12x+48.
自变量x的取值范围是0≤x<3.
21.解:(1)依题意,得[2(k-3)]2-4k(k+3)≥0且k≠0.
解得k≤1且k≠0.
∵k为非负整数,∴k=1.
(2)当k=1时,原方程化为x2-4x+4=0.
解得x1=x2=2.
∴A(2,2).
把A(2,2)和k=1代入y=(k-2)x+m,得m=4.
∴一次函数的解析式是y=-x+4.
把A(2,2)代入,得n=4.
∴反比例函数的解析式是.
22.(1)证明:∵弦CD⊥直径AB,AB=4,CD.
,.
在Rt△OMD中,,
∴∠DOM=60°.
在Rt△DME中,∴∠E=30°.
∴∠ODE=90°.又∵OD是⊙O的半径,
∴DE是⊙O的切线.
第22题答图①
第22题答图②
(2)解:∵∠ODE=90°,OD=2,∠E=30°,∴DE=2.
在Rt△ODM中,OM=1.
又∵,AM=3,
∴在Rt△ACM中,
由勾股定理得AC=2,
∴AC=DE=.
∵点与点C重合,
∴平移后的与AC重合.
设交⊙O于点F,连结OF、OC、AF,
由平移的性质得△ODE≌△,
∴∠=∠E=30°.∴∠AOF=2∠=60°.
由平移的性质可知FC∥AO.
在Rt△FCD中,可求得FC=2,∠CFO=∠FOA=60°.
∴△FOC为等边三角形.∵FC=OA=2,∴S△AFO=S△AFC.
.
23.(1)菱形或正方形;
(2)证明:∵AC⊥BD,
∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°.
∴OA2+OD2=AD2,OB2+OC2=BC2,
OA2+OB2=AB2,OD2+OC2=DC2.
∴AD2+BC2=AB2+DC2.
即四边形ABCD是等平方和四边形.
(3)解:四边形ABCD是等平方和四边形.
证明:原梯形记为,依题意旋转后得四边形ABCD,连结AC、BD,相交于点.
∵∥BC,∴△∽△COB.
.
∵=OA,=OD,
.
∵∠=∠=a ,
∴∠AOC=∠DOB=180°-a .
又,∴△AOC∽△DOB.
∴∠1=∠2.又∵∠3=∠4,
∴∠AD=∠AOD=90°.
第23题答图
由(2)的结论得AD2+BC2=AB2+DC2.
即四边形ABCD是等平方和四边形.
24.解:(1)结论EF=BE+FD成立.
延长EB到G,使BG=FD,连结AG.如图①.
∴∠ABG=∠D=90°,且AB=AD,
∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF且∠1=∠2.∵,∠1+∠3=∠2+∠3=.
∴∠GAE=∠EAF.
又AE=AE,∴△AEG≌△AEF.
∴EG=EF.
∴EF=BE+BG=BE+FD.
第24题答图①
(2)结论EF=BE+FD不成立,
应当是EF=BE-FD.
在BE上截取BG,使BG=FD,连结AG.
如图②.
∵∠B+∠ADC=180°,
∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADF.∵AB=AD,∴△ABG≌△ADF.
∴AG=AF且∠1=∠2.
∵,∴.
∴∠GAE=∠EAF.
∵AE=AE,∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF.
∴EF=BE-BG=BE-FD.
第24题答图②
25.解:(1)∵CD∥x轴且点C(0,3),∴设点D的坐标为(x,3).
∵直线y=x+5经过D点,
∴3=x+5,得x=-2.即点D(-2,3).
根据抛物线的对称性可设顶点M的坐标为(-1,y).
又∵直线y=x+5经过M点,∴y=-1+5,得y=4.即M(-1,4).
∴设抛物线的解析式为y=a(x+1)2+4.
∵点C(0,3)在抛物线上,
∴3=a+4,得a=-1.
即抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.
第25题答图
(2)作BP⊥AC于点P,MN⊥AB于点N.由(1)中的抛物线y=-x2-2x+3可得点A(-3,0),B(1,0),∴AB=4,AO=CO=3,AC=3.∴∠PAB=45°.
∴∠ABP=45°.
∴ PA=PB=2.
∴ PC=AC-PA=.
在Rt△PBC中,.
∵M(-1,4),∴MN=4,AN=2.
Rt△ANM中,.
∴∠BCP=∠NAM.
即∠ACB=∠MAB.