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- 2021-11-10 发布
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一、选择题
1.(2019·泰州) 方程 2x2+6x-1=0 的两根为 x1、x2,则 x1+x2 等于( )
A.-6 B.6 C.-3 D.3
【答案】C
【解析】根据一元二次方程根与系数的关系,x1+x2= − 6
2
=-3,故选 C.
2.(2019·烟台)当b + c = 5 时,关于 x 的一元二次方程3x2 + bx − c = 0 的根的情况为( ).
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
【答案】A
【解析】因为b + c = 5 ,所以 c = 5−b ,因为 ∆ = b2 − 4×3×c = b2 − 4×3×(5−b) = (b − 6)2 + 24 > 0 ,
所以该一元二次方程有两个不相等的实数根.
3.(2019·威海)已知 a,b 是方程 x2+x-3=0 的两个实数根,则 a2-b+2019 的值是( )
A.2023 B.2021 C.2020 D.2019
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的解的定义,得 a2+ a- 3= 0,所以 a2= - a+3,再利用根与系数的关,
得 a+b= - 1,然后利用整体代入方法计算.原 式 = - a+ 3- b+ 2019= -( a+ b)+ 3+ 2019
= - ( - 1) + 3+ 2019= 202, 故 选 A.
4.(2019·盐城)关于 x 的一元二次方程 x2 +kx-2=0(k 为实数)根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根 D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵a=1,b=k,c=-2,∴△=b2-4ac=k2-4×1×(-2)=k2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根.故选
A.
5.(2019·山西)一元二次方程 x2-4x-1=0 配方后可化为( )
A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5
【答案】D
【解析】原方程可化为:x2-4x=1,x2-4x+4=1+4,(x-2)2=5,故选 D.
6.(2019·淮安)若关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x − k = 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是
( )
A.k<-1 B.k>-1 C.k<1 D.k>1
【答案】B
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x − k = 0 有两个不相等的实数根,
∴△= 22 − 4×1×(−k) = 4 + 4k >0,
∴k>-1.
知识点 12——一元二次方程
2 / 8
7.(2019·黄冈)若x1,x2是一元一次方程x2-4x-5=0的两根,则x1·x2的值为 ( )
A.-5 B.5 C.-4 D.4
【答案】A
【解析】由根与系数的关系可知 x1·x2=-5.
8. (2019·怀化)一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是( )
A.x1=1,x2=-1 B.x1=x2=1 C.x1=x2=-1 D.x1=-1,x2=2
【答案】C.
【解析】方程 x2+2x+1=0,
配方可得(x+1)2=0,
解得 x1=x2=-1.
故选 C.
9. (2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2-4x+1=0 时,下列变形正确的是( )
A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=5 C.(x+2)2=3 D.(x-2)2=3
【答案】D
【解析】x2-4x+1=0,移项得 x2-4x=-1,两边配方得 x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3.故选 D.
10. (2019·聊城)若关于 x 的一元二次方程(k-2)x2-2kx+k=6 有实数根,则 k 的取值范围为 ( )
A.k≥0 B.k≥0 且 k≠2 C.k≥
2
3 D.k≥
2
3 且 k≠2
【答案】D
【解析】∵原方程是一元二次方程,∴k-2≠0,∴k≠2,∵其有实数根,∴(-2k)2-4(k-2)k≥0,解之得,k≥
3
2 ,∴k 的取值范围为 k≥ 3
2
且 k≠2,故选 D.
11. (2019·潍坊)关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 的两个实数根的平方和为 12,则 m 的
值为( )
A.m=-2 B.m=3 C.m=3 或 m=-2 D.m=3 或 m=2
【答案】A
【解析】由题意可得: x1
2 + x2
2 = (x1 + x2 )2 − 2x1x2 =12,
因为: 1 2
2 1 2
2,xx m
xx m m
+=−
= +
所以: 22( 2 ) 2( ) 12m mm− − +=,
解得:m1=3,m2=-2;
当 m=3 时 Δ=62-4×1×12<0,所以 m=3 应舍去;
3 / 8
当 m=-2 时 Δ=(-4)2-4×1×2>0,符合题意.
所以 m=-2,故选择 A.
12. (2019·淄博)若 x1 + x2 = 3, x1
2 + x2
2 = 5, 则以 x1, x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2 −3x + 2 = 0 B. x2 + 3x − 2 = 0 C. x2 + 3x + 2 = 0 D. x2 −3x − 2 = 0
【答案】A.
【解析】(x1 + x2 )2 = x1
2 + x2
2 + 2x1 ⋅ x2 ,
又∵ x1 + x2 = 3, x1
2 + x2
2 = 5,
∴ 2x1 ⋅ x2 = (x1 + x2 )2 − (x1
2 + x2
2 ) = 9 −5 = 4,
∴ x1, x2 = 2 ,
∴以 x1, x2 为根的一元二次方程是 x2 −3x + 2 = 0 .
故选 A.
13.(2019·自贡)关于 x 的一元二次方程 x2-2x+m=0 无实数根,则实数 m 的取值范围是( )
A.m<1 B.m≥1 C.m≤1 D.m>1
【答案】D.
【解析】∵方程无实数根,
∴△=(-2)2-4×1·m=4-4m<0.
解得,m>1.
故选 D.
14. (2019·金华)用配方法解方程 x2-6x-8=0 时,配方结果正确的是( )
A. (x − 3)2 =17 B. (x − 3)2 =14 C. (x − 6)2 = 44 D. (x − 3)2 =1
【答案】A.
【解析】解方程 x2-6x-8=0,配方,得(x-3)2=17,故选 A.
15. (2019·宁波) 能说明命题”关于 x 的方程 x2-4x+m=0 一定有实数根”是假命题的反例为( )
A.m=-1 B.m=0 C.m=4 D.m=5
【答案】D
【解析】方程的根的判别式 ∆ =(-4)2-4m=16-4m,当 ∆ <0 时,方程无实数根,∴应使 16-4m<0,即 m>4,
可得原方程无实数根,四个选项中,只有 m=5 符合条件,故选 D.
二、填空题
4 / 8
1.(2019·嘉兴)在 x2+ +4=0 的括号中添加一个关于 x 的一次项,使方程有两个相等的实数
根.
【答案】 ±4x
【解析】根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件可知,则△=b2﹣4ac=b2﹣16=0,得 b=±4,
故一次项为±4x,故答案为 ±4x .
2.(2019·泰州)若关于 x 的方程 x2+2x+m=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是________.
【答案】m<1
【解析】该方程的根的判别式 ∆ =22-4m=4-4m,因为有两个不相等的实数根,∴4-4m>0,所以 m<1.
3.(2019·威海) 一元二次方程 3x2=4-2x 的解是________.
【答案】 1
1 13
3x −+= , 2
1 13
3x −−=
【解析】直接利用公式法解 一元二次方程得出答案.3x2=4-2x 即 3x2+2x-4= 0,则△ b2-4ac
= 4-4×3×( -4)=52>0, ∴ 2 56
6x −±= ∴ 1
1 13
3x −+= , 2
1 13
3x −−= .
4.(2019·盐城)设 x1 、 x2 是方程 x2-3x + 2=0 的两个根,则 x1 + x2 − x1 ⋅ x2 = .
【答案】1
【解析】根据一元二次方程中根与系数的关系,由韦达定理可知 x1 x2
b 3 x1 x2
c 2aa
+= = ⋅==- , ,得
x1 + x2 − x1 ⋅ x2 =1.
5.(2019·青岛)若关于 x 的
一
元二欠方程 2x
2
-x+m =0 有两个相等的实数根,则 m 的值为 .
【答案】 1
8
【解析】本题考查一元二次方程根的判别式,因为一元二次方程有两个相等的实数根,所以△=(-1)2-4×
2m=1-8m=0,解得 m= 1
8
.
6.(2019·江西)设 x1 , x2 是一元二次方程 x2 − x −1= 0 的两根,则 x1 + x2 + x1x2 = .
【答案】0
【解析】∵ x1 , x2 是一元二次方程 x2 − x −1= 0 的两根,
∴ x1 + x2 = 1, x1x2 = -1,
∴ x1 + x2 + x1x2 =1+(-1)=0.
5 / 8
7.(2019·武汉) 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-3,0)、B(4,0)两点,则关于 x 的一元二次方程
a(x-1)2+c=b-bx 的解是___________.
【答案】x=-2 或 5
【解析】∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(-3,0)、B(4,0)两点,∴y=a(x+3)(x-4)=ax2-
2ax-12a.∴b=-2a,c=-12a.∴一元二次方程为 a(x-1)2-12a=-2a+2ax,整理,得 ax2-3ax-
10a=0,∵a≠0,∴x2-3x-10=0,解得 x1=-2,x2=5.
8.(2019·济宁)已知 x=1 是方程 x2+bx-2=0 的一个根,则方程的另一个根是 .
【答案】-2
【解析】方法 1:把 x=1 代入得 1+b-2=0,解得 b=1,所以方程是 x2 +x-2=0,解得 x1=1,x2=
-2.
方法 2:设方程另一个根为 x1,由根与系数的关系知 1×x1=-2.∴x1=-2.
9.(2019·陇南)关于 x 的一元二次方程 x2+ x+1=0 有两个相等的实数根,则 m 的取值
为 .
【答案】4.
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+ m x+1=0 有两个相等的实数根,∴( m)2 − 4×1×1=0,解得,
m=4,
故答案为:4.
10. (2019·泰安)已知关于 x 的一元二次方程 x2-(2k-1)x+k2+3=0 有两个不相等的实数根,则实数 k 的
取值范围是________.
【答案】k< 11
4
−
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2-(2k-1)x+k2+3=0 有两个不相等的实数根,∴ ∆ =(2k-1)2-
4(k2+3)>0,解之,得 k< 11
4
− .
11. (2019·枣庄)已知关于 x 的方程 ax2+2x-3=0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是________.
【答案】a> − 1
3
且 a≠0
【解析】因为关于 x 的方程 ax2+2x-3=0 有两个不相等的实数根,∴a≠0,且 22-4a(-3)>0,解之得,a> 1
3
−
且 a≠0.
12.(2019·娄底)已知方程 x2 + bx + 3 = 0 的一根为 5 + 2 ,则方程的另一根为___________.
【答案】 5 − 2 .
【解析】设原方程的另一个根为 x1 ,则由一元二次方程根与系数的关系 1 2
cxx a
=
得 ( )1 5 23x ×+ =
6 / 8
∴
( )
( )( )1
35 23 52
52 5252
x
−
= = = −
+ + −
.
13. (2019·眉山) 设 a、b 是方程 x2+x-2019=0 的两个实数,根则(a-1)(b-1)的
值 为 .
【答案】-2017
【解析】解:根据题意,得:a+b=-1,ab=-2019,∴(a-1)(b-1)=ab-(a+b)+1=-2019+1+1=-2017,
故答案为:-2017.
14. (2019·攀枝花)已知 x1、x2 是方程 x2-2x-1=0 的两根,则 x1
2 + x2
2 = 。
【答案】6
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得 x1+x2=2,x1x2=-1,∴ x1
2 + x2
2 =(x1+x2)2-2x1x2=
22+2=6.
三、解答题
1.(2019 年浙江省绍兴市,第 17 题,8 分 )
(2) x 为何值时,两个代数式 x2 +1,4x +1的值相等?
【解题过程】
2.(2019 浙江省杭州市,21,10 分)(本题满分 10 分) 如
图.已知正方形 ABCD 的边长为 1,正方形 CEFG 的面积为
S1,点 E 在 DC 边上,点 G 在 BC 的延长线.设以线段 AD 和 DE
为邻边的矩形的面积为 S2.且 S1=S2.
(1)求线段 CE 的长.
(2)若点 H 为 BC 边的中点,连接 HD,求证:HD=HG.
【解题过程】(1)设正方形 CEFG 的边长为 a,
∵正方形 ABCD 的边长为 1,∴DE=1-a,
∵S1=S2,∴a2=1×(1-a),
解得, (舍去), ,即 线 段 CE 的
长是 ;
(第 2题)
H G
F
DA
B C
E
7 / 8
(2)证明:∵点 H 为 BC 边的中点,BC=1,∴CH=0.5,∴DH= = ,
∵CH=0.5,CG= ,∴HG= ,∴HD=HG.
3.(2019·衡阳)关于 x 的一元二次方程 x2-3x+k=0 有实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)如果 k 是符合条件的最大整数,且一元二次方程(m-1)x 2+x+m-3=0 与方程 x2-3x+k=0 有
一个相同的根,求此时 m 的值.
解:(1)由一元二次方程 x2-3x+k=0 有实根,得判别式�=9-4k≥0,�k≤ 9
4
.
(2)k 的最大整数为 2,所以方程 x2-3x+2=0 的根为 1 和 2.
∵方程 x2-3x+k=0 与一元二次方程(m-1)x 2+x+m-3=0 有一个相同根,
∴当 x=1 时,方程为(m-1)+1+m-3=0,解得 m= 3
2
;
当 x=2 时,方程为(m-1)×2 2+2+m-3=0,解得 m=1(不合题意),
故 m= 3
2
.
4.(2019·常德)解方程: x2 − 3x -2=0
【解题过程】解: x2 − 3x -2=0,∵a=1,b=-3,c=-2,∴△= b2 − 4ac =17,∴ 1
3 17
2x += ,
2
3 17
2x −=
5.(2019 安徽)解方程:(x﹣1)2=4.
【解题过程】解:(x﹣1)2=4,所以 x﹣1=2,或 x﹣1=﹣2,…………4 分
即 x=3,或 x=﹣1. ………………6 分
所以,原方程的解为 x1=3,x2=﹣1. ………………8 分
6. (2019·巴中)已知关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+1)x+m2-1=0 有两个不相等的实数根.
①求 m 的取值范围;
②设 x1,x2 是方程的两根且 x12+x22+x1x2-17=0,求 m 的值.
解:① D=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+5,因为原方程有两个不相等的实数根,所以 4m+5>0,m> - 5
4 ;
②由根与系数的关系,x1+x2=-(2m+1),x1x2=m2-1,所以原方程可化为(x1+x2)2-x1x2-17=0,即(2m+1)2
-(m2-1)-17=0,解之,得 m1= 5
3 ,m2=-3,因为 m> - 5
4 ,所以 m= 5
3 .
7. (2019·无锡)解方程:(1) x2 − 2x −5 = 0
解: x2 − 2x −5 = 0 ,∵△=4+20=24>0,∴x1 =1+ 6 ,x2 =1- 6 .
8.(2019·滨州)用配方法解一元二次方程 x2-4x+1=0 时,下列变形正确的是( )
8 / 8
A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=5 C.(x+2)2=3 D.(x-2)2=3
【答案】D
【解析】x2-4x+1=0,移项得 x2-4x=-1,两边配方得 x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3.故选 D.
9.(2019·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程(a-1)x2-2x+a2-1=0 有一个根为 x=0,则 a 的值为
( )
A. 0 B. ±1 C. 1 D.-1
【答案】D
【解析】当 x=0 时,a2-1=0,∴a= ±1,∵是一元二次方程,∴a≠1,∴a=-1,故选 D.
10.(2019·遂宁)若关于 x 的方程 x2-2x+k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围为______.
【答案】k<1
【解析】由于方程有两个不相等的实数根,所以△>0,∴4-4k>0,∴k<1.
11.(2019山东省德州市,21,10) 习近平总书记说:“读书可以让人保持思想活力,让人得到智慧启
发,让人字样浩然之气”.某校为响应我市全民阅读活动,利用节假日面向社会开放学校图书
馆.据统计,第一个月进馆128 人次,进馆人次逐月增加,到第三个月末累计进馆608 人次,若进
馆人次的月平均增长率相同.
(1)求进馆人次的月平均增长率;
(2)因条件限制,学校图书馆每月接纳能力补超过 500 人次,在进馆人次的月平均增长率的条件下,
校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次,并说明理由.
【解题过程】解:(1)设进馆人次的月平均增长率为 x,根据题意,得: 128+128 (1+x)+128 (1
+x)2=608
解得 x1=0.5;x2=-3.5(舍去).答:进馆人次的月平均增长率为 50%.
(2)第四个月进馆人数为 128(1+ 1
2 )3=432(人次),∵432<500,∴校图书馆能接纳第四个月的
进馆人次.