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  • 2021-11-10 发布

九年级下册数学教案29-3 切线的性质和判定 冀教版

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‎29.3 切线的性质和判定 ‎1.掌握判定直线与圆相切的方法,并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明(重点);‎ ‎2.掌握直线与圆相切的性质,并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明(重点,难点);‎ ‎3.能运用直线与圆的位置关系解决实际问题.‎ 一、情境导入 约在6000年前,美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子——圆形的木盘,你能设计一个办法测量这个圆形物体的半径吗?‎ 二、合作探究 探究点一:切线的性质 ‎【类型一】 切线的性质的运用[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎ 如图,点O是∠BAC的边AC上的一点,⊙O与边AB相切于点D,与线段AO相交于点E,若点P是⊙O上一点,且∠EPD=35°,则∠BAC的度数为(  )‎ A.20° B.35° C.55° D.70°‎ 解析:连接OD,∵⊙O与边AB相切于点D,∴OD⊥AD,∴∠ADO=90°.∵∠EPD=35°,∴∠EOD=2∠EPD=70°,∴∠BAC=90°-∠EOD=20°.故选A.‎ 方法总结:此题考查了切线的性质以及圆周角定理.解题时要注意运用切线的性质,注意掌握辅助线的作法,灵活运用数形结合思想.‎ ‎【类型二】 利用切线的性质进行证明和计算 ‎ 如图,PA为⊙O的切线,A为切点.直线PO与⊙O交于B、C两点,∠P=30°,连接AO、AB、AC.‎ ‎(1)求证:△ACB≌△APO;‎ ‎(2)若AP=,求⊙O的半径.‎ ‎(1)证明:∵PA为⊙O的切线,A为切点,∴∠OAP=90°.又∵∠P=30°,∴∠AOB=60°,又OA=OB,∴△AOB为等边三角形.∴AB=AO,∠ABO=60°.又∵BC为⊙O的直径,∴∠BAC=90°.在△ACB和△APO中,∠BAC=∠OAP,AB=AO,∠ABO=∠AOB,∴△ACB≌△APO;‎ ‎(2)解:在Rt△AOP中,∠P=30°,AP=,∴AO=1,即⊙O的半径为1.‎ 方法总结:运用切线进行证明和计算时,一般连接切点与圆心,根据切线的性质转化已知条件,构造出等量关系求解.‎ ‎【类型三】 探究圆的切线的条件[来源:学科网]‎ ‎ 如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D.‎ ‎(1)当点P在什么位置时,DP是⊙O的切线?请说明理由;‎ ‎(2)当DP为⊙O的切线时,求线段BP的长.‎ 解析:(1)当点P是的中点时,得=,得出PA是⊙O的直径,再利用DP∥BC,得出DP⊥PA,问题得证;(2)利用切线的性质,由勾股定理得出半径长,进而得出AB的长,在Rt△ABP中再次利用勾股定理即可求出BP的长.‎ 解:(1)当点P是的中点时,DP是⊙O的切线.理由如下:∵AB=AC,∴=,又∵=,∴=,∴PA是⊙O的直径.∵=,∴∠1=∠2,又∵AB=AC,∴PA⊥BC.又∵DP∥BC,∴DP⊥PA,∴DP是⊙O的切线.‎ ‎(2)连接OB,设PA交BC于点E.由垂径定理,得BE=BC=6.在Rt△ABE中,由勾股定理,得AE==8.设⊙O的半径为r,则OE=8-r,在Rt△OBE中,由勾股定理,得r2=62+(8-r)2,解得r=.在Rt△ABP中,AP=2r=,AB=10,∴BP==.‎ 方法总结:判定直线是否为圆的切线时要从切线的性质入手,结合垂径定理与勾股定理,合理转化已知条件,得出结论.‎ 探究点二:切线的判定 ‎【类型一】 判定圆的切线 ‎ 如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°,求证:CD是⊙O的切线.‎ ‎[来源:Z.xx.k.Com]‎ 证明:连接OC,∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠2=∠A=30°,∴∠1=60°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线.‎ 方法总结:切线的判定方法有三种:①利用切线的定义,即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线;②到圆心距离等于半径长的直线是圆的切线;③经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ ‎【类型二】 切线的性质与判定的综合应用 ‎ 如图,AB是⊙O的直径,点F、C是⊙O上的两点,且==,连接AC、AF,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D,垂足为D.‎ ‎(1)求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)若CD=2,求⊙O的半径.‎ 分析:(1)连接OC,由弧相等得到相等的圆周角,根据等角的余角相等推得∠ACD=∠B,再根据等量代换得到∠ACO+∠ACD=90°,从而证明CD是⊙O的切线;(2)由==推得∠DAC=∠BAC=30°,再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB的长,进而求得⊙O的半径.‎ ‎(1)证明:连接OC,BC.∵=,∴∠DAC=∠BAC.∵CD⊥AF,∴∠ADC=90°.∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∴∠ACD=∠B.∵BO=OC,∴∠OCB=∠OBC,∵∠ACO+∠OCB=90°,∠OCB=∠OBC,∠ACD=∠ABC,∴∠ACO+∠ACD=90°,即OC⊥CD.又∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)解:∵==,∴∠DAC=∠BAC=30°.∵CD⊥AF,CD=2,∴AC=4.在Rt△ABC中,∠BAC=30°,AC=4,∴BC=4,AB=8,∴⊙O的半径为4.‎ 方法总结:若证明切线时有交点,需“连半径,证垂直”然后利用切线的性质构造直角三角形,在解直角三角形时常运用勾股定理求边长.‎ 三、板书设计[来源:学科网ZXXK]‎ ‎1.切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.‎ ‎2.切线的判定[来源:Z+xx+k.Com]‎ 经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ ‎ 教学过程中,经历切线性质的探究,从中可得出判定切线的条件,整个学习过程是一个逐层深入的过程.因此教师应当对学生在探究过程中遇到的问题及时进行解决,使学生能更全面的掌握知识.‎

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