中考数学总复习考点强化练分类大全+中考模拟试卷带答案等精品大全集 55页

中考数学总复习考点强化练分类 大全+中考模拟试卷带答案等精品大全集 考点强化练 8 一元一次不等式(组)及其应用 基础达标 一、选择题 1.不等式 3x+2≥5 的解集是( ) A.x≥1 B.x≥ C.x≤1 D.x≤-1 答案 A 解析 3x≥3,x≥1,故选 A. 2.已知不等式组 其解集在数轴上表示正确的是( ) 答案 D 解析 解①得:x<2, 解②得:x≥-1, 故不等式组的解集为:-1≤x<2, 故解集在数轴上表示为:. 故选 D. 3.不等式组 中,不等式①和②的解集在数轴上表示正确的是( ) 答案 B 解析解不等式①可得 x<1,解不等式②得 x≥-3,根据不等式解集的确定法“都大取大,都小 取小,大小小大取中间,大大小小无解了”,得到不等式组的解集为:-3≤x<1,由此可知用数 轴表示为:,故选 B. 4.(2018 湖北襄阳)不等式组 的解集为 ( ) A.x> B.x>1 C. 1-x,得:x> ,解不等式 x+2<4x-1,得 x>1,则不等式组的解集为 x>1,故选 B. 5.(2018 山东聊城)已知不等式 ,其解集在数轴上表示正确的是( ) 答案 A 解析根据题意得: 由①得:x≥2,由②得:x<5,∴2≤x<5, 表示在数轴上,如图所示, 故选 A. 二、填空题 6.(2018 江苏扬州)不等式组 的解集为 . 答案-3-2,得 x>-3, 则不等式组的解集为-33(x+1),得:x<4, 解不等式 x- ,得:x≤8, 则不等式组的解集为 x<4, 所以该不等式组的非负整数解为 0、1、2、3 这 4 个, 故答案为 4. 10. (2018 山西)2018 年国内航空公司规定:旅客乘机时,免费携带行李箱的长,宽,高三者之和不 超过 115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为 20 cm,长与高的比为 8∶ 11,则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm. 答案 55 解析设长为 8x,高为 11x, 由题意,得:19x+20≤115,解得:x≤5, 故行李箱的高的最大值为:11x=55. 三、解答题 11.某职业高中机电班共有学生 42 人,其中男生人数比女生人数的 2 倍少 3 人. (1)该班男生和女生各有多少人? (2)某工厂决定到该班招录 30 名学生,经测试,该班男、女生每天能加工的零件数分别为 50 个和 45 个,为保证他们每天加工的零件总数不少于 1 460 个,那么至少要招录多少名男学生? 解(1)设该班女生有 x 人,则男生有(2x-3)人.依题意,得 x+(2x-3)=42.解得 x=15. 则 2x-3=27. 答:该班男生有 27 人,女生有 15 人. (2)设招录的男生为 m 名,则招录的女生为(30-m)名,依题意得:50m+45(30-m)≥1460, 解得 m≥22. 答:工厂在该班至少要招录 22 名男生. 能力提升 一、选择题 1.已知 41 B.m<1 C.m>4 D.m<4 答案 B 解析设 y=mx-4,由题意得,当 x=1 时,y<0,即 m-4<0,解得 m<4,当 x=4 时,y<0,即 4m-4<0,解 得,m<1,则 m 的取值范围是 m<1,故选 B. 3.不等式组 的解集是 x>1,则 m 的取值范围是( ) A.m≥1 B.m≤1 C.m≥0 D.m≤0 答案 D 4.(2018 重庆)若数 a 使关于 x 的不等式组 有且只有四个整数解,且使关于 y 的 方程 =2 的解为非负数,则符合条件的所有整数 a 的和为( ) A.-3 B.-2 C.1 D.2 答案 C 5.(2018 山东泰安)不等式组 有 3 个整数解,则 a 的取值范围是( ) A.-6≤a<-5 B.-60.5, 解不等式②得:x≥1, ∴不等式组的解集为 x≥1. 7.(2018 黑龙江龙东)若关于 x 的一元一次不等式组 有 2 个负整数解,则 a 的取值 范围是 . 答案-3≤a<-2 解析 ∵解不等式①得:x>a, 解不等式②得:x<2, 又∵关于 x 的一元一次不等式组 有 2 个负整数解, ∴-3≤a<-2. 8.(2018 四川凉山)若不等式组 的解集为-1a+2,x< b, ∵-140,实际付款:42.6×0.9=38.34(万元); 方案二:3×2+4.4×8=41.2>40,实际付款:41.2×0.9=37.08(万元); 方案三:3×3+4.4×7=39.8<40,实际付款:39.8(万元); ∵37.08<38.04<39.8, ∴采用(1)设计的第二种方案,使购买费用最少.〚导学号 13814038〛 考点强化练 21 与圆有关的位置关系 基础达标 一、选择题 1.(2018 湖南湘西)已知☉O 的半径为 5 cm,圆心 O 到直线 l 的距离为 5 cm,则直线 l 与☉O 的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 答案 B 解析∵圆心到直线的距离 5cm=5cm, ∴直线和圆相切.故选 B. 2. (2018 四川眉山)如图所示,AB 是☉O 的直径,PA 切☉O 于点 A,线段 PO 交☉O 于点 C,连接 BC, 若∠P=36°,则∠B 等于 ( ) A.27° B.32° C.36° D.54° 答案 A 解析∵PA 切☉O 于点 A,∴∠OAP=90°, ∵∠P=36°,∴∠AOP=54°, ∴∠B=27°.故选 A. 3. (2018 黑龙江哈尔滨)如图,点 P 为☉O 外一点,PA 为☉O 的切线,A 为切点,PO 交☉O 于点 B, ∠P=30°,OB=3,则线段 BP 的长为( ) A.3 B.3 C.6 D.9 答案 A 解析连接 OA,∵PA 为☉O 的切线, ∴∠OAP=90°, ∵∠P=30°,OB=3, ∴AO=3,OP=6,故 BP=6-3=3. 故选 A. 4.(2018 江苏徐州)☉O1 和☉O2 的半径分别为 5 和 2,O1O2=3,则☉O1 和☉O2 的位置关系是( ) A.内含 B.内切 C.相交 D.外切 答案 B 解析∵☉O1 和☉O2 的半径分别为 5 和 2,O1O2=3,则 5-2=3,∴☉O1 和☉O2 内切.故选 B. 5.如图,在平面直角坐标系中,☉M 与 x 轴相切于点 A(8,0),与 y 轴分别交于点 B(0,4)和点 C(0,16),则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是( ) A.10 B.8 C.4 D.2 答案 D 解析如图,连接 BM,OM,AM,作 MH⊥BC 于点 H.∵☉M 与 x 轴相切于点 A(8,0), ∴AM⊥OA,OA=8, ∴∠OAM=∠MHO=∠HOA=90°, ∴四边形 OAMH 是矩形,∴AM=OH, ∵MH⊥BC,∴HC=HB=6, ∴OH=AM=10,在 Rt△AOM 中,OM= =2 . 故选 D. 6.(2018 湖南湘西)如图,直线 AB 与☉O 相切于点 A,AC,CD 是☉O 的两条弦,且 CD∥AB,若☉O 的半径为 5,CD=8,则弦 AC 的长为( ) A.10 B.8 C.4 D.4 答案 D 解析∵直线 AB 与☉O 相切于点 A,∴OA⊥AB. 又∵CD∥AB,∴AO⊥CD,记垂足为 E, ∵CD=8,∴CE=DE= CD=4, 连接 OC,则 OC=OA=5, 在 Rt△OCE 中 ,OE= =3, ∴ AE=AO+OE=8, 则 AC= =4 .故选 D. 二、填空题 7.(2018 湖北黄冈)如图,△ABC 内接于☉O,AB 为☉O 的直径,∠CAB=60°,弦 AD 平分∠CAB, 若 AD=6,则 AC= . 答案 2 解析连接 BD. ∵AB 是直径, ∴∠C=∠D=90°, ∵∠CAB=60°,AD 平分∠CAB,∴∠DAB=30°, ∴AB=AD÷cos30°=4 , ∴AC=AB·cos60°=2 .故答案为 2 . 8.(2018 山东临沂)如图,在△ABC 中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形 纸片的直径是 cm. 答案 解析设圆的圆心为点 O,能够将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的外接圆, ∵在△ABC 中,∠A=60°,BC=5cm, ∴∠BOC=120°, 作 OD⊥BC 于点 D, 则∠ODB=90°,∠BOD=60°, ∴BD= ,∠OBD=30°, ∴OB= ,得 OB= ,∴2OB= , 即△ABC 外接圆的直径是 cm. 9.(2018 江苏泰州)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,sin A= ,AC=12,将△ABC 绕点 C 顺时针旋 转 90°得到△A'B'C,P 为线段 A'B'上的动点,以点 P 为圆心,PA'长为半径作☉P,当☉P 与 △ABC 的边相切时,☉P 的半径为 . 答案 解析如图 1,当☉P 与直线 AC 相切于点 Q 时,连接 PQ.则 PQ∥CA',设 PQ=PA'=r, ∴ ,∴ ,∴r= . 图 1 图 2 如图 2,当☉P 与 AB 相切于点 T 时,易证 A',B',T 共线,∵△A'BT∽△ABC,∴ , ∴ ,∴A'T= , ∴r= A'T= . 综上所述,☉P 的半径为 . 三、解答题 10.(2018 湖北随州)如图,AB 是☉O 的直径,点 C 为☉O 上一点,CN 为☉O 的切线,OM⊥AB 于点 O,分别交 AC,CN 于 D,M 两点. (1)求证:MD=MC; (2)若☉O 的半径为 5,AC=4 ,求 MC 的长. (1)证明连接 OC, ∵CN 为☉O 的切线, ∴OC⊥CM,∠OCA+∠ACM=90°,∵OM⊥AB, ∴∠OAC+∠ODA=90°, ∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA, ∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC. (2)解由题意可知 AB=5×2=10,AC=4 , ∵AB 是☉O 的直径,∴∠ACB=90°, ∴BC= =2 , ∵∠AOD=∠ACB=90°,∠A=∠A, ∴△AOD∽△ACB, ∴ ,即 ,可得 OD=2.5, 设 MC=MD=x,在 Rt△OCM 中,由勾股定理得,(x+2.5)2=x2+52, 解得 x= ,即 MC= . 11.(2018 新疆)如图,PA 与☉O 相切于点 A,过点 A 作 AB⊥OP,垂足为 C,交☉O 于点 B.连 接 PB,AO,并延长 AO 交☉O 于点 D,与 PB 的延长线交于点 E. (1)求证:PB 是☉O 的切线; (2)若 OC=3,AC=4,求 sin E 的值. (1)证明连接 OB.∵PO⊥AB,∴AC=BC,∴PA=PB. 在△PAO 和△PBO 中 ∴△PAO≌△PBO. ∴∠OBP=∠OAP=90°. ∴PB 是☉O 的切线. (2)解连接 BD,则 BD∥PO,且 BD=2OC=6, ∵在 Rt△ACO 中,OC=3,AC=4,∴AO=5. 在 Rt△ACO 与 Rt△PAO 中,∠AOP=∠COA,∠PAO=∠ACO=90° ∴△ACO∽△PAO, , ∴PO= ,∴PB=PA= . 在△EPO 与△EBD 中,∵BD∥PO, ∴△EPO∽△EBD,∴ , 解得 EB= ,PE= , ∴sinE= . 〚导学号 13814062〛 12.(2018 湖北襄阳)如图,AB 是☉O 的直径,AM 和 BN 是☉O 的两条切线,E 为☉O 上一点,过点 E 作直线 DC 分别交 AM,BN 于点 D,C,且 CB=CE. (1)求证:DA=DE; (2)若 AB=6,CD=4 ,求图中阴影部分的面积. (1)证明连接 OE,OC,BE. ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB. ∵BC=EC,∴∠CBE=∠CEB, ∴∠OBC=∠OEC. ∵BC 为☉O 的切线, ∴∠OEC=∠OBC=90°. ∵OE 为半径,∴CD 为☉O 的切线, ∵AD 切☉O 于点 A,∴DA=DE. (2)解如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F,则四边形 ABFD 是矩形, ∴AD=BF,DF=AB=6, ∴DC=BC+AD=4 . ∵FC= =2 , ∴BC-AD=2 ,∴BC=3 . 在 Rt△OBC 中,tan∠BOC= , ∴∠BOC=60°. 在△OEC 与△OBC 中, ∴△OEC≌△OBC(SSS), ∴∠BOE=2∠BOC=120°. ∴S 阴影=S 四边形 BCEO-S 扇形 OBE=2× BC·OB- =9 -3π. 能力提升 一、选择题 1.(2018 山东泰安)如图,☉M 的半径为 2,圆心 M 的坐标为(3,4),点 P 是☉M 上的任意一点,PA ⊥PB,且 PA,PB 与 x 轴分别交于 A,B 两点,若点 A、点 B 关于原点 O 对称,则 AB 的最小值为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 答案 C 解析∵PA⊥PB,∴∠APB=90°, ∵AO=BO,∴AB=2PO, 若要使 AB 取得最小值,则 PO 需取得最小值,连接 OM,交☉M 于点 P',当点 P 位于 P'位置 时,OP'取得最小值,过点 M 作 MQ⊥x 轴于点 Q, 则 OQ=3,MQ=4,∴OM=5, 又∵MP'=2,∴OP'=3, ∴AB=2OP'=6,故选 C. 2.(2018 上海)如图,已知∠POQ=30°,点 A、B 在射线 OQ 上(点 A 在点 O,B 之间),半径长为 2 的☉A 与直线 OP 相切,半径长为 3 的☉B 与☉A 相交,则 OB 的取值范围是( ) A.530,故不需要采取紧急措施. 〚 导 学 号 13814061〛 5. (2018 湖北宜昌)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的圆交 AC 于点 D,交 BC 于点 E,延长 AE 至点 F,使 EF=AE,连接 FB,FC. (1)求证:四边形 ABFC 是菱形; (2)若 AD=7,BE=2,求半圆和菱形 ABFC 的面积. (1)证明∵AB 是直径,∴∠AEB=90°,∴AE⊥BC,∵AB=AC,∴BE=CE, ∵AE=EF,∴四边形 ABFC 是平行四边形, ∵AC=AB,∴四边形 ABFC 是菱形. (2)解设 CD=x.连接 BD. ∵AB 是直径,∴∠ADB=∠BDC=90°, ∴AB2-AD2=CB2-CD2, ∴(7+x)2-72=42-x2, 解得 x=1 或 x=-8(舍去) ∴AC=8,BD= , ∴S 菱形 ABFC=8 . ∴S 半圆= ·π·42=8π. 中考二模 一、填空题 1、化简 3 3m m 的结果等于（ ） A. 6m B. 62m C. 32m D. 9m 2、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 8x B. 2 4y  C. 1 m D. 23a 3、某校随机抽查若干名学生，测试了 1 分钟仰卧起坐的次数，把所得数据绘制成频数分布 直方图，则仰卧起坐次数不小于 15 次且小于 20 次的频率是（ ） （注：每组可含最小值，不含最大值） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 4、下列方程中，有实数解的是（ ） A. 2 2 04 x x   B. 22 1 0x x   C. 2 4 0x   D. 6 x x   5、下列命题中，真命题的是（ ） A.如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等； B.如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离； C.如果一条直线上有一个点到圆心的距离等于半径，那么这条直线与圆相切； D.如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦. 6、已知四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点O ，下列条件中，不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ） A. ADB CBD   ， / /AB CD B. ADB CBD   ， DAB BCD   C. DAB BCD   ， AB CD D. ABD CDB   ，OA OC 二 、填空题 7、今年春节黄金周上海共接待游客约 5090000 人，5090000 这个数用科学记数法表示 为 . 8、计算： 2 3 41 2 22        . 9、如果反比例函数 ky x  （ k 是常数， 0k  ）的图像经过点  1,2 ，那么这个反函数的 图像在第 象限. 10、方程组 3 2 x y xy      的解是 . 11、掷一枚材质均匀的骰子，掷得的点数为素数的概率是 . 12、如果二次函数 2 2my mx  （ m 为常数）的图像有最高点，那么 m  . 13、某商品经过两次涨价后，价格由原来的 64 元增至 100 元，如果每次商品价格的增长率 相同，那么这个增长率是 . 14、为了解某校九年级学生每天的睡眠时间，随机调查了其中 20 名学生，将所得数据整理 并制成下表，那么这些测试数据的中位数是 小时. 15、如图 2，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，联结 AE 、 BD 交于点 F ， 若 BC a  ， BA b  ，用 a  、b  表示 =DF  . 16、在 Rt ABC 中， 90ABC   ， 6AB  ， 8BC  ，分别以点 A C 为圆心画圆，如果 点 B 在 A 上， C 与 A 相交，且点 A 在 C 外，那么 C 的半径长 r 的取值范围 是 . 17、我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”，现有两个全 等的三角形，边长分别为 4、4、 2 7 ，将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直 的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为 . 18、如图 3，在 ABC 中， 5AB AC  ， 8BC  ，将 ABC 绕着点C 旋转，点 A 、B 的 对应点分别是点 'A ， 'B ，若点 'B 恰好在线段 'AA 的延长线上，则 'AA  . 三、解答题 19、先化简，再求值： 2 2 2 4 4 42 x x x x x        ，其中 3x  . 20、解不等式组：    2 6 3 1 2 13 2 x x x x       ，并把解集在数轴上表示出来. 21、如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   ， 4AC  ， 3BC  ，点 D 是边 AC 的中点， CF BD ，垂足为点 F ，延长CF 与边 AB 交于点 E . 求：（1） ACE 的正切值；（2）线段 AE 的长. 22、某文具店每天售出甲、乙两种笔，统计后发现：甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一 次函数的关系，设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为 x（支）、 y （支），部分数据如下表 所示（下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量）. 甲种笔售出 x （支） … 4 6 8 … 乙种笔售出 y （支） … 6 12 18 … （1）求 y 关于 x 的函数关系式；（不需要写出函数的定义域） （2）某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和 120 元，如果乙种笔每支售价 比甲种笔每支售价多 2 元，那么甲、乙两种笔这天各售出多少支？ 23、如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点O ，点 E 在边CB 的延长线上， 且 90EAC   ， 2AE EB EC  . （1）求证：四边形 ABCD 是矩形； （2）延长 DB 、 AE 交于点 F ，若 AF AC ，求证： AE BF 24、已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 24 9y x bx c   经过原点，且与 x 轴相交于点 A ，点 A 的横坐标为 6，抛物线顶点为点 B . （1）求这条抛物线的表达式和顶点 B 的坐标； （2）过点 O 作 / /OP AB ，在直线OP 上取一点Q ，使得 QAB OBA   ，求点 Q 的坐 标； （3）将该抛物线向左平移 m（ 0m  ）个单位，所得新抛物线与 y 轴负半轴相交于点C 且 顶点仍然在第四象限，此时点 A 移动到点 D 的位置， : 3:4CB DB  ，求 m 的值. 25、如图，在 Rt ABC 中， 90ACB   3AC  ， 4BC  ，点 P 在边 AC 上（点 P 与点 A 不重合），以点 P 为圆心，PA 为半径作 P 交边 AB 于另一点 D ，ED DP ，交边 BC 于点 E ； （1）求证： BE DE ； （2）若 BE x ， AD y ，求 y 关于 x 的函数关系式并写出定义域； （3）延长 ED 交CA 延长线于点 F ，联结 BP ，若 BDP 与 DAF 相似，求线段 AD 的长. 参考答案 1-6、CBADDC 7、 65.09 10 8、 7 2 9、二、四 10、 1 1 1 2 x y      ， 1 1 2 1 x y      11、 1 2 12、 2 13、 25% 14、7 15、 1 1 3 3b a   16、 4 10r  17、6 或3 7 18、 7 25 19、原式 1 2 32x     20、 0 3x  21、（1） 2 3 ；（2） 40 17 22、（1） 3 6y x  ；（2）甲10支，乙 24 支 23、（1）证明略；（2）证明略 24、（1） 24 8 9 3y x x  ，  3, 4B  ；（2） 33 44,25 25Q     ；（3） 21 16m  25、（1）证明略；（2） 85 5y x  （ 25 25 16 8x  ）；（3） 70 39AD  初中二元一次方程数学课件【三篇】 教学内容：人教版七年级数学下册第八章二元一次方程组第 2 节 P96 页 教学目标 （1）基础知识与技能目标：会用代入消元法解简单的二元一次 方程组。 （2）过程与方法目标：经历探索代入消元法解二元一次方程的 过程，理解代入消元法的基本思想所体现的化归思想方法。 （3）情感、态度与价值观目标：通过提供适当的情境资料，吸 引学生的注意力，激发学生的学习兴趣；在合作讨论中学会交流与合 作，培养良好的数学思想，逐步渗透类比、化归的意识。 教学重、难点关键 教学重点：用代入消元法解二元一次方程组 教学难点：探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消 元”思想。 教学关键：把方程组中的某个方程变形，而后代入另一个方程 中去，消去一个未知数，转化成一元一次方程。学生分析授课对象为 少数民族地区的七年级学生，基础知识薄弱，特别是对一元一次方程 内容掌握的不够透彻，再加上厌学现象严峻，团结协作的水平差，本 节课设计了他们感兴趣的篮球比赛和常用的消毒液作为题材来研究 二元一次方程组，既能调动他们的学习兴趣,又能解决本节课所涉及 到的问题，为以后的进一步学习二元一次方程组做好铺垫。 教学内容分析：本节主要内容是在上节已理解二元一次方程 （组）和二元一次方程（组）的解等概念的基础上，来学习解方程组 的第一种方法——代入消元法。并初步体会解二元一次方程组的基本 思想“消元”。二元一次方程组的求解，不但用到了前面学过的一元 一次方程的解法，是对过去所学知识的一个回顾和提升，同时，也为 后面的利用方程组来解决实际问题打下了基础。通过实际问题中二元 一次方程组的应用，进一步增强学生学习数学、用数学的意识，体会 学数学的价值和意义。初中阶段要掌握的二元一次方程组的消元解法 有代入消元法和加减消元法两种，教材都是按先求解后应用的顺序安 排，这样安排既能够在前一小节中有针对性的学习解法，又可在后一 小节的应用中巩固前面的知识，但教材相对应的练习安排较少，不过 这样也给了学生一较大的发挥空间。 教具准备教师准备：ppt 多媒体课件投影仪 教学方法本节课采用“问题引入——探究解法——归纳反思” 的教学方法，坚持启发式教学。 教学过程 （一）创设情境，导入新课篮球联赛中，每场比赛都要分出胜 负，每队胜一场得 2 分，负一场得 1 分，保安族中学校队为了争取较 好的名次，想在全部 22 场比赛中得到 40 分，那么这个队胜负场数分 别是多少？ （二）合作交流，探究新知第一步，初步了解代入法 1、在上 述问题中，除了用一元一次方程解答外，我们还能够设出两个未知数， 列出二元一次方程组学生活动：分别列出一元一次方程和二元一次方 程组，两个学生板演①设胜的场数是 x,负的场数是 y x＋y＝22 2x＋y＝40 ②设胜的场数是 x，则负的场数为 22－x 2x+(22－x)=40 2、自主探究，小组讨论那么怎样求解二元一次方程组呢？上面 的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 3、学生归纳，教师作补充上面的解法，第一步是由二元一次方 程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再 代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种 方法叫做代入消元法，简称代入法。 第二步，用代入法解方程组把下列方程写成用含 x 的式子表示 y 的形式（1）2x－y＝5（2）4x＋3y－1＝0 学生活动：尝试自主完成， 教师纠正思考：能否用含 y 的式子来表示 x 呢？ 例 1 用代入法解方程组 x－y＝3①3x－8y＝14② 思路点拨：先观察这个方程组中哪一项系数较小，发现①中 x 的系数为 1，这样能够确定消 x 较简单，首先用含 y 的代数式表示 x, 而后再代入②消元。 解：由①变形得 X=y+3③ 把③代入②，得 3（y+3）－8y=14 解这个方程，得 y=－1 把 y=－1 代入③，得 X=2 所以这个方程组的解是 X=2y=－1 如何检验得到的结果是否准确？学生活动：口答检验． 第三步，在实际生活中应用代入法解方程组 例 2 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装 （250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为 2：5.某厂每天生产 这种消毒液 22.5 吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多 少瓶？思路点拨：本题是实际应用问题，可采用二元一次方程组为工 具求解，这就需要构建模型，寻找两个等量关系，从题意可知：大瓶 数：小瓶数=2：5；大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=总生产量(解题 过程略)教师活动：启发引导学生构建二元一次方程组的模型。学生 活动：尝试设出：这些消毒液应该分装 x 个大瓶和 y 个小瓶，得到 5x=2y500x+250y=22500000 并解出 x=20000y=50000 第四步，小组讨论，得出步骤学生活动：根据例 1、例 2 的解 题过程，你们能不能归纳一下用代入法解二元一次方程组的步骤呢？ 小组讨论一下。学生归纳，教师补充，总结出代入法解二元一次方程 组的步骤：①选择一个系数较简单的二元一次方程变形，用含有一个 未知数的代数式表示另一个未知数；②将变形后的方程代入另一个方 程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程（在代入时，要注意 不能代入原方程，只能代入另一个没有变形的方程中，以达到消元的 目的.）；③解这个一元一次方程，求出未知数的值；④将求得的未知 数的值代入①中变形后的方程中，求出另一个未知数的值；⑤用“{” 联立两个未知数的值，就是方程组的解；⑥最后检验求得的结果是否 准确（代入原方程组中实行检验，方程是否满足左边=右边）. （三）分组比赛，巩固新知为了激发学生的兴趣，巩固所学的 知识，我把全班分成 4 个小组，把书本 P98 页练习设计成必答题、抢 答题和风险题几个集知识性、趣味性于一体的独立版块，练习是由易 到难、由浅到深，以小组比赛的形式表现出来，这样既提升了学生的 积极性，培养了团队精神，也使各类学生的水平都得到不同的发展。 （四）归纳总结，知识回顾 1、通过这节课的学习活动，你有 什么收获？2、你认为在使用代入法解二元一次方程组时，应注意什 么问题？ (五)布置作业 1、作业：P103 页第 1、2、4 题 2、思考：提出 在日常生活中能够利用二元一次方程组来解决的实际问题。设计说明 代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化 归的原则就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，用于解决新问 题．基于这点理解，本课按照“身边的数学问题引入—寻求一元一次 方程的解法—探索二元一次方程组的代入消元法—典型例题—归纳 代入法的一般步骤”的思路实行设计．在教学过程中，充分调动学生 的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有 趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融 于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程 的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代 入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知 识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要 的． 【二元一次方程组】 一．教学目标： 1．认知目标： 1）了解二元一次方程组的概念。 2）理解二元一次方程组的解的概念。 3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。 2．水平目标： 1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。 2）通过尝试求解，培养学生的探索水平。 3．情感目标： 1）培养学生细致，认真的学习习惯。 2）在积极的教学评价中，促动师生的情感交流。 二．教学重难点 重点：二元一次方程组及其解的概念 难点：用列表尝试的方法求出方程组的解。 三．教学过程 (一)创设情景，引入课题 1.本班共有 40 人，请问能确定男*各几人吗？为什么？ （1）如果设本班男生 x 人，*y 人，用方程如何表示？(x+y=40) （2）这是什么方程？根据什么？ 2.男生比*多了 2 人。设男生 x 人,*y 人.方程如何表示？x，y 的值是多少？ 3.本班男生比*多 2 人且男*共 40 人.设该班男生 x 人,*y 人。 方程如何表示? 两个方程中的 x 表示什么？类似的两个方程中的 y 都表示？ 象这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它 们连起来组成一个方程组。 4.点明课题：二元一次方程组。 [设计意图：从学生身边取数据,让他们感受到生活中处处有数 学] （二）探究新知，练习巩固 1．二元一次方程组的概念 （1）请同学们看课本,了解二元一次方程组的的概念，并找出 关键词由教师板书。 [让学生看书,引起他们对教材重视。找关键词，加深他们对概 念的了解.] （2）练习：判断下列是不是二元一次方程组： x+y=3,x+y=200, 2x-3=7,3x+4y=3 y+z=5,x=y+10, 2y+1=5,4x-y2=2 学生作出判断并要说明理由。 2．二元一次方程组的解的概念 （1）由学生给出引例的答案，教师指出这就是此方程组的解。 （2）练习：把下列各组数的题序填入图中适当的位置： x=1；x=-2；x=；-x= y=0；y=2；y=1；y= 方程 x+y=0 的解，方程 2x+3y=2 的解，方程组 x+y=0 的解。 2x+3y=2 （3）既满足第一个方程也满足第二个方程的解叫作二元一次方 程组的解。 （4）练习：已知 x=0 是方程组 x-b=y 的解，求 a,b 的值。 y=0.55x+2a=2y （三）合作探索，尝试求解 现在我们一起来探索如何寻找方程组的解呢？ 1.已知两个整数 x,y，试找出方程组 3x+y=8 的解. 2x+3y=10 学生两人一小组合作探索。并让已经找出方程组解的学生利用 实物投影，讲明自己的解题思路。 提炼方法：列表尝试法。 一般思路：由一个方程取适当的 xy 的值,代到另一个方程尝试. [把课堂还给学生,让他们探索并解答问题,在获取新知识的同 时也积累数学活动的经验.] 2.据了解，某商店出售两种不同星号的“红双喜”牌乒乓球。 其中“红双喜”二星乒乓球每盒 6 只，三星乒乓球每盒 3 只。某同学 一共买了 4 盒，刚好有 15 个球。 (1)设该同学“红双喜”二星乒乓球买了 x 盒，三星乒乓球买了 y 盒，请根据问题中的条件列出关于 x、y 的方程组。(2)用列表尝试 的方法解出这个方程组的解。 由学生独立完成，并分析讲解。 (四)课堂小结，布置作业 1.这节课学哪些知识和方法?(二元一次方程组及解概念,列表 尝试法) 2.你还有什么问题或想法需要和大家交流? 3.作业本。 教学设计说明： 1．本课设计主线有两条。其一是知识线，内容从二元一次方程 组的概念到二元一次方程组解的概念再到列表尝试法，环环相扣，层 层递进；第二是水平培养线，学生从看书理解二元一次方程组的概念 到学会归纳解的概念，再到自主探索，用列表尝试法解题，循序渐进， 逐步提升。 2．“让学生成为课堂的真正主体”是本课设计的主要理念。由 学生给出数据，得出结果，再让他们在积极尝试后实行讲解，实现生 生互评。把课堂的一切交给学生，相信他们能在已有的知识上进一步 学习提升，教师仅仅点播和引导者。 3．本课在设计时对教材也实行了适当改动。例题方面考虑到数 *时代，学生对胶卷已渐失兴趣，所以改为学生比较熟悉的乒乓球为 体裁。另一方面，充分挖掘练习的作用，为知识的落实打下轧实的基 础，为学生今后的进一步学习做好铺垫。 【应用二元一次方程组——鸡兔同笼】 教学目标： 知识与技能目标： 通过对实际问题的分析，使学生进一步体会方程组是刻画现实 世界的有效数学模型，初步掌握列二元一次方程组解应用题．初步体 会解二元一次方程组的基本思想“消元”。 培养学生列方程组解决实际问题的意识，增强学生的数学应用 水平。 过程与方法目标： 经历和体验列方程组解决实际问题的过程，进一步体会方程 （组）是刻画现实世界的有效数学模型。 情感态度与价值观目标： 1.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习 的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意 识. 2．通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生 体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学 教学的实际价值，培养学生的人文精神。重点： 经历和体验列方程组解决实际问题的过程；增强学生的数学应 用水平。 难点： 确立等量关系，列出准确的二元一次方程组。 教学流程： 课前回顾 复习：列一元一次方程解应用题的一般步骤 情境引入 探究 1：今有鸡兔同笼， 上有三十五头， 下有九十四足， 问鸡兔各几何？ “雉兔同笼”题：今有雉（鸡）兔同笼，上有 35 头，下有 94 足，问雉兔各几何？ （1）画图法 用表示头，先画 35 个头 将所有头都看作鸡的，用表示腿，画出了 70 只腿 还剩 24 只腿，在每个头上在加两只腿，共 12 个头加了两只腿 四条腿的是兔子(12 只），两条腿的是鸡（23 只） （2）一元一次方程法： 鸡头＋兔头＝35 鸡脚＋兔脚＝94 设鸡有 x 只，则兔有(35－x)只，据题意得： 2x＋4（35－x）＝94 比算术法容易理解 想一想：那我们能不能用更简单的方法来解决这些问题呢？ 回顾上节课学习过的二元一次方程，能不能解决这个问题? （3）二元一次方程法 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ （1）上有三十五头的意思是鸡、兔共有头 35 个， 下有九十四足的意思是鸡、兔共有脚 94 只. （2）如设鸡有 x 只，兔有 y 只，那么鸡兔共有（x+y）只； 鸡足有 2x 只；兔足有 4y 只. 解：设笼中有鸡 x 只，有兔 y 只，由题意可得： 鸡兔合计头 xy35 足 2x4y94 解此方程组得： 练习 1： 1.设甲数为 x，乙数为 y，则“甲数的二倍与乙数的一半的和是 15”，列出方程为_2x+05y=15 2.小刚有 5 角硬币和 1 元硬币各若干枚，币值共有六元五角， 设 5 角有 x 枚，1 元有 y 枚，列出方程为 05x+y=65. 三、合作探究 探究 2：以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折 测之，绳多一尺。绳长、井深各几何？ 题目大意：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，一份 绳长比井深多 5 尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多 1 尺。 问绳长、井深各是多少尺？ 找出等量关系： 解：设绳长 x 尺，井深 y 尺，则由题意得 x=48 将 x=48y=11。 所以绳长 4811 尺。 想一想：找出一种更简单的创新解法吗？ 引导学生逐步得出更简单的方法： 找出等量关系： （井深+5）×3=绳长 （井深+1 解：设绳长 x 尺，井深 y 尺，则由题意得 3(y+5)=x 4(y+1)=x x=48 y=11 所以绳长 48 尺，井深 11 尺。 练习 2：甲、乙两人赛跑，若乙先跑 10 米，甲跑 5 秒即可追上 乙；若乙先跑 2 秒，则甲跑 4 秒就可追上乙.设甲速为 x 米/秒，乙速 为 y 米/秒，则可列方程组为(B). 归纳： 列二元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题目中的等量关系． 设：设未知数． 列：根据等量关系，列出方程组． 解：解方程组，求出未知数． 答：检验所求出未知数是否符合题意，写出答案． 四、自主思考 探究 3：用长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图中竖 式和横式的两种无盖纸盒。现在仓库里有 1000 张正方形纸板和 2000 张长方形纸板，问两种纸盒各做多少只，恰好使库存的纸板用完？ 解：设做竖式纸盒 X 个，横式纸盒 y 个。根据题意，得 x+2y=1000 4x+3y=2000 解这个方程组得 x=200 y=400 答：设做竖式纸盒 200 个，横式纸盒 400 个，恰好使库存的纸 板用完。 练习 3：上题中如果改为库存正方形纸板 500，长方形纸板 1001 张，那么，能否做成若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后，恰好把库 存纸板用完？ 解：设做竖式纸盒 x 个，做横式纸盒 y 个，根据题意 y 不是自然数，不合题意，所以不可能做成若干个纸盒，恰好 不库存的纸板用完． 归纳： 五、达标测评 1.解下列应用题 （1）买一些 4 分和 8 分的邮票，共花 6 元 8 角，已知 8 分的邮 票比 4 分的邮票多 40 张，那么两种邮票各买了多少张？ 解：设 4 分邮票 x 张，8 分邮票 y 张，由题意得： 4x+8y=6800① y-x=40② 所以，4 分邮票 540 张，8 分邮票 580 张 （2）一项工程，如果全是晴天，15 天能够完成，倘若下雨， 雨天一天只能完成晴天 的工作量。现在知道在施工期间雨天比晴天多 3 天。问这项工 程要多少天才能完成 分析：因为工作总量未知，我们将其设为单位 1 晴天一天可完成 雨天一天可完成 解：设晴天 x 天，雨天 y 天，工作总量为单位 1，由题意得： 总天数：7+10=17 所以，共 17 天可完成任务 六、应用提升 学校买铅笔、圆珠笔和钢笔共 232 支，共花了 300 元。其中铅 笔数量是圆珠笔的 4 倍。已知铅笔每支 0.60 元，圆珠笔每支 2.7 元， 钢笔每支 6.3 元。问三种笔各有多少支？ 分析：铅笔数量+圆珠笔数量+钢笔数量=232 铅笔数量=圆珠笔数量×4 铅笔价格+圆珠笔价格+钢笔价格=300 解：设铅笔 x 支，圆珠笔 y 支，钢笔 z 支，根据题意，可得三 元一次方程组： 将②代入①和③中，得二元一次方程组 4y+y+z=232④ 0.6×4y+2.7x+6.3z=300⑤ 解得 所以，铅笔 175 支，圆珠笔 44 支，钢笔 12 支 七、体验收获 1.解决鸡兔同笼问题 2.解决以绳测井问题 3.解应用题的一般步骤 七、布置作业 教材 116 页习题第 2、3 题。 x+y=35 2x+4y=94 x=23 y=12 绳长的三分之一-井深=5 绳长的四分之一-井深=1 -y=5① ①-②，得 -y=1② -y=5① -y=5① -y=5① X=540 Y=580 y-x=3② x=7 y=10 x+y+z=232① x=4y② 0.6x+2.7y+6.3z=300③ X=176 Y=44 Z=12 旋转提升专题 知识点一 旋转构造全等 几何变换——旋转 旋转中的基本图形 利用旋转思想构造辅助线    （一）共顶点旋转模型(证明基本思想“SAS”) 以上给出了各种图形连续变化图形，图中出现的两个阴影部分的三角形是全等三角形，此模型需要注意的是 利用“全等三角形”的性质进行边与角的转化 二利用旋转思想构造辅助线 （1）根据相等的边先找出被旋转的三角形 （2）根据对应边找出旋转角度 （3）根据旋转角度画出对应的旋转的三角形 三 旋转变换前后具有以下性质： （1）对应线段相等，对应角相等 （2）对应点位置的排列次序相同 （3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角 ． 【例题精讲】 例 1.在四边形 ABCD 中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB 于 P，若 SABCD=25，求 DP 的长。 例 2.如图，四边形 ABCD 是正方形， ABE 是等边三角形， M 为对角线 BD 上任意一点，将 BM 绕点 B 逆 时针旋转 60 得到 BN ，连接 AM 、 CM 、 EN ． ⑴求证： AMB ENB ≌ ⑵①当 M 点在何处时， AM CM 的值最小； ②当 M 点在何处时， AM BM CM  的值最小，并说明理由； ⑶当 AM BM CM  的最小值为 3 1 时，求正方形的边长． 方法总结: 1、共顶点的等线段中，最常用旋转思路，但也不可以思维定势，辅助线叙述中用一般语言 2、旋转变换还用于处理： ①几何最值问题：几何最值两个重要公理依据是：两点之间线段最短和垂线段最短； ②有关线段的不等关系； ③自己构造绕某点旋转某角度（特别是 60 度），把共顶点的几条线段变为首尾相接的几条线段，再变为共线 取得最小值问题，计算中常用到等腰三角形或勾股定理等知识。 【课堂练习】 1.如图 1，已知边长为 a 的正方形 ABCD 和边长为 b 的正方形 AEFG 有一个公共点 A，（a≥2b）,且点 F 在 AD 上。 （以下结果可以用含 a、b 的代数式表示） （1）求 S△DBF; （2）把正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 45°，得到图 2，求图 2 中的 S△DBF; （3）把正方形 AEFG 绕点 A 旋转任意角度，在旋转的过程中，S△DBF 是否存在最大值、最小值？如果存在，试 求出最大值、最小值；若不存在，请说明理由。 图 1 图 2 2.四边形 ABCD 中，DAB=BCD=90°，CD=CB,AC= 3 ,求四边形 ABCD 的面积。 知识点二 利用全等构造特殊三角形 【例题精讲】 例 1.点 P 为等边△ABC 内一点，若 PA=2，PB= 3 ,PC=1,求BPC 的度数。 例 2.图，点 P 为正方形 ABCD 内一点，若 PA=2，PB=4，APB=135°,求 PC 的长。 1.如图，在△ABC 中，A=90°,AB=AC,D 是斜边 BC 上一点，求证：BD2+CD2=2AD2 2.如图，正方形 ABCD 边长为 3，点 E、F 分别在边 BC、CD 上且EAF=45° ,求△CEF 的周长。 知识点三（知识点名称） 【 例 题 精 讲 】 1. 例 2. 1. 2. 3. 旋转的性质，利用旋转构造全等，利用全等构造特殊三角形。 额外拓展： 如图，已知抛物线 322  xxy 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，该抛物线顶 点为 D，对称轴交 x 轴于点 H。 （1）求 A,B 两点的坐标； （2）设点 P 在 x 轴下方的抛物线上，当∠ABP=∠CDB 时，求出点 P 的坐标； （3）以 OB 为边在第四象限内作等边△OBM，设点 E 为 x 轴的正半轴上一动点（OE>OH），连接 ME，把线段 ME 绕点 M 顺时针旋转 60°得 MF，求线段 DF 的长的最小值。 1、如图，四边形 OABC 和 ODEF 都是正方形，CF 交 OA 于点 P,交 DA 于点 Q. (1) 求证：AD=CF (2)AD 与 CF 垂直吗？说说你的理由； (3)当正方形 ODEF 绕 O 点在平面内旋转时，(1)、(2)的结论是否有变化？为什么？ 2.已知菱形 ABCD 中，B=60°，若EAF=60°.求证：△AEF 是等边三角形。 3.已知正方形 ABCD 内一点，P 到 A、B、 C 三点的距离之和最小值为 2 + 6 ，求此正方形的边长。