九年级 中考 数学综合 提优 10页

数学综合 ‎1．如图，△ABC和△EFC都是等边三角形，AD是△ABC的高，AB=4，若点E在直线AD上运动，连接DF，则在点E运动的过程中，线段DF的最小值是（ ）‎ ‎ A．1 B．2 C． D．‎ ‎2．如图，矩形的边、分别在轴、轴上，点的坐标是，点、分别为、的中点，点为上一动点，当最小时，点的坐标为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．如图，AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点E是弧AC的中点，连结EB、CA交于点F，则 的值为（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4．如图,点A是以BC为直径的半圆的中点，连接AB，点D是直径BC上一点，连接AD，分别过点B、点C向AD作垂线，垂足为E和F，其中，EF=2，CF=6，BE=8，则AB的长是（ ）‎ ‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎5．在中，，平分，平分，相交于点，且，则__________．‎ 试卷第5页，总5页 ‎6．如图中，，，以为边向三角形外作等边，连，则的最大值为__________．‎ ‎7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是_____．‎ ‎8．（1）问题背景．‎ 如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD=2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．‎ 童威同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是__________________． ‎ ‎（2）猜想论证．‎ 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上． 若∠BAD=2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明．‎ 图1 图2‎ ‎（3） 拓展应用．‎ 如图3，在四边形ABCD中，∠BDC=45°，连接BC、AD，AB：AC：BC=3：4：5，AD=4，且∠ABD+∠CBD=180°．则△ACD的面积为 ‎ 试卷第5页，总5页 ‎9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，且．‎ ‎（1）求、两点的坐标；（2）若为直线上一点，‎ ‎①若，求的取值范围；②到轴和到轴距离和的最小值为1，此时的取值范围；‎ ‎（3）已知，若，求．‎ ‎10．在正方形中，点是边上任意一点，连接过点作于，交于. ‎ 如图1，过点作于.求证:；‎ 如图2，点为的中点，连接，试判断存在什么数量关系并说明理由；‎ 如图3，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长.‎ ‎11．在平面直角坐标系中，对于线段AB和点C，若是以AB为一条直角边，且满足的直角三角形，则称点C为线段AB的：“从属点”．‎ 已知点A的坐标为．‎ 试卷第5页，总5页 ‎（1）如图1，若点B为，在点，，中，线段AB的“从属点”是 ；‎ ‎（2）如图2，若点B为，点P在直线上，且点P为线段AB的“从属点”，求点P的坐标；‎ ‎（3）点B为x轴上的动点，直线与x轴，y轴分别交于M，N两点，若存在某个点B，使得线段MN上恰有2个线段AB的“从属点”，直接写出b的取值范围．‎ ‎12．如图1，△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点A逆时针旋转α角，得到△ADE，DE交BC边于G，BD的廷长线交EC的延长线于F，连AG．‎ ‎（1）求证：△BCF≌△EDF；‎ ‎（2）若DF=2BD，求的值；‎ ‎（3）如图2，若AB=，∠BAC=120°，α=30°，直接写出CG的长为_________． ‎ ‎13．如图，点E为□ABCD中一点，EA=ED，∠AED=90º，点F，G分别为AB，BC上的点，连接DF,AG，AD=AG=DF，且AG⊥DF于点H，连接EG，DG，延长AB,DG相交于点P．‎ ‎（1）若AH=6，FH=2，求AE的长；‎ ‎（2）求证：∠P=45º；‎ 试卷第5页，总5页 ‎（3）若DG=2PG，求证：∠AGE=∠EDG．‎ 试卷第5页，总5页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。‎ 参考答案 ‎1．A 由 △ABC 和 △EFC都是等边三角形，联想基本图形，想到证全等，但是这样的三角形不存在，于是想到连接 BF，构造 △BFC ≌ △AEC．显然当DF⊥BF时最小，即可求出DF最小值．‎ ‎2．A 先作点E关于x轴的对称点，连接与x轴的交点就是点P，找到取最小值的状态，然后通过点坐标求出直线的解析式，点P就是它和x轴的交点．‎ ‎3．D 先连接OE、BC，利用垂径定理推论，以及圆心角、弧、弦之间的关系，可证得：△ABC、△AMO是等腰直角三角形且OE∥BC，再证△MEF∽△CBF，利用相似三角形的性质即可求出.‎ ‎4．D 延长BE交于点M，连接CM，AC，依据直径所对的圆周角是90度，及等弧对等弦，得到直角三角形BMC和等腰直角三角形BAC，依据等腰直角三角形三边关系，知道要求AB只要求直径BC，直径BC可以在直角三角形BMC中运用勾股定理求，只需要求出BM和CM，依据三个内角是直角的四边形是矩形，可以得到四边形EFCM是矩形，从而得到CM和EM的长度，再用BE+EM即得BM，此题得解.‎ ‎5．‎ ‎【分析】由已知易得∠AFE=45°，过E作EG⊥AD，垂足为G，根据已知易得EG=FG=1，再根据勾股定理可得AE=，过F分别作FH⊥AC垂足为H， FM⊥BC垂足为M，FN⊥AB垂足为N，易得CH=FH，根据勾股定理可求出a=，继而可得CH=，由AC=AE+EH+HC即可求得.‎ ‎6．9‎ 答案第3页，总4页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD，只要证明△ACB≌△OCD，推出OD=AB=3，推出点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，AD的值最大．‎ ‎【详解】‎ 解：如下图所示，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD，‎ ‎∵△BCD，△AOC都是等边三角形，‎ ‎∴CA=CO，CB=CD，∠ACO=∠BCD，‎ ‎∴∠ACB=∠OCD，‎ 在△ACB和∠OCD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACB≌△OCD，‎ ‎∴OD=AB=4，‎ ‎∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，‎ ‎∴当D、O、A共线时，AD的值最大，最大值为OA+OD=5+4=9，‎ 故答案为：9．‎ ‎7．‎ 作辅助线，构建△AME≌△AFE，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝2，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为x≥2，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是4．‎ 答案第3页，总4页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。‎ ‎【详解】‎ 如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，‎ ‎8．（1）BE+FD=EF；（2）上述结论不成立，正确结论是EF+FD=BE，证明见解析；（3）‎ ‎（1）先证明△ABE≌△ADG（SAS），再证明△AEF≌△AGF（SAS），可即可求解；‎ ‎（2）首先在DF上截取BG=DF，并连接AG，然后证明△ABE≌△ADG（SAS），再证明△AEF≌△AGF（SAS），可即可求解；‎ ‎（3）方法一：延长AB至K，使得BK=BC，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，证得△DBK≌△DBC（SAS），进而得到∠KDC=2∠BDC=90°，由AB：AC：BC=3:4:5可得 ∠BAC=90°，可以证得△DKM≌△DNC（AAS），进一步得到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据即可求解；‎ 方法二：过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，作DH⊥BC，可以证得D为△ABC的旁心，然后得到四边形AMDN为正方形，设AB=3x，可以表示出BM和CN的长，然后根据即可求解．‎ ‎9．（1）A（-6，0），B（0，3）；（2）①-24≤x≤；②x≤-2或x≥；（3）或 ‎（1）根据算术平方根的非负性可得a和b；‎ ‎（2）①求出直线AB的表达式，分别表示出△APO和△BPO的面积，再利用得到不等式，再分当点P在x轴下方，当点P在线段AB上，当点P在y轴右侧，三种情况取绝对值解不等式，再合并；‎ ‎②表示出P到x轴和到y轴距离和的为+，当点P在x轴下方，当点P在线段AB上，当点P在y轴右侧，三种情况取绝对值求解；‎ ‎（3）分当点R在点Q上方时，当点R在点Q下方时，分别表示出RQ的长度，结合三角形面积公式列方程求解即可．‎ ‎10．（1）见解析；（2）FH+FE=DF，理由见解析；（3）‎ ‎（1）如图1中，证明△AFB≌△DGA（AAS）可得结论． ‎ 答案第3页，总4页 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。‎ ‎（2）结论：FH+FE=DF．如图2中，过点D作DK⊥AE于K，DJ⊥BF交BF的延长线于J，证明四边形DKFJ是正方形，可得结论． （3）如图3中，取AD的中点J，连接PJ，延长JP交CD于R，过点P作PT⊥CD于T，PK⊥AD于K．设PT=b．证明△KPJ是等腰直角三角形，推出点P在线段JR上运动，求出JR即可解决问题．‎ ‎11．（1）C1、C2；（2）（-4，5）或（，）；（3）b＞3或b＜-2．‎ ‎（1）分别按照“从属点”的定义对三个点进行分析即可；‎ ‎（2）分∠ABP=90°和∠BAP=90°两种情况，借助等腰直角三角形的判定和性质求解；‎ ‎（3）画出图像，分b＞0和b＜0两种情况，分别求出边缘值，从而得到b的取值范围．‎ ‎12．（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由△BAD≌△CAE（SAS），想办法提出∠EDF=∠BCF，即可解决问题； （2）如图1中，连接GF．作GM⊥CF于M，GN⊥BF于N．想办法证明∠DFG=∠CGF，由GM⊥CF于M，GN⊥BF于N，推出GM=GN，由DF=2BD，可以设BD=a，则DF=CF=2a，BF=3a，根据，即可解决问题； （3）如图2中，连接GF，作CK⊥BF于K．利用（2）中结论：BG：CG=BF：CF，求出AB即可解决问题．‎ ‎13．（1）；（2）见详解；（3）见详解 ‎（1）在Rt△ADH中，设AD=DF=x，则DH=x-2，由勾股定理，求出AD的长度，由等腰直角三角形的性质，即可求出AE的长度；‎ ‎（2）根据题意，设∠ADF=2a，则求出∠FAH=，然后∠ADG=∠AGD=，再根据三角形的外角性质，即可得到答案；‎ ‎（3）过点A作AM⊥DP于点M，连接EM，EF，根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到角之间的关系，从而通过等量互换，即可得到结论成立．‎ 答案第3页，总4页