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- 2021-11-10 发布
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一、选择题
1.(2019·温州)验光师测得一组关于近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(米)的对应数据如下表.根
据表中数据,可得 y 关于 x 的函数表达式为 ( )
近视眼镜的度数 y(度) 200 250 400 500 1000
镜片焦距 x(米) 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A. y 100
x
= B.
100
xy = C. 400y x
= D.
400
xy =
【答案】A
【解析】从表格中的近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(米)的对应数据可以知道,它们满足 xy=100,
因此,y 关于 x 的函数表达式为 100y =
x
.故选 A.
2.(2019·株洲)如图所示,在直角坐标系 xOy 中,点 A、B、C 为反比例函数 y k (k 0)x
= > 上不同的
三点,连接 OA、OB、OC,过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D,过点 B、C 分别作 BE,CF⊥x 轴于点 E、
F,OC 与 BE 相交于点 M,记△AOD、△BOM、四边形 CMEF 的面积分别为 S1、S2、S3,则( )
A.S1=S2+S3 B.S2=S3 C.S3>S2>S1 D.S1S2<S32
第 9 题
【答案】B
【解析】由题意知 S1=
2
k
,S△BOE=S△COF= 2
k
,因为 S2=S△BOE-S△OME,S3=S△COF-S△OME,所以
S2=S3 ,所以选
B。
3(2019·娄底)将 1y x
= 的图象向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度所得图象如图(3).则
所得图象的解析式为( )
知识点 16——反比例函数图像、性质及其应用
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A. 1 11y x
= ++ B. 1 11y x
= −+ C. 1 11y x
= +− D. 1 11y x
= −−
【答案】C.
【解析】二次函数平移的规律“左加右减,上加下减”对所有函数的图象平移均适合.
∵将 1y x
= 的图象向右平移 1 个单位长度后所得函数关系式为 1
1y x
= −
,
∴将 1y x
= 的图象向右平移 1 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度所得图象的解析式为 1 11y x
= +−
.
故选 C.
4.(2019·娄底)如图(1),⊙O 的半径为 2,双曲线的解析式分别为 1y x
= 和 1y x
= − ,则阴影部分
的面积为( )
A. 4π B. 3π C. 2π D. π
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【答案】C
【解析】根据反比例函数 1y x
= , 1y x
= − 及圆的中心对称性和轴对称性知,将二、四象限的阴影部分
旋转到一、三象限对应部分,显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和,也
就相当于一个半径为 2 的半圆的面积.
∴ 21 22S阴影 =
2
π × = π .
故选 C.
5.(2019·衡阳)如图,一次函数 y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数 y2= m
x
(m 为常数且 m≠0)
的图象,都经过 A(-1,2),B(2,-1),结合图象,则不等式 kx+b> m
x
的解集是( ).
A. x<-1 B. -1<x<0 C. x<-1 或 0<x<2 D.-1<x<0 或 x>2
【答案】C.
【解析】由图象得,不等式 kx+b> m
x
的解集是 x<-1 或 0<x<2,故选 C.
6. (2019·滨州)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴的正半轴上,反比例函数 y
= k
x
(x>0)的图象经过对角线 OB 的中点 D 和顶点 C.若菱形 OABC 的面积为 12,则 k 的值为
( )
A.6 B.5 C.4 D.3
x
y
-1
2
2
-1
B
A
O
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【答案】C
【解析】如图,连接 AC,∵四边形 OABC 是菱形,∴AC 经过点 D,且 D 是 AC 的中点.设点 A 的坐
标为(a,0), 点 C 坐标为(b,c), 则 点 D 坐标为(
2
ab+ ,
2
c ). ∵ 点 C 和点 D 都在反比例函数
y=
k
x
的图象上,∴bc= 2
ab+ × 2
c ,∴a=3b;∵菱形的面积为 12,∴ac=12,∴3bc=12,bc=4,即
k=4.故选 C.
法 2:设点 A 的坐标为(a,0), 点 C 的坐标为(c, ), 则 ,点 D 的坐标为( ),
∴ ,解得,k=4,故选 C.
7. (2019·无锡)如图,已知 A 为反比例函数 y k
x= ( x <0)的图像上一点,过点 A 作 AB⊥ y 轴,垂
足为 B.若△OAB 的面积为 2,则 k 的值为( )
A.2 B. -2 C. 4 D.-4
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【答案】D
【解析】如图,∵AB⊥y 轴, S△OAB=2,而 S△OAB
1
2
= |k|,∴ 1
2 |k|=2,∵k<0,∴k=﹣4.故选 D.
8. (2019·济宁)如图,点 A 的坐标是(-2,0),点 B 的坐标是(0,6),C 为 OB 的中点,将
△
ABC 绕点
B 逆时针旋转 90°后得到
△
A'BC'.若反比例函数 y= k
x
的图象恰好经过 A'B 的中点 D,则 k 的值是
( )
A.9 B.12 C.15 D.18
【答案】C
【解析】取 AB 的中点(-1,3),旋转后 D(3,5)∴k=3×5=15,故选 C.
9. (2019·枣庄)如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形 ABC 的顶点 A,B 分别在 x 轴,y 轴的正半轴
上,∠ABC=90°,CA⊥x 轴,点 C 在函数 y = k
x (x>0)的图象上,若 AB=1,则 k 的值为( )
A.1 B. 2
2 C. 2 D.2
x
y
O
A B
x
y
D A'
C'
C
B
A O
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【答案】A
【解析】在等腰直角三角形 ABC 中,AB=1,∴AC= 2 ,∵CA⊥x 轴,∴yC= 2 ,Rt△ABC 中,∠BAC=
45°,CA⊥x轴,∴∠BAO=45°,∴∠ABO=45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA= 2
2 ,∴xC= 2
2 ,k
=xC`yC=1,故选 A
10. (2019·淄博)如图,∆OA1B1, ∆A1 A2 B2 , ∆A2 A3B3 ,…是分别以 A1, A2 , A3 , …为直角顶点,一条直角
边 在 x 轴正半轴上的等腰直角三角形,其斜边的中点C1(x1, y1),C2 (x2 , y2 ),C3 (x3 , y3 ), …均在反
比例 函数 y 4
x
= (x>0)的图象上,则 1 2 100yy y+++ 的值为( )
A. 2 10 B.6 C. 42 D. 27
【答案】20
【解析】如图,过点 C1 作 C1M⊥x 轴,
∵△OC1A1 是等腰直角三角形,∴C1M=OM=MA1,
设 C1 的坐标是(a,a)( a>0),, 把 ( a,a)代入解析式 4y x
= (a>0)中,得 a=2,
∴y1=2,
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∴A1 的坐标是(4,0),
又∵△C2A1A2 是等腰直角三角形,
∴设 C2 的纵坐标是 b(b>0), 则 C2 的横坐标是 4+b,
把(4+b,b)代入函数解析式得 b= 4
4 b+
,解得 b=2 2 ﹣2,
∴y2=2 2 ﹣2,
∴A2 的坐标是(4 2 ,0),
设 C3 的纵坐标是 c(c>0),则 C3 横坐标为 4 2 +c,把( 4 2 +c,c)代入函数解析式得 c= 4
42 c+
,
解得 c=2 3 ﹣2 2 ,
∴y3=2 3 ﹣2 2 .
∵y1=2 1 ﹣2 0 ,y2=2 2 ﹣2 1 ,y3=2 3 ﹣2 2 ,…
∴y100=2 100 ﹣2 99 ,
∴y1+y2+y3+…+y100=2+2 2 ﹣2+2 ﹣2 2 +…+2 100 ﹣2 99 =2 100 =20.
x
4 的图象相交于 A、C 两点,过点 A 作 x 轴的11.(2019·凉山)如图,正比例函数 y=kx 与反比例函数 y=
垂线交 x 轴于点 B,连接 BC,则△ABC 的面积等于( )
A.8 B.6 C.4 D.2
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【答案】C
【解析】设 A 点的坐标为(m , 4
m
), 则 C 点的坐标为(-m , - 4
m
), ∴
1 41 4 422ABC OBC OABSSS m mmm∆∆∆= + = × + − ×− = ,故选 C.
12. (2019·天津) 若点 A(-3,y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数 y x
12−= 的图像上,则 y1,y2,y3
的大小关系是( )
A. y2x2,则 y1>y2.其中真命题是( )
A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③④
【答案】A
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【解析】令 y=2,得 x= 3
2 ,这个点在直线 y=2 上,∴也在图象 C 上,故①正确;令 x= 1
2 ,得 y=6,点( 1
2 ,6)关
于直线 y=2 的对称点为( 1
2 ,-2),∴点( 1
2 ,-2)在图象 C 上,②正确;经过对称变换,图象 C 也是类似双曲线
的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足 x1>x2,则 y1>y2,但是没有限制时,不能保证上述结
论正确,故④错误.综上所述,选 A.
【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性
14.(2019·重庆 B 卷)如图,在平面直角坐标系中,菱形 OABC 的边 OA 在 x 轴上,点 A(10,0),sin∠
COA= 4
5
.若反比例函数 y= k
x
(k﹥0,x﹥0)经过点 C,则 k 的值等于( )
【答案】C
【解析】过 C 作 CD⊥OA 交 x 轴于 D
∵OABC 为菱形,A(10,0)∴OC=OA=10.
∵sin∠COA= 4
5
∴ CD
OC = 4
5
即
10
CD = 4
5
∴CD=8, ∴OC=6, ∴C(6,8) ∵反比例函数 y= k
x
(k﹥0,x﹥0)经过点 C, k=6×8=48. 故选C.
二、填空题
1.(2019·威海)
如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 在反比例函数 y k (k 0)x
= ≠ 的图像上运动,且始终保持线段
42AB = 的长度不变,M 为线段 AB 的中点,连接 OM.则线段 OM 的长度的最小值是 (用
含 k 的代数式表示).
9题图
x
y
C
O A
B
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【答案】 28k +
【解析】过点 A 作 x 轴⊥AC,过点 B 作 y 轴⊥BD,垂足为 C,D,AC 与 BD 相交于点 F,连接 OF.当点
O、F、M 在同一直线上时 OM 最短.即 OM 垂直平分 AB.设点 A 坐标为(a,a +4), 则 点 B 坐标为
(a +4,a), 点 F 坐标为(a,a).
由题意可知△AFB 为等腰直角三角形,
∵AB= 42
∴AF=BF=4,
∵点 A 在反比例函数 y= 的图像上,
∴a (a +4)=k,
解得 a = 42k +−,
在 RT△OCF 中,OF= 22CF OC+ = 2 a = 2( 4 2)k +− = 2228k +− ,
∴OM=OF+FM= 22 2228k ++− = 28k + .
2.(2019·山西)如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,菱形 ABCD 的顶点 B 在 x 轴的正半轴
上,点 A 的坐标为(-4,0),点 D 的坐标为(-1,4),反比例函数 y= k
x (x>0)的图象恰好经过点 C,则 k 的
值为________.
x
y
M
O
A
B
x
y
C
D
M
O
A
B
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第 2 题图
【答案】16
【解析】分别过点 D,C 作 x 轴的垂线,垂足为 E,F,则 AD=5,∴AB=CB=5,∴B(1,0),由△DAE≌△CBF,可
得 BF=AE=3,CF=DE=4,∴C(4,4),∴k=xy=16.
第 2 题答图
3.(2019·黄冈)如图,一直线经过原点0,且与反比例函数y= k
x
(k>0)相交于点A,点B,过点A作
AC⊥y轴,垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8,则k= .
【答案】8
【解析】因为反比例函数与正比例函数的图象相交于 A、B 两点,
�A、B 两点关于原点对称,�OA=OB,��BOC 的面积=�AOC 的面积=8÷2=4,
又�A 是反比例函数 y= k
x
图象上的点,且 AC�y 轴于点 C,
��AOC 的面积= 1
2 |k|,� 1
2 |k|=2,�k>0,�k=8.
4.(2019·益阳)反比例函数
x
ky = 的图象上有一点 P(2,n),将点 P 向右平移 1 个单位,再向下平
移 1 个单位得到点 Q.若点 Q 也在该函数的图象上,则 k= .
【答案】6
【解析】∵P(2,n)向右平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位得到点 Q(3,n-1), 且 点 P、Q 均在反比例
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函数
x
ky = 的图象上,∴
=−
=
31
2
kn
kn
,∴
312
kk =− ,解得 k=6.
5. (2019·潍坊)如图,Rt△AOB 中,∠AOB=90°,顶点 A,B 分别在反比例函数 y 1 (x 0)x
= > 与
5 ( 0)yxx
−= < 的图象上.则 tan∠BAO 的值为 .
【答案】 5
【解析】分别过点 A、B 作 x 轴的垂线 AC 和 BD,垂足为 C、D.
则△BDO∽△OCA,
∴ 2S =( )S
BDO
OCA
BD
OA
∵S△BDO= 5
2
,S△ACO= 1
2
,
13 / 32
∴ 2( ) =5BD
OA
,
∴tan∠BAO= 5BD
OA
= .
6. (2019·巴中)如图,反比例函数 (x>0)经过 A,B 两点,过点 A 作 AC⊥y 轴于点 C,过点 B 作BD⊥y轴
于点 D,过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E,连接 AD,已知 AC=1,BE=1,S 矩形 BDOE=4,则 S△ACD=________.
【答案】 3
2
【解析】连接 AO,由反比例函数 k 的几何意义可知,S△AOC= 1
2 S 矩形 BDOE=2,因为 AC=1,所以 CO=4,因为
DO=BE=1,所以 CD=3,所以 S△ACD= 3
2 .
7. (2019·达州)如图,A、B 两点在反比例函数
x
ky 1= 的图像上,C、D 两点在反比例函数
x
ky 2= 的图像上,AC⊥x 轴于点 E,BD⊥x 轴于点 F,AC=2,BD=4,EF=3,则 12 kk −
=___________.
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. 〈
【答案】4
【解析】设 A(m,
m
k1 ) B(m,
m
k2 ) C(n,
n
k1 ) D(n,
n
k2 )
由题意得:m-n=3 , 212 =−
m
kk
,
421 =−
n
kk ,
联立三个式子,解得: k2 − k1 = 4 .
8.(2019·长沙)如图,函数 y k
x
= (k 为常数,k>0)的图象与过原点的 O 的直线相交于 A,B 两点,
点 M 是第一象限内双曲线上的动点(点 M 在点 A 的左侧),直线 AM 分别交 x 轴,y 轴于 C,D 两点,
连接 BM 分别交 x 轴,y 轴于点 E,F.现有以下四个结论:①△ODM 与△OCA 的面积相等;②若 BM⊥
AM 于点 M,则∠MBA=30°;③若 M 点的横坐标为 1,△OAM 为等边三角形,则 k= 23+ ;④若 MF=
2
5
MB,则 MD=2MA.其中正确的结论的序号是 .
【答案】①③④
9. (2019·眉山)如图,反比例函数 y k (x 0)x
= > 的图像经过矩形 OABC 对角线的交点 M,分
别交 AB、BC 于点 D、E,若四边形 ODBE 的面积为 12,则 k 的值为 .
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【答案】4
【解析】由题意得:E、M、D 位于反比例函数图象上,则 S△OCE= 1
2 |k|,S△OAD= 1
2 |k|,
过点 M 作 MG⊥y 轴于点 G,作 MN⊥x 轴于点 N,则 S 矩形 ONMG=|k|,又∵M 为矩形 ABCO 对角线的
交点,则 S 矩形 ABCO=4S 矩形 ONMG=4|k|,由于函数图象在第一象限,∴k>0,则 12 422
kk k++ = ,∴k=4.故
选:B.
10. (2019·湖州)如图,已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y=
1
2 x-1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和
点 B,分别交反比例函数 y1= k
x
(k>0,x>0), y2= 2k
x
(x<0)的图像于点 C 和点 D,过点 C
作 CE⊥x 轴于点 E,连结 OC,OD.若△COE 的面积与△DOB 的面积相等,则 k 的值是 .
【答案】2.
【解析】如答图,过点 D 作 DF⊥y 轴于点 F,则由 CE⊥x 轴于点 E 可知:S△OCE=k,S△ODF=2k.∵△
COE 的面积与△DOB 的面积相等,∴S△OBD=S△FBD.易知 A(2,0),B(0,-1),从而 OB=BF=1,OF
=2.令 D(m,-2),则由 D 点在直线 y= 1
2 x-1 上,得-2= 1
2 m-1,解得 m=-2,故 D(-2,-2),
从而 2k=(-2)×(-2),解得 k=2.
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11.(2019·宁波) 如图,过原点的直线与反比例函数 y = k
x (k>0)的图象交于 A,B 两点,点 A 在第一象限,点
C 在 x 轴正半轴上,连接 AC 交反比例函数图象于点 D.AE 为∠BAC 的平分线,过点 B 作 AE 的垂线,
垂足为 E,连接 DE,若 AC=3DC,△ADE 的面积为 8,则 k 的值为________.
【答案】6
【解析】连接 OE,在 Rt△ABE 中,点 O 是 AB 的中点,∴OE= 1
2 AB =OA,∴∠OAE=∠OEA,∵AE 为∠
BAC 的平分线,∴∠OAE=∠DAE,∴∠OEA=∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE=S△ADO,过点 A 作 AM⊥
x 轴于点 M,过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N,易得 S 梯 AMND=S△ADO,∵△CAM∽△CDN,CD:CA=1:3,∴S△
CAM=9,延长 CA 交 y 轴于点 P,易得△CAM∽△CPO,可知 DC=AP,∴CM:MO=CA:AP=3:1,∴S△
CAM:S△AMO=3:1,∴S△AMO=3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k=6.
12. (2019·衢州)如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,口 ABCD 的边 AB 在 x 轴上,顶点 D
在 y 轴的正半轴上,点 C 在第一象限,将△AOD 沿 y 轴翻折,使点 A 落在 x 轴上的点 E 处,点 B 恰
好为 OE 的中点,DE 与 BC 交于点 F.若 y= k
x
(k≠0)图象经过点 C.且 S△BEF=1,则 k 的值为 .
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【答案】24
【解析】连接 OC,作 FM⊥AB 于 M,延长 MF 交 CD 于 N,设 BE= a,FM=b,由题意知 OB=BE=a,
OA=2a,DC=3a,因为四这形 ABCD 为平行四边形,所以 DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以 BE:
CD=EF:DF=1:3,所以 NF=3b,OD=FM+FN=4b,因为 S△BEF=1,即 1
2 ab=1,S△CDO= 1
2 CD·OD= 1
2 3a
×4b=6ab=12,所以 k=xy=2S△CDO=24.
三、解答题
1.(2019·嘉兴)如图,在直角坐标系中,已知点 B(4,0),等边三角形 OAB 的顶点 A 在反比例函数
y= 的图象上.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)把△OAB 向右平移 a 个单位长度,对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点
时,求 a 的值.
【解题过程】(1)如 图 1,过 点 A 作 AC⊥OB 于点 C,∵ △ OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,OC=
1
2 OB,∵B(4,0), ∴ OB=OA=4∴OC=2,AC= 23.把点(2, 23)的坐标代入 ky x
= ,得 43k = ,
∴ 43y x
= .
(2)( I)如 图 2,点 D 是 AB 的中点,过点 D 作 DE⊥ x 轴于点 E,由题意得 ''AB=4, '''ABC∠ =60°,
F
N
M
F
18 / 32
在 Rt△ 'DEB 中, 'BD=2,DE= 3 , 'BE=1,∴ 'OE=3.
把 3y = 代入 43y x
= ,得 4x = .∴OE=4,∴ 'a OO= =1.
(II)如图 3,点 F 是 ''AO的中点,过点 F 作 FH⊥ x 轴于点 H.由题意得 ''AO=4,∠ '''AOB
=60°,在 RT△ 'FO H 中,FH= 3 , 'OH=1.把 y= 3 代入 43y x
= ,得 x =4,∴OH=4,∴
'a OO= =3.
综上所述,得 a 的值为 1 或 3.
2.(2019 浙江省杭州市,20,10 分)(本题满分 10 分)
方方驾驶小汽车匀速地从 A 地行驶到 B 地,行驶里程为 480 千米,设小汽车的行驶时间为 t(单位:小
时),行驶速股为 v(单位:千米/小时),且全程速度限定为不超过 120 千米/小时.
(1) 求 v 关于 t 的函数表达式.
(2)方方上午 8 点驾驶小汽车从 A 地出发.
①方方需在当天 12 点 48 分至 14 点(含 12 点 48 分和 14 点)间到达 B 地.求小汽车行驶速度 v 的范围.
②方方能否在当天 11 点 30 分前到达 B 地?说明理由.
【解题过程】(1)∵ vt=480,且全程速度限定为不超过 120 千米/小时,
∴ v 关于 t 的函数表达式为:v= 480
t
(0≤t≤4);
(2)① 8 点至 12 点 48 分时间长为 24
5
小时,8 点至 14 点时间长为 6 小时,
将 t=6 代入 v= 480
t
得 v=80;将 t= 24
5
代入 v= 480
t
得 v=100.
∴ 小汽车行驶速度 v 的范围为:80≤v≤100.
② 方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地.理由如下:
8 点至 11 点 30 分时间长为 7
2
小时,将 t= 7
2
代入 v= 480
t
得 v= 960
7
>120 千米/小时,超速了.
故方方不能在当天 11 点 30 分前到达 B 地.
19 / 32
3.(2019·苏州,25,8)如图,A 为反比例函数 y= k
x (其中 k>0)图像上的一点,在上轴正半轴上
有一点 B,OB=4 连接 OA,AB.且 OA =AB=2 10 .
(1)求 K 的值;
(2)过点 B 作 BC⊥ OB,交反比例函数 y= k
x (其中 k>0)的图像于点 C,连接 OC 交 AB 于点 D,
求 AD
DB
的值.
第 25 题图
【解题过程】
解 :( 1)过点 A 作 AE⊥OB 于 E.∵ OA=AB= 2 10 ,OB=4,∴ OE=BE= 1
2 OB=2, 在 Rt△OAE
中,AE= ( )222 22 10 2 6OA OE− = −=,∴点 A 坐标为(2,6), ∵点 A 是反比倒函数 ky x
= 图像上的
点,∴ 6= 2
k ,解得 k=12.
第 25 题答图
(2)记 AE 与 OC 的交点为 F.∵OB=4 且 BC⊥OB,点 C 的横坐标为 4,又∵点 C 为反比例函数
y=12
x
图像上的点,∴点 C 的坐标为(4,3),∴BC=3. 设直线 OC 的表达式 y=mx,将 C(4,3)代入可得
20 / 32
m= 3
4
,∴直线 OC 的表达式 y= 3
4 x,∵AE⊥OB,OE=2,∴点 F 的横坐标为 2.将 x=2 代入 y= 3
4 x 可得
y= 3
2
,即 EF= 3
2
;∴AF=A E-EF=6 - 3
2 = 9
2 .∵AE,BC 都与 x 轴垂直,∴AE∥BC,∴△ADF∽△BDC.∴
3
2
AD AF
EB
=
BC
= .
4.(2019 山东威海,21,8 分)
(1)阅读理解
如图,点 A,B 在反比例函数 的图象上,连接 AB,取线段 AB 的中点 C,分别过点 A,C,B 作 x
轴的垂线,垂足为 E,F,G,CF 交反比例函数 的图象于点 D,点 E,F,G 的横坐标分别为 n-1,
n,n+1(n>1).
小红通过观察反比例 的图象,并运用几何知识得到结论:
AE+BG=2CF,CF>DF.
由此得出一个关于 之间数量关系的命题:
若 n>1,则
(2)证明命题
小东认为:可以通过“若 ≥0,则 ≥ ”的思路证明上述命题.
小晴认为:可以通过“若 >0, >0,且 ≥1,则 ≥ ”的思路证明上述命题.
请你选择一种方法证明(1)中的命题.
【解题过程】(1)∵A,D,B 都在反比例 的图象上,且点 E,F,G 的横坐标分别为 n-1,n,n+
1(n>1),
1y x
=
1y x
=
1y x
=
1 12,,11nnn−+
x
y
D
C
B
A
GFEO
ab− a b
a b ab÷ a b
1y x
=
21 / 32
∴AE= BG= DF= .
又∵AE+BG=2CF,
∴CF=
又∵CF>DF,n>1,
∴ > ,即 > .
故答案为 > .
(2)选择选择小东的思路证明结论 > ,
∵n>1,
∴ >0,
∴ > .
5.(2019 江苏盐城卷,19,8) 如图,一次函数 y=x+1 的图像交 y 轴于点 A,与反比例函数
x
ky =
(x>0)图像交于点 B(m,2).
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求△AOB 的面积.
【思路分析】(1)根据已知条件,可以求出点 A 的坐标,在根据一次函数与反比例函数交于点 B,就可
以求出点 B 点的横坐标 m,则点 B 的坐标就有了,所以就可以求出反比例函数的表达式。
(2)根据第一问求出的点 B 的坐标,过点 B 作 BC⊥y 轴,则 BC 就是△AOB 的高,OA 的长度就是点
1 ,1n −
1 ,1n +
1
n
11 1( ),21 1nn
+−+
11 1()21 1nn
+−+
1
n
11
11nn
+−+
2
n
11
11nn
+−+
2
n
11
11nn
+−+
2
n
22 21 1 2 2( 1) 2()1 1 ( 1)( 1) ( 1)( 1)
n nn n n
n n n nn n nn n
++ −− −+ −= =− + −+ −+
11
11nn
+−+
2
n
22 / 32
A 的纵坐标,则△AOB 的高和底都有了,就可以求出△AOB 的面积.
【解题过程】
解 :( 1)∵一次函数经过点 B,
∴2=m+1
解得 m=1,则点 B 的坐标为(1,2)
又∵点 B 过 y=
x
k . 解得 k=2,
即反比例函数为 y=
x
2 .
(2)∵点 A(0,1)∴OA=1,
过点 B 作 BC⊥y 轴,垂足为点 C ,
则 BC 就是△AOB 的高,BC=1,
∴S△AOB =
2
1 OA×BC=
2
1 ×1×1=
2
1 .
6.(2019·常德)如图 4,一次函数 y=-x+3 的图像与反比例函数 y= k
x
(k≠0)在第一象限的图像交
于 A(1,a)和 B 两点,与 x 轴交于点 C.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点 P 在 x 轴上,且△APC 的面积为 5,求点 P 的坐标.
【解题过程】(1)∵A(1,a)在 y=-x+3 上,∴a=-1+3=2,把 A(1,2)代入到 y= k
x
中,得 k=2,
∴反比例
x
y
图4
O C
B
A
23 / 32
函数解析式为 y= 2
x
;(2)∵P 在 x 轴上,∴设 P(m,0),∵ S APC = 1
2 PC·a,∴5= 1
2
· PC·2,∴
PC=5,∵y=-x+3 中当 y=0 时 x=3,∴C(3,0),∴m-3=5 或 3-m=5,即 m=8 或-2,∴点
P 的坐标为(8,0)或(-2,0)
7(.2019·株洲)如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,等腰△OAB 的边 OB 与反比例函数 y m (m 0)x
= >
的图像相交于点 C,其中 OB=AB,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 B 的坐标为(2,4),过点 C 作 CH
⊥x 轴于点 H.
(1)己知一次函数的图像过点 O,B,求该一次函数的表达式;
(2)若点 P 是线段 AB 上的一点,满足 OC= 3 AP,过点 P 作 PQ⊥x 轴于点 Q,连结 OP,记△
OPQ 的面积为 S△OPQ,设 AQ=t,T=OH2﹣S△OPQ.①用 t 表示 T(不需要写出 t 的取值范 围 );
②当 T 取最小值时,求 m 的值.
、
【解题过程】解:(1)设直线 OB 解析式为:y=kx+b,将 O(0,0)B(4,2)代入得,
∴yOB=2x
(2)①如图,作 BM⊥x 轴于 M,
∵BO=AB,
∴OM=MQ=2,A(4,0)
∵CH∥BM∥PQ,
∴△OCH∽△APQ∽OBM
∴
2PQ CH BM
AQ OH OM
= = =
,
3OH CH OC
AQ PQ AP
= = =
,
24 / 32
所以 PQ=2AQ=2t,AP=
225PQ AQ t+=,
∴T=OH2﹣S△OPQ=
2 1( 3 ) (4 ) 22t tt+−
=4t2-4t
②∵T=4t2-4t,∴t=0.5 时,T 最小=-1,此时 OH= 3 t=
3
2 ,CH=2OH= 3 ,
∴m=OH CH =
3
2
8.(2019·陇南)如图,已知反比例函数 y= (k≠0)的图象与一次函数 y=﹣x+b 的图象在第一象
限交于 A(1,3),B(3,1)两点
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)已知点 P(a,0)(a>0),过点 P 作平行于 y 轴的直线,在第一象限内交一次函数 y=﹣x+b 的
图象于点 M,交反比例函数 y= 上的图象于点 N.若 PM>PN,结合函数图象直接写出 a 的取值范
围.
解 :( 1)∵反比例函数 y= (k≠0)的图象与一次函数 y=﹣x+b 的图象在第一象限交于点 A(1,3),
∴3= ,3=﹣1+b,
∴k=3,b=4,
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为 y= ,y=﹣x+4;
(2)由图象可得:当 1<a<3 时,PM>PN.
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9. (2019·金华)如图,在平面直角坐标系中,正六边形 ABCDEF 的对称中心 P 在反比例函数 y= k
x
(k>0,x>0)的图像上,边 CD 在 x 轴上,点 B 在 y 轴上,已知 CD=2.
(1)点 A 是否在该反比例函数的图像上?请说明理由.
(2)若该反比例函数图像与 DE 交于点 Q,求点 Q 的横坐标.
(3)平移正六边形 ABCDEF,使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上,试描述平移过
程.
解 :( 1)连结 PC,过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H,
∵在正六边形 ABCDEF 中,点 B 在 y 轴上,
∴△OBD 和△PCH 都含有 30°角的直角三角形,BC=PC=CD=2.
∴OC=CH=1,PH= 3 .
∴点 P 的坐标为(2, 3 )
∴k=2 3 .
∴反比例函数的表达式为 y= 23
x
(x>0).
连结 AC,过点 B 作 BG⊥AC 于点 G,
∵∠ABC=120°,AB=BC=2,
∴BG=1,AG=CG= 3 .
∴点 A 的坐标为(1,2 3 ).
x
y
QP E
FA
B
DCO
26 / 32
当 x=1 时,y=2 3 ,
所以点 A 该反比例函数的图像上.
(2)过点 Q 作 QM⊥x 轴于点 M,
∵六边形 ABCDEF 是正六边形,∴∠EDM=60°.
设 DM=b,则 QM= 3 b.
∴点 Q 的坐标为(b+3, 3 b).
∴ 3 b(b+3)=2 3 .
解得 b1= 3 17
2
−+ ,b2= 3 17
2
−− (舍去)
∴b+3= 3 17
2
+ .
∴点 Q 的横坐标为 3 17
2
+ .
(3)连结 AP.
∵AP=BC=EF,AP∥BC∥EF,
∴平移过程:将正六边形 ABCDEF 先向右平移 1 个单位,再向上平移 3 个单位,或将正六边形 ABCDEF
向左平移 2 个单位.
【知识点】反比例函数的表达式;正六边形的性质;图形的平移;含有 30°角的直角三角形性质
10.(2019 四川省自贡市,23,10 分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y1=kx+b(k≠0)的图象与
反比例函数 y2=