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- 2021-11-10 发布
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21.2.5 一元二次方程根与系数的关系
【教学设计总意图】:本课是一节公式定理的新知课第一课时,曾在旧版的教材中占据很重要的位置,不但在中考中体现,延伸到高中的数学教学也有广泛的应用. 本册教材又将曾一度删去的内容恢复,可见根系关系的重要.它为进一步解决一元二次方程、二次函数以及相关的数学问题提供一些新的思路.但本课毕竟是第一课时,让学生体会公式基本内容,在头脑中形成积极印象很关键. 所以从绝大多数同学掌握的知识程度出发,针对本班学生的特点,本课在(a≠0 , b2 –4ac≥0)的前提条件下设计,所有的一元二次方程均有解.
教学目标:1、理解根系关系的推导过程;
2、掌握不解方程,应用根系关系解题的方法;
3、体会从特殊到一般,再有一般到特殊的推导思路
教学重点:应用根系关系解决问题;
教学难点:根系关系的推导过程
教学流程:引入新知,推导新知,巩固新知,应用新知,
教学过程:
一、 前2天悄悄地听到咱班的郑帅和董沐青的一段对话,内容如下:
郑:我说董沐青,我有一个秘密,你想听吗?
董:什么秘密?
郑:你知道咱们可爱的张老师年龄到底有多大吗?
董:哦?
郑:呵呵,这绝对是个秘密,我不能直接告诉你,我这么说吧:她的年龄啊是方程x2 – 12x +35 =0的两根的积,回去你把2根求出来就知道了.
董:咳,你难不住我,我不用求根就已经知道答案了,而且我还告诉你,张老师的年龄啊还是方程x2 -35x -200=0的2根的和呢.
郑:哈哈,你太有才了。对了,咱们应该也让同学猜一猜,不解方程,能不能求出张老师的年龄.
【设计意图】创设一个情境:学生自我娱乐的同时自我探讨数学知识,本班学生活跃,他们自己在平时也会开一些类似的玩笑.希望这一次能够激起班级进一步学习数学的兴趣.
二、 求出下列方程的2根,计算2根和与2根积的值,并猜想2根和、2根积与一元二次方程各项系数之间的关系
序号
一元二次方程
x1
x2
x1+x2
x1x2
(1)
x2 – 5x +6 =0
2
3
5
6
(2)
2x2 – 3x +1 =0
1
(3)
3x2 + x -2 =0
- 1
-
-
【设计意图】二次项系数为1有1题;二次项系数不为1有2题,系数性质符号各有不同.让学生尽量体会与猜想2根和、2根积与系数之间的关系.
三、 引导学生独立证明:
x1和x2 是一元二次方程 ax2 +bx +c =0 (a≠0 , b2 –4ac≥0)
x1+x2 = - , x1x2 = 注意:负号不能漏写
【设计意图】学生在已有公式法解一元二次方程的知识基础上,可以最快速度说出x1和x2的值,接下来将字母系数表示的x1和x2的值代入相应的代数式 x1+x2 和x1x2
2
得出根系关系的结论,凭借学生自己的现有能力可以解决证明过程.还可以让学生体会,数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的,数学中那一系列的字母并不是高不可攀.
一、 应用
第一组习题:不解方程,求下列方程的2根和与2根积
(1) x2 – 3x +1 =0
(2) 3x2 – 2x - 2=0
(3) 2x2 –3x =0
(4) 3x2 =1
【设计意图】新知产生后,直接应用新知是学生的模仿阶段,也是本课教学最基本的知识目标,这时需要强化记忆,除设计第1组习题外还设计板书例题和第2组习题.第一组习题小评时,可引导学生发现应用根系关系解决2根和与2根积的问题不需求出复杂的2根,同时渗透着整体代入的数学方法,为例2巩固知识奠定基础.
例2:已知:
x1和x2 是一元二次方程x2 -4x +1=0的2根, 求下列代数式的值
(1) +
(2)x12 + x22
(3)(x1 - x2)2
学生练习:(1) +
(2)(x1+1)(x2+1)
【设计意图】 本例对绝大多数同学来说是可以掌握的内容,也是研究根系关系应掌握的内容,还可以让学生进一步体会整体代入的数学思想方法 .
二、 本课小结:
三、 课后作业:
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