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  • 2021-11-10 发布

2020-2021学年初三数学上册同步练习:二次函数y=ax2加bx加c的图像和性质

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2020-2021 学年初三数学上册同步练习:二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线 x=﹣1,与 x 轴的交点为(x1,0)、(x2, 0),其中 0<x1<1,有下列结论:①abc>0;②﹣3<x2<﹣2;③4a+1>2b﹣c;④4ac﹣b2+4a<0;⑤a> 1 3 .其 中,正确的结论有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【答案】C 【解析】【分析】由抛物线开口方向得 a>0,由抛物线的对称轴为直线 12 bx a    得 b=2a>0,由抛物 线与 y 轴的交点位置得 c<0,则 abc<0;由于抛物线与 x 轴一个交点在点(0,0)与点(1,0)之间,根 据抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴另一个交点在点(−3,0)与点(−2,0)之间,即有−3<x2<−2;由 于 b=2a,c<−1,则 4a+1<2b−c;由于 b=2a,则 4ac−b2+4a=4a(c−a+1),利用 c<−1,−a<0,所以 4ac−b2+4a=4a(c−a+1)< 0;由于 x=1 时,函数为正值,则 a+b+c>0,即 a+2a+c>0,解得 1 3ac , 然后利用 c<−1 得到 1 3a  . 【详解】 解:∵抛物线开口向上, ∴ 0a  , ∵抛物线的对称轴为直线 ∴b=2a>0, ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, ∴c<0, ∴abc<0,所以①错误; ∵抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴一个交点在点(0,0)与点(1,0)之间,而对称轴为直线 x=﹣1, ∴抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴另一个交点在点(﹣3,0)与点(﹣2,0)之间, ∴﹣3<x2<﹣2,所以②正确; ∵b=2a,c<﹣1, ∴4a+1<2b﹣c,所以③错误; ∵b=2a, ∴ 22444444(1)acbaacaaaca , ∵ 1c  ,即 10c  , 而 0a , ∴c﹣a+1<0, ∴4ac﹣b2+4a=4a(c﹣a+1)<0,所以④正确; ∵x=1 时,y>0,即 a+b+c>0, ∴a+2a+c>0,即 1 3ac , 而 c<﹣1, ∴ 1 3a  ,所以⑤正确. 故选:C. 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当 a >0,抛物线开口向上;对称轴为直线 2 bx a ;抛物线与 y 轴的交点坐标为(0,c);当 b2−4ac>0,抛物 线与 x 轴有两个交点;当 b2−4ac=0,抛物线与 x 轴有一个交点;当 b2−4ac<0,抛物线与 x 轴没有交点. 2.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则下列判断错误的是 ( ) A.a>0 B.c<0 C.函数有最小值 D.y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【解析】【分析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可 【详解】 解:图象开口向上,所以 a>0.故 A 正确; 抛物线与 y 轴交于负半轴,所以 c<0,故 B 正确; 抛物线有最低点,即函数有最小值,故 C 正确; 在对称轴的左边,y 随 x 的增大而减小,在对称轴的右边,y 随 x 的增大而增大,故 D 错误. 故选 D 【点评】本题考查的是二次函数的性质,熟知二次函数的系数和图象的关系及增减性是解答此题的关键. 3.一次函数 (0)yaxba 与二次函数 2 (0)yaxbxca 在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( ). A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】逐一分析四个选项,根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与 y 轴的位置关系,即可得 出 a、b 的正负性,由此即可得出一次函数图象经过的象限,即可得出结论. 【详解】 A. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧, ∴a<0,b<0, ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误; B. ∵二次函数图象开口向上,对称轴在 y 轴右侧, ∴a>0,b<0, ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限,故本选项错误; C. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧, ∴a<0,b<0, ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项正确; D. ∵二次函数图象开口向下,对称轴在 y 轴左侧, ∴a<0,b<0, ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限,故本选项错误. 故选 C. 【点评】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合,掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系, 是解题的关键. 4.若抛物线 2( 1) 2 1y k x x    的开口向上,则 k 的取值范围是( ) A. 0k  B. 0k  C. 1k  D. 1k ³ 【答案】C 【解析】【分析】 二次函数的图象的开口向上时,二次项系数大于 0. 【详解】 因为抛物线 y=(k-1)x2+2x+1 的开口向上, 所以 k-1>0, 解得 k>1. 故选 C. 【点评】本题主要考查了二次函数的图象的性质.二次项系数 a 决定二次函数图象的开口方向:①当 a>0 时,二次函数图象向上开口;②当 a<0 时,抛物线向下开口. 5.二次函数 2yaxbxc 的图象的顶点坐标是(2,3),则 a,b,c 取值可以是( ) A. 1a  , 4b  , 7c  B. , -4b  , 1c  C. 2a  , 8b  , 5c  D. -2a  , , -5c  【答案】D 【解析】【分析】 设这个二次函数的关系式为 y=a(x-2)2+3,然后整理成一般式,即可得到 a、b、c 之间的关系,从而得到 正确选项. 【详解】 设这个二次函数的关系式为 y=a(x-2)2+3, 整理得,y=ax2-4ax+4a+3, b=-4a,c=4a+3, 故 a=-2,则 b=8,c=-5, 故选 D. 【点评】本题考查了二次函数的性质,设出顶点式整理成一般式解题的关键. 6.已知二次函数 y=-2x2+4x-3,如果 y 随 x 的增大而减小,那么 x 的取值范围是( ) A. 1x  B. 0x  C. 1x  D. 2x  【答案】A 【解析】【分析】 把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴,再利用增减性可得到关于 x 的不等式,可求得答案. 【详解】 ∵y=-2x2+4x-3=-2(x-1)2-1, ∴抛物线开口向下,对称轴为 x=1, ∴当 x≥1 时,y 随 x 的增大而减小, 故选 A. 【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在 y=a(x-h)2+k 中,对 称轴为 x=h,顶点坐标为(h,k). 7.如图,已知△ ABC 的顶点坐标分别为 A(0,2),B(1,0),C(2,1).若二次函数 y=x2+bx+1 的图像与阴影 部分(含边界)一定有公共点,则实数 b 的取值范围是( ) A.b≤-2 B.b<-2 C.b≥-2 D.b>-2 【答案】C 【解析】【分析】根据 y=x2+bx+1 与 y 轴交于点(0,1),且与点 C 关于 x=1 对称,则对称轴 x≤1 时,二次 函数 y=x2+bx+1 与阴影部分一定有交点,据此可求出 b 的取值范围. 【详解】 当二次函数 y=x2+bx+1 的图象经过点 B(1,0)时,1+b+1=0.解得 b=-2,故排除 B、D; 因为 y=x2+bx+1 与 y 轴交于点(0,1),所以(0,1)与点 C 关于直线 x=1 对称,当对称轴 x≤1 时,二次函 数 y=x2+bx+1 与阴影部分一定有交点,所以- 2 b ≤1,解得 b≥-2,故选 C. 【点评】本题考查二次函数图象,解题的关键是利用特殊值法进行求解. 8.二次函数 2y a x b x c   的图像如图所示,那么 abc 、 2 4b a c 、 2ab 、 42a b c 这四个代数式 中,值为正的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 【答案】A 【解析】【分析】由抛物线开口向上,a>0,由对称轴- 2 b a >0,可得 b<0,抛物线与 y 轴交点为负半轴, 可知 c<0,由抛物线与 x 轴有两个交点可得△ =b2-4ac>0,再根据特殊点进行推理判断即可得答案. 【详解】 ∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∵对称轴- >0, ∴b<0, ∵抛物线与 y 轴交点为负半轴, ∴c<0, ∴abc>0, ∵抛物线与 x 轴有两个交点, ∴△=b2-4ac>0, ∵对称轴- 2 b a <1, ∴2a+b>0, 当 x=-2 时,y=4a-2b+c>0, 故值为正的有四个, 故选 A. 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,熟练掌握根据图象获取信息的能力是解题关键. 9.如图,正方形 ABCD 边长为 4,E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点,且 AE=BF=CG=DH.设 A、E 两点间的距离为 x,四边形 EFGH 的面积为 y,则 y 与 x 的函数图象可能是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了动点的函数图象,先判定图中的四个小直角三角形全等,再用大正方形的面积减去四个直角三 角形的面积,得函数 y 的表达式,结合选项的图象可得答案. 【详解】 解:∵正方形 ABCD 边长为 4,AE=BF=CG=DH ∴AH=BE=CF=DG,∠A=∠B=∠C=∠D ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ∴y=4×4﹣ 1 2 x(4﹣x)×4 =16﹣8x+2x2 =2(x﹣2)2+8 ∴y 是 x 的二次函数,函数的顶点坐标为(2,8),开口向上, 从 4 个选项来看,开口向上的只有 A 和 B,C 和 D 图象开口向下,不符合题意; 但是 B 的顶点在 x 轴上,故 B 不符合题意,只有 A 符合题意. 故选:A. 【点评】本题考查了动点问题的函数图象,正确地写出函数解析式并数形结合分析是解题的关键. 10.如图图形中,阴影部分面积相等的是( ) A.甲 乙 B.甲 丙 C.乙 丙 D.丙 丁 【答案】B 【解析】根据题意,可知: 甲:直线 4 43yx 与 x 轴交点为(3,0),与 y 轴的交点为(0,4),则阴影部分的面积为 1 2 ×3×4=6; 乙:阴影部分为斜边为 4 的等腰直角三角形,其面积为 ×4×2=4; 丙:抛物线 22 29yx与 x 轴的两个交点为(-3,0)与(3,0),顶点坐标为(0,-2),则阴影部分的面 积为 ×6×2=6; 丁:此函数是反比例函数,那么阴影部分的面积为 ×6=3; 因此甲、丙的面积相等, 故选:B. 【点评】此题考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法,熟练掌握各类函数的图象特 点是解决问题的关键. 11.如图,直线 2yx与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B , ABBC ,且点 C 在 轴上,若抛物线 2y ax bx c   以 为顶点,且经过点 ,则这条抛物线的关系式为________. 【答案】 21 222y x x   【解析】【分析】 求出 B,C 的坐标,再用顶点式求出解析式即可. 【详解】 解:∵抛物线 2y a x b x c   以 C 为顶点,且经过点 B , ∴C 为抛物线的最小值,a  0, 由图可知 B(0,2),A(-2,0),∠A=45°, ∵ ABBC , ∴C(2,0), 设抛物线解析式为 2ya(x2), 将 B(0,2)代入解析式得: 21yx2x22 . 【点评】本题考查了待定系数法求抛物线的表达式,中等难度,熟悉待定系数法的解题步骤是解题关键. 12.如图,在平面直角坐标系中,点 A 在抛物线 2 22yxx 上运动,过点 作 A C x 轴于点 C ,以 AC 为对角线作矩形 ABCD,连结 BD,则对角线 BD 的最小值为 . 【答案】1 【解析】【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(1,1),再根据矩形的性质得 BD=AC,由于 AC 的长等于点 A 的纵坐标,所以当点 A 在抛物线的顶点时,点 A 到 x 轴的距离最小,最小值为 1,从而得到 BD 的最小值. 【详解】 ∵y=x2-2x+2=(x-1)2+1, ∴抛物线的顶点坐标为(1,1), ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴BD=AC, 而 AC⊥x 轴, ∴AC 的长等于点 A 的纵坐标, 当点 A 在抛物线的顶点时,点 A 到 x 轴的距离最小,最小值为 1, ∴对角线 BD 的最小值为 1. 故答案为 1. 13.如右图,在 Rt△ ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,点 P 是 AB 边上的一个动点,过点 P 作 PE⊥BC 于点 E,PF⊥AC 于点 F,当 PB=___________时,四边形 PECF 的面积最大,最大值为_____________. 【答案】6 93 【解析】利用锐角三角函数关系,设 PB=xcm,由 ∠C=90°,∠B=30°,AB=12cm,可得 BC=AB×cos30°=6 3 (cm), PE= 1 2 xcm,BE= 3 2 xcm,则 EC=(6 - x)cm,故四边形 FCEP 的面积为:PE×EC= x× (6 - x)=- 3 4 x2+3 x=- (x2-12x)=- (x-6)2+9 ,故当 x=6 时,四边形 PECF 的面积 最大,最大值为 9 . 故答案为 6,9 . 【点评】此题主要考查了矩形的面积公式以及锐角三角函数关系,得出矩形面积与 x 的函数关系是解题关 键. 14.如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象的顶点为点 D,其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为 -1,3,与 y 轴负半轴交于点 C.在下面五个结论中:①2a-b=0;②a+b+c>0;③c=-3a;④只有当 a = 1 2 时,△ ABD 是等腰直角三角形;⑤使△ ACB 为等腰三角形的 a 的值有 4 个.其中正确的结论是 ________(只填序号). 【答案】③④ 【解析】试题分析:先根据图象与 x 轴的交点 A,B 的横坐标分别为﹣1,3 确定出 AB 的长及对称轴,再 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据对称轴及抛物 线与 x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.①∵图象与 x 轴的交点 A,B 的横坐标分别为﹣1, 3,∴AB=4,∴对称轴 x=﹣ 2 b a =1,即 2a+b=0.故 ①错误;②根据图示知,当 x=1 时,y<0,即 a+b+c<0.故 ②错误;③∵A 点坐标为(﹣1,0), ∴a﹣b+c=0,而 b=﹣2a,∴a+2a+c=0,即 c=﹣3a.故 ③正确;④∵△ADB 为等腰直角三角形.所以 AD=BD= 2 2 AB,设 D(1,a+b+c),又 b=﹣2a,c=﹣3a,故 D(1,﹣4a);列 方程求解得 a=1/2 或 a=﹣1/2(舍去),∴只有 a=1/2 时三角形 ABD 为等腰直角三角形,故④正确;⑤要使 △ ACB 为等腰三角形,则必须保证 AB=BC=4 或 AB=AC=4 或 AC=BC,当 AB=BC=4 时,∵AO=1,△ BOC 为直角三角形,又∵OC 的长即为|c|,∴c2=16﹣9=7,∵由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上,∴c=﹣ 7 , 与 2a+b=0、a﹣b+c=0 联立组成解方程组,解得 a= 7 3 ;同理当 AB=AC=4 时,∵AO=1,△ AOC 为直角三 角形,又∵OC 的长即为|c|,∴c2=16﹣1=15,∵由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上,∴c=﹣ 15 与 2a+b=0、a﹣b+c=0 联立组成解方程组,解得 a= 15 3 ;同理当 AC=BC 时在△ AOC 中,AC2=1+c2,在 △ BOC 中 BC2=c2+9,∵AC=BC,∴1+c2=c2+9,此方程无解.经解方程组可知只有两个 a 值满足条件.故⑤错误.综 上所述,正确的结论是③④.故答案是:③④. 考点:1.抛物线与 x 轴的交点;2.二次函数图象与系数的关系;3.等腰三角形的判定. 15.某同学研究抛物线 2 23y ax x   (a≠0)时发现:①当实数 a 变化时,它的顶点都在某条直线上;② 把它的顶点横坐标减少 1 a ,纵坐标增加 ,得到 A 点的坐标,点 A 仍在这条抛物线上. ⑴请你求出①中直线的解析式; ⑵试证明②中的结论; ⑶试将②中的结论进行推广,写出一个新的结论,不必证明. 【答案】(1) 3yx;( 2)证明见解析;(3)见解析. 【解析】【分析】 (1)首先将抛物线 y=ax2+2x+3 转化成顶点式,写出用 a 表示的顶点坐标,消去 a 写出 y 关于 x 的表达式即 可;(2)由函数解析式可得顶点坐标,根据题意可求出 A 点坐标,把 A 点横坐标代入二次函数解析式,验 证纵坐标即可;(3)把抛物线 2yaxbxc 的顶点横坐标增加 1 a ,纵坐标增加 ,得到的点仍在这条抛 物线上;把抛物线 (a≠0)的顶点横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到的点仍在这条抛物线上. 【详解】 (1)∵y=ax2+2x+3=a(x+ 1 a )2+3− , ∴抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点坐标为( − ,3− ), ∴抛物线 y=ax2+2x+3 的顶点所在直线的解析式为 y=x+3. (2)∵抛物线的解析式为 2y a x 2x 3   , ∴顶点坐标为(- 1 a ,3− ), ∴A 点坐标为(- 2 a ,3), 当 x=- 时,y=a(- )2+2(- )+3=3, ∴点 A 在抛物线 y=ax2+2x=3 上. (3)把抛物线 2y a x b x c   的顶点横坐标增加 1 a ,纵坐标增加 ,得到 B 点的坐标,点 B 仍在这条抛 物线上;把抛物线 的顶点横坐标减少 ,纵坐标增加 ,得到 C 点的坐标,点 C 仍在这 条抛物线上. 证明:抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标为(− 2 b a , 24 4 acb a  ) 由题意得 C(− 2 2 b a  , 244 4 acb a ) 把 x=− 代入 y=ax2+bx+c=a(− )2+b(− )+c= ∴点 C 在抛物线 y=ax2+bx+c 上, 同理点 B 在抛物线 y=ax2+bx+c 上. 【点评】本题是二次函数的综合题.主要考查同学们对顶点式的理解,及灵活运用能力,属于一道开发性 题目.