解直角三角形3 10页

‎ ‎ ‎28.2解直角三角形（一）‎ ‎ ‎ 一、教育目标 ‎ 1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．‎ ‎ 2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．‎ ‎ 3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．‎ ‎ 二、教学重点、难点 ‎ 1．重点：直角三角形的解法．‎ ‎ 2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．‎ ‎ 三、教学步骤 ‎ (一)复习引入 ‎ ‎ 1．在三角形中共有几个元素？‎ ‎ 2．直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？‎ ‎(1)边角之间关系 如果用表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.‎ ‎(2)三边之间关系 ‎ a2 +b2 =c2 (勾股定理) ‎ ‎ (3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．‎ ‎ 以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．‎ ‎（二）教学过程 ‎ 1．我们已掌握Rt△ABC的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．‎ ‎ 2．教师在学生思考后，继续引导“为什么两个已知元素中至少有一条边？”让全体学生的思维目标一致，在作出准确回答后，教师请学生概括什么是解直角三角形？(由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形)．‎ ‎ 3．例题 ‎ 例 1在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且b=，a=，解这个三角形．‎ ‎ ‎ 10‎ ‎ ‎ 解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．‎ ‎ 解 ∵tanA===∴ ∴ ∴C=2b=‎ 例2在Rt△ABC中， ∠B =35，b=20，解这个三角形．‎ ‎  引导学生思考分析完成后，让学生独立完成 ‎ 在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书．‎ ‎  ‎ ‎ ‎ 完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”‎ ‎ 答：先求另外一角，然后选取恰当的函数关系式求另两边．计算时，利用所求的量如不比原始数据简便的话，最好用题中原始数据计算，这样误差小些，也比较可靠，防止第一步错导致一错到底 注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理或其它三角函数来计算，但计算出的值可能有些少差异，这都是正常的。 ‎ ‎4．巩固练习 P91‎ 说明：解直角三角形计算上比较繁锁，条件好的学校允许用计算器．但无论是否使用计算器，都必须写出解直角三角形的整个过程．要求学生认真对待这些题目，不要马马虎虎，努力防止出错，培养其良好的学习习惯．‎ ‎ (四)总结与扩展 ‎1．请学生小结：在直角三角形中，除直角外还有五个元素，知道两个元素(至少有一个是边)，就可以求出另三个元素．‎ ‎2．出示图表，请学生完成 ‎ ‎ a b c A B ‎1‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎2‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎3‎ ‎√‎ b=a•cotA ‎√‎ ‎4‎ ‎√‎ b=a•tanB ‎√‎ ‎5‎ ‎√‎ ‎√‎ ‎6‎ a=b•tanA ‎√‎ ‎√‎ ‎7‎ a=b•cotB ‎√‎ ‎√‎ 10‎ ‎ ‎ ‎8‎ a=c•sinA b=c•cosA ‎√‎ ‎√‎ ‎9‎ a=c•cosB b=c•sinB ‎√‎ ‎√‎ ‎10‎ 不可求 不可求 不可求 ‎√‎ ‎√‎ 注：上表中“√”表示已知。 ‎ 四、布置作业 课题 解直角三角形（二）‎ 一、教学目标 ‎1、使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．‎ ‎2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．‎ ‎3、渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 二、教学重点、难点 重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．‎ 难点：实际问题转化成数学模型 三、教学过程 ‎（一）复习引入 ‎1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．‎ ‎2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。‎ ‎（二）实践探索 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m) ‎ ‎(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子 ‎ ‎ 引导学生先把实际问题转化成数学模型然后分析提出的问题是数学模型中的什么量 在这个数学模型中可用学到的什么知识来求未知量？‎ ‎ 几分钟后，让一个完成较好的同学示范。‎ ‎（三）教学互动 10‎ ‎ ‎ 例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km)‎ 分析:从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P, Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出(即)解:在上图中，FQ是⊙O的切线，是直角三角形， ‎ 弧PQ的长为 ‎ 由此可知，当飞船在p点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离 P点约2 009. 6 km. ‎ ‎（四）巩固再现P93 1,P96 1‎ 四、布置作业P96 2,3‎ 课题 解直角三角形（三）‎ 一、教学目标 ‎1、使学生了解什么是仰角和俯角 ‎2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．‎ ‎3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决观测问题．‎ 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决观测问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 ‎（一）复习引入 ‎ 平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）结合示意图给出仰角和俯角的概念 10‎ ‎ ‎ ‎（二）教学互动 例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)?‎ 分析：在中，，.所以可以利用解直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.‎ 解:如图, ，,‎ 答:这栋楼高约为277.1m.‎ ‎（三）巩固再现 ‎1、为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确到0.01米)．‎ ‎2、在宽为30米的街道东西两旁各有一楼房，从东楼底望西楼顶仰角为45°，从西楼顶望东楼顶，俯角为10°，求西楼高(精确到0.1米)．‎ 10‎ ‎ ‎ ‎3、上午10时，我军驻某海岛上的观察所A发现海上有一艘敌军舰艇正从C处向海岛驶来，当时的俯角，经过5分钟后，舰艇到达D处，测得俯角。已知观察所A距水面高度为80米，我军武器射程为100米，现在必须迅速计算出舰艇何时驶入我军火力射程之内，以便及时还击。‎ 解：在直角三角形ABC和直角三角形ABD中，我们可以分别求出： ‎ ‎（米）（米）‎ ‎（米）‎ 舰艇的速度为（米/分）。设我军火力射程为米，现在需算出舰艇从D到E的时间（分钟） ‎ 我军在12.5分钟之后开始还击，也就是10时17分30秒。‎ ‎4、小结：谈谈本节课你的收获是什么？‎ 四、布置作业P101 7、8‎ 课题 解直角三角形（四）‎ 一、教学目标 ‎1、使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角 ‎2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．‎ ‎3、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．‎ 二、教学重点、难点 重点：用三角函数有关知识解决方位角问题 难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型 三、教学过程 ‎（一）复习引入 ‎1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。‎ ‎2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线 ‎（二）教学互动 10‎ ‎ ‎ 例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34方向上的B处.这时，解:如图, 在中,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在中, .,‎ 因此.当海轮到达位于灯塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?‎ ‎（三）巩固再现 ‎1、P95 1‎ ‎2、上午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．‎ ‎ ‎ ‎3、如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？‎ 四、布置作业 P97 7、9‎ 课题 解直角三角形（五）‎ 一、教学目标 ‎1、巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决坡度问题．‎ ‎2、逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．‎ 10‎ ‎ ‎ ‎3、培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．‎ 二、教学重点、难点 重点：解决有关坡度的实际问题．‎ 难点：理解坡度的有关术语．‎ 三、教学过程 ‎（一）复习引入 ‎1．讲评作业：将作业中学生普遍出现问题之处作一讲评．‎ ‎2．创设情境，导入新课．‎ 例 同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图6-33‎ ‎ 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．‎ ‎  同学们因为你称他们为工程师而骄傲，满腔热情，但一见问题又手足失措，因为连题中的术语坡度、坡角等他们都不清楚．这时，教师应根据学生想学的心情，及时点拨．‎ ‎（二）教学互动 通过前面例题的教学，学生已基本了解解实际应用题的方法，会将实际问题抽象为几何问题加以解决．但此题中提到的坡度与坡角的概念对学生来说比较生疏，同时这两个概念在实际生产、生活中又有十分重要的应用，因此本节课关键是使学生理解坡度与坡角的意义．‎ 1． 坡度与坡角 ‎ ‎ 结合图6-34，教师讲述坡度概念，并板书：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常写成i=1：m的形式如i=1:2.5把坡面与水平面的夹角α叫做坡角． 引导学生结合图形思考，坡度i与坡角α之间具有什么关系？ 答：i＝＝tan 这一关系在实际问题中经常用到，教师不妨设置练习，加以巩固． ‎ 练习(1)一段坡面的坡角为60°，则坡度i=______； ______，坡角______度．‎ ‎ 为了加深对坡度与坡角的理解，培养学生空间想象力，教师还可以提问： (1)坡面铅直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平宽度有什么关系？举例说明． (2)坡面水平宽度一定，铅直高度与坡度有何关系，举例说明． 答：(1)‎ 10‎ ‎ ‎ ‎ 如图，铅直高度AB一定，水平宽度BC增加，α将变小，坡度减小，因为 tan＝，AB不变，tan随BC增大而减小（2）与(1)相反，水平宽度BC不变，α将随铅直高度增大而增大，tanα  也随之增大，因为tan=不变时，tan随AB的增大而增大2．‎ 讲授新课 ‎  引导学生回头分析引题，图中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通过坡度求出，EF=BC=6m，从而求出AD．‎ ‎  以上分析最好在学生充分思考后由学生完成，以培养学生逻辑思维能力及良好的学习习惯．‎ ‎  坡度问题计算过程很繁琐，因此教师一定要做好示范，并严格要求学生，选择最简练、准确的方法计算，以培养学生运算能力．‎ ‎ 解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，‎ ‎ ‎ ‎∴AE=3BE=3×23=69(m)．‎ ‎ FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．‎ ‎ ∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．‎ ‎  因为斜坡AB的坡度i＝tan＝≈0.3333， ‎ α≈18°26′ 答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．‎ 其实这是旧人教版的一个例题，由于新版里这样的内容和题目并不少，但是对于题目里用的术语新版少提，基于学生的接受情况应插讲这一内容。‎ ‎ （三）巩固再现 ‎1、P95 2‎ ‎2、利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：‎ ‎ ①横断面(等腰梯形)ABCD的面积；‎ 10‎ ‎ ‎ ‎ ②修一条长为100米的渠道要挖去的土方数．‎ ‎ ‎ 四、布置作业 P97 8‎ 10‎