四川省成都外国语学校2020-2021学年高二10月月考数学（理）试题 8页

成都外国语学校 2020~2021 学年度上期 10 月考试 高二数学试题（理科） 分满分 150 分，测试时间 120 分钟 一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 1.直线 1y ax a   的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2.圆 2 2 4 6 9 0x y x y     的圆心到直线 1 0ax y   的距离为 2，则 a=（ ） A. 4 3  B. 3 4  C. 2 D.2 3.若双曲线 C： 2 2 1x ym   的一条渐近线方程为3 2 0x y  ，则 m=（ ） A. 4 9 B. 9 4 C. 2 3 D. 3 2 4.已知方程 2 2 11 2 x y m m    表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是（ ） A. 2 （ ，） B. 1,2（ ） C. 1 1,2  （ ， ）（ ） D. 11 ,3 2         ，（ ， ） 5.已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的焦距为 6，过右焦点 F 的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，若 AB 中 点坐标为 (1, )1 ，则 C 的方程为（ ） A. 2 2 145 36 x y  B. 2 2 118 9 x y  C. 2 2 145 9 x y  D. 2 2 172 36 x y  6.已知 P 为圆 C： 2 2 15 100x y  （ ） 上一个动点，Q 为双曲线 2 2 =14 x y 渐近线上动点，则线段 PQ 长 度的最小值为（ ） A. 9 10 B.1 C.2 D. 21 10 7.若直线 2 2 0( 0, 0)ax by a b     始终平分圆 2 2+ +2 4 1 0x y x y   的圆周，则 1 2 a b  的最小值为 （ ） A. 3 2 2 B. 3 2 3 C.4 D.5 8.椭圆 E： 2 2 2 =1( 0)3+x y aa  的右焦点为 F，直线 y x m  与椭圆 E 交于 A，B 两点，若 FAB 周长的最 大值是 8，则 m 的值等于（ ） A.0 B.1 C. 3 D.2 9.已知 0 0( )M x y， 是双曲线 C： 2 2 =12 x y 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点.若 1 2 0MF MF   ，则 y0 的取 值范围是（ ） A. 3 3,3 3      B. 3 3,6 6      C. 2 2 2 2,3 3      D. 2 3 2 3,3 3      10.已知点 P 为双曲线 2 2 2 2 =1( 0, 0)x y a ba b   的右支上一点，F1，F2 为双曲线的左、右焦点，若    2 2 0OP OF OP OF       （为坐标原点），且 1 23PF PF  ，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 1 B. 3 1 C. 6 1 D. 3 1 2  11.已知 F1，F2 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且 1 2PF PF ，线段 1PF 的垂直平 分线过 F2，若椭圆的离心率为 e1，双曲线的离心率为 e2，则 2 1 2 2 e e  的最小值为（ ） A. 6 B.3 C.6 D. 3 12.已知 F 是双曲线 E： 2 2 2 2 =1( 0, 0)x y a ba b   的左焦点，过点 F 且倾斜角为 30°的直线与曲线 E 的两条 渐近线依次交于 A，B 两点，若 A 是线段 FB 的中点，且 C 是线段 AB 的中点，则直线 OC 的斜率为（ ） A. 3 B. 3 C. 3 3 D. 3 3 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分. 13.若直线 2 0x y m   与两坐标轴围成的三角形面积不小于 8，则实数 m 的取值范围为________. 14.已知双曲线 2 2 2 2 =1( 0, 0)x y a ba b   的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与双曲线的右支有且 只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________. 15.若圆 2 2+ =25x y 与圆 2 2+ 6 8 0x y x y m    的公共弦长为 8，m=_________. 16.已知椭圆 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的左、右焦点分别为 1( ,0)F c ， 2 ( ,0)F c ，若椭圆上存在一点 P 使 1 2 2 1sin sin a c PF F PF F   ，则该椭圆离心率的取值范围为________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知直线 l1： 3 1 0ax y   ，l2： (a 2) 0x y a    . （1）若 1 2l l ，求实数 a 的值； （2）当 1 2/ /l l 时，求直线 l1 与 l2 之间的距离. 18.已知曲线 C 是动点 M 到两个定点 (0,0)O 、 (3,0)A 距离之比为 1 2 的点的轨迹. （1）求曲线 C 的方程； （2）求过点 (1,3)N 且与曲线 C 相切的直线方程. 19.已知椭圆 C： 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的长轴长是焦距的 2 倍，且过点 31, 2     . （1）求椭圆 C 的方程； （2）设 ( )P x y， 为椭圆 C 上的动点，F 为椭圆 C 的右焦点，点 P满足 (4 ,0)PP x   .证明： PP PF   为定 值. 20.已知双曲线的方程是 2 24 9 36x y  . （1）求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程； （2）设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 1 2 16PF PF  ，求 1 2F PF 的大小. 21.已知椭圆 C： 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的离心率是 1 2 ，原点到直线 =1x y a b  的距离等于 2 21 7 . （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若直线 l： y kx m  与椭圆 C 相交于 A，B 两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标. 22.已知椭圆 C： 2 2 2 2 =1( 0)x y a ba b   的长轴长为 4，焦距为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过动点 ( )( )0 0M m m ， 的直线交 x 轴于点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中 点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k'，证明 k k  为定值； (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 成都外国语学校 2020~2021 学年度上期 10 月考试 高二数学试题答案（文科） 一、单选题 1~5：BBADA 6~10：AABAB 11~12：CD 二、填空题 13. 2m  或 2m   14. [2 )，＋ 15.m=5 或-55 16. 2 1 1e   三、解答题 17.解：（1）由 1 2l l 知 3(a 2) 0a    ，解得 3 2a  . （2）当 1 2/ /l l 时，有 ( 2) 3 0 3 ( 2) 0 a a a a          ，解得 3a  . 此时 l1：3 3 1 0x y   ，l2： 3 0x y   ，即 l2：3 3 9 0x y   ， 则直线 l1 与 l2 之间的距离 2 2 9 1 4 2 33 3 d    . 18.解：（1）在给定的坐标系里，设点 ( )M x y， . 由 1 2 OM AM  及两点间的距离公式，得 2 2 2 2 1 2(x 3) x y y     ，① 将①式两边平方整理得： 2 2 2 3 0x y x    即所求曲线方程为： 2 2 2 3 0x y x    . （2）由（1）得 2 21 =4x y （ ） ，其圆心为 (1,0)C ，半径为 2. i)当过点 (1,3)N 的直线的斜率不存在时，直线方程为 1x  ，显然与圆相切； ii)当过点 (1,3)N 的直线的斜率存在时，设其方程为 3 ( 1)y k x   即 3 0kx y k    由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，得 2 0 3 2 1 k k k       ，解得 5 12k  ， 此时直线方程为5 12 31 0x y   所以过点 (1,3)N 与曲线 C 相切的直线方程为 x=1 或5 12 31 0x y   . 19. 解：（1）由题意可得 2a c ， 2 2 1 9 =14a b  ， 2 2 2a b c  ， 解得： 2 4a  ， 2 3b  ，所以椭圆的方程为： 2 2 =14 3 x y ； （2）由（1）可得 ( 2,0)A  ， (2,0)B ， (1,0)F ， ①因为 ( )P x y， 为椭圆 C 上的动点， 点 P满足 (4 ,0)PP x   ，所以 2 2 =14 3 x y ；所以 4PP x   2 2 2 2 13 41 1 xx y xPF            （ ） （ ） 2 21 1 1 44 22 4 4 2x x x x     （ ） ， 所以： 4 21 42 PP x PF x        ，所以可证 PP PF   为定值 2. 20.解：（1）由 2 29 =36x y4 得 2 2 =19 4 x y ，所以 3a  ， 2b  ， 13c  ， 所以焦点坐标 1 ( 13,0)F   ， 2 ( 13,0)F  ，离心率 13 3e  ，渐近线方程为 2 3y x  . （2）由双曲线的定义可知 1 2 6PF PF  ， ∴ 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 22 PF PF F Fcos F PF PF PF      2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 36 32 52 1 2 32 2 PF PF PF PF F F PF PF         ，则 1 2 60F PF   . 21.解：（1）由题意可得， 2 2 2 21 7 abd a b    ，又 1 2 ce a   ， 所以 2 2 2 2 2 2 21 7 2 ab a b a c a b c         ，解得 2 2 2 1 3 4 c b a         ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 =14 3 x y （2）设 1 1)(A x y， 2 2(B x y， )， 联立 2 2 =14 3 x y y kx m     ，消元得 2 22(3 4 ) 8 4( 3) 0x mkk x m    ， 则 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 (64 1 3) 06(3 4 ) 3 4 3 4 8= 4( 3) m k m mkx x mx k kx k                又 2 2 1 2 1 2 2 2 21 2 1 2 3( )( )( ) 4 4) 3( my y x m x m x x m kk k k x x mk k        ， 因为以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 (2,0)D , ∴ 1AD BDk k   ，即 1 2 1 2 12 2 y y x x    ， ∴ 1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x     ∴ 22 2 2 2 2 3( ) 4( 34 3 4 3 4 ) 16 4 03 4 k k k m m k mk      ，∴ 2 29 1 46 0m mk k   ， 解得： 1 2m k  ， 2 2 7 km   ，且满足 223 4 0k m  ， 当时 1 2m k  ，l 的方程为 ( 2)y k x  ，直线过定点 (2,0) ，与已知矛盾. 当时 2 2 7 km   ，l 的方程为 2)7(y xk  ，直线过定点 (2 ,0)7 . 所以直线 l 方程过定点，定点坐标为 (2 ,0)7 . 22.（1）椭圆方程为： 2 2 =14 2 x y （2）设 1( ,0)N x 则 1( ,2 )P x m ， 1( , 2 )Q x m ， ∴ 1 1 2m m m xk x  ， 1 1 2 3m m m xk x     ∴ 3k k    ii)设 AP 直线为：  0y kx m k   由得 2 2 =14 2 y kx m x y    得 2 22(1+2 ) 4 2 4 0x kk mx m    ∴ 2 2 2 2 11+2 (1+2 ) 2 4 2 4 A P Ax x xk k m x m   ∴ yA Akx m  同理可得： 2 2 1(1+18 2 4 )Bx k x m  ∴ y 3B Bkx m   ∴ 2 2 1 1 AB 2 2 2 1 2 2 2 1 2 4 3y y k ( 3 ) 3 (1+2 ) (1+18 )k (1+2 ) (1+ 2 4 2 4 8 ) 4 1 2 A B A B A B A B A B A B x m kx m x x k x k xk kx x x x x x k m m m x m x k                  3 1 6 2 4 2k k    当且仅当 6 6k  时取等号 所以，AB 斜率最小值为 6 2