中考数学公式大全+中考数学高频考点剖析专题等精品大全集 44页

中考数学公式大全 +中考数学高频考点剖析专题等精品大全集 初中数学常用公式定理（务必全部理解并记住） 1、整数(包括：正整数、0、负整数)和分数(包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数． 如：－3， ，0.231，0.737373…， ， ．无限不环循小数叫做无理数． 如：π，－ ，0.1010010001…(两个1之间依次多1个0)．有理数和无理数统称为实数． 2、绝对值：a≥0 丨a丨＝a；a≤0 丨a丨＝－a．如：丨－ 丨＝ ；丨3.14－π丨＝ π－3.14． 3、一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这 个近似数的 有效数字．如：0.05972精确到0.001得0.060，结果有两个有效数字6，0． 4、把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是整数)，这种记数法叫做科学记数法． 如：－40700＝－4.07×105，0.000043＝4.3×10－5． 5、乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab ＋b2． ③a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab． 6、幂的运算性质：①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．③(am)n＝amn．④(ab)n＝anbn．⑤( )n ＝n． ⑥a－n＝ 1 na ，特别：( )－n＝( )n．⑦a0＝1(a≠0)．如：a3×a2＝a5，a6÷a2＝a4，(a3)2 ＝a6， (3a3)3＝27a9，(－3)－1＝－ ，5－2＝ ＝ ，( ) －2＝( )2＝ ，(－3.14)º＝1，( － )0＝1． 7、二次根式：①( )2＝a(a≥0)，② ＝丨a丨，③ ＝ × ，④ ＝ (a＞0， b≥0)． 如：①(3 )2＝45．② ＝6．③a＜0时， ＝－a ．④ 的平方根＝4 的平方根＝±2． 8、一元二次方程：对于方程：ax2＋bx＋c＝0： ①求根公式是x＝ 2 4 2 b b ac a    ，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式． 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根； 当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根． ②若方程有两个实数根x1和x2，并且二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)． ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0． 9、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标即一次函数在 y轴上的截距)当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)； 当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)． 特别：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点． 10、反比例函数y＝ (k≠0)的图象叫做双曲线． 当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)； 当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)． 因此，它的增减性与一次函数相反． 11、统计初步：（1）概念：①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做 个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容 量． ②在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数． ③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数 据的中位数． （2）公式：设有 n 个数 x1，x2，…，xn，那么：平均数为： 1 2 ...... nx x xx n + + += ； 12、频率与概率： （1）频率= 总数 频数 ，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于 1，频率分布直方 图中各个小长方形的面积为各组频率。 （2）概率 ①如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；P（不可 能事件）=0； ②在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发 生的概率。 ③大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值； 13、锐角三角函数： ①设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝ ，∠A的余弦：cosA＝ ， ∠A的正切：tanA＝ ．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而 越小． ②余角公式：sin(90º－A)＝cosA，cos(90º－A)＝sinA． ③特殊角的三角函数值：sin30º＝cos60º＝ ，sin45º＝cos45º＝ ，sin60º＝cos30º＝ ， tan30º＝ ，tan45º＝1，tan60º＝ ． ④斜坡的坡度：i＝ 铅垂高度 水平宽度 ＝ ．设坡角为α，则i＝tanα＝ ． 14、平面直角坐标系中的有关知识： （1）对称性：若直角坐标系内一点 P（a，b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（a，－b），P 关于 y 轴对称的点为 P2（－a，b），关于原点对称的点为 P3（－a，－b）. （2）坐标平移：若直角坐标系内一点 P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（a－h，b）， 向右平移 h个单位，坐标变为 P（a＋h，b）；向上平移 h个单位，坐标变为 P（a，b＋h），向下平移 h 个单位，坐标变为 P（a，b－h）.如：点 A（2， －1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A（7，1）. 15、二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 cbacbxaxy ,,(2  是常数， )0a ，那么 y叫做 x的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① a的符号决定抛物线的开口方向：当 0a 时，开口向上；当 0a 时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 y轴（或重合）的直线记作 hx  .特别地， y轴记作直线 0x . 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy  当 0a 时 开口向上 当 0a 时 开口向下 0x （ y轴） （0,0） kaxy  2 0x （ y轴） (0, k )  2hxay  hx  (h ,0)   khxay  2 hx  (h , k ) cbxaxy  2 a bx 2  ( a bac a b 4 4 2 2  ， ) 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 h l α （1）公式法： a bac a bxacbxaxy 4 4 2 22 2         ， ∴顶点是 ），（ a bac a b 4 4 2 2  ，对称轴是直线 a bx 2  . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为   khxay  2 的形式， 得到顶点为(h , k )，对称轴是直线 hx  . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的 交点是顶点。 若已知抛物线上两点 1 2( , ) ( , )、x y x y （及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： 1 2 2 x xx   4.抛物线 cbxaxy  2 中， cba ,, 的作用 （1） a决定开口方向及开口大小，这与 2axy  中的 a完全一样. （2）b和 a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 cbxaxy  2 的对称轴是直线： x = -b/2a，故： ① 0b 时，对称轴为 y轴；②b/a>0（即 a、b同号）时，对称轴在 y轴左侧； ③b/a<0（即 a、b异号）时，对称轴在 y轴右侧. （3） c的大小决定抛物线 cbxaxy  2 与 y轴交点的位置. 当 0x 时， cy  ，∴抛物线 cbxaxy  2 与 y轴有且只有一个交点（0， c）： ① 0c ，抛物线经过原点;② 0c ,与 y轴交于正半轴；③ 0c ,与 y轴交于负 半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 y轴右侧，则 0 a b . 5.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： cbxaxy  2 .已知图像上三点或三对 x、 y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：   khxay  2 .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 x轴的交点坐标 1x 、 2x ，通常选用交点式：   21 xxxxay  . 6.直线与抛物线的交点 （1） y轴与抛物线 cbxaxy  2 得交点为(0, c ). （2）抛物线与 x轴的交点： 二次函数 cbxaxy  2 的图像与 x轴的两个交点的横坐标 1x 、 2x ，是对应一元 二次方程 02  cbxax 的两个实数根.抛物线与 x轴的交点可以由对应的一元二 次方程的根的判别式判定 ①有两个交点 ( 0 )抛物线与 x轴相交； ②有一个交点（顶点在 x轴上） ( 0 )抛物线与 x轴相切； ③没有交点 ( 0 )抛物线与 x轴相离. （3）平行于 x轴的直线与抛物线的交点： 同（2）一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐 标相等，设纵坐 标为 k，则横坐标是 kcbxax 2 的两个实数根. （4）一次函数  0 knkxy 的图像 l与二次函数  02  acbxaxy 的图像G的 交点，由方程组 cbxaxy nkxy   2 的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时  l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时 l与G只有一个交点；③方程组无解时 l与G没有交 点. （5）抛物线与 x轴两交点之间的距离：若抛物线 cbxaxy  2 与 x轴两交点为    00 21 ，，， xBxA ，则 1 2AB x x  几何图形公式（带＊号的是附加知识） 1、多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n－2)180º（n≥3，n是正整数），外角和等于 360º 2、平行线分线段成比例定理： （1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如图：a∥b∥c，直线 l1与 l2分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C、D、E、F， 则有 , ,AB DE AB DE BC EF BC EF AC DF AC DF    （2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比 例。 如 图 ： △ ABC 中 ， DE ∥ BC ， DE 与 AB 、 AC 相 交 与 点 D 、 E ， 则 有 ： , ,AD AE AD AE DE DB EC DB EC AB AC BC AB AC     ＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC 中，∠ACB＝90o，CD⊥AB 于 D，则有： （1） 2CD AD BD  （2） 2AC AD AB  （3） 2BC BD AB  C A BD a c A B C D E F l 1 b l 2 A B C D E C E A B D 4、圆的有关性质： （1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直 弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另 外三个性质． （2）两条平行弦所夹的弧相等． （3）圆心角的度数等于它所对的弧的度数． （4）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． （5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半． （6）同弧或等弧所对的圆周角相等． （7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． （8）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦． （9）圆内接四边形的对角互补． 5、三角形的内心与外心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三 内角角平分线的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三 边中垂线的交点． 常见结论：（1）Rt△ABC 的三条边分别为：a、b、c（c 为斜边），则它的内切圆的半径 2 a b cr    ； （2）△ABC 的周长为 l，面积为 S，其内切圆的半径为 r，则 1 2 S lr ＊6、弦切角定理及其推论： （1）弦切角：顶点在圆上，且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠ PAC为弦切角。 （2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。 如果 AC 是⊙O 的弦，PA是⊙O 的切线，A 为切点，则 1 1 2 2 PAC AC AOC    推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等） 如果 AC 是⊙O 的弦，PA是⊙O 的切线，A 为切点，则 PAC ABC   ＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理： 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA·PB = PC·PD 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 如图②，即：PA·PB = PC·PD O P B C A 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB ① ② ③ 8、面积公式： ①S正△＝ ×(边长) 2 ． ②S平行四边形＝底×高． ③S菱形＝底×高＝ ×(对角线的积)， 1 ( ) 2 S     梯形 上底 下底 高 中位线 高 ④S圆＝πR2 ． ⑤l圆周长＝2πR． ⑥弧长L＝ ． ⑦ 2 1 360 2 n rS lr  扇形 ⑧S圆柱侧＝底面周长×高＝2πrh，S全面积＝S侧＋S底＝2πrh＋2πr2 ⑨S圆锥侧＝ ×底面周长×母线＝πrb， S全面积＝S侧＋S底＝πrb＋πr2 中考数学高频考点剖析 专题一 代数之实数概念和计算问题 考点扫描☆聚焦中考 实数的概念和计算，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括实数的概念和实数 的计算两方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。解析题主要 以计算为主。结合 2018 年全国各地中考的实例，我们从三方面进行实数的概念和计算问题 的探讨： （1）实数的有关概念（相反数、倒数、绝对值、数轴、实数分类、大小比较等）； PO C A B D PO C B A D PO C A B （2）科学记数法和近似数； （3）实数的计算问题． 考点剖析☆典型例题 例 1 （2018•山东枣庄•3 分）实数 a，b，c，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正 确的是（ ） A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0 【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答． 【解答】解：从 a、b、c、d 在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1； A、|a|＞|b|，故选项正确； B、a、c 异号，则|ac|=﹣ac，故选项错误； C、b＜d，故选项正确； D、d＞c＞1，则 a+d＞0，故选项正确． 故选：B． 【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边 的数． 例 2（（2018•山东菏泽•3 分）习近平主席在 2018 年新年贺词中指出，“安得广厦千万间， 大庇天下寒土俱欢颜!”2017 年，340 万贫困人口实现异地扶贫搬迁，有了温暖的新家，各 类棚户区改造开工提前完成 600 万套目标任务．将 340 万用科学记数法表示为（ ） A．0.34×107 B．34×105 C．3.4×105 D．3.4×106 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决． 【解答】解：340 万=3400000=3.4×10 6 ， 故选：D． 【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方 法． 例 3（2018·四川省攀枝花·3 分）如图，实数﹣3.x、3.y 在数轴上的对应点分别为 M、N、 P、Q，这四个数中绝对值最小的数对应的点是（ ） A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 解：∵实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为 M、N、P、Q，∴原点在点 M 与 N 之间， ∴这四个数中绝对值最小的数对应的点是点 N． 故选 B． 例 4（2018·重庆(A)·4 分）估计 的值应在 A. 1 和 2 之间 B.2 和 3 之间 C.3 和 4 之间 D.4 和 5 之间 【考点】二次根式的混合运算及估算无理数的大小 【分析】先将原式化简，再进行判断. ，而 ， 在 4到 5之间，所以 在 2到 3之间 【点评】此题主要考查二次根式的混合运算及估算无理数的大小，属于中考当中的简单题。 例 5（2018·广东·3 分）一个正数的平方根分别是 x+1 和 x﹣5，则 x= 2 ． 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列出关于 x 的方程，解之可得． 【解答】解：根据题意知 x+1+x﹣5=0， 解得：x=2， 故答案为：2． 【点评】本题主要考查的是平方根的定义 考点过关☆专项突破 类型一 实数的有关概念 1. （2018•温州）给出四个实数 ，2，0，﹣1，其中负数是（ ） A． B．2 C．0 D．﹣1 2.（2018•荆门）8 的相反数的立方根是（ ） A．2 B． C．﹣2 D． 3. （2018•海南）2018 的相反数是（ ） A．﹣2018 B．2018 C．﹣ D． 4. （2018•聊城）下列实数中的无理数是（ ） A． B． C． D． 5. （2018•连云港）﹣8的相反数是（ ） A．﹣8 B． C．8 D．﹣ 6. （2018•铜仁市）9 的平方根是（ ） A．3 B．﹣3 C．3和﹣3 D．81 7. （2018•眉山）绝对值为 1的实数共有（ ） A．0 个 B．1个 C．2个 D．4 个 8. （2018•天门）点 A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的实数分别是 a，b，下列结论 错误的是（ ） A．|b|＜2＜|a| B．1﹣2a＞1﹣2b C．﹣a＜b＜2 D．a＜﹣2＜﹣b 类型二 科学记数法和近似数 1. （2018·广西梧州·3 分）研究发现，银原子的半径约是 0.00015 微米，把 0.00015 这 个数字用科学计数法表示应是（ ） A．1.5×10 ﹣4 B．1.5×10 ﹣5 C．15×10 ﹣5 D．15×10 ﹣6 2．（2018·湖北江汉·3分）2018 年 5 月 26 日至 29 日，中国国际大数据产业博览会在贵州 召开，“数化万物，智在融合”为年度主题．此次大会成功签约项目 350 余亿元．数 350 亿用科学记数法表示为（ ） A．3.5×10 2 B．3.5×10 10 C．3.5×10 11 D．35×10 10 3．（2018·辽宁省沈阳市）（2.00 分）辽宁男蓝夺冠后，从 4月 21 日至 24 日各类媒体体关 于“辽篮 CBA 夺冠”的相关文章达到 81000 篇，将数据 81000 用科学记数法表示为（ ） A．0.81×10 4 B．0.81×10 6 C．8.1×10 4 D．8.1×10 6 4. （2018•莱芜•3 分）经中国旅游研究院综合测算，今年“五一”假日期间全国接待国内 游客 1.47 亿人次，1.47 亿用科学记数法表示为（ ） A．14.7×10 7 B．1.47×10 7 C．1.47×10 8 D．0.147×10 9 5. （2018·吉林长春·3分）长春市奥林匹克公园即将于 2018 年年底建成，它的总投资额 约为 2500000000 元，2500000000 这个数用科学记数法表示为（ ） A．0.25×1010 B．2.5×1010 C．2.5×109 D．25×108 6. （2018·广西贺州·3 分）医学家发现了一种病毒，其长度约为 0.00000029mm，用科学 记数法表示为 mm． 7. （2018·江苏常州·2 分）地球与月球的平均距离大约 384000km，用科学计数法表示这 个距离为 km． 8.（2018·辽宁省抚顺市）（3.00 分）第十三届全国人民代表大会政府工作报告中说到，五 年来我国国内生产总值已增加到 8270000000 万元，将数据 8270000000 用科学计数法表示 为 ． 类型三 实数的计算问题 1．（2018•襄阳）计算：|1﹣ |= ． 3．（2018·江苏镇江·2分）计算： = ． 4. （2018•资阳）已知 a、b 满足（a﹣1） 2 + =0，则 a+b= ． 5. （2018•广东）一个正数的平方根分别是 x+1 和 x﹣5，则 x= ． 6. （2018•台州）计算：|﹣2| +（﹣1）×（﹣3） 7. （2018•怀化）计算：2sin30°﹣（π﹣ ）0+| ﹣1|+（ ）﹣1 8. （2018•四川凉州•3 分）已知一个正数的平方根是 3x﹣2 和 5x+6，则这个数是 ． 9. （2018·广东·6分）计算：|﹣2|﹣2018 0 +（ ） ﹣1 10. （2018 年四川省内江市）计算： ﹣|﹣ |+（﹣2 ） 2 ﹣（π﹣3.14） 0 ×（ ） ﹣2 ． 11. （2018·浙江衢州·6 分）计算：|﹣2|﹣ +2 3 ﹣（1﹣π） 0 ． 12. （2018•海南）计算： （1）32﹣ ﹣|﹣2|×2﹣1 （2）（a+1）2+2（1﹣a） 13. 已知 a、b 互为相反数，c、d互为倒数，|m|=2，求代数式 2m﹣（a+b﹣1）+3cd 的值． 14. 下表是小明记录的今年雨季一周河水的水位变化情况（上周末的水位达到警戒水位）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/米+0.20+0.81﹣0.35+0.03+0.28﹣0.36﹣0.01 注：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降． （1）本周哪一天河流的水位最高？哪一天河流的水位最低？它们位于警戒水位之上还是之 下？与警戒水位的距离分别是多少米？ （2）与上周相比，本周末河流水位是上升了还是下降了？ 15. 我们知道 a+b=0 时，a3+b3=0 也成立，若将 a 看成 a3的立方根，b 看成 b3的立方根，我 们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． （1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； （2）若 与 互为相反数，求 1﹣ 的值． 中考数学高频考点剖析 专题八 函数之一次函数问题 考点扫描☆聚焦中考 一次函数，是每年中考的必考内容之一，考查的知识点包括函数图像和一次函数的图形、 性质及其应用等几个方面，总体来看，难度系数低，以选择填空为主。也有少量的解析题。 解析题主要以综合应用为主，往往和方程及反比例函数综合体现。结合 2018 年全国各地中 考的实例，我们从四方面进行一次函数问题的探讨： （1）函数图像问题； （2）一次函数图形与性质问题； （3）一次函数的应用． 考点剖析☆典型例题 例 1 （2018•山东滨州•3 分）如果规定[x]表示不大于 x 的最大整数，例如[2.3]=2，那么 函数 y=x﹣[x]的图象为（ ） A． B． C． D． 【分析】根据定义可将函数进行化简． 【解答】解：当﹣1≤x＜0，[x]=﹣1，y=x+1 当 0≤x＜1时，[x]=0，y=x 当 1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣1 …… 故选：A． 【点评】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解[x]的定义，然后对函数进行化简， 本题属于中等题型． 例 2 （2018 年江苏省泰州市•3 分）如图，平面直角坐标系 xOy 中，点 A的坐标为（9，6）， AB⊥y 轴，垂足为 B，点 P 从原点 O 出发向 x 轴正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发向点 B 运动，当点 Q到达点 B时，点 P、Q 同时停止运动，若点 P 与点 Q 的速度之比为 1：2，则下 列说法正确的是（ ） A．线段 PQ 始终经过点（2，3） B．线段 PQ 始终经过点（3，2） C．线段 PQ 始终经过点（2，2） D．线段 PQ 不可能始终经过某一定点 【分析】当 OP=t 时，点 P的坐标为（t，0），点 Q的坐标为（9﹣2t，6）．设直线 PQ 的解 析式为 y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求出 PQ 的解析式即可判断； 【解答】解：当 OP=t 时，点 P 的坐标为（t，0），点 Q 的坐标为（9﹣2t，6）． 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b（k≠0）， 将 P（t，0）、Q（9﹣2t，6）代入 y=kx+b， ，解得： ， ∴直线 PQ 的解析式为 y= x+ ． ∵x=3 时，y=2， ∴直线 PQ 始终经过（3，2）， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象上的点的特征、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用 所学知识解决问题，属于中考常考题型． 例 3（2018 年四川省南充市）直线 y=2x 向下平移 2 个单位长度得到的直线是（ ） A．y=2（x+2） B．y=2（x﹣2） C．y=2x﹣2 D．y=2x+2 【考点】F9：一次函数图象与几何变换． 【分析】据一次函数图象与几何变换得到直线 y=2x 向下平移 2 个单位得到的函数解析式为 y=2x﹣2． 【解答】解：直线 y=2x 向下平移 2 个单位得到的函数解析式为 y=2x﹣2． 故选：C． 【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数 y=kx（k≠0）的图象为直线，当 直线平移时 k 不变，当向上平移 m个单位，则平移后直线的解析式为 y=kx+m． 例 4（2018•达州）如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然 后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数 y （单位：N）与铁块被提起的高度 x（单位：cm）之间的函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题． 【解答】解：由题意可知， 铁块露出水面以前，F 拉+F 浮=G，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变， 当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加， 当铁块完全露出水面后，拉力等于重力， 故选：D． 例 5（2012•内江）如图，等边△ABC 的边长为 3cm，动点 P 从点 A 出发，以每秒 1cm 的速度， 沿 A→B→C的方向运动，到达点 C 时停止，设运动时间为 x（s），y=PC2，则 y 关于 x的函 数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【分析】需要分类讨论：①当 0≤x≤3，即点 P 在线段 AB 上时，根据余弦定理知 cosA= ，所以将相关线段的长度代入该等式，即可求得 y与 x的函数关系式， 然后根据函数关系式确定该函数的图象．②当 3＜x≤6，即点 P 在线段 BC 上时，y 与 x 的函 数关系式是 y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6），根据该函数关系式可以确定该函数的图象． 【解答】解：∵正△ABC 的边长为 3cm， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3cm． ①当 0≤x≤3 时，即点 P在线段 AB 上时，AP=xcm（0≤x≤3）； 根据余弦定理知 cosA= ， 即 = ， 解得，y=x2﹣3x+9（0≤x≤3）； 该函数图象是开口向上的抛物线； 解法二：过 C 作 CD⊥AB，则 AD=1.5cm，CD= cm， 点 P 在 AB 上时，AP=x cm，PD=|1.5﹣x|cm， ∴y=PC 2 =（ ） 2 +（1.5﹣x） 2 =x 2 ﹣3x+9（0≤x≤3） 该函数图象是开口向上的抛物线； ②当 3＜x≤6 时，即点 P在线段 BC 上时，PC=（6﹣x）cm（3＜x≤6）； 则 y=（6﹣x）2=（x﹣6）2（3＜x≤6）， ∴该函数的图象是在 3＜x≤6上的抛物线； 故选：C． 例 6 （2018 年江苏省南京市）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回， 刚好在第 16min 回到家中．设小明出发第 t min 时的速度为 vm/min，离家的距离为 s m，v 与 t 之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）． （1）小明出发第 2min 时离家的距离为 m； （2）当 2＜t≤5 时，求 s 与 t 之间的函数表达式； （3）画出 s 与 t 之间的函数图象． 【分析】（1）根据路程=速度×时间求出小明出发第 2min 时离家的距离即可； （2）当 2＜t≤5 时，离家的距离 s=前面 2min 走的路程加上后面（t﹣2）min 走过的路程列 式即可； （3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25 和 6.25＜t≤16 四种情况，画出各自的图 形即可求解． 【解答】解：（1）100×2=200（m）． 故小明出发第 2min 时离家的距离为 200m； （2）当 2＜t≤5 时，s=100×2+160（t﹣2）=160t﹣120． 故 s 与 t 之间的函数表达式为 160t﹣120； （3）s与 t之间的函数关系式为 ， 如图所示： 故答案为：200． 【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂 题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键． 考点过关☆专项突破 类型一 函数图像 1. （2018•湖北黄冈•3 分）函数 y= 中自变量 x的取值范围是（ ） A．x≥-1 且 x≠1 B.x≥-1 C. x≠1 D. -1≤x＜1 2. （2018·四川自贡·4 分）已知圆锥的侧面积是 8πcm2，若圆锥底面半径为 R（cm），母 线长为 l（cm），则 R关于 l 的函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 3. （2018•通辽）小刚从家去学校，先匀速步行到车站，等了几分钟后坐上了公交车，公交 车匀速行驶一段时后到达学校，小刚从家到学校行驶路程 s（单位：m）与时间 r（单位：min） 之间函数关系的大致图象是（ ） A． B． C． D． 4. （2018 年四川省内江市）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块 A 悬于盛有水的水槽 中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数 y（单 位：N）与铁块被提起的高度 x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（ ） A． B． C． D． 5. （2018•随州）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲 在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终贏得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是 （ ） A． B． C． D． 6. （2018•金华）某通讯公司就上宽带网推出 A，B，C 三种月收费方式．这三种收费方式每 月所需的费用 y（元）与上网时间 x（h）的函数关系如图所示，则下列判断错误的是（ ） A．每月上网时间不足 25h 时，选择 A 方式最省钱 B．每月上网费用为 60 元时，B 方式可上网的时间比 A 方式多 C．每月上网时间为 35h 时，选择 B 方式最省钱 D．每月上网时间超过 70h 时，选择 C 方式最省钱 7. （2018•潍坊）如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，∠B=60°，动点 P 以 1 厘米秒的速度 自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D点停止．若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记△BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象中 能表示 S 与 t 之间的函数关系的是（ ） A． B． C． D． 8. （2018•孝感）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，BC=6cm，动点 P 从点 A开始沿 AB 向点 B以 1cm/s 的速度移动，动点 Q从点 B 开始沿 BC 向点 C 以 2cm/s 的速度移动，若 P，Q 两点分别从 A，B 两点同时出发，P 点到达 B 点运动停止，则△PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 类型二 一次函数图像与性质 1. （2018·台湾·分）已知坐标平面上，一次函数 y=3x+a 的图形通过点（0，﹣4），其中 a为一数，求 a的值为何？（ ） A．﹣12 B．﹣4 C．4 D．12 2．（2018·广东深圳·3 分）把函数 y=x 向上平移 3 个单位，下列在该平移后的直线上的点 是( ) A. B. C. D. 3．（2018•广西桂林•3 分）如图，在平面直角坐标系中，M、N、C三点的坐标分别为（，1）， （3，1），（3，0），点 A 为线段 MN 上的一个动点，连接 AC，过点 A作 交 y轴于点 B， 当点 A从 M运动到 N时，点 B 随之运动，设点 B的坐标为（0，b），则 b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. （2018·湖南省常德·3 分）若一次函数 y=（k﹣2）x+1 的函数值 y 随 x的增大而增大， 则（ ） A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0 5. （2018·四川宜宾·3 分）已知点 A 是直线 y=x+1 上一点，其横坐标为﹣ ，若点 B 与 点 A 关于 y轴对称，则点 B 的坐标为 ． 6. （2018·湖北江汉·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，… 都是等腰直角三角形，其直角顶点 P1（3，3），P2，P3，…均在直线 y=﹣ x+4 上．设△P1OA1， △P2A1A2，△P3A2A3，…的面积分别为 S1，S2，S3，…，依据图形所反映的规律，S2018= ． 7. （2018•甘肃白银，定西，武威•3 分） 如图，一次函数 与 的图象相交 于点 ，则关于的不等式组 的解集为__________． 8 （2018•江苏扬州•3 分）如图，在等腰 Rt△ABO，∠A=90°，点 B 的坐标为（0，2），若直 线 l：y=mx+m（m≠0）把△ABO 分成面积相等的两部分，则 m 的值为 ． 9. （2018•乐山•3 分）已知直线 l1：y=（k﹣1）x+k+1 和直线 l2：y=kx+k+2，其中 k 为不小 于 2 的自然数． （1）当 k=2 时，直线 l1.l2与 x 轴围成的三角形的面积 S2= ； （2）当 k=2.3.4，……，2018 时，设直线 l1.l2与 x 轴围成的三角形的面积分别为 S2，S3， S4，……，S2018，则 S2+S3+S4+……+S2018= ． 类型三 一次函数的综合应用 1．（2018·江苏镇江·3 分）甲、乙两地相距 80km，一辆汽车上午 9：00 从甲地出发驶往 乙地，匀速行驶了一半的路程后将速度提高了 20km/h，并继续匀速行驶至乙地，汽车行驶 的路程 y（km）与时间 x（h）之间的函数关系如图所示，该车到达乙地的时间是当天上午（ ） A．10：35 B．10：40 C．10：45 D．10：50 2．（2018·辽宁省阜新市）甲、乙两人分别从 A，B 两地相向而行，他们距 B 地的距离 s（km） 与时间 t（h）的关系如图所示，那么乙的速度是 km/h． 3．（2018·重庆市 B 卷）（4.00 分）一天早晨，小玲从家出发匀速步行到学校，小玲出发一 段时间后，她的妈妈发现小玲忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小玲 行进的路线，匀速去追小玲，妈妈追上小玲将学习用品交给小玲后，立即沿原路线匀速返回 家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，小玲继续以原速 度步行前往学校，妈妈与小玲之间的距离 y（米）与小玲从家出发后步行的时间 x（分）之 间的关系如图所示（小玲和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小玲耽搁的时间忽略不 计）．当妈妈刚回到家时，小玲离学校的距离为 米． 4. （2018·重庆(A)·4 分） 两地相距的路程为 240 千米，甲、乙两车沿同一线路从 地出发到 地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发 40 分钟后，乙车才出发。途中乙 车发生故障，修车耗时 20 分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了 10 千米/小时（仍保 持匀速前行），甲、乙两车同时到达 地。甲、乙两车相距的路程 （千米）与甲车行驶时 间 （小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车距 地还有 千米。 5. （2018·山东潍坊·11 分）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门 招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有 A，B两种型号的挖 掘机，已知 3台 A型和 5 台 B型挖掘机同时施工一小时挖土 165 立方米；4 台 A 型和 7 台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土 225 立方米．每台 A 型挖掘机一小时的施工费用为 300 元，每 台 B 型挖掘机一小时的施工费用为 180 元． （1）分别求每台 A 型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ （2）若不同数量的 A 型和 B 型挖掘机共 12 台同时施工 4 小时，至少完成 1080 立方米的挖 土量，且总费用不超过 12960 元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工 费用最低，最低费用是多少元？ 6. （2018•湖北黄石•8 分）某年 5 月，我国南方某省 A、B 两市遭受严重洪涝灾害，1.5 万 人被迫转移，邻近县市 C、D 获知 A、B 两市分别急需救灾物资 200 吨和 300 吨的消息后，决 定调运物资支援灾区．已知 C 市有救灾物资 240 吨，D市有救灾物资 260 吨，现将这些救灾 物资全部调往 A、B 两市．已知从 C 市运往 A、B 两市的费用分别为每吨 20 元和 25 元，从 D 市运往往 A、B 两市的费用别为每吨 15 元和 30 元，设从 D 市运往 B 市的救灾物资为 x 吨． （1）请填写下表 A（吨） B（吨） 合计（吨） C x﹣60 300﹣x 240 D 260﹣x x 260 总计（吨） 200 300 500 （2）设 C、D 两市的总运费为 w 元，求 w 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范 围； （3）经过抢修，从 D 市到 B市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 m元（m ＞0），其余路线运费不变．若 C、D 两市的总运费的最小值不小于 10320 元，求 m的取值范 围． 7. （2018·广西梧州·10 分）我市从 2018 年 1 月 1 日开始，禁止燃油助力车上路，于是 电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入 8 万元购进 A.B 两种型号的电动自 行车共 30 辆，其中每辆 B 型电动自行车比每辆 A型电动自行车多 500 元．用 5万元购进的 A型电动自行车与用 6 万元购进的 B 型电动自行车数量一样． （1）求 A.B 两种型号电动自行车的进货单价； （2）若 A 型电动自行车每辆售价为 2800 元，B 型电动自行车每辆售价为 3500 元，设该商 店计划购进 A型电动自行车 m 辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润 y元．写出 y 与 m 之间的函数关系式； （3）该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？ 8. （2018•湖北恩施•10 分）某学校为改善办学条件，计划采购 A、B 两种型号的空调，已 知采购 3台 A型空调和 2 台 B 型空调，需费用 39000 元；4 台 A 型空调比 5 台 B 型空调的费 用多 6000 元． （1）求 A 型空调和 B 型空调每台各需多少元； （2）若学校计划采购 A、B 两种型号空调共 30 台，且 A型空调的台数不少于 B 型空调的一 半，两种型号空调的采购总费用不超过 217000 元，该校共有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 一. 教学目标： 1、掌握平移、旋转、对称的性质，灵活地运用平移、旋转、对称解决生活中的问题。 2、掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形的定义、判定、性质，利用这些特殊四边 形进行综合计算和证明。 二. 教学重点与难点：特殊四边形的综合应用 三. 知识要点： 知识点 1：图形的变换与镶嵌 知识点 2：四边形的定义、判定及性质 知识点 3：矩形、菱形及正方形的判定 教学准备 中考复习之专题九 图形的变换与四边形 知识点 4：矩形、菱形及正方形的性质 知识点 5：梯形的判定及性质 例 1. 如图，四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ） 例题精讲 【评析】本题所考查的是对称轴的概念．应对给出的图形认真分析．从题目中所给的四 个图形来看，图 A有 2 条对称轴；图 B 有 4 条对称轴；图 C不是轴对称图形， 它没有对称 轴；图 D 只有一条对称轴，所以图 B 的对称轴条数最多． 例 2. 如图是某设计师设计的方桌布图案的一部分， 请你运用旋转变换的方法，在坐标 系上将该图形绕原点顺时针依次旋转 90°、180°、270°，并画出它在各象限内的图形， 你会得到一个美丽的平面图形，你来试一试吧！但是涂阴影时要注意利用旋转变换的特点， 不要涂错了位置，否则不会出现理想的效果． 【分析】先确定每个三角形的顶点绕原点顺时针依次旋转 90°、180°、270°后的位 置，然后连线，涂上相应的阴影即可． 【解析】所画的图形如图所示． 例 3. 在日常生活中，观察各种建筑物的地板， 就能发现地板常用各种正多边形地砖铺 砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下 一丝空白，又不互相重叠（在平面几何里叫做平面镶嵌）．这显然与正多边形的内角大小有 关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就 拼成了一个平面图形． （1）请根据图，填写下表中的空格： 正多边形边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个 内角的度数 60° 90° 108° 120° （2）如果限定用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ （3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再从其他正多边形中选一种， 请 画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形； 并探究这两种正多边形共能镶嵌成 几种不同的平面图形？说明你的理由． 【解析】（1） n 180)2n(  ．（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形．（3） 如：正方形和正八边形如图．设在一个顶点周围有 n个正方形的角，n个正八边形的角， 则 m、n 应是方程 m·90°＋n·135°＝360°的正整数解．即 2m＋3n＝8 的正整数解， 这个方程的正整数解只有 1 2 m n    一组，又如正三角形和正十二边形，同样可求出利用一个 正三角形，两个正十二边形也可以镶嵌成平面图形，所以符合条件的图形有 2 种． 例 4. 如图，在 ABCD 中，E为 CD 的中点，连结 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F，求证：S △ABF＝S 平行四边形 ABCD. 【解析】∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AD∥BC． ∵E 是 DC 的中点，∴DE＝CE． ∴△AED≌△FEC． ∴S△AED ＝S△FEC． ∴S△ABF ＝S 四边形 ABCE＋S△CEF ＝S 四边形 ABCE＋S△AED ＝S 平行四边形 ABCD 例 5. 如图，在 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E、F 是对角线 AC 上的两点，当 E、 F满足下列哪个条件时，四边形 DEBF 不一定是平行四边形（ ） A. OE＝OF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠ABE＝∠CDF 【分析】虽然判别平行四边形可从“边、角、对角线”三个角度来考虑，但此例图中已 有对角线，所以最适当的方法应是“对角线互相平分的四边形为平行四边形”． 例 6. 如图，在 ABCD 中，已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为 15，AB＝6， 那么对角线 AC＋BD＝_______． 【分析】本例解题依据是：平行四边形的对角线互相平分，先求出 AO＋BO＝9， 再求 得 AC＋BD＝18． 例 7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E，又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF＝CE．求证：四边形 ACEF 为菱形． 【分析】欲证四边形 ACEF 为菱形，可先证四边形 ACEF 为平行四边形，然后再证 ACEF 为菱形，当然，也可证四条边相等，直接证四边形为菱形． 例 8. 如图，在 ABCD 中，E、F 分别为边 AB、CD 的中点，BD 是对角线，AG∥DB 交 CB 的延 长线于 G． （1）求证：△ADE≌△CBF； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【解析】（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD. ∵点 E、F 分别是 AB、CD 的中点， ∴AE＝ 1 2 AB，CF＝ 1 2 CD. ∴AE＝CF． ∴△ADE≌△CBF． （2）当四边形 BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC. ∵AG∥BD， ∴四边形 AGBD 是平行四边形． ∵四边形 BEDF 是菱形， ∴DE＝BE． ∵AE＝BE， ∴AE＝BE＝DE． ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， ∴2∠2＋2∠3＝180°． ∴∠2＋∠3＝90°． 即∠ADB＝90°， ∴四边形 AGBD 是矩形． 例 9. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB＝3 3，BC＝6，沿 EF 折叠后，点 C 落在 AB 边上的点 P处，点 D落在点 Q处，AD 与 PQ 相交于点 H，∠BPE＝30°． （1）求 BE、QF 的长．（2）求四边形 PEFH 的面积． 【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考生必须有想像力，抓 住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理解． 例 10. 如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝AD＝DC，E 为底边 BC 的中点，且 DE∥AB，试判 断△ADE 的形状，并给出证明． 【解析】△ADE 是等边三角形． 理由如下：∵AB＝CD，∴梯形 ABCD 为等腰梯形， ∵∠B＝∠C. ∴E 为 BC 的中点， ∵BE＝CE． 在△ABE 和△DCE 中， ∵ , , AB DC B C BE CE       ∴△ABE≌△DCE． ∵AE＝DE． ∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形 ABED 为平行四边形． ∴AB＝DE ∵AB＝AD， ∴AD＝AE＝DE． ∴△ADE 为等边三角形． 一、选择题 1. 将叶片图案旋转 180°后，得到的图形是（ ） 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） 3. 下图是用 12 个全等的等腰梯形镶嵌成的图形， 这个图形中等腰梯形的上底长与下底长 的比是（ ） A. 1：2 B. 2：1 C. 3：1 D. 1：3 4. 张明同学设计了四种正多边形的瓷砖图案，在这四种瓷砖图案中，不能铺满地面的是 （ ） 课后练习 5. 如图，一块含有 30°角的直角三角板 ABC，在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到 A′ B′C 的位置．若 BC 的长为 15cm，那么顶点 A 从开始到结束所经过的路径长为（ ） A. 10 3  cm B. 10 cm C. 15 cm D. 20 cm 6. 如图，AB＝AC，AD⊥BC，AD＝BC，若用剪刀沿 AD 剪开， 则最多能拼出不同形状的四边 形的个数是（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 7. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A逆时针旋转 30 °到正方形 AB′C′D′，图中阴 影部分的面积为（ ） A. 1 2 B. 3 3 C. 1－ 3 3 D. 1－ 3 4 8. 将一矩形纸片按如图方式折叠，BC、BD 为折痕，折叠后 A ′B 与 E′B在同一条直线上， 则∠CBD 的度数（ ） A. 大于 90° B. 等于 90° C. 小于 90° D. 不能确定 9. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝2，AB＝3，BC＝6，沿 AE 翻折梯形 ABCD，使点 B 落在 AD 的延长线上，记为 B′，连结 B′E交 CD 于 F，则 DF FC 的值为（ ） A. 1 3 B. 1 4 C. 1 5 D. 1 6 10. 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，对角线 AC、BD 相交于 O，下面四个结论： ①△AOB∽△COD； ②△AOD∽△BOC； ③ DOC BOA S DC S AB    ；④S△AOD＝S△BOC，其中结 论始终正确的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题 1. 如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，要使四边形 ABCD 为平行四边形，则应添加的条件是 _____________（添加一个条件即可）． 2. 如图，将边长为 8cm 的正方形 ABCD 的四边沿直线 l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动 两周时，正方形的顶点 A所经过的路线的长是________cm． 3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤ 等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）． 4. 如图，先将一矩形 ABCD 置于直角坐标系中，使点 A 与坐标系的原点重合，边 AB、AD 分 别落在 x 轴、y 轴上（如图①所示）， 再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转 30°（如图②所示），若 AB＝4，BC＝3，则图①和图②中，点 B 的坐标为 ________，点 C的坐标为______． 5. 如图，在梯形 ABCD 中，∠DCB＝90°，AB∥CD，AB＝25，BC＝24. 将该梯形折叠，点 A 恰好与点 D重合，BE 为折痕，那么 AD 的长度为_______． 三、解答题 1. 在下图的方格纸中有一个 Rt△ABC（A、B、C三点均为格点），∠C＝90°． （1）请你画出将 Rt△ABC 绕点 C顺时针旋转 90°后所得到的 Rt△A′B′C. 其中 A、B 的对应点分别是 A′，B′（不必写画法）； （2）设（1）中 AB 的延长线与 A′B′相交于 D 点，方格纸中每一个小正方形的边长为 1，试求 BD 的长（精确到 0.1）． 2. 在 AB＝30m，AD＝20m 的矩形 ABCD 的花坛四周修筑小路． （1）如果四周的小路的宽均相等，如图（1），那么小路四周所围成的矩形 A′B ′C′ D′和矩形 ABCD 相似吗？请说明理由． （2）如果相对着的两条小路的宽均相等，如图（2），试问小路的宽 x 与 y 的比值为多少时， 能使小路四周所围成的矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似？请说明理由． 3. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC＝AD，∠ADC＝120°． 求证：（1）BD⊥DC；（2）若 AB＝4，求梯形 ABCD 的面积． 4. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，DE∥AB. 求证：（1）DE＝DC；（2）△DEC 是等边三角形． 5. 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3. D 是 BC 边上一点， 直线 DE⊥BC 于 D，交 AB 于 E，CF∥AB 交直线 DF 于 F．设 CD＝x． （1）当 x 取何值时，四边形 EACF 是菱形？请说明理由； （2）当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 2？ 一、选择题 1. D 2. A 3. A 4. C 5. D 6. D 7. C 8. B 9. A 10. B 二、填空题 1. 答案不唯一，如 AB＝CD 等 2. 16 ＋16 2  3. ①②⑤ 4. B（4，0），（2 3，2），C（4，3），（ 4 3 3 3 3 4, 2 2   ） 5. 30. 三、解答题 1. 解：（1）方格纸中 Rt△A′B′C 为所画的三角形 （2）由（1）得∠A＝∠A′， 又∵∠1＝∠2，∴△ABC∽△A′BD， ∴ ' BC AB BD A B  ， ∵BC＝1，A′B＝2， AB＝ 2 2 2 2 1 103 1 10, 2 AC BC BD       ， 即 BD＝ 2 10 ≈0.6，∴BD 的长约为 0.6 练习答案 2. 解：①当 x≠0时， 30 30 2 ' ' ' ', 20 20 2 x A B A D x AB AD      故矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 不相似 ②当 ' ' ' 'A B A D AB AD  时，矩形 A′B′C′D′和矩形 ABCD 相似 所以 30 30 2 20 20 2 y x    ，解得 x y ＝ 2 3 3. 证明：（1）由∠ADC＝120°，可得∠C＝∠ABC＝60°， 从而得到∠ADB＝30°，∴BD⊥DC. （2）12 3 4. 证明：（1）∵AD∥BC，DE∥AB， ∴四边形 ABED 是平行四边形， ∴DE＝AB， ∵AB＝DC， ∴DE＝DC （2）∵AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°， ∴∠C＝∠B＝60°． 又∵DE＝DC， ∴△DEC 是等边三角形． 5. 解：（1） ∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC. 又∵DE⊥BC，∴EF∥AC． 又∵AE∥CF，∴四边形 EACF 是平行四边形． 当 CF＝AC 时，四边形 ACFE 是菱形． 此时，CF＝AC＝2，BD＝3－x，tan∠B＝ 2 3 ，ED＝BD·tan∠B＝ 2 3 （3－x）， ∴DF＝EF－ED＝2－ 2 3 （3－x）＝ 2 3 x． 在 Rt△CDF 中，CD2＋DF2＝CF2， ∴x2＋（ 2 3 x）2＝22，∴x＝± 6 13 13（ 负值不合题意，舍去）， 即当 x＝ 6 13 13时，四边形 ACFE 是菱形 （2）由已知得，四边形 EACD 是直角梯形，S 梯形 EACD＝ 1 2 ×（4－ 2 3 x）·x＝－ 1 3 x2＋2x． 依题意，得－ 1 3 x2＋2x＝2，整理得，x2－6x＋6＝0. 解之，得 x1＝3－ 3，x2＝3＋ 3． ∵x＝3＋ 3 >BC＝3， ∴x＝3＋ 3舍去， ∴当 x＝3－ 3时，梯形 EACD 的面积等于 2． 平面直角坐标系下的图形变换 图形变换是近几年来中考热点，除了选择题、解答题外，创新探索题往往 以“图形变换”为载体，将试题设计成探索性问题、开放性问题综合考察学生 的逻辑推理能力，一般难度较大。 在平面直角坐标系中，探索图形坐标的的变化和平移、对称、旋转和伸缩间的 关系，是中考考查平面直角坐标系的命题热点和趋势，这类试题设计灵活。 平移: 上下平移 横坐标不变,纵坐标改变 左右平移 横坐标改变,纵坐标不变 对称: 关于 x轴对称 横坐标不变,纵坐标改变 关于 y轴对称 横坐标不变,纵坐标不变 关于中心对称 横坐标、纵坐标都互为相反数 旋转：改变图形的位置，不改变图形的大小和形状 旋转角 旋转半径 弧长公式 L=nπR／180 一、平移 例 1， 如图 1，已知△ABC 的位置，画出将 ABC 向右平移 5 个单位长度后所 得的 ABC，并写出三角形各顶点的坐标，平移后与平移前对应点的坐标有什么变 化？ 解析：△ABC 的三个顶点的坐标是：A(-2，5)、B(-4，3)、C(-1，2)． 向右平移 5 个单位长度后，得到的△A′B′C′对应的顶点的坐标 是：A′(3，5，、B′(1， 3）、C′(4，2）． 比较对应顶点的坐标可以得到：沿 x轴向右平移之后，三个顶点的纵坐标都 没有变化，而横坐标都增加了 5个单位长度． 友情提示：如果将△ABC 沿 y 轴向下平移 5 个单位，三角形各顶点的横坐标 都不变，而纵坐标都减少 5个单位．(请你画画看)． 例 2. 如图，要把线段 AB 平移，使得点 A 到达点 A'(4，2)，点 B到达点 B'，那么 点 B'的坐标是_______。 析解：由图可知点 A 移动到 A/可以认为先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个 单位，∴ )3,3(B 经过相同的平移后可得 )4,7(/B 反思：①根据平移的坐标变化规律： ★左右平移时：向左平移 h 个单位 ),(),( bhaba  向右平移 h 个单位 ),(),( bhaba  ★上下平移时：向上平移 h 个单位 ),(),( hbaba  向下平移 h 个单位 ),(),( hbaba  二、旋转 例 3.如图 2，已知△ABC，画出△ABC 关于坐标原点 0旋转 180°后所得△A′B′C′， 并写出三角形各顶点的坐标，旋转后与旋转前对应点的坐标有什么变化？ 解析：△ABC 三个顶点的坐标分别是： A(-2，4)，B(-4，2)，C(-1，1)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： A′(2，-4)，B′(4，-2)，C′(1，-1)． 比较对应点的坐标可以发现：将△ABC 沿坐标原 点旋转 180°后，各顶点的坐标分别是原三角形各顶点 坐标的相反数． 图 2 图 1 例 3 如图，在直角坐标系中，△ABO 的顶点 A、B、O 的坐标分别为（1，0）、（0， 1）、（0，0）.点列 P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO 的一个顶点对称： 点 P1与点 P2关于点 A 对称，点 P2与点 P3关于点 B 对称，点 P3与 P4关于点 O 对称， 点 P4与点 P5关于点 A 对称，点 P5与点 P6关于点 B 对称，点 P6与点 P7关于点 O 对称，….对称中心分别是 A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环. 已知点 P1的坐标是（1，1），试求出点 P2、P7、P100的坐标. 分析：本题是一道和对称有关的探索题，是在中心对称和点的坐标知识基础 上的拓宽题，由于是规律循环的对称，所以解决问题的关键是找出循环规律.如 图，标出 P1到 P7各点，可以发现点 P7和点 P1重合，继续下去可以发现点 P8 和 点 P2 循环,所以 6个点循环一次，这样可以求出各点的坐标. 解：如图 P2(1,-1)， P7(1,1)，因为 100除以 6 余 4，所以点 P100和点 P4的坐 标相同，所以 P100的坐标为(1,-3). 三、对称 例 4．如图 3， 已知△ABC，画出△ABC 关于 x轴对称的△A′B′C′，并写出各顶点 的坐标．关于 x轴对称的两个三角形对应顶点的坐标有什么关系？ 解析：△ABC 三个顶点的坐标分别是： A(1，4)，B(3，1)，C(-2，2)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： A′(1，-4)，B′(3，-1)，C′(-2，-2)． 观察各对应顶点的坐标可以发现：关于 x 轴对称两个三角形的对应顶点的横 坐标不变，纵坐标互为相反数． 友情提示：关于 y轴对成的两个图形，对称点的纵坐标不变，横坐标互为相 反数．在直角坐标系中， ABC△ 的三个顶点的位置如图 3所示． （1）请画出 ABC△ 关于 y轴对称的 A B C  △ （其中 A B C  ， ， 分别是 A B C， ， 的 对应点，不写画法）； （2）直接写出 A B C  ， ， 三点的坐标： (_____) (_____) (_____)A B C  ， ， ． 图 3 1 2 x O 1 -1 A B C y 1 2 x O 1 -1 A B C A B C y 图 3 图 4 CB A A 2 B2 C2 A1 B1 C1 O 析解：如图 4，根据关于 y 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反 数，即横坐标乘以 1 ，故可得（2） (2 3)A ， ， (31)B ，， ( 1 2)C  ， 反思：★关于 x轴对称的点的横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，即纵坐 标乘以 1 ★关于 y 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标为原横坐标的相反数，即横坐 标乘以 1 ★关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原 纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以 1 四、位似 例 4 如图 4，已知△ABC，画出△ABC 以坐标原点 0 为位似中心的位似△A′B′C′， 使△A′B′C′在第三象限，与△ABC 的位似比为 2 1 ，写出三角形各顶点的坐标，位 似变换后对应顶点发生什么变化？ 解析：△ABC 三个顶点的坐标分别是： A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)． △A′B′C′三个顶点的坐标分别是： A′(-1，-1)， B′(-3，-2)，C′(-2，-3)． 观图形可知，△A′B′C′各顶点的坐标分别是△ABC 对 应各顶点坐标 2 1 的相反数． 友情提示：△ABC 以坐标原点 0为位似中心的位似 △A′B′C′，当△A′B′C′与△ABC 的位似比为 2 1 ，且 △A′B′C′在第一象限时， △A′B′C′各顶点的坐标分别 是△ABC 各顶点坐标的 2 1 ． 课前练习：在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为 1个单位的正方形,△ABC 的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点). ⑴画出△ABC 向下平移 4个单位后的△A1B1C1; ⑵画出△ABC绕点 O顺时针旋转90°后的△A2B2C2,并求出 A旋转到 A2所经过的 路线长. 解:⑴画出△A1B1C1; ⑵画出△A2B2C2, ,连接 OA1、OA2,OA= 2 22 3 = 13 图 4 点 A旋转到 A2,所经过的路线长为:ι= 90 13 13 180 2    点评:图形的变换可以转化为点的问题,即找到顶点变换后的对应点,再顺次 连接 这些点即可得到图形.旋转变换要明确旋转中心、旋转方向、旋转半径、旋转角 度；平移变换要明确平移的方向和距离；作一个图形关于某点的中心对称图形要 明 确对应点的连线经过对称中心，且对应点到对称中心的距离相等；作一个图形关 于 某一条直线的的对称图形，要明确对应点的连线被对称轴平分，且对应点到对称 轴 的距离相等。