2020-2021学年度第一学期江苏省扬州市三校联考九年级期中考试数学试卷(含解析) 16页

‎2020-2021学年度第一学期江苏省扬州市三校联考九年级期中考试数学试卷 一、选择题（共8题；共24分）‎ ‎1.一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88，72，50，则这位选手个人总分为（   ） ‎ A. 68.24                  B. 64.56                 C. 65.75                 D. 67.32‎ ‎2.关于x的一元二次方程式ax2-2ax-b=0有一个实数根x=1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是(    ) ‎ A. △>0                B. △=0                   C. △<0                         D. 无法确定 ‎3.如图， ‎⊙O 是 ‎△ABC 的外接圆，半径为 ‎2cm ，若 BC=2cm ，则 ‎∠A 的度数为（   ） ‎ A. 30°                 B. 25°                      C. 15°                          D. 10°‎ ‎4.如图， AB 是 ‎⊙O 的直径， CD 是弦， CD∥AB ， ‎∠BCD=30°‎ ， AB=6‎ ，则 AC 的长为（　　） ‎ A. π                      B. ‎4π                       C. ‎2π                         D. ‎‎15π ‎5.近几年来安徽省各地区建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某地区在2017年给每个经济困难学生发放的资助金额为 ‎800‎ 元，2019年发放的资助金额为 ‎1250‎ 元，则该地区每年发放的资助金额的平均增长率为（  ） ‎ A. ‎10%‎                    B. ‎15%‎                   C. ‎20%‎                        D. ‎‎25%‎ ‎6.如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为(   ‎ A. ‎3‎‎2‎ cm            B. 4cm        C. ‎2‎‎3‎ cm                 D. ‎2‎‎6‎ cm ‎ ‎ ‎7.小红连续 ‎5‎ 天的体温数据如下（单位相 ‎°C ）： ‎36.6‎ ， ‎36.2‎ ， ‎36.5‎ ， ‎36.2‎ ， ‎36.3‎ .关于这组数据下列说法正确的是（   ） ‎ A. 中位数是 ‎36.5°C    B. 众数是 ‎36.2°C     C. 平均数是 ‎36.2°C    D. 极差是 ‎‎0.3°C ‎8.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点（2017，2）的是（   ） ‎ A. 点A                 B. 点C                          C. 点E                         D. 点F 二、填空题（共10题；共30分）‎ ‎9.一元二次方程 x‎2‎‎-3x=0‎ 的根是________． ‎ ‎10.圆锥的侧面展开图是一个弧长为6π的扇形，则这个圆锥底面半径是________. ‎ ‎11.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了 ‎6‎ 次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在 ‎6‎ 次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： ‎ 甲 ‎12.0‎‎ ‎ ‎12.0‎‎ ‎ ‎12.2‎‎ ‎ ‎11.8‎‎ ‎ ‎12.1‎‎ ‎ ‎11.9‎‎ ‎ 乙 ‎12.3‎‎ ‎ ‎12.1‎‎ ‎ ‎11.8‎‎ ‎ ‎12.0‎‎ ‎ ‎11.7‎‎ ‎ ‎12.1‎‎ ‎ 由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是________．‎ ‎12.若关于x的一元二次方程 x‎2‎‎+(k+3)x+2=0‎ 的一个根是-1，则另一个根是________． ‎ ‎13.若圆锥的底面半径为4，母线长为5，则它的侧面积为________. ‎ ‎14.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是________。 ‎ ‎15.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，OA=10，AB=16，则OC的长为________ ‎ ‎16.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________． ‎ ‎17.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范是________. ‎ ‎18.如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是________. ‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎19.向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） xm‎2‎‎+1‎ +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题： ‎ ‎（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程； （2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程． ‎ ‎20.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D. ‎ ‎（1）求证：∠APO＝∠CPO； ‎ ‎（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长. ‎ ‎21.某中学为调查本校学生固末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同字，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题 ‎ ‎（1）请你补全条形统计图 ‎ ‎（2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是________小时，中位数是________小时，平均数是________小时； ‎ ‎（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人? ‎ ‎ ‎ ‎22.如图，用99米长的木栏围成个矩形菜园 ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米. ‎ ‎（1）用含x的代数式表示AB的长. ‎ ‎（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长. ‎ ‎23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F. ‎ ‎（1）求证：∠FGC=∠AGD. ‎ ‎（2）若BE=2，CD=8，求AD的长. ‎ ‎24.为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： ‎ A加工厂 ‎74‎ ‎75‎ ‎75‎ ‎75‎ ‎73‎ ‎77‎ ‎78‎ ‎72‎ ‎76‎ ‎75‎ B加工厂 ‎78‎ ‎74‎ ‎78‎ ‎73‎ ‎74‎ ‎75‎ ‎74‎ ‎74‎ ‎75‎ ‎75‎ ‎（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数； ‎ ‎（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？ ‎ ‎（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？ ‎ ‎ ‎ ‎25.已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm ， BC=7cm ． 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． ‎ ‎（1）如果P ， Q分别从A ， B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ ‎ ‎（2）如果P ， Q分别从A ， B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？ ‎ ‎（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由． ‎ ‎26.如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，AD∥BC，∠ADC＝90°，CD交⊙O于点E. ‎ ‎（1）求证：AD是⊙O的切线； ‎ ‎（2）若DE＝2，求阴影部分的面积. ‎ ‎27.疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.（销售利润＝销售总额﹣进货成本）. ‎ ‎（1）若该商品的的件单价为43元时，则当天的售商品是________件，当天销售利润是________元； ‎ ‎（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元. ‎ ‎ ‎ ‎28.问题探究 ‎ ‎ ‎ ‎（1）如图1，在△ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6，则△ABC面积的最大值是 ________。 ‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG=3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 ‎ ‎（3）如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB=6 ‎2‎ +12，BC=6 ‎2‎ +6，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD=DE，点F在BC上，且CF=6，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN=90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。 ‎ ‎ ‎ 答案 一、选择题 ‎1.解： 选手个人总分 =‎88×1+72×4+50×3‎‎1+4+3‎‎=65.75‎（分）. ‎ 故答案为：C.‎ ‎2.解：由题意得 a-2a-b=0 ∴a+b=0 ∴a=-b ∵ △=（-2a）2-4a×（-b）=4b2-4b2=0 故答案为：B. 3.解：连接OB和OC， ‎ ‎∵圆O半径为2，BC=2，‎ ‎∴△OBC为等边三角形，‎ ‎∴∠BOC=60°，‎ ‎∴∠A=30°，‎ 故答案为：A.‎ ‎4.如图，连接OC， ‎ 则 ‎OC=‎1‎‎2‎AB=3‎ ‎∵CD//AB‎ ， ‎‎∠BCD=30°∴∠ABC=∠BCD=30°∴∠AOC=2∠ABC=60°‎ 则 AC 的长为 ‎‎60π×3‎‎180‎‎=π 故答案为：A.‎ ‎5.设该地区每年发放的资助金额的平均增长率为x， ‎ ‎ ‎ 由题意得： ‎800‎ （1+x）2= ‎1250‎ ，解得：x1= ‎1‎‎4‎ ，x2= ‎-‎‎9‎‎4‎ （不合题意，舍去），‎ 答：该地区每年发放的资助金额的平均增长率为 ‎25%‎ ．‎ 故答案为：D．‎ ‎6.连结OA，如图， ‎ ‎∵∠ACD=22.5°，‎ ‎∴∠AOD=2∠ACD=45°，‎ ‎∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，‎ ‎∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，‎ ‎∴AE= ‎2‎‎2‎ OA，‎ ‎∵CD=6，‎ ‎∴OA=3，‎ ‎∴AE= ‎3‎‎2‎‎2‎ ，‎ ‎∴AB=2AE=3 ‎2‎ (cm).‎ 故答案为：A.‎ ‎7.解：A.将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6， ‎ 则中位数为36.3°C ，故此选项错误 B.36.2出现了两次，故众数是36.2 ‎°C ，故此选项正确；‎ C.平均数为 ‎1‎‎5‎‎(36.2+36.2+36.3+36.5+36.6)=36.36‎ ( °C  )，故此选项错误；‎ D.极差为36.6-36.2=0.4( °C  )，故此选项错误，‎ 故答案为：B.‎ ‎8.解：当滚动到A＇D⊥x轴时，连接A＇D，过点E＇作E＇H⊥A＇D于点H，过点F＇作F＇G⊥A＇D， ‎ ‎ ‎ ‎ ∴∠GF＇E＇=90° ∵正六边形ABCDEF， ∴∠A＇F＇E＇=120°， ∴∠A＇F＇G=30° ∴A＇G=‎1‎‎2‎A＇F＇=‎1‎‎2‎, 同理可得HD=‎1‎‎2‎,HG=1 ∴A＇D=2， ∴点A＇（2，2），OD=2 ∴正六边形过点6个单位正好滚动一周， ∴从（2，2）开始到（2015，2）正好滚动2013个单位长度， ∵2015÷6=335‎…‎5. ∴恰好滚动335周多5个， ∴会过（2017，2）的是点F. 故答案为：D. 二、填空题 ‎9.解：x‎2‎‎-3x=0⇒x(x-3)=0⇒x=0，x-3=0⇒x‎1‎=0,x‎2‎=3‎ ． 10.解：设底面圆半径为r， ‎ 则 ‎2πr=6π ，‎ 解得 ‎r=3.‎ 故答案为：3.‎ ‎11.解： x 甲= ‎1‎‎6‎‎(12.0+12.0+12.2+11.8+12.1+11.9)‎ = ‎1‎‎6‎‎×72‎ =12， ‎ x‎ 乙= ‎1‎‎6‎‎(12.3+12.1+11.8+12.0+11.7+12.1)‎ = ‎1‎‎6‎‎×72‎ =12，‎ 甲的方差为 ‎1‎‎6‎‎[‎(12.0-12)‎‎2‎+‎(12.0-12)‎‎2‎+‎(12.2-12)‎‎2‎+‎(11.8-12)‎‎2‎+‎(12.1-12)‎‎2‎]‎ = ‎1‎‎6‎‎×0.1=‎‎1‎‎60‎ ，‎ ‎ ‎ 乙的方差为 ‎1‎‎6‎‎[‎(12.3-12)‎‎2‎+‎(12.1-12)‎‎2‎+‎(11.8-12)‎‎2‎+‎(12.0-12)‎‎2‎+‎(11.7-12)‎‎2‎+‎(12.1-12)‎‎2‎]‎ = ‎1‎‎6‎‎×0.24=‎‎1‎‎25‎ ，‎ ‎∵ ‎1‎‎60‎‎<‎‎1‎‎25‎ ，‎ 即甲的方差<乙的方差，‎ ‎∴甲的成绩比较稳定．‎ 故答案为甲．‎ ‎12.设另一个根为 x‎1‎ ，则 x‎1‎‎×(-1)=2‎ ，解得 x‎1‎‎=-2‎ ‎ 故答案为-2‎ ‎13.解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π. ‎ 故答案为：20π.‎ ‎14.解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x ， 6，已知这组数据的平均数是5， ‎ ‎∴x＝5×5﹣4﹣4﹣5﹣6＝6，‎ ‎∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，‎ ‎∴这组数据的中位数是5．‎ 故答案为：5．‎ ‎15.解：∵∠A=∠B， ‎ ‎∴OA=OB=10，‎ ‎∵AB与⊙O相切于点C，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴AC=BC= ‎1‎‎2‎ AB=8，‎ ‎∴OC= AO‎2‎-AC‎2‎ =6．‎ 故答案为：6．‎ ‎16解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x， 整理得：4x2+17x-21=0， 解得：x1=1，x2=- ‎21‎‎4‎ （舍去）， 所以，x=1，x+7=8． 故这个两位数是81 17.解：∵一元二次方程x2-4x+m＝0有两个不相等的实数根， ‎ ‎∴△＝（-4）2﹣4m＞0，  ∴m<4，‎ 故答案为：m<4.‎ ‎18.解：如图1，连接OC，取OB的中点E，连接DE，则DE是△OBC的中位线， ‎ ‎ ‎ ‎∵⊙O的半径是2，即 OA=OB=OC=2‎ ，‎ ‎∴ OE=BE=‎1‎‎2‎OB=1‎ ，‎ 在△OBC中，DE是△OBC的中位线，‎ ‎∴ DE=‎1‎‎2‎OC=1‎ ，‎ 则点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，‎ ‎∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，‎ 如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取得最大值，‎ ‎∵OA=OB=2，∠AOB=90°， OE=1‎ ，‎ ‎∴ AE=OA‎2‎+OE‎2‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=‎‎5‎ ，‎ ‎∴ AD=AE+DE=‎5‎+1‎ ，‎ 故答案为： ‎5‎‎+1‎ .‎ 三、解答题 ‎19.（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ‎{‎m‎2‎‎+1=2‎m+1≠0‎ ，解得m=1，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=- ‎1‎‎2‎ ； （2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程 当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1，‎ 当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=- ‎1‎‎3‎ ．‎ ‎20. （1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线， ‎ ‎ ‎ ‎∴∠APO＝∠CPO；‎ ‎（2）解：∵PA是⊙O的切线， ‎ ‎∴∠PAC＝90°，‎ ‎∴AP＝ OP‎2‎‎-0‎A‎2‎‎=3‎‎3‎ ，‎ 在Rt△CAP中，∠C＝30°，‎ ‎∴PC＝2AP＝6 ‎3‎ .‎ ‎21. （1）每天作业用时是4小时的人数是：50﹣6﹣12﹣16﹣8＝8（人），如图 ‎ ‎ （2）3；3；3 （3）2000× ‎6+12+16‎‎50‎ ＝1360（人）， ‎ 答：估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有1360人．‎ ‎（2）∵每天作业用时是3小时的人数最多， ‎ ‎∴众数是3小时；‎ ‎∵从小到大排列后排在第25和第26位的都是每天作业用时是3小时的人，‎ ‎∴中位数是3小时；‎ 平均数是 ‎6+12×2+16×3+8×4+8×5‎‎50‎ =3小时，‎ 故答案为：3小时、3小时、3小时；‎ ‎22.（1）解： AB=‎99-(x-1)‎‎2‎=‎‎100-x‎2‎ . （2）解：由题意得 x⋅‎100-x‎2‎=450‎ ， ‎ 解得 x‎1‎‎=10‎ ， x‎2‎‎=90‎ .‎ ‎∵ ‎10<20‎ ， ‎90>20‎ ，∴ x=10‎ .‎ 答：所利用旧墙AD的长为10米.‎ ‎23. （1）证明：∵ 弦CD⊥AB ，∴AC‎^‎‎=‎AD‎^‎ ， ∴∠ADC=∠ACD， ∵ ∠AGD=∠ACD，∴∠AGD=∠ADC， ∵四边形ABCG是圆内接四边形， ∴ ∠FGC=∠ADC，∴ ∠FGC=∠AGD； （2）解：连接OD，∵CD⊥AB，CD=8，∴DE=CE=4， ‎ ‎ ‎ ‎ 在Rt△DOE中，DO2=OE2+ED2 ， ∴DO2=（OD-2）2+42 ， 解得OD=5，∴AE=10-2=8， ∴AD=AE‎2‎+DE‎2‎‎=‎80‎=4‎‎5‎. ‎ ‎24. （1）解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数， ‎ 则中位数是 ‎75+75‎‎2‎‎=75‎ （克 ‎)‎ ；‎ 因为75出现了4次，出现的次数最多，‎ 所以众数是75克；‎ 平均数是： ‎1‎‎10‎‎(74+75+75+75+73+77+78+72+76+75)=75‎ （克 ‎)‎ ；‎ ‎（2）解：根据题意得： ‎ ‎100×‎3‎‎10‎=30‎‎ （个 ‎)‎ ，‎ 答：质量为75克的鸡腿有30个；‎ ‎（3）解：选 B 加工厂的鸡腿． ‎ ‎∵A‎ 、 B 平均值一样， B 的方差比 A 的方差小， B 更稳定 ‎25.（1）解：设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm． ‎ S△PBQ=BP×BQ，即 ‎1‎‎2‎‎(5-x)×2x=4‎ ，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）‎ 故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2 ． ‎ ‎（2）解：∵PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2 ， 即25=（5﹣t）2+（2t）2 ， t=0（舍）或2． ‎ 故2秒后，PQ的长度为5cm．‎ ‎（3）解：令S△PQB=7，即：BP× BQ‎2‎ =7， ‎1‎‎2‎‎(5-x)2x=7‎ ，整理得：t2﹣5t+7=0． ‎ 由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．‎ 所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2 ． ‎ ‎26. （1）证明：证明：连接AO并延长交BC于点F，如图1所示， ‎ ‎ ‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴AF⊥BC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴AD⊥OA，‎ ‎∴AD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：连接AE、OE，如图2所示， ‎ ‎∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=60°，‎ ‎∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴CD⊥AD，‎ ‎∴AF∥CD，‎ ‎∴∠ACD＝∠CAF＝ ‎1‎‎2‎ ∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠AOE＝2∠ACD＝60°，‎ ‎∵OA＝OE，‎ ‎∴△AOE是等边三角形，‎ ‎∴OA＝AE，∠OAE＝60°，‎ ‎∴∠DAE＝30°，‎ ‎∵∠ADC＝90°，‎ ‎∴OA＝AE＝2DE＝4，AD＝ ‎3‎ DE＝2 ‎3‎ ，‎ ‎∴阴影部分的面积＝梯形OADE的面积﹣扇形AOE的面积＝ ‎1‎‎2‎ （2+4）×2 ‎3‎ ﹣ ‎60π×‎‎4‎‎2‎‎360‎ ＝6 ‎3‎ ﹣ ‎8‎‎3‎π .‎ ‎ ‎ ‎27. （1）250；3250 （2）解：设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为 ‎ ‎[280﹣（x﹣40）×10]件，‎ 依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝3450，‎ 整理，得：x2﹣98x+2385＝0，‎ 解得：x1＝53，x2＝45.‎ 答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品的当天销售利润是3450元.‎ 解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件）， ‎ 当天销售利润是250×（43﹣30）＝3250（元），‎ 故答案为：250，3250；‎ ‎28. （1）24 （2）解：如图2中，连接OA，OB，OC，作OE⊥BC于E，设OA=OC=2x， ‎ ‎ ‎ ‎∵∠COB=2∠CAB=120°，OC=OB，OE⊥CB，‎ ‎∴CE=EB，∠COE=∠BOE=60°，‎ ‎∴OE= ‎1‎‎2‎ OB=x，BE= ‎3‎ x，‎ ‎∵OC+OE≥AG，‎ ‎∴3x≥3，‎ ‎∴x≥1，‎ ‎∴x的最小值为1，‎ ‎∵BC=2 ‎3‎ x，‎ ‎∴BC的最小值为2 ‎3‎ ‎ 问题解决：‎ ‎（3）解：如图3中，连接AF，EF，延长BC交AE的延长线于G， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵∠D=90°，AD=DE=6 ‎2‎ +6，‎ ‎∴∠DAE=∠AED=45°，‎ ‎∵CD=AB=6 ‎2‎ +12，‎ ‎∴CE=CF=6，‎ ‎∴∠CEF=∠CFE=45°，‎ ‎∴∠AEF=90°，‎ ‎∴EF=6 ‎2‎ =BF，‎ 将△EFM顺时针旋转得到△FBH，作△FHB的外接圆⊙O交BC于N，连接ON，‎ ‎∵∠AEF=∠ABF=90°，AF=AF，EF=BF，‎ ‎∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL) ，‎ ‎∴S△AEF=S△ABF ， ‎ ‎∵∠EFG=45°，‎ ‎∵∠FEG=90°，∠EFG=45°，‎ ‎∴EF=EG=6 ‎2‎ ，‎ ‎∴FG= ‎2‎ EF=12，‎ 由(2)可知，当△FHN的外接圆的圆心O在线段BF上时，△FNH的面积最小，此时四边形ANFE的面积最大，‎ 设OF=ON=r，则OB=BN= ‎2‎‎2‎ r，‎ ‎∴r+ ‎2‎‎2‎ r=6 ‎2‎ ‎ ‎∴r=6 ‎2‎ (2- ‎2‎ )，‎ ‎∴NH= ‎2‎ r=12(2- ‎2‎ )，‎ ‎∴四边形ANFM的面积的最大值=2× ‎1‎‎2‎ ×(12+6 ‎2‎ )×6 ‎2‎ - ‎1‎‎2‎ ×12(2- ‎2‎ )×6 ‎2‎ =144。‎ 解：(1) 当AD⊥BC时，△ABC面积的最大， ‎ 测△ABC面积的最大值是 ‎1‎‎2‎ BC·AD= ‎1‎‎2‎ ×8×6=24，‎ 故答案为：24‎ ‎ ‎