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- 2021-11-11 发布
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第
24
章
三角形的外接圆和内切圆
24.2.2
直线与圆（
3
）
1
、能回忆起三角形的外接圆及外心，内切圆及内心。
2
、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。
3
、运用有关知识解决有关问题。
重点：
外接圆及内切圆的画法；外心和内心。
难点：
知识的综合运用。
三角形的外接圆和内切圆
1
、什么是三角形的外接圆与内切圆？
2
、如何画出一个三角形的外接圆与内切圆？
1
、①经过三角形各顶点的圆叫三角形的
外接圆
。
②与三角形各边都相切的圆叫三角形的
内切圆
。
一、三角形的外接圆与内切圆的画法：
画圆的关键：
1
、确定圆心
2
、确定半径
三角形的外接圆的
圆心
是各边垂直平分线的交点；
其
半径
是交点到顶点的距离。
三角形的内切圆的
圆心
是各内角平分线的交点；
其
半径
是交点到一边的距离。
A
B
C
O
三角形的外接圆：
三角形的内切圆：
B
A
C
I
二、三角形的外心与内心
对照画出的图形，讨论解决下列问题
：
1
、什么是三角形的外心与内心
?
2
、试比较三角形的外心与内心的区别，并填写下表：
实质
性质
三角形的外心
三角形的内心
实质
性质
三角形的外心
三角形各边垂直平分线的交点
到三角形各顶点的距离相等
三角形的内心
三角形各内角角平分线的交点
到三角形各边的距离相等
⒉外心与内心的比较：
1
、①
外心
是指三角形外接圆的圆心；
②
内心
是指三角形内切圆的圆心。
三角形的外心与内心
巩固练习：
A
B
C
I
1
、如图，△
ABC
中，∠
A=55
度，
I
是内心
则，∠
BIC
＝
_______________
度。
A
B
C
D
E
F
2
、如图，△
ABC
中，∠
A=55
度，其内切圆切△
ABC
于
D
、
E
、
F
，则∠
FDE
＝
_______________
度。
112.5
67.5
三、特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法：
R= —
c
2
r = ————
a+b-c
2
A
B
C
O
I
a
b
c
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法
A
B
C
O
D
等边三角形外接圆、内切圆半径的求法
基本思路：
构造三角形
BOD
，
BO
为外接圆半径，
DO
为内切圆半径。
R
r
一三角形的三边长分别为
3cm
、
4cm
、
5cm
，则其内切圆的
半径为
_______________
。
1cm
做一做
:
例：已知：点
I
是△
ABC
的内心，
AI
交
BC
于
D
，交外接圆于
E
。
求证：
EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
证明： 连结
BI
∵I
是△
ABC
的内心 ∴∠
3=∠4
∵ ∠ 1= ∠ 2
， ∠
2= ∠ 5
∴ ∠ 1= ∠ 5
∴ ∠ 1+ ∠ 3= ∠ 4+ ∠ 5
∴ ∠ BIE= ∠ IBE ∴ EB=EI
又 ∵
EB=EC ∴EB=EI=EC
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
小结与质疑：
1
、会画出已知三角形的外接圆和内切圆。
2
、三角形的外心及内心。
3
、求特殊三角形的外接圆、内切圆半径。
4
、有关证明题。
一、判断。
1
、三角形的外心到三角形各边的距离相等。
( )
2
、直角三角形的外心是斜边的中点。
( )
二、填空：
1
、直角三角形的两条直角边分别是
5cm
和
12cm
，则它的外接圆
半径
______________
，内切圆半径
_______________
。
2
、等边三角形外接圆半径与内切圆半径之比
_____________
。
×
√
6.5cm
2cm
2:1
达标检测
三、选择题：
下列命题正确的是（ ）
A
、三角形外心到三边距离相等
B
、三角形的内心不一定在三角形的内部
C
、等边三角形的内心、外心重合
D
、三角形一定有一个外切圆
C
思考题
：
已知：点
I
是△
ABC
的内心，
AI
交
BC
于
D
，交外接圆于
E
。
求证：
EB=EI=EC
求证：
IE
是
AE
和
DE
的比例
中项。
A
B
C
I
D
E
1
2
3
4
5
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