中考数学三轮真题集训冲刺知识点19二次函数代数方面的应用pdf含解析 14页

1 / 14 一、选择题 1. （2019·潍坊）抛物线 y=x2＋bx+3 的对称轴为直线 x=1．若关于 x 的一元二次方程 x2＋bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x＜4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ） A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11 D．2≤t＜6 【答案】A 【解析】由题意得： 12 b−=，b=－2，抛物线解析式为 y=x2－2x+3，当 － 1＜x＜4 时，其图象如图所示： 从图象可以看出当 2≤t＜11 时，抛物线 y=x2－2x+3 与直线 y=t 有交点，故关于 x 的一元二次方程 x2＋ bx+3－t=0（t 为实数）在－1＜x＜4 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是 2≤t＜11，故选择 A． 方法二：把 y=x2－2x+3－t（－1＜x＜4）的图象向下平移 2 个单位时图象与 x 轴开始有交点，向下平移 11 个单位时开始无交点，故 2≤t＜11，故选择 A． 2. （2019·淄博）将二次函数 2 4y x xa=−+的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，若得到 的函数图象与直线 y＝2 有两个交点，则 a 的取值范围是 （ ） A. 3a＞ B. 3a＜ C. 5a＞ D. 5a＜ 【答案】D. 【解析】∵ 224 ( 2) ( 4)y x xa x a= − += − + − ，向左平移一个单位，再向上平移一个单位后的解析式 为 2( 1) ( 3)yx a=− +−， 令 22 ( 1) ( 3)xa=− +−，即 2 2 40x xa− +−=， 知识点 19——二次函数代数方面的应用 2 / 14 由⊿ 4 4( 4) 0a=−−＞ ，得 5a＜ . 3. （2019·湖州）已知 a，b 是非零实数， ab> ，在同一平面直角坐标系中，二次函数 y1＝ax2＋bx 与一次函数 y2＝ax＋b 的大致图象不可能是（ ） 【答案】D． 【解析】由 2 y ax b y ax bx = +  = + ，解得 1 1 1x y ab =  = + ， 2 2 0 bx a y  = −  = ，故直线与抛物线的两个交点坐标分别为(1， a＋b)和 (－ b a ，0)．对于 D 选项，从直线过第一、二、四象限可知：a＜0，b＞0．∵ ab> ，∴a＋b＜0．从而 (1，a＋b)在第四象限，因此 D 选项不正确，故选 D． 二、填空题 1．（2019·安徽）在平面直角坐标系中，垂直于 x 轴的直线 l 分别与函数 y=x﹣a+1 和 y=x2﹣2a x 的 图 像相交于 P，Q 两点，若平移直线 l，可以使 P，Q 都在 x 轴的下方，则实数 a 的取值范围 是 . 【答案】a＞1 或 a＜－1 【解析】本题主要考查了一次函数图象及性质，二次函数图象及性质，平移的性质，以及数形结合，解 题的关键是结合题意，画出图象，利用数形结合分析问题. 本题问题的实质是自变量 x 在某个范围内， 两个函数的值都小于 0，即两个函数交点中较小的值小于 0.假设该两个函数的交点位于 x 轴上，则 x－a ＋1＝0，x＝a－1，代入二次函数的表达式中，得：(a－1)2－2a(a－1)＝0，解得：a＝1 或 a＝－1. 当 a＞1 时，随着 a 的变大，直线向右平移运动，抛物线向右、向下平移运算，如图，此时直线与抛物 线的最底交点位于第四象限；当 a＜－1 时，随着|a|的变大，直线向左平移运动，抛物线向左、向下平移 运算，此时直线与抛物线的最底交点位于第三象限.综上所述，a 的取值范围为 a＞1 或 a＜－1. A． B． C． D． 3 / 14 2.（2019·潍坊）如图，直线 y=x+1 与抛物线 y=x2－4x＋5 交于 A，B 两点，点 P 是 y 轴上的一个动 点．当△PAB 的周长最小时，S△PAB= ． 【答案】12 5 【解析】解方程组 2 1 45 yx yx x = +  =−+ ，得： 1 1 1 2 x y =  = ， 2 2 4 5 x y =  = ． �A（1，2）, B（4，5）, 作点 A 关于 y 轴的对称点 A′，连接 A′B 交 y 轴于点 P． 则 A′（－1， 2）. 设直线 A′B 解析式为 y=kx+b， 则 2 45 kb kb −+ =  += ， x y －1 O 4 / 14 解得： 3,5 13 5 k b  =  = �直线 A′B： 3 13 55yx= + ． ∴当△PAB 的周长最小时，点 P 的坐标为（0，13 5 ）． 设直线 AB 与 y 轴的交点为 C，则 C（0，1） ∴S△PA B=S△PCB－S△PCA = 1 13 1 13( 1) 4 ( 1) 125 25 × −×−× −× =12 5 . 3.（2019·乐山）如图，点 P 是双曲线C ： xy 4= （ 0>x ）上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB ： 22 1 −= xy 于点Q ，连结OP ，OQ .当点 P 在曲线 C 上运动，且点 P 在Q 的上方时，△ POQ 面积的最大值是 . 【答案】3 【解析】∵点 P 是双曲线C ： xy 4= （ 0>x ）上的一点，∴可设点 P 坐标为（m， 4 m ）， ∵ P Q ⊥ x 轴，Q 在 22 1 −= xy 图像上，∴Q 坐标为（m， 1 22 m − ）， PQ= 4 m -( 1 22 m − )，∴△ POQ 面积 = 1 2 ×m×[ 4 m -( 1 22 m − ]= ( )21 234 m− −+，当 m=2 时，△ POQ 面积的最大值为 3. 三、解答题 1.（2019 浙江省杭州市，22，12 分）(本题满分 12 分) 5 / 14 设二次函数 y=(x-x1)(x-x2)( x1,x2 是实数) （1）甲求得当 x=0 时，y=0；当 x=1 时，y=0；乙求得当 x= 1 2 时，y=- 1 2 .若甲求得的结果都正确·你认 为乙求得的结果正确吗?说明理由. (2)写出二次函数图像的对称轴，并求该函数的最小值.(用含 x1,x2 的代数式表示). (3)已知二次函数的图象经过(0，m)和(1，n)两点(m，n 是实数)，当 0＜x1＜x2＜1 时. 求证: 0＜mn＜ 1 16 . 【解题过程】（1）当 x=0 时，y=0；当 x=1 时，y=0；∴二次函数经过点（0，0），（ 1，0）， ∴x1=0，x2=1，∴y=x（x-1）=x2-x， 当 x= 时，y=- ，∴乙说点的不对； （2）对称轴为 x= ，当 x= 时，y=- 是函数的最小值； （3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m=x1x2，n=1-x1-x2+x1x2， ∴mn=[- ][- ] ∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤- ≤ ，0≤- ≤ 1 4 ， ∴0＜mn＜ 1 16 ． 2．（2019·淮安）如图，已知二次函数的图象与 x 轴交于 A、B 两点，D 为顶点，其中点 B 的坐标为 (5，0)，点 D 的坐标为(1，3). (1)求该二次函数的表达式； (2)点 E 是线段 BD 上的一点，过点 E 作 x 轴的垂线，垂足为 F，且 ED=EF，求点 E 的坐标； (3)试问在该二次函数图像上是否存在点 G，使得△ADG 的面积是△BDG 的面积的 5 3 ？若存在，求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由. 第 2题图 第 2题备用图 【解题过程】解：（1）∵二次函数的顶点 D 的坐标为(1，3)，且函数图象过点 B(5，0)， 6 / 14 ∴设函数解析式为 3)1( 2 +−= xay ，则 03)15( 2 =+−a ，∴ 16 3−=a ， ∴该二次的数的解析式为 3)1(16 3 2 +−−= xy ，即 16 25 8 3 16 3 2 ++−= xxy . （2）如图所示， 第 2题答图 1 ∵DC⊥x 轴，EF⊥x 轴， ∴△BEF∽△BDC， ∴ DC EF BD BE = ， 设 EF=ED=m，则 35 5 mm =− ， ∴m= 8 15 ， ∴BF= 2 5 8 15 3 4 =× ， 2 5 2 55 =−=OF ， ∴E（ 2 5 2 5， ） （3）根据题意知 A、B 两点直线 DG 的距离之比为 5:3，分两种情形： ①A、B 两点在直线 DG 的同旁，如图 2，则有 5 3= BM AN ， 第 2题答图 2 7 / 14 由△HAN∽△HBN 得 BM AN BH AH = ， ∴AH=12，∴H(-15，0)， 又∵D 的坐标为(1，3). 设 DH 的解析式为：y=kx+b， 则    =+ =+− 3 015 bk bx ，解得      = = 16 45 16 3 b k ， ∴DH 的解析式为 16 45 16 3 += xy . ∵点 G 为直线 DH 与抛物线 16 25 8 3 16 3 2 ++−= xxy 的另个交一个交点， ∴由      ++−= += 16 25 8 3 16 3 16 45 16 3 2 xxy xy 得    = = 16 45 0 y x 或    = = 3 1 y x ， ∴G(0， 16 45 ). ②A、B 两点在直线 DG 的两旁，如图 3，则有 5 3= BM AN ， 第 2题答图 3 ∵ 5 3= OB OA ， ∴直线 DG 经过点 O，其解析为 y=3x. ∴由    ++−= = 16 25 8 3 16 3 3 2 xxy xy 得    −= −= 45 15 y x 或    = = 3 1 y x ， ∴G(-15，-45). 8 / 14 综上所述，存在符合条件的点 G，其坐标为(0， 16 45 )或(-15,-45). 3．(2019·泰州) 已知一次函数 y1＝kx＋n(n＜0)和反比例函数 y2＝m x (m＞0,x＞0)． (1)如图 1,若 n＝－2,且函数 y1、y2 的图像都经过点 A(3,4)． ①求 m、k 的值; ②直接写出当 y1＞y2 时 x 的范围; (2)如图 2,过点 P(1,0)作 y 轴的平行线 l 与函数 y2 的图像相交于点 B,与反比例函数 y3＝x n(x＞0)的图像相交 于点 C． ①若 k＝2,直线 l 与函数 y1 的图像相交于点 D．当点 B、C、D 中的一点到另外两点的距离相等时,求 m－ n 的值; ②过点 B 作 x 轴的平行线与函数 y1 的图像相交于点 E．当 m－n 的值取不大于 1 的任意实数时,点 B、C 间的距离与点 B、E 间的距离之和 d 始终是一个定值．求此时 k 的值及定值． 第 3题图 【解题过程】(1)∵y2＝ m x (m>0,x>0),过点 A(3,4),∴4＝ 3 m ,∴m＝12,∴反比例函数表达式为 y2＝ 12 x .又∵ 点 A(3,4)y1＝kx+n 的图象上,且 n＝－2,∴4＝3k－2,∴k＝2,所以一次函数表达式为 y1＝2x－2. ②由图像可知,两个函数图象交点 A 的坐标为(3,4),所以当 x>3 时,y1>y2. (2)①因为 k＝2,所以一次函数表达式为 y＝2x+n,∵直线 l 过点 P(1,0),∴D(1,2+ n),B(1,m),C(1, n),又∵点 B、 C、D 中的一点到另外两点的距离相等,∴BD＝BC 或 BD＝DC 或 BC＝CD,∴2+ n﹣m＝m﹣n;或 m﹣(2+ n)＝2+ n﹣n,或 m－n＝n－(2+n),∴可得 m﹣n＝1 或 m﹣n＝4 或 m－n＝－2; ②由题意可知,B(1,m),C(1, n),当 y1＝m 时,kx+n＝m,∴x＝ k nm − 即点 E 的横坐标为 k nm − ∴d＝BC+BE ＝ k nmnm −−+− 1 ＝ 1)11)(( +−−m n k ,∵m－n 的值取不大于 1 的任意实数时, d 始终是一个定值,∴ 1− 1 k = 0 ,∴k＝1,从而 d＝1. 4．（2019·株洲）已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) ． （1）若 a＝l，b＝﹣2，c＝﹣1．①求该二次函数图像的顶点坐标；②定义：对于二次函数 y = px2 + qx + r( p ≠ 0) ，满足方程 y = x 的 x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次 9 / 14 函数 2y ax bx c= ++有两个不同的“不动点”． （2）设 b＝ 31 2 c ，如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 2y ax bx c= ++的图像与 x 轴 分别相交于不同的两点 A( 1x ，0)，B( 2x ，0)，其中 1x ＜0， 2x >0，与 y 轴相交于点 C，连结 BC，点 D 在 y 轴的正半轴上，且 OC＝OD，又点 E 的坐标为(1，0)，过点 D 作垂直于 y 轴的 直线与直线 CE 相交于点 F，满足∠AFC＝∠ABC．FA 的延长线与 BC 的延长线相交于点 P， 若 2 PC 5 PA 51a = + ，求该二次函数的表达式． 【解题过程】解：（1）①∵a＝l，b＝﹣2，c＝﹣1 ∴y=x2-2x-1=（x-1)2-2 ∴顶点坐标为（1，-2）； ②当 y=x 时，x=x2-2x-1, ∴x2-3x-1=0， ∴△=9+4=13>0 ∴有两个不相同的实数根，即有两个“不动点”。 （2） 10 / 14 ∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF∽△CEB， ∴ AE EF CE EB = ， ∵DF∥OE，OC=OD, ∴OE 为△CDF 的中位线， ∵E(1,0)， C(0，c); ∴CE= 21 C+ =EF ∵A(x1,0),B(x2，0), ∴AE=1-x1，BE=x2-1， ∴ 2 1 2 2 1- +1 11 x c xc = −+ ，∴1+c2=(1-x1)(x2-1)=x1+x2-x1x2-1， ∴ 2 2 b c bcc aa a ++=−− =− ， ∵b＝ 31 2 c ， ∴ 3 2 2 1 ( 2)22 2 cc ccc aa + ++=− =− ∴c=-2a. ∵∠AFC＝∠ABC，∠P=∠P 11 / 14 ∴△PFC∽△PBA， ∴ PC CF PA AB = ∵ 2 PC 5 PA 51a = + ，CF=2CE,AB=x2-x1, ∴ 2 2 21 21 5 51 c xx a + =− + ∵ 2 21 4b acxx a −−= ，b＝ 31 2 c ，c=-2a.， ∴a2=1, ∵a>0, ∴a=1. ∴b=-4，c=-2， ∴二次函数的表达式为 y=x2-4x-2 5．（2019 安徽）一次函数 y=kx+4 与二次函数 y=ax2+c 的图像的一个交点坐标为（1，2），另一个交点 是该二次函数图像的顶点. （1）求 k，a，c 的值； （2）过点 A（0，m）(0﹤m﹤4)且垂直于 y 轴的与二次函数 y=ax2+c 的图像相交于 B，C 两点，点 O 为坐标原点，记 W=OA2+BC2，求 W 关于 m 的函数解析式，并求 W 的最小值. 【解题过程】解：（1）因为点（1，2）在一次函数 y=kx+4 的图像上，所以 2=k+4，因为一 次函数 y=kx+4 与二次函数 y=ax2+c 图像的另一个交点是该二次函数图像的顶点，则（0，c） 在一次函数 y=kx+4 的图像上，即 c=4，又点（1，2）也在二次函数 y=ax2+c 的图像上，所 以 2=a+c，从而 a=﹣2； ………………6 分 （2）方法一：因为点 A 的坐标为（0，m）(0﹤m﹤4)，过点 A 且垂直于 y 轴的直线与二次函数 y=﹣ 2x2+4 的图像交于点 B，C，所以可设点 B 的坐标为（x0，m），由对称性得点 C 的坐标为（﹣x0，m）， 故 BC=2| x0 |，又点 B 在二次函数 y=﹣2x2+4 的图像上， 所以﹣2x02+4=m，即 x02=2﹣ 2 m ，从而 BC2=4 x02=8﹣2m，又 OA=m， 从而 W=OA2+BC2=m2﹣2m+8=(m﹣1)2+7(0﹤m﹤4)，所以 m=1 时， W 有最小值 7. ………………12 分 6. (2019·台州)已知函数 y＝x2+bx+c(b,c 为常数)的图象经过点(－2,4). (1)求 b,c 满足的关系式; (2)设该函数图象的顶点坐标是(m,n),当 b 的值变化时,求 n 关于 m 的函数解析式; (3)若该函数的图象不经过第三象限,当－5≤x≤1 时,函数的最大值与最小值之差为 16,求 b 的值. 解：(1)将点(－2,4)代入 y＝x2+bx+c,得 4＝(－2)2－2b+c,∴c＝2b,∴b,c 满足的关系式是 c＝2b. (2) 把 c＝2b 代入 y＝x2+bx+c,得 y＝x2+bx+2b,∵顶点坐标是(m,n),n＝m2+bm+2b,且 m＝－ 2 b ,即 b＝－2m, ∴n＝ 12 / 14 (3) －m2－4m.∴n 关于 m 的函数解析式为 n＝－m2－4m. (4) 由(2)的结论,画出函数 y＝x2+bx+c 和函数 y＝－x2－4x 的图象.∵函数 y＝x2+bx+c 的图象不经过第三 象限, (5) ∴－4≤－ 2 b ≤0.①当－4≤－ 2 b ≤－2,即 4≤b≤8 时,如图 1 所示,x＝1 时,函数取到最大值 y＝1+3b,x ＝－ 2 b 时,函数取到最小值 y＝ 28 4 bb− ,∴(1+3b)－ 28 4 bb− ＝16,即 b2+4b－60＝0,∴b1＝6,b2＝－10(舍去); ②当－2<－ 2 b ≤0,即＝≤b<4 时,如图 2 所示,x＝－5 时,函数取到最大值 y＝25－3b,x＝－ 2 b 时,函数取到 最小值 y＝ 28 4 bb− ,∴(25－3b)－ 28 4 bb− ＝16,即 b2－20b+36＝0,∴b1＝2,b2＝18(舍去);综上所述,b 的值为 2 或 6. 7.（2019·湖州）已知抛物线 y＝2x2－4x＋c 与 x 轴有两个不同的交点． （1）求 c 的取值范围； （2）若抛物线 y＝2x2－4x＋c 经过点 A(2，m)和点 B(3，n)，试比较 m 和 n 的大小，并说明理由． 解：（1）∵抛物线 y＝2x2－4x＋c 与 x 轴有两个不同的交点， ∴方程 2x2－4x＋c＝0 有两个不相等的实数根． ∴△＝(－4)2－4×2×c＞0． ∴c＜2 即为所求． （2）∵抛物线的对称轴为 x＝ 4 2 2 −− × ＝1，而 a＝2＞0， ∴在抛物线对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大． ∵2＜3， ∴m＜n． 8.（2019·凉山）已知二次函数 y=x2+x+a 的图象与 x 轴交于 A（x1，0）、B（x2，0）两点，且 22 12 11 xx + =1，求 a 的值． 解：对于抛物线y=x2+x+a，令y=0，∴x2+x+a =0,∵抛物线与x轴交于点A（x1，0），（x2，0）， 13 / 14 ∴x1+x2=-1，x1x2=a，∵ 2 2 2 1 11 xx + = 2 2 2 1 2 2 2 1 xx xx + =1，∴x1 2+x2 2=x1 2x2 2，∴（x1+x2）2-2x1x2==x1 2x2 2，代入x1+x2=-1， x1x2=a，有：1-2a=a2，解得a=-1 2± ，∵方程有两个实数根，则△=1-4a＞0，解得a＜ 4 1 ，∴a=-1- 2 . 9. (2019·巴中) 如图,一次函数 y1＝k1x+b(k1,b 为常数,k1≠0)的图象与反比例函数 y2＝ 2k x (k2≠0,x>0) 的图象交于点 A(m,8)与点 B(4,2). ①求一次函数与反比例函数的解析式; ②根据图像说明,当 x 为何值时,k1x+b－ 2k x <0. 解：①因为点 B(4,2)在反比例函数图象上,2＝ 2 4 k ,所以 k2＝8,所以反比例函数解析式为 y2＝ 8 x (x>0),当 y ＝8 时,8＝ 8 x ,所以 x＝1,所以点 A 坐标为(1,8),将 A(1,8),B(4,2)代入 y1＝k1x+b,可得 1 1 8= 24 kb kb + = + ,所以 1 =2 10 k b - = ,一次函数解析式为 y1＝－2x+10; ②k1x+b－ k2 x <0,即 k1x+b< 2k x ,即 y14. 10．（2019·长沙）（10 分）已知抛物线 y=-2x2+(b-2)x+(c-2020)(b，c 为常数)． （1）若抛物线的顶点坐标为(1，1)，求 b，c 的值； （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 c 的取值范围； （3）在（ 1）的条件下，存在正实数 m，n( m＜n)，当 m≤x≤n 时，恰好有 21 m m + ≤ 1 2y + ≤ 21 n n + ， 求 m，n 的值． 【解题过程】(1)由题可设：y=﹣2(x－1)2＋1，去括号得：y=﹣2x2＋4x－1 ∴    −=− =− 12020 42 c b ，解得    = = 2019 6 c b (2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为(x0，y0)，(﹣x0，﹣y0)， 14 / 14 代入解析式可得： ( ) ( ) ( ) ( )   −+−−−=− −+−+−= 202022 202022 0 2 00 0 2 00 cxbxy cxbxy ， ∴两式相加可得：﹣4x02＋2(c－2020)=0， ∴c=2x02＋2020，∴c≥2020 (3) 由(1)可知抛物线 y=﹣2x2＋4x－1=﹣2(x－1)2＋1，∴y≤1， ∵0＜m＜n，当 m≤x≤n 时，恰好有 122 1 12 +≤+≤+ n n ym m ，∴ myn 11 ≤≤ ， ∴ 11 ≤ m 即 m≥1，∴1≤m≤n， ∵抛物线对称轴 x=1，开口向下，∴当 m≤x≤n 时，y 随 x 增大而减小， ∴当 x=m 时，ymax=﹣2m2＋4m－1，当 x=n 时，ymax=﹣2n2＋4n－1， 又∵ myn 11 ≤≤ ∴      =−+− =−+− ② ① mmm nnn 1142 1142 2 2 ， 将①整理得：2n3－4n2＋n＋1=0， ∴变形得：(2n3－2n2)－(2n2－n－1)=0，即 2n2(n－1)－(2n＋1)(n－1)=0， ∴(n－1)(2n2－2n－1)=0， ∵n＞1， ∴2n2－2n－1=0， ∴n1= 2 31− (舍去)，n2= 2 31+ ， 同理整理②得：(m－1)(2m2－2m－1)=0， ∵1≤m＜n，∴m1=1，m2= 2 31− (舍去)，m3= 2 31+ (舍去)， ∴综上所述：m=1，n= 2 31+ ．