第3章 第1节 功与功率-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破 15页

第三讲 功和能 我们解决物理问题时，往往从两个观点入手：力的观点和能量的观点。力的观点，即分析物体 受力情况与运动情况，运用力与运动的规律来求解问题；能量的观点，即从做功与能量转化、能量 守恒的角度来求解问题。本讲将介绍功、功率以及机械能的相关知识。 第一节 功与功率 一、功 (一)功的概念 如果一个力作用在物体上，且物体沿着力的方向移动了一段距离，我们就说这个力对物体做了 功。因此，做功有两个必不可少的要素：作用在物体上的力、物体沿力方向移动的距离。功的计算 公式为W Fs ，其中 s为物体沿力的方向移动的距离，也可理解为物体实际前进的距离沿 F 方向 的分量。功的单位为焦耳，简称焦，符号为 J，1J 1N m  。 对于更一般的情况，如图 5.1所示，如果力 F 与物体移动的距离 s 之间有夹角 ，则可以这样求解力 F 所做的功：将力 F 分解为沿着移 动距离方向的分力 1 cosF F  和垂直于移动距离方向的分力 2 sinF F  ，由于分力 2F 与移动方向垂直，不做功，所以力 F 做的 功实际上等于其分力 1F 做的功，有 1 cosW F s Fs   。因此： (1)当 0  时， cos 1  ，W Fs 。 (2)当 90  时， cos 0  ， 0W  ，即力对物体不做功。 (3)当 180  时， cos 1   ，W Fs  ，即力对物体做负功，或说物体克服力 F 做功 Fs。 比如， 5JW   ，我们可以说“力 F 对物体做功 5J ”，或“物体克服力 F 做功5J”。力对物体做 正功，表明这个力促进物体的运动；力对物体做负功，表明这个力阻碍物体的运动。 例 1 如图 5.2所示，斜面高度为 h，长度为 l，用一个平行于斜面 的力把重力为G 的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为W ，则斜面 对物体的摩擦力大小为多少？摩擦力对物体做的功是多少？ 分析与解 设拉力为 F ，斜面倾角为 ，则拉力 F 做功为W Fl ， 所以 WF l  。将重力 G 正交分解，则重力沿斜面向下的分力为 1 sin GhG G l   ，则拉力 1F G f  ，解得 1 W Ghf F G l     。考虑到摩擦力方向与物体移动方向相反，摩擦力做功 fW fl Gh W    。 (二)变力做功的求解 功的计算公式为W Fs ，只适用于恒力做功，即 F 的大小、方向均不变。当力F 的大小、方 向发生变化时，不能再简单地套用公式W Fs 来求解功的大小。下面介绍几种常见的求解变力做 功的方法。 1．等值法 所谓等值法，即找到某个与变力做功相同的恒力，求出该恒力做的功，便可得到变力做功的值。 例 2 如图 5.3 所示，定滑轮到滑块顶端的高度为H，定滑轮摩擦 不计，用恒力 F 作用于细线末端，滑块在 A，B位置时细绳与水平方向 的夹角分别为 和  。求将滑块由 A点拉至B点的过程中，绳的拉力对 滑块做的功。 分析与解 作用在绳子末端的拉力为F ，则绳子对滑块的拉力大小 也恒为F ，但是在滑块移动的过程中，绳子拉力的方向时刻改变，因此不能直接套用功的计算公式 来求绳子对滑块做的功。考虑到绳子不可伸长，绳子只是把拉力 F 做的功“传递”给物块，因此， 绳子拉力对物块做的功等于恒力 F 对绳子端点做的功。由几何关系，绳端移动的距离等于 sin Hs   sin H   ， 拉 力 F 做 功 1 1 sin sin W Fs FH           ， 即 绳 子 对 滑 块 做 功 为 1 1 sin sin FH         。 2．图像法 对于恒力做功，在力与距离同向时，除了可以应用公式W Fs 来求解功外，还可以画出恒力 F 与物体移动距离 s的图像，这是一条平行于横轴的直线，如图 5.4( a )所示，力 1F 做的功可以用图像 下方的面积来表示。对于随距离变化的力，例如 5.4( b )所示， F s 图像下方的面积表示变力 F 所 做的功。若力与距离的关系满足 F ks 或  0F ks b k   ，则图像下方的面积为三角形、梯形， 我们便可以方便地求得变力做功的值。 例 3 用铁锤把小钉钉入木板，设木板对小钉的阻力与钉进的深度成正比，已知铁锤第一次对 钉子做功W，将钉子钉进的深度为 d ，如果第二次敲钉子时将钉子钉进的深度又为 d ，问：第二次 做功为多少？ 分析与解 如图 5.5( a )所示，设钉子所受木板的阻力为 f kx ，其中 x为钉入木板的深度， k 为比例系数。画出钉子所 受阻力与钉入深度 x的图像如图 5.5( b )所示，则钉入深度为 d 时， 所做的功W等于图像下方 0~ d 范围内的三角形面积，而继续钉入 d 深度的过程中，所做的功为图像下方 d ~ 2d 范围内的梯形面积， 由几何知识可得，第二次做功为3W 。 例 4 如图 5.6所示，一长为 L、质量为m的木板，自光滑水平面滑向粗糙区域。粗糙区域的 动摩擦因数为，问：木板从开始进入粗糙区域到木板右端前进 2L的过程中，木板克服摩擦力做 的功是多少？ 分析与解 木板在逐渐进入粗糙区域的过程中，其在粗糙区域的长度越来越大，对粗糙区域的 压力也越来越大，所受摩擦力也逐渐增加。为了确定木板所受摩擦力与前进距离的关系，不妨设木 板在粗糙区域内的长度为 x，对应的质量为 xm ，如图 5.7(a )所示，则当 x L 时，结合木板质量均 匀 分 布 ， 应 有 xm m x L  ， 解 得 x mm x L  ， 粗 糙 区 域 对 x 长 度 部 分 的 摩 擦 力 大 小 为 xf m g mg x L   。可见，当 x L 时， f 与 x是正比例关系，当 x L 时， f 取得最大值 mg ； 当 x L 时，木板已经全部进入粗糙区域，摩擦力恒为 f mg 。据此画出整个过程的 f x 图像 如图 5.7( b )所示，则在木板前进 2L的过程中， f x 图像下方为一梯形，其面积等于木板克服摩擦 力做功的值，即 2 3 2 2f L L mgLW mg     。 3．平均力法 当力的方向不变、而大小随距离均匀改变(即在任意相等距离内力的变化量相同， F s 图像为 倾斜的直线)时，可用平均值法求出全过程中力的平均值，将变力做功等效为恒力做功。所谓力的平 均值，即若一个恒力在一段距离内做的功与变力在同一段距离内做的功相同，我们就说这个恒力是 变力在这一段距离内的平均值。 如图 5.8所示， AB段为变力随距离变化的 F s 图像，0~ s距离内 变力 F 的功为图中梯形OABC的面积，图中与时间轴平行的直线DE表 示物体受恒力 F 作用时的 F s 图像，矩形ODEC 的面积表示物体在移 动 s距离内恒力做的功。若矩形ODEC 的面积等于梯形OABC的面积， 则根据平均力的定义，该恒力就等于变力的平均值。当矩形ODEC 的面 积与梯形OABC的面积相等时，容易得出， ADH△ 与 BEH△ 全等，此时H为 AB的中点，有 1 2 2 F FF   ，则变力 F 的功  1 2 2 W F F s Fs   。 例 5 已知汽车质量为 51 10 kgm   ，由静止开始运动，阻力 0.05f mg ，牵引力与汽车前 进距离 x满足 310F x f  ，求当车前进 100mx  时，牵引力做的功。 分析与解 由题可知牵引力为随距离均匀变化的变力(一次函数)，则可考虑采用平均力来求解牵 引力的功。汽车刚启动时，牵引力 5 1 0.05 0.5 10 NF f mg    ，当汽车前进距离为 100mx  时， 牵 引 力 3 5 2 10 1.5 10 NF x f    ， 平 均 力 51 2 1 10 N 2 F FF     ， 牵 引 力 做 的 功 为 71 10 JW Fx   。 4．微元法 在力的大小、方向，位移的方向都发生变化时，可将整个过程分成 n个微小的过程，只要每个 过程足够小，就可以认为在微小的位移 s 内，力可以看成恒力，这样变力做功的问题就转变为若干 个恒力做功的求和问题，这种方法叫做微元法。 例 6 如图 5.9所示，物体沿曲线从 A运动到 B，大小恒定的力 F 始终与曲线相切，已知 AB曲 线的长度为 s，则此过程中力 F 做功为多少？ 分析与解 由于力 F 的方向时刻变化，不能用功的计算公式来直接求功。 考虑到力F 始终与曲线相切，我们可以将曲线分割成 n段，每一段的长度为 1s ， 2s ，…， ns 都非常小，因此在每一段微小的距离内，都可认为力 F 与距离 同向，有 1 2 nF s FW s F s        ，考虑到 1 2 ns s s s        ，可得W Fs 。可见， 大小不变而方向始终与物体运动方向相同(或相反)的力所做的功等于力的大小与路程的乘积。 二、功率 (一)功率的概念 功率是表示物体做功快慢的物理量。物体在单位时间内做功的多少，叫做功率，公式为 WP t  ， 功率的单位是“瓦特”，符号为“W ”，1W 1J/s 。在一般情况下，功的计算公式为 cosW Fs  ， 因此功率也可以用公式 cos cosW FsP Fv t t     来计算，其中， 为力 F 与物体速度 v的夹角， 速度 v可以是平均速度，也可以是瞬时速度，所对应的功率分别是平均功率和瞬时功率。特殊地， 当F 与 v同向，即 0  时， cos 1  ，则功率可以直接用 P Fv 来计算。 例 7 (上海第 30届大同杯初赛)如图 5.10所示，水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦 因数为，木箱在与水平夹角为 的拉力 F 的作用下做匀速直线运动。 从 0°逐渐增大到 90°的 过程中，木箱的速度始终保持不变，则拉力 F 的功率( )。 A．一直减小 B．一直增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 分析与解 判断一个物理量随另一个物理量的变化情况，最常见的方法是写出两者之间的表达 式，再根据表达式的增减情况判断。 解法一 由于木箱的速度 v始终不变，所以木箱受力平衡，可将拉力在竖直与水平方向上分解， 可 得 cosF  始 终 等 于 木 箱 受 到 的 滑 动 摩 擦 力 ， 即  cos sinF mg F    ， 解 得 cos sin mgF        。拉力的功率 coscos cos sin 1 tan mgv mgvP Fv              。 又由于 从 0°到 90°变化， tan 单调递增，因此P逐渐减小。选项A正确。 当然，由于本题物体的速度恒定，因此我们也可以找到拉力 F 的水平分力 cosF  的变化情况， 根据 cosP Fv  来判断功率的变化情况。 解法二 如图 5.11所示，画出物体所受摩擦力与支持力的合力，即全反力 R，设摩擦角为，则可知R与竖直方向的夹角为，R方向不变。画出全反 力R、重力G 、拉力 F 所围成的封闭三角形，可知，当 从 0°逐渐增大时， 拉力F 先减小后增大，但是拉力F 的水平分力 cosF  逐渐减小，所以拉力的 功率逐渐减小。选项A正确。 (二)几种常见的功率的问题 1．利用功率随时间变化的图像( P t 图像)求变力做功 若已知变力的功率恒为P，则在 t时间内该力做功为W Pt ，这样可以方便地直接求出变力功 的数值。如果功率不恒定，我们也可以画出功率随时间变化的 P t 图像，利用图像下方的面积表示 功的多少来求解功。如图 5.12所示，若 P t 图像下方的面积恰为矩形、三角形、梯形等几何图形， 则可以很方便地求出对应的功。 2．利用功率相等求连接体速度的关系 设用一段不可伸长、柔软的细绳或刚性轻杆连接着两物体，因为绳子、轻杆是不可伸长的，因 此在两物体运动的过程中系统的能量既不会转化为绳子、轻杆的内能，也不会转化为绳子或轻杆的 势能，这样绳子、轻杆只起到转移机械能的作用，所以这段绳子或轻杆在一段时间内对两物体做的 总功为零。即绳子、轻杆对两物体在任一时刻做功的功率在数值上是相同的，或者说绳子、轻杆拉 力对其中一个物体做功的功率等于另一个物体克服绳子拉力做功的功率。 例 8 如图 5.13所示，汽车甲以速度 1v 拉汽车乙前进，乙的速度为 2v ，甲、乙两汽车都在水平 面上运动，求甲、乙两汽车的速度之比。 分析与解 设连接甲、乙两汽车的绳子的拉力大小为 F 则根据绳子对乙车做功的功率等于甲车克服绳子拉力所做 总功的功率，考虑绳子拉力与速度的夹角，则有 2 1cosFv Fv  ，故 1 2 cosv v  。 3．交通工具的功率问题 交通工具，诸如汽车、轮船之类，它们前进时所受的牵引力与速度方向相同，牵引力的功率可 以表示为 P Fv 。任何机器都有额定功率，即机器长时间正常工作时所能达到的最大功率。若机器 工作时功率超过额定功率，则机器可能会损坏或使用寿命减少。因此，一般机器工作时的功率往往 等于或小于额定功率。机器实际工作时的功率，叫做实际功率。 汽车等在额定功率下行驶时，功率P不变，则 PF v  ，牵引力 F 与速度大小 v成反比。 汽车刚开始启动时，速度 v较小，牵引力 F 较大(大于阻力 f )，汽车会逐渐加速，在加速的过 程中，牵引力 F 又逐渐减小，当牵引力减小到等于阻力 f 时，汽车受力平衡，速度增加到最大值， 此后保持匀速直线运动。因此，汽车达到最大速度的条件是 F f ，汽车匀速时速度 m P Pv F f   。 例 9 某汽车发动机的额定功率 46 10 WP   ，汽车的质量 35 10 kgm   ，该汽车在水平公路 上行驶时所受阻力为车重的 0.1倍， g取 210m/s ，问： (1)当汽车在保持额定功率的条件下匀速行驶时，速度是多大？ (2)若汽车以8m/s的速度匀速行驶，汽车发动机实际输出功率为多大？ 分析与解 (1)当汽车匀速行驶时，牵引力等于阻力，即 30.1 5 10 NF f mg    ，匀速运动 时的速度 4 0 3 6 10 m/s 12m/s 5 10 P P F f v       。 (2)当汽车以8m/s的速度匀速行驶时，牵引力仍然与阻力平衡，即 35 10 NF   ，则这个速度 下的功率为 35 10 8W 40kWP Fv     。 练习题 1．一个人先后用同样大小的力 F 将不同质量的物体分别在光滑水平面、粗糙水平面和粗糙斜 面上沿力的方向移动相同的距离 L (如图 5.14所示)，该力在这三个过程中所做的功分别为 1W ， 2W ， 3W ，关于它们之间的大小关系说法正确的是( )。 A． 1 2 3W W W  B． 1 2 3W W W  C． 1 2 3W W W  D． 1 2 3W W W  2．(上海第 2届大同杯复赛)如图 5.15所示，斜面高度为 h，长度为 l，用一个平行于斜面的力 把重力为G 的物体匀速拉到斜面顶端，拉力所做的功为W ，则斜面和物体间的摩擦力为( )。 A． W hG l  B． W hG l  C． W lG h  D． W lG h  3．(2007青岛竞赛题)飞机、轮船运动时，受到的阻力并不固定，当速度很大时，阻力和速度的 平方成正比，如果要把飞机、轮船的速度增大到 2倍，发动机的输出功率要增大到原来的( )。 A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 4．(上海第 7届大同杯复赛)如图 5.16所示，将两个质量相同的物体甲和乙，分别沿两个光滑的 斜面(已知 AB AC )从同一水平面匀速地拉到顶点 a，则对甲、乙两物体的用力( F甲、 F乙 )和做功 (W甲、W乙 )的判断正确的是( )。 A．F F甲 乙，W W甲 乙 B． F F甲 乙，W W甲 乙 C． F F甲 乙，W W甲 乙 D．F F甲 乙，W W甲 乙 5．(2007青岛竞赛题)一辆娱乐电瓶车工作时消耗电能的功率为 240W ，电能转化为机械能的效 率为 80%，电瓶车及人所受的总重力为 2000N，行驶时阻力是总重力的 0.1倍，则此电瓶车水平匀 速行驶100m所用的时间约为( )。 A．83s B．833s C．104s D．以上都不对 6．质量为m、初速度为零的物体在变化不同的外力作用下沿力的方向都通过距离 0x 。以下情 况中外力做功最多的是( ) A． B． C． D． 7．(上海第 21届大同杯初赛)如图 5.17所示，放在水平桌面上的匀质长直木板长度 L为 40cm ， 质量为2kg，它的右端与桌面平齐，与桌面间的动摩擦因数为 0.2。若在木 板左端用一水平推力F 将其匀速推下桌子，水平推力至少要做功( )。 A．1.6J B． 0.8J C． 0.6J D．0.4J 8．一放在水平面上的物体，受到水平拉力 F 的作用，在 0~6s内其速度-时间图像与力 F 的功 率-时间图像如图 5.18所示，则下列说法正确的是( )。 A．1s时，拉力的大小为5N B．0~2s内拉力的平均值为5N C．物体所受摩擦力的大小为 5 N 3 D．0~6s内物体克服摩擦力做的功与拉力做的功相等 9．(上海第 30届大同杯初赛)野山鼠擅长打洞，假设野山鼠打洞时受到的阻力 f 与洞的深度 L成 正比，即 f kL ( k 为比例常数)，则野山鼠从洞深 1d 打到洞深 2d 时，需要克服阻力做的功为( )。 A．  2 2 2 1 2 k d d B．  22 1 2 k d d C．  22 1 2 k d d D． 2 1 2 kd d 10．(上海第 30届大同杯初赛)如图 5.19所示，位于水平面上的物体在水平恒力 1F 的作用下，以 速度 1v 沿水平面做匀速直线运动；若改为斜向上的恒力 2F 作用，让物体以速度 2v 沿水平面做匀速直 线运动。已知 1F 与 2F 的功率相同，则可能有( )。 A． 1 2F F ， 1 2v v B． 1 2F F ， 1 2v v C． 1 2F F ， 1 2v v D． 1 2F F ， 1 2v v 11．(上海第 29届大同杯初赛)如图 5.20所示，轻绳的一端通过定滑轮与质量为m、可看成质点 的小物体相连，另一端受到大小为 F 的恒力作用，开始时绳与水平方向的夹角为 。小物体从水平 面上的 A点被拖动到水平面上的B点，A，B之间的距离为 L，随后从B点沿斜面被拖动到滑轮O 处，B，O之间的距离也为 L。小物体与水平面及斜面间的动摩擦因数均为，若小物体从 A运动 到O的过程中，F 对小物体做的功为 FW ，小物体在 BO段运动过程中克服摩擦力所做的功为 fW ， 则以下结果正确的是( )。 A．  cos 1FW FL   B． 2 cosFW FL  C． cos2fW mgL  D． sin 2fW FL mgL   12．(上海第 7届大同杯复赛)如图 5.21所示，斜面长 2mAC  ，高 1mBC  。某人用30N的 力F 沿斜面将重力为50N的重物在1min内由 A推到B，则此人做功的功率是________W 。 13．如图 5.22所示，小球在大小不变的拉力 F 的作用下，在水平槽内做速度为 v的圆周运动。 如果圆半径为R，拉力 F 的方向恒与小球瞬时速度方向一致，则在小球运动一周的过程中，拉力 F 所做的功为________，拉力 F 的功率为________。 14．如图 5.23所示，长为 L的轻质杆两端有两个小球 A和B， A球靠在竖直墙壁上， B球与 地面接触。开始时，杆与两球均处于静止状态，放手后 A小球下滑，B小球右滑，当杆与水平面成  角时 A，B两球的速度 Av ， Bv 之比是________。 15．用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力 F ，将质量为m的 小物体沿半径为R的固定圆弧轨道从 A点推到 B点，圆弧AB对应的圆心角 为 60°，如图 5.24所示，则在此过程中，力 F 对物体做的功为________；若 将推力改为水平恒力F ，则此过程中力 F 对物体做功为________。 16．质量为 2kg的物体放在动摩擦因数 0.5  的水平地面上，在水平拉力 F 的作用下，由静 止开始运动，拉力做功W 和物体位移 s之间的关系如图 5.25所示。物体从开始运动到前进1m的过 程中，拉力大小为 F  ________N；已知在前进距离为1m时速度恰为 10m/s，则从静止开始到 运动3m 的过程中，拉力的最大功率为________W 。 17．物体受到水平拉力 F 的作用，F 做功的功率P随时间 t的变化 规律如图5.26所示，则物体在0~8s内，拉力 F 做功的大小为________ J， 拉力的平均功率为________W 。 18．质量为 1000kgm  的汽车以恒定的功率从静止开始启动，经 过4min后达到最大速度为 20m/s，假设汽车在这一过程中阻力恒定，且阻力 2000Nf  ，则汽车 达到最大速度时发动机的功率为________W ，这段时间内发动机做的功为________ J。 19．(上海第 29届大同杯复赛)无风时，以速度 v跑步，人所受的空气阻力 21 2 f C Av ，C为 阻力系数，为空气的密度，A为在垂直于运动方向上的截面积，阻力功率 P fv 。已知某人于平 地上匀速跑步时，身体为跑步持续提供80W的功率，若此人质量 60kgm  ， 20.40mA  ， 2.0C  ， 空气密度 31.3kg/m  ，且跑步时没有任何打滑，则此人的跑步速度为________m/s；若肌肉消耗 能量做功的效率为 25%，则此人跑步30min消耗________ J的能量。 20．(上海第 27届大同杯复赛)各种比赛常以体重区分量级，已知运动员肌肉施力的大小与肌肉 的横截面积成正比，假设运动员的形体虽有不同，但密度几乎相等，且肌肉的伸缩速率也大致相同， 则运动员的功率与其质量M 的关系可以写成 xP kM ，式中的 k 为一比例常数，由此可推出 x的 大小为________。 参考答案 1．C。力对物体做的功等于力的大小与物体沿着该力发生的距离的乘积，而与其他的因素无关， 四个选项中，物体都是在力 F 的作用下沿 F 的方向前进了 L的距离，因此做功相同。 2．B。设斜面倾角为 ，物体沿斜面匀速运动，受力平衡，则沿斜面方向，拉力 F 满足 sin GhG l F f f    ，拉力做功为 GhW Fl f l l        ，解得 W Ghf l   。 3．D。设阻力 2f kv ，匀速时 F f ，则 3P Fv fv kv   ，可见，发动机的输出功率与速 度的 3次方成正比，当速度加倍时，功率应增大为原来的 8倍。 4．B。设斜面倾角为 ，斜面高度为 h，斜面长度为 s，则 sin h l   。物体匀速时，沿斜面向 上的拉力 sinF mg  ，则由题意可知 F F甲 乙；拉力做功为 sinW Fs mgs mgh   ，可见拉 力做功W W甲 乙，选项B正确。 5．C。电动车前进时要克服阻力做功，电能转化为机械能的功率即克服阻力做功的功率，则 240W 80% 192WP fv    ， 0.1 2000N 200Nf    ，则 0.96m/sv  ，行驶100m所用的 时间 100m 104s 0.96m/s t   。 6．C。各选项中 F x 图像与坐标轴所围成的面积表示外力 F 做的功，显然C项面积最大，做 功最多。 7．B。提示：本题要注意摩擦力与接触面积无关，当木板中心离开桌面时，木板将翻下桌面。 8．ABC。由图 5.18，可知1s时物体的速度为 1 3m/sv  ，拉力的瞬时功率 1 15WP  ，则拉力 1 1 1 15 N 5N 3 PF v    ，选项A正确。0~2s内，拉力做功 1 30 2J 30J 2 W Pt     ，物体在 0~ 2s 内前进的距离 1 6 2m 6m 2 s vt     ，则拉力的平均值 30 N 5N 6 WF s    ，选项 B正确。在 2~6s内，物体做速度为 1 6m/sv  的匀速直线运动，则摩擦力 f F ，拉力功率为 2 10WP  ，则 2 2 10 5N N 6 3 Pf F v     ，选项C正确。在 0~6s内，物体前进的总距离为 4 6 6m 30m 2 s    总 ， 物体克服摩擦力做的功 5 30J 50J 3fW fs   总 ，而拉力做的功为功率图像下方的面积，  1 30 2J 10 6 2 J 70J 2FW        ，因此D选项错误，本题正确选项为 ABC 9．A。画出阻力 f 与洞的深度 L的关系如图 5.27所示，则图像下方 1d 到 2d 范围内梯形的面积即表示从洞深 1d 打到洞深 2d 时需要克服阻力做的功，因此      2 2 2 11 2 1 2 2 1 2 12 2 2f k d df f kd kdW d d d d        ，选项 A正确。 10．AB。由本节例 7可知，当拉力与水平方向夹角 逐渐增大时，拉力的水平分力 cosF  逐 渐变小，因此， 1F 大于 2F 的水平分力，而两力功率相等，则必有 1 2v v 。当由 逐渐增大时，拉力 先变小再变大，因此 1 2F F ， 1 2F F ， 1 2F F 均可能存在，本题正确选项为 AB。 11．BC。物块从 A被拉到O点时，拉力 F 作用点移动的距离 2 coss OA L   ，则拉力做功 2 cosFW Fs FL   ，选项 B正确。由几何关系，BO与水平方向的夹角为 2 ，物块从B运动到 O 的 过 程 中 ， 滑 动 摩 擦 力 的 大 小 为 cos 2f mg  ， 则 克 服 摩 擦 力 所 做 的 功 为 cos 2fW fL mgL   ，选项 C正确。 12．1。人推物体做功的功率 30N 2m 1W 60s WF t     。 13． 2F R ， Fv。由于拉力始终与物体运动方向相同，拉力做功应等于拉力大小与路程的乘 积，即 2 2W F R F R     ，拉力的功率等于拉力大小与速度的乘积，即 P Fv 。 14． cotA B v v  。设杆对两球的作用力大小为 F ， A球的速度为 Av ，B球的速度为 Bv ，由于 杆 是 一 不 可 形 变 的 刚 性 轻 杆 ， 所 以 杆 对 两 球 做 功 的 瞬 时 功 率 大 小 相 等 ， 即  cos 90 cosA BFv Fv   ，所以 cotA B v v  。 15． 3 F R ； 3 2 FR 。力 F 大小不变，方向始终沿物体运动方向时， F 做的功等于 F 的大小 乘以运动的路程，AB弧长为 3 R ，所以做功为 3 F R 。力 F 为水平恒力时， F 做的功等于力的大 小与沿力方向前进距离的乘积，沿力方向前进的距离等于 A， B两点水平方向的距离 3 2 R ，因此 做功为 3 2 FR 。 16．20； 20 10 。由 WF s  ，可知W s 图像的斜率为拉力 F 的大小，则在 0~1m范围内， 拉力 20 0 N 20N 1 0 WF s      。同理在 1~3m范围内，拉力 40 20 N 10N 3 1 WF s      ，而物体 所受摩擦力 10Nf mg  ，因此物体在 0~1m内做加速运动，拉力F 的功率逐渐增加，在 1~3m 内物体做匀速运动，功率保持不变。但值得注意的是，最大功率出现在物体恰好运动1m时，而拉力 未从 20NF  变成 10NF   之前，因此最大功率 m m 20 10W 20 10WP Fv    。 17 ． 48 ， 6 。 P t 图 像 下 方 的 面 积 表 示 拉 力 做 的 功 ， 0~ 8s 内 拉 力 做 功 2W    4 2 8 2 J   48J ，这段时间内拉力的平均功率为 48J 6W 8s WP t    。 18． 44 10 ， 69.6 10 。汽车达到最大速度时，牵引力等于阻力，即 2000NF f  ，对应 的 发 动 机 功 率 42000N 20m/s 4 10 WP Fv     ， 这 段 时 间 内 发 动 机 做 的 功 4W Pt   4 610 W 240s 9.6 10 J   。 19． 5.36； 55.76 10 。由题意，人克服阻力做功的功率为 31 2 P fv C Av  ，则 3 2v P C A  3 2 80 m/s 5.36m/s 2.0 1.3 0.4      ， 人 跑 步 30min 克 服 阻 力 做 功 为 W Pt 有 80 30 60J  51.44 10 J ， 肌 肉 消 耗 能 量 做 功 的 效 率 100% W W   有 总 ， 则 W W   有 总 5 51.44 10 J 5.76 10 J 0.25    。 20． 2 3 。设肌肉的横截面为边长为 L的正方形，为方便起见，取长也为 L的肌肉作为研究对象。 肌肉截面积 2s L ，肌肉的体积 3V L ，肌肉的质量 3M V L   ，则 1 3 L M         ， 2 3Ms         。 肌 肉 施 力 的 大 小 2 3 1 1 MF k s k          ， 设 肌 肉 伸 缩 速 率 为 0v ， 则 肌 肉 伸 缩 的 功 率 0P Fv  2 23 1 0 3 1 0 2 3 k vMk v M         ，因为 1k ， 0v ，均为恒量，因此可将功率表达式写为 2 3P kM 。