中考数学模拟试卷(含答案解析)+方程(组)与不等式(组)(含答案解析)等资料大全集 192页

中考数学模拟试卷(含答案解析) +方程(组)与不等式(组)(含答案解析)等资料大全集 中考数学模拟试卷（3 月份） 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．抛物线 y＝2（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（ ） A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，1） 2．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2： 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 563 560 563 560 方差 S2（cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一 项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A． B． C． D． 4．如图，AB 是 ⊙ O 的弦，半径 OC⊥AB，D 为圆周上一点，若 的度数为 50°，则∠ADC 的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．50° 5．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） A．k＞﹣1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为（ ） A．4 B．4 C．6 D．4 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 7．已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是 ． 8．已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为 cm． 9．一元二次方程 2x2+3x+1＝0 的两个根之和为 ． 10．已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于 cm2． 11．若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根，则 6m2﹣9m+2016 的值为 ． 12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 当 x＝﹣1 时，y＝ ． 13．已知正六边形的边长为 4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如 图），则所得到的三条弧的长度之和为 cm．（结果保留 π ） 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC， ＝ ，则 ＝ ． 15．如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的 正切值为 ． 16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD， 过点 C 作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 ． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分） 17．计算： sin45°+2cos30°﹣tan60° 18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组 同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整 理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题． （1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度 数； （3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人？ 组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n 19．把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组 卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张． （1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则 乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对 岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸 垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请 根据相关测量信息，求河宽 AB． 21．如图，点 A、B、C 在 ⊙ O 上，用无刻度的直尺画图． （1）在图 ① 中，画一个与∠B 互补的圆周角； （2）在图 ② 中，画一个与∠B 互余的圆周角． 22．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下 列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平 线垂直）2 米．试求该校地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）． 23．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关 系 y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作 ⊙ O 交 BC 于点 D．过点 D 作 EF⊥AC， 垂足为 E，且交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是 ⊙ O 的切线； （2）已知 AB＝4，AE＝3．求 BF 的长． 25．如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD＝4，AB＝6，求 的值． 26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图 ① ， BD、CE 是△ABC 的高，M 是 BC 的中点，点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一 个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接 MD、ME 的基础上，只需证明 ． （2）初步思考：如图 ② ，BD、CE 是锐角△ABC 的高，连接 DE．求证：∠ADE＝∠ABC， 小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏 的思路完成证明过程．） （3）推广运用：如图 ③ ，BD、CE、AF 是锐角△ABC 的高，三条高的交点 G 叫做△ABC 的垂心，连接 DE、EF、FD，求证：点 G 是△DEF 的内心． 27．如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP． （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若△AQP∽△AOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对 应点为点 Q′，请直接写出当点 Q′落在坐标轴上时点 P 的坐标． 2019 年江苏省盐城市东台市中考数学模拟试卷（3 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 1．抛物线 y＝2（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（ ） A．（0，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，﹣1） D．（0，1） 【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【解答】解：∵顶点式 y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）， ∴y＝2（x﹣2）2﹣1 的顶点坐标是（2，﹣1）． 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在 y ＝a（x﹣h）2+k 中，对称轴为 x＝h，顶点坐标为（h，k）． 2．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员几次选拔赛成绩的平均数 与方差 S2： 甲 乙 丙 丁 平均数 （cm） 563 560 563 560 方差 S2（cm2） 6.5 6.5 17.5 14.5 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁的大小，再根据平均数的意义即可求 出答案． 【解答】解：∵S 甲 2＝6.5，S 乙 2＝6.5，S 丙 2＝17.5，S 丁 2＝14.5， ∴S 甲 2＝S 乙 2＜S 丁 2＜S 丙 2， ∵ ＝563， ＝560， ∴ ＞ ， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择甲； 故选：A． 【点评】此题考查了平均数和方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性 越大，反之也成立． 3．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一 项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A． B． C． D． 【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出小明、小华两名学生参加社会实践活动的 情况数，即可求出所求的概率． 【解答】解：可能出现的结果 甲 打扫社区卫生 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 乙 打扫社区卫生 参加社会调查 参加社会调查 打扫社区卫生 由上表可知，可能的结果共有 4 种，且他们都是等可能的，其中两人同时选择“参加社 会调查”的结果有 1 种， 则两人同时选择“参加社会调查”的概率为 ， 故选：B． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重复不遗 漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以 上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 4．如图，AB 是 ⊙ O 的弦，半径 OC⊥AB，D 为圆周上一点，若 的度数为 50°，则∠ADC 的度数为（ ） A．20° B．25° C．30° D．50° 【分析】利用圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到∠BOC＝50°，利用垂径定理得 到 ＝ ，然后根据圆周角定理计算∠ADC 的度数． 【解答】解：∵ 的度数为 50°， ∴∠BOC＝50°， ∵半径 OC⊥AB， ∴ ＝ ， ∴∠ADC＝ ∠BOC＝25°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径 定理和圆周角定理． 5．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） A．k＞﹣1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且 二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围． 【解答】解：∵一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且 k≠0， 解得：k＞﹣1 且 k≠0． 故选：D． 【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于 0，方程有两个不相 等的实数根；根的判别式的值等于 0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于 0， 方程没有实数根． 6．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段 AC 的长为（ ） A．4 B．4 C．6 D．4 【分析】根据 AD 是中线，得出 CD＝4，再根据 AA 证出△CBA∽△CAD，得出 ＝ ， 求出 AC 即可． 【解答】解：∵BC＝8， ∴CD＝4， 在△CBA 和△CAD 中， ∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C， ∴△CBA∽△CAD， ∴ ＝ ， ∴AC2＝CD•BC＝4×8＝32， ∴AC＝4 ； 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质，关键是根据 AA 证出△CBA∽△CAD，是 一道基础题． 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 7．已知一组数据：4，2，5，0，3．这组数据的中位数是 3 ． 【分析】要求中位数，按从小到大的顺序排列后，找出最中间的一个数（或最中间的两 个数的平均数）即可． 【解答】解：从小到大排列此数据为：0，2，3，4，5，第 3 位是 3，则这组数据的中位 数是 3． 故答案为：3． 【点评】考查了中位数的知识，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇 数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数 个，则找中间两位数的平均数． 8．已知线段 c 是线段 a 和 b 的比例中项，且 a、b 的长度分别为 2cm 和 8cm，则 c 的长度为 4 cm． 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条 线段的乘积． 所以 c2＝2×8，解得 c＝±4（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：4． 【点评】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数． 9．一元二次方程 2x2+3x+1＝0 的两个根之和为 ﹣ ． 【分析】设方程的两根分别为 x1、x2，根据根与系数的关系可得出 x1+x2＝﹣ ＝﹣ ， 此题得解． 【解答】解：设方程的两根分别为 x1、x2， ∵a＝2，b＝3，c＝1， ∴x1+x2＝﹣ ＝﹣ ． 故答案为：﹣ 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣ 、两根之积等于 是解题 的关键． 10．已知圆锥的底面半径为 4cm，母线长为 6cm，则它的侧面积等于 24 π cm2． 【分析】根据圆锥的侧面积公式即扇形面积公式计算． 【解答】解：圆锥的侧面积＝ ×2 π ×4×6＝24 π ， 故答案为：24 π ． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，圆锥的侧面积：S 侧＝ •2 π r•l＝ π rl． 11．若 m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根，则 6m2﹣9m+2016 的值为 2019 ． 【分析】把 x＝m 代入方程，求出 2m2﹣3m＝1，再变形后代入，即可求出答案． 【解答】解：∵m 是方程 2x2﹣3x﹣1＝0 的一个根， ∴代入得：2m2﹣3m﹣1＝0， ∴2m2﹣3m＝1， ∴6m2﹣9m+2016＝3（2m2﹣3m）+2016＝3×1+2016＝2019， 故答案为：2019． 【点评】本题考查了求代数式的值和一元二次方程的解，能求出 2m2﹣3m＝1 是解此题 的关键． 12．已知二次函数 y＝ax2+bx+c 中，自变量 x 与函数 y 的部分对应值如下表： x … ﹣2 0 2 3 … y … 8 0 0 3 … 当 x＝﹣1 时，y＝ 3 ． 【分析】先确定出抛物线的对称轴，然后利用对称性求解即可． 【解答】解：依据表格可知抛物线的对称轴为 x＝1， ∴当 x＝﹣1 时与 x＝3 时函数值相同， ∴当 x＝﹣1 时，y＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，利用二次函数的对称性求解是解题的关键． 13．已知正六边形的边长为 4cm，分别以它的三个不相邻的顶点为圆心，边长为半径画弧（如 图），则所得到的三条弧的长度之和为 8 π cm．（结果保留 π ） 【分析】先求得正多边形的每一个内角，然后由弧长计算公式． 【解答】解：方法一： 先求出正六边形的每一个内角＝ ＝120°， 所得到的三条弧的长度之和＝3× ＝8 π （cm）； 方法二：先求出正六边形的每一个外角为 60°， 得正六边形的每一个内角 120°， 每条弧的度数为 120°， 三条弧可拼成一整圆，其三条弧的长度之和为 8 π cm． 故答案为：8 π ． 【点评】本题考查了弧长的计算和正多边形和圆．与圆有关的计算，注意圆与多边形的 结合． 14．如图，在△ABC 中，DE∥BC， ＝ ，则 ＝ ． 【分析】由 DE∥BC 可得出∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC， 利用相似三角形的性质可得出 ＝ ，进而可得出 ＝ ，此题得解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2＝（ ）＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的 平方是解题的关键． 15．如图，每个小正方形的边长都为 1，点 A、B、C 都在小正方形的顶点上，则∠ABC 的 正切值为 1 ． 【分析】根据勾股定理求出△ABC 的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB ＝90°，再解直角三角形求出即可． 【解答】解： 如图：长方形 AEFM，连接 AC， ∵由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5， ∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC， 即∠ACB＝90°， ∴tan∠ABC＝ ＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了解直角三角形和勾股定理及逆定理等知识点，能求出∠ACB＝90° 是解此题的关键． 16．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D 为线段 AC 上一动点，连接 BD， 过点 C 作 CH⊥BD 于 H，连接 AH，则 AH 的最小值为 2 ﹣2 ． 【分析】取 BC 中点 G，连接 HG，AG，由直角三角形的性质可得 HG＝CG＝BG＝ BC ＝2，由勾股定理可求 AG＝2 ，由三角形的三边关系可得 AH≥AG﹣HG，当点 H 在线 段 AG 上时，可求 AH 的最小值． 【解答】解：如图，取 BC 中点 G，连接 HG，AG， ∵CH⊥DB，点 G 是 BC 中点 ∴HG＝CG＝BG＝ BC＝2， 在 Rt△ACG 中，AG＝ ＝2 在△AHG 中，AH≥AG﹣HG， 即当点 H 在线段 AG 上时，AH 最小值为 2 ﹣2， 故答案为：2 ﹣2 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，勾股定理，确定使 AH 值最小时点 H 的位置是本题的关键． 三、解答题（本大题共有 11 小题，共 102 分） 17．计算： sin45°+2cos30°﹣tan60° 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝ × +2× ﹣ ＝1． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．雾霾天气严重影响市民的生活质量．在今年寒假期间，某校八年级一班的综合实践小组 同学对“雾霾天气的主要成因”随机调查了所在城市部分市民．并对调查结果进行了整 理．绘制了如图不完整的统计图表．观察分析并回答下列问题． （1）本次被调查的市民共有多少人？ （2）分别补全条形统计图和扇形统计图，并计算图 2 中区域 B 所对应的扇形圆心角的度 数； （3）若该市有 100 万人口，请估计持有 A、B 两组主要成因的市民有多少人？ 组别 雾霾天气的主要成因 百分比 A 工业污染 45% B 汽车尾气排放 m C 炉烟气排放 15% D 其他（滥砍滥伐等） n 【分析】（1）根据条形图和扇形图信息，得到 A 组人数和所占百分比，求出调查的市民 的人数； （2）根据 B 组人数求出 B 组百分比，得到 D 组百分比，根据扇形圆心角的度数＝百分 比×360°求出扇形圆心角的度数，根据所求信息补全条形统计图和扇形统计图； （3）根据持有 A、B 两组主要成因的市民百分比之和求出答案． 【解答】解：（1）从条形图和扇形图可知，A 组人数为 90 人，占 45%， ∴本次被调查的市民共有：90÷45%＝200 人； （2）60÷200＝30%， 30%×360°＝108°， 区域 B 所对应的扇形圆心角的度数为：108°， 1﹣45%﹣30%﹣15%＝10%， D 组人数为：200×10%＝20 人， （3）100 万×（45%+30%）＝75 万， ∴若该市有 100 万人口，持有 A、B 两组主要成因的市民有 75 万人． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的知识，正确获取图中信息并准确进行 计算是解题的关键． 19．把大小和形状完全相同的 6 张卡片分成两组，每组 3 张，分别标上 1、2、3，将这两组 卡片分别放入两个盒子中搅匀，再从中随机抽取一张． （1）请用画树状图的方法求取出的两张卡片数字之和为奇数的概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片数字之和为偶数，则 乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【分析】（1）依据题意画树状图法分析所有等可能和出现所有结果的可能，然后根据概 率公式求出该事件的概率； （2）根据（1）中所求，进而求出两人获胜的概率，即可得出答案． 【解答】解：（1）画树状图得： ， 由上图可知，所有等可能结果共有 9 种，其中两张卡片数字之和为奇数的结果有 4 种． ∴P（取出的两张卡片数字之和为奇数）＝ ． （2）不公平，理由如下： 由（1）可得出：取出的两张卡片数字之和为偶数的概率为： ． ∵ ＜ ， ∴这个游戏不公平． 【点评】此题主要考查了游戏公平性，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概 率的常用方法．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对 岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸 垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB 的延长线上选择点 D，竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线． 已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请 根据相关测量信息，求河宽 AB． 【分析】由 BC∥DE，可得 ＝ ，构建方程即可解决问题． 【解答】解：∵BC∥DE， ∴△ABC∽△ADE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴AB＝17（m）， 经检验：AB＝17 是分式方程的解， 答：河宽 AB 的长为 17 米． 【点评】本题考查相似三角形的应用、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所 学知识解决问题，属于中考常考题型． 21．如图，点 A、B、C 在 ⊙ O 上，用无刻度的直尺画图． （1）在图 ① 中，画一个与∠B 互补的圆周角； （2）在图 ② 中，画一个与∠B 互余的圆周角． 【分析】（1）根据四点共圆进行画图即可； （2）根据 90°的圆周角所对的弦是直径进行画图即可． 【解答】解：（1）如图 1，∠P 即为所求： （2）如图 2，∠CBQ 即为所求． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图， 一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图 形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．熟练掌握 圆周角定理是解决此题的关键． 22．某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD，在课外活动时间测得下 列数据：如图，从地面 E 点测得地下停车场的俯角为 30°，斜坡 AE 的长为 16 米，地面 B 点（与 E 点在同一个水平线）距停车场顶部 C 点（A、C、B 在同一条直线上且与水平 线垂直）2 米．试求该校地下停车场的高度 AC 及限高 CD（结果精确到 0.1 米， ≈1.732）． 【分析】根据题意和正弦的定义求出 AB 的长，根据余弦的定义求出 CD 的长． 【解答】解：由题意得，AB⊥EB，CD⊥AE， ∴∠CDA＝∠EBA＝90°， ∵∠E＝30°， ∴AB＝ AE＝8 米， ∵BC＝2 米， ∴AC＝AB﹣BC＝6 米， ∵∠DCA＝90°﹣∠DAC＝30°， ∴CD＝AC×cos∠DCA＝6× ≈6.9 米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解仰角的概念、灵活运 用锐角三角函数的定义是解题的关键． 23．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不 考虑空气阻力，小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关 系 y＝﹣5x2+20x，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 【分析】（1）根据题目中的函数解析式，令 y＝15 即可解答本题； （2）令 y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题； （3）将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题． 【解答】解：（1）当 y＝15 时， 15＝﹣5x2+20x， 解得，x1＝1，x2＝3， 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s； （2）当 y＝0 时， 0═﹣5x2+20x， 解得，x1＝0，x2＝4， ∵4﹣0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s； （3）y＝﹣5x2+20x＝﹣5（x﹣2）2+20， ∴当 x＝2 时，y 取得最大值，此时，y＝20， 答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质 解答． 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作 ⊙ O 交 BC 于点 D．过点 D 作 EF⊥AC， 垂足为 E，且交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：EF 是 ⊙ O 的切线； （2）已知 AB＝4，AE＝3．求 BF 的长． 【分析】（1）作辅助线，根据等腰三角形三线合一得 BD＝CD，根据三角形的中位线可 得 OD∥AC，所以得 OD⊥EF，从而得结论； （2）证明△ODF∽△AEF，列比例式可得结论． 【解答】（1）证明：连接 OD，AD， ∵AB 是 ⊙ O 的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， ∵OA＝OB， ∴OD∥AC， ∵EF⊥AC， ∴OD⊥EF， ∴EF 是 ⊙ O 的切线； （2）解：∵OD∥AE， ∴△ODF∽△AEF， ∴ ， ∵AB＝4，AE＝3， ∴ ， ∴BF＝2． 【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、相似三角 形的性质和判定，圆的切线的判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 25．如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E 为 AB 的中点， （1）求证：AC2＝AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若 AD＝4，AB＝6，求 的值． 【分析】（1）由 AC 平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，可证得△ADC∽△ACB，然 后由相似三角形的对应边成比例，证得 AC2＝AB•AD； （2）由 E 为 AB 的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证 得 CE＝ AB＝AE，继而可证得∠DAC＝∠ECA，得到 CE∥AD； （3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得 的值． 【解答】（1）证明：∵AC 平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴AC2＝AB•AD； （2）证明：∵E 为 AB 的中点， ∴CE＝ AB＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA， ∵∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE， ∴AD：CE＝AF：CF， ∵CE＝ AB， ∴CE＝ ×6＝3， ∵AD＝4， ∴ ， ∴ ． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性 质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 26．（1）问题提出：苏科版《数学》九年级（上册）习题 2.1 有这样一道练习题：如图 ① ， BD、CE 是△ABC 的高，M 是 BC 的中点，点 B、C、D、E 是否在以点 M 为圆心的同一 个圆上？为什么？ 在解决此题时，若想要说明“点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上”，在连接 MD、ME 的基础上，只需证明 ME＝MD＝MB＝MC ． （2）初步思考：如图 ② ，BD、CE 是锐角△ABC 的高，连接 DE．求证：∠ADE＝∠ABC， 小敏在解答此题时，利用了“圆的内接四边形的对角互补”进行证明．（请你根据小敏 的思路完成证明过程．） （3）推广运用：如图 ③ ，BD、CE、AF 是锐角△ABC 的高，三条高的交点 G 叫做△ABC 的垂心，连接 DE、EF、FD，求证：点 G 是△DEF 的内心． 【分析】（1）要证四个点在同一圆上，即证明四个点到定点距离相等． （2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，即能证 ME＝MD＝MB＝MC，得 到四边形 BCDE 为圆内接四边形，故有对角互补． （3）根据内心定义，需证明 DG、EG、FG 分别平分∠EDF、∠DEF、∠DFE．由点 B、 C、D、E 四点共圆，可得同弧所对的圆周角∠CBD＝∠CED．又因为∠BEG＝∠BFG＝ 90°，根据（2）易证点 B、F、G、E 也四点共圆，有同弧所对的圆周角∠FBG＝∠FEG， 等量代换有∠CED＝∠FEG，同理可证其余两个内角的平分线． 【解答】解：（1）根据圆的定义可知，当点 B、C、D、E 到点 M 距离相等时，即他们 在圆 M 上 故答案为：ME＝MD＝MB＝MC （2）证明：连接 MD、ME ∵BD、CE 是△ABC 的高 ∴BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠BDC＝∠CEB＝90° ∵M 为 BC 的中点 ∴ME＝MD＝ BC＝MB＝MC ∴点 B、C、D、E 在以点 M 为圆心的同一个圆上 ∴∠ABC＝∠CDE＝180° ∵∠ADE+∠CDE＝180° ∴∠ADE＝∠ABC （3）证明：取 BG 中点 N，连接 EN、FN ∵CE、AF 是△ABC 的高 ∴∠BEG＝∠BFG＝90° ∴EN＝FN＝ BG＝BN＝NG ∴点 B、F、G、E 在以点 N 为圆心的同一个圆上 ∴∠FBG＝∠FEG ∵由（2）证得点 B、C、D、E 在同一个圆上 ∴∠FBG＝∠CED ∴∠FEG＝∠CED 同理可证：∠EFG＝∠AFD，∠EDG＝∠FDG ∴点 G 是△DEF 的内心 【点评】本题考查了圆的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，圆内接四边形 对角互补，圆周角定理，内心的定义．第（3）题解题关键是选取适当的四点证明共圆， 再利用圆周角定理证明角相等 27．如图 1，已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 交 y 轴于点 A（0，4），交 x 轴于点 B（4，0），点 P 是抛物线上一动点，试过点 P 作 x 轴的垂线 1，再过点 A 作 1 的垂线，垂足为 Q，连接 AP． （1）求抛物线的函数表达式和点 C 的坐标； （2）若△AQP∽△AOC，求点 P 的横坐标； （3）如图 2，当点 P 位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对 应点为点 Q′，请直接写出当点 Q′落在坐标轴上时点 P 的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方 程，通过解一元二次方程得到 C 点坐标； （2）利用△AQP∽△AOC 得到 AQ＝4PQ，设 P（m，﹣m2+3m+4），所以 m＝4|4﹣（﹣ m2+3m+4|，然后解方程 4（m2﹣3m）＝m 和方程 4（m2﹣3m）＝﹣m 得 P 点坐标； （3）设 P（m，﹣m2+3m+4）（m＞ ），当点 Q′落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H， 如图 2，则 PQ＝m2﹣3m，证明 Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到 Q′B＝4m ﹣12，则 OQ′＝12﹣3m，在 Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程 42+（12﹣3m）2 ＝m2，然后解方程求出 m 得到此时 P 点坐标；当点 Q′落在 y 轴上，易得点 A、Q′、P、 Q 所组成的四边形为正方形，利用 PQ＝PQ′得到|m2﹣3m|＝m，然后解方程 m2﹣3m＝m 和方程 m2﹣3m＝﹣m 得此时 P 点坐标． 【解答】解：（1）把 A（0，4），B（4，0）分别代入 y＝﹣x2+bx+c 得 ， 解得 ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+3x+4， 当 y＝0 时，﹣x2+3x+4＝0，解得 x1＝﹣1，x2＝4， ∴C（﹣1，0）； 故答案为 y＝﹣x2+3x+4；（﹣1，0）； （2）∵△AQP∽△AOC， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝4，即 AQ＝4PQ， 设 P（m，﹣m2+3m+4）， ∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，即 4|m2﹣3m|＝m， 解方程 4（m2﹣3m）＝m 得 m1＝0（舍去），m2＝ ，此时 P 点坐标为（ ， ）； 解方程 4（m2﹣3m）＝﹣m 得 m1＝0（舍去），m2＝ ，此时 P 点坐标为（ ， ）； 综上所述，点 P 的坐标为（ ， ）或（ ， ）； （3）设 P（m，﹣m2+3m+4）（m＞ ）， 当点 Q′落在 x 轴上，延长 QP 交 x 轴于 H，如图 2， 则 PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m， ∵△APQ 沿 AP 对折，点 Q 的对应点为点 Q'， ∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m， ∵∠AQ′O＝∠Q′PH， ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP， ∴ ＝ ，即 ＝ ，解得 Q′B＝4m﹣12， ∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m， 在 Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2＝m2， 整理得 m2﹣9m+20＝0，解得 m1＝4，m2＝5，此时 P 点坐标为（4，0）或（5，﹣6）； 当点 Q′落在 y 轴上，则点 A、Q′、P、Q 所组成的四边形为正方形， ∴PQ＝AQ′， 即|m2﹣3m|＝m， 解方程 m2﹣3m＝m 得 m1＝0（舍去），m2＝4，此时 P 点坐标为（4，0）； 解方程 m2﹣3m＝﹣m 得 m1＝0（舍去），m2＝2，此时 P 点坐标为（2，6）， 综上所述，点 P 的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次 函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质 进行几何计算；理解坐标与图形性质．会运用分类讨论的思想解决数学问题． 中考数学模拟试卷（5 月份） 一、选择题本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位 置上. 1．下列各个实数中，无理数是（ ） A．2 B．3.14 C． D． 2．计算 x3•x2 的结果是（ ） A．x B．x5 C．x6 D．x9 3．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A．x＞3 B．x＜3C．x=3 D．x≠3 4．若实数 m= ，则估计 m 的值所在范围正确的是（ ） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 5．如图为某物体简化的主视图和俯视图，猜想该物体可能是（ ） A．光盘 B．双层蛋糕 C．游泳圈 D．铅笔 6．如图，在菱形 ABCD 中，EF∥AB，对角线 AC 交 EF 于点 G，那么与∠BAC 相 等的角的个数有（∠BAC 除外）（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 7．对于某个一次函数，当 x 的值减小 1 个单位，y 的值增加 2 个单位，则当 x 的值增加 2 个单位时，y 的值将（ ） A．增加 4 个单位 B．减小 4 个单位 C．增加 2 个单位 D．减小 2 个单位 8．对反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．它的图象在第一、三象限 B．点（﹣1，﹣4）在它的图象上 C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 9．如图，△ABC 内接于⊙O，作 OD⊥BC 于点 D，若∠A=60°，则 OD：CD 的值 为（ ） A．1：2 B．1： C．1： D．2： 10．如图，点 A 在反比例函数 y=﹣ （x＜0）的图象上移动，连接 OA，作 OB ⊥OA，并满足∠OAB=30°．在点 A 的移动过程中，追踪点 B 形成的图象所对应的 函数表达式为（ ） A．y= （x＞0） B．y= （x＞0） C．y= （x＞0） D．y= （x＞0） 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.把答案直接填在答题卡相 应位置上. 11．一组数据 2，3，5，6，6 的中位数为 ． 12．据太仓市统计局 3 月 10 日统计公报，截止 2015 年底，我市常住人口为 709500 人．数据 709500 用科学记数法表示为 ． 13．因式分解：2x3﹣8x= ． 14．已知多边形的每个内角都等于 135°，求这个多边形的边数是 ．（用两种 方法解决问题） 15．把二次函数 y=x2+bx+c 的图象向下平移 1 个单位长度，再向左平移 2 个单位 长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），则 b+c 的值为 ． 16．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 EC，过点 E 作 EF⊥EC， 交 AB 于点 F，则 tan∠ECF= ． 17．如图，水平面上有一个坡度 i=1：2 的斜坡 AB，矩形货柜 DEFG 放置在斜坡 上，己知 DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点 D 离地面的高 DH 为 m．（结果 保留根号） 18．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是 AB 上的一点（不与点 A、B 重合），DE∥BC， 交 AC 于点 E，则 的最大值为 ． 三、解答题：本大题共 10 小题，共 76 分.把解答过程写在答题卡相应位置上， 解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用 2B 铅笔或黑色墨 水签字笔. 19．计算：（﹣1）3+ ﹣| |． 20．解不等式组： ． 21．先化简，再求值： ，其中 x=3+ ． 22．甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款 30 000 元，已知乙公司比甲公司 人均多捐 20 元，且甲公司的人数比乙公司的人数多 20%．问甲、乙两公司各有 多少人？ 23．如图，在矩形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 CD 于点 E， 连接 AE、BE．作 BF⊥AE 于点 F． （1）求证：BF=AD； （2）若 EC= ﹣1，∠FEB=67.5°，求扇形 ABE 的面积（结果保留π）． 24．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传球，假设他们相互间传球是等可能的， 并且由甲首先开始传球． （1）经过 2 次传球后，球仍回到甲手中的概率是 ； （2）请用列举法（画树状图或列表）求经过 3 次传球后，球仍回到甲手中的概 率； （3）猜想并直接写出结论：经过 n 次传球后，球传到甲、乙这两位同学手中的 概率：P（球传到甲手中）和 P（球传到乙手中）的大小关系． 25．如图，一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= （x＜0）的图象交于点 A．与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 D 作 DE∥AB，交 y 轴于点 E．己知四边形 ADEC 的面积为 6． （1）求 k 的值； （2）若 AD=3OC，tan∠DAC=2．求点 E 的坐标． 26．如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，AD=4，CE 平分∠ACB 交 AD 于点 E．以 线段 CE 为弦作⊙O，且圆心 O 落在 AC 上，⊙O 交 AC 于点 F，交 BC 于点 G． （1）求证：AD 与⊙O 的相切； （2）若点 G 为 CD 的中点，求⊙O 的半径； （3）判断点 E 能否为 AD 的中点，若能则求出 BC 的长，若不能请说明理由． 27．如图①，二次函数 y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中 b＜﹣1）的图象与 x 轴交 于点 A、B，与 y 轴交于点 C（0，1），过点 C 的直线交 x 轴于点 D（2，0），交抛 物线于另一点 E． （1）用 b 的代数式表示 a，则 a= ； （2）过点 A 作直线 CD 的垂线 AH，垂足为点 H．若点 H 恰好在抛物线的对称轴 上，求该二次函数的表达式； （3）如图②，在（2）的条件下，点 P 是 x 轴负半轴上的一个动点，OP=m．在 点 P 左侧的 x 轴上取点 F，使 PF=1．过点 P 作 PQ⊥x 轴，交线段 CE 于点 Q，延 长线段 PQ 到点 G，连接 EG、DG．若 tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，试判断是 否存在 m 的值，使△FPQ 的面积和△EGQ 的面积相等？若存在求出 m 的值，若 不存在则说明理由． 28．如图，直线 y=﹣ x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 C 从点 B 出发，以 每秒 5 个单位长度的速度向点 A 匀速运动；同时点 D 从点 O 出发，以每秒 4 个 单位长度的速度向点 B 匀速运动，到达终点后运动立即停止．连接 CD，取 CD 的中点 E，过点 E 作 EF⊥CD，与折线 DO﹣OA﹣AC 交于点 F，设运动时间为 t 秒． （1）点 C 的坐标为 （用含 t 的代数式表示）； （2）求证：点 E 到 x 轴的距离为定值； （3）连接 DF、CF，当△CDF 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形时，求 CD 的长． 2016 年江苏省苏州市太仓市中考数学模拟试卷（5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用 2B 铅笔涂在答题卡相应位 置上. 1．下列各个实数中，无理数是（ ） A．2 B．3.14 C． D． 【考点】无理数． 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【解答】解：A、2 是有理数，故 A 错误； B、3.14 是有理数，故 B 错误； C、 是有理数，故 C 错误； D、 是无理数，故 D 正确； 故选：D． 2．计算 x3•x2 的结果是（ ） A．x B．x5 C．x6 D．x9 【考点】同底数幂的乘法． 【分析】根据同底数的幂相乘的法则即可求解． 【解答】解：x3•x2=x5． 故选 B． 3．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（ ） A．x＞3 B．x＜3C．x=3 D．x≠3 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣3≠0， 解得 x≠3． 故选 D． 4．若实数 m= ，则估计 m 的值所在范围正确的是（ ） A．1＜m＜2 B．2＜m＜3 C．3＜m＜4 D．4＜m＜5 【考点】估算无理数的大小． 【分析】原式化简后合并，估算即可． 【解答】解：m=3 ﹣2 = ≈1.414， 则 1＜m＜2， 故选 A． 5．如图为某物体简化的主视图和俯视图，猜想该物体可能是（ ） A．光盘 B．双层蛋糕 C．游泳圈 D．铅笔 【考点】由三视图判断几何体． 【分析】如图，根据三视图，俯视图为一个圆环，正视图是一个上下 2 个矩形， 符合该条件的是上下两个圆柱体．依此即可求解． 【解答】解：俯视图为一个圆环，正视图是一个上下 2 个矩形，符合该条件的是 上下两个圆柱体，即选项中的双层蛋糕． 故选：B． 6．如图，在菱形 ABCD 中，EF∥AB，对角线 AC 交 EF 于点 G，那么与∠BAC 相 等的角的个数有（∠BAC 除外）（ ） A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【考点】菱形的性质． 【分析】由在菱形 ABCD 中，可得∠DAC=∠ACB=∠ACD=∠BAC，又由 EF∥AB， 可得∠AGE=∠CGF=∠BAC，继而求得答案． 【解答】解：∵在菱形 ABCD 中，EF∥AB， ∴AB∥CD，∠DAB=∠DCB，∠DAC=∠BAC= ∠DAB，∠ACB=∠ACD= ∠BCD， ∴∠DAC=∠ACB=∠ACD=∠BAC，AB∥CD∥EF， ∴∠AGE=∠CGF=∠BAC． 故选 C． 7．对于某个一次函数，当 x 的值减小 1 个单位，y 的值增加 2 个单位，则当 x 的值增加 2 个单位时，y 的值将（ ） A．增加 4 个单位 B．减小 4 个单位 C．增加 2 个单位 D．减小 2 个单位 【考点】一次函数的性质． 【分析】设 y=kx+b，（x0，y0）是函数图象上一点，则 y0=kx0+b，根据题意求出 k 的值，即可解决问题． 【解答】解：设 y=kx+b，（x0，y0）是函数图象上一点，则 y0=kx0+b， y0+2=k（x0﹣1）+b， ∴kx0+b+2=Kx0﹣k+b， ∴k=﹣2， ∴y=﹣2x+b， x=x0+2 时，y=﹣2（x0+2）+b=﹣2x0+b﹣4=y0﹣4， ∴y 的值将减少 4 个单位． 故选 B． 8．对反比例函数 ，下列说法不正确的是（ ） A．它的图象在第一、三象限 B．点（﹣1，﹣4）在它的图象上 C．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小D．当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大 【考点】反比例函数的性质． 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答． 【解答】解：A、∵k=4＞0，∴图象在第一、三象限，正确，故本选项不符合题 意； B、当 x=﹣1 时， =﹣4，正确，故本选项不符合题意； C、∵k=4＞0，∴当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小，正确，故本选项不符合题意； D、∵k=4＞0，∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小，错误，故本选项符合题意． 故选 D． 9．如图，△ABC 内接于⊙O，作 OD⊥BC 于点 D，若∠A=60°，则 OD：CD 的值 为（ ） A．1：2 B．1： C．1： D．2： 【考点】三角形的外接圆与外心． 【分析】连接 OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由等腰三角形的 性质求出∠COD 的度数，进而可得出结论． 【解答】解：连接 OB，OC， ∵∠A=60°， ∴∠BOC=2∠A=120°． ∵OB=OC，OD⊥BC， ∴∠COD= ∠BOC=60°， ∴ =cot60°= ，即 OD：CD=1： ． 故选 C． 10．如图，点 A 在反比例函数 y=﹣ （x＜0）的图象上移动，连接 OA，作 OB ⊥OA，并满足∠OAB=30°．在点 A 的移动过程中，追踪点 B 形成的图象所对应的 函数表达式为（ ） A．y= （x＞0） B．y= （x＞0） C．y= （x＞0） D．y= （x＞0） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【分析】首先设 B 点坐标满足的函数解析式是 y= ，过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C， 过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D，易得△AOC∽△OBD，然后由相似三角形面积比等于 相似比的平方，求得 S△AOC：S△BOD=2：1，继而求得答案． 【解答】解：设 B 点坐标满足的函数解析式是 y= ， 过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C，过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D， ∴∠ACO=∠BDO=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， ∴∠BOD=∠OAC， ∴△AOC∽△OBD， ∴S△AOC：S△BOD=（ ）2， ∵AO= BO， ∴S△AOC：S△BOD=3， ∵S△AOC= OC•AC= ，S△BOD= ， ∴设 B 点坐标满足的函数解析式是 y= ． 故选 B． 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分.把答案直接填在答题卡相 应位置上. 11．一组数据 2，3，5，6，6 的中位数为 5 ． 【考点】中位数． 【分析】根据中位数的定义，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后， 最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数求解即可． 【解答】解：数据从小到大排列为 2，3，5，6，6， 中间一个数为 5，则中位数为 5． 故答案为：5． 12．据太仓市统计局 3 月 10 日统计公报，截止 2015 年底，我市常住人口为 709500 人．数据 709500 用科学记数法表示为 7.095×105 ． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 709500 用科学记数法表示为：7.095×105． 故答案为：7.095×105． 13．因式分解：2x3﹣8x= 2x（x+2）（x﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】先提公因式 2x，分解成 2x（x2﹣4），而 x2﹣4 可利用平方差公式分解． 【解答】解：2x3﹣8x=2x（x2﹣4）=2x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：2x（x+2）（x﹣2）． 14．已知多边形的每个内角都等于 135°，求这个多边形的边数是 9 ．（用两 种方法解决问题） 【考点】多边形内角与外角． 【分析】根据多边形的内角和公式，可得方程，根据解方程，可得答案； 根据正多边形的外角相等，可得每一个外角，根据多边形的外角和除以一个外角， 可得答案． 【解答】解：解法一：设这个多边形是 n 边形，由题意，得 （n﹣2）×180°=135°n， 解得 n=9． 解法二： 由正多边的性质，得 每个外角等于=180°﹣135°=45° 外角和除以一个外角，得 360°÷45°=9． 故答案为：9． 15．把二次函数 y=x2+bx+c 的图象向下平移 1 个单位长度，再向左平移 2 个单位 长度后，得到的抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），则 b+c 的值为 0 ． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】抛物线 y=x2+bx+c 化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律 平移则可． 【解答】解：根据题意 y=x2+bx+c=（x+ ）2+c﹣ 下平移 1 个单位，再向左平 移 2 个单位，得 y=（x+ +2）2+c﹣ ﹣1． ∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），∴﹣ ﹣2=﹣1，c﹣ ﹣1=0， 解得：b=﹣2，c=2， ∴b+c=0， 故答案为：0． 16．如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AD 的中点，连接 EC，过点 E 作 EF⊥EC， 交 AB 于点 F，则 tan∠ECF= ． 【考点】正方形的性质；锐角三角函数的定义． 【分析】由△AEF∽△DCE，得 = = ，由此即可解决问题． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC，∠A=∠D=90°， ∵AE=ED， ∴CD=AD=2AE， ∵∠FEC=90°， ∴∠AEF+∠DEC=90°， ∵∠DEC+∠DCE=90°， ∴∠AEF=∠DCE，∵∠A=∠D， ∴△AEF∽△DCE， ∴ = = ， ∴tan∠ECF= = ． 故答案为 ． 17．如图，水平面上有一个坡度 i=1：2 的斜坡 AB，矩形货柜 DEFG 放置在斜坡 上，己知 DE=2.5m．EF=2m，BF=3.5m，则点 D 离地面的高 DH 为 2 m．（结 果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题． 【分析】作 DH⊥BC，垂足为 H，且与 AB 相交于 S．证出∠GDS=∠SBH，根据 = ， 得到 GD=1m，利用勾股定理求出 DS 的长，然后求出 BS=5m，进而求出 HS，然 后得到 DH． 【解答】解：作 DH⊥BC，垂足为 H，且与 AB 相交于 S． ∵∠DGS=∠BHS，∠DSG=∠BSH， ∴∠GDS=∠SBH， ∴ = ， ∵DG=EF=2m， ∴GS=1m， ∴DS= = m，BS=BF+FS=3.5+（2.5﹣1）=5m， 设 HS=xm，则 BH=2xm， ∴x2+（2x）2=52， ∴x= m， ∴DH= + =2 m． 故答案是：2 ． 18．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是 AB 上的一点（不与点 A、B 重合），DE∥BC， 交 AC 于点 E，则 的最大值为 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；二次函数的最值． 【分析】设 AD=x， =y，求出 = x2①， = = ②，①÷ ②即可得出 y 关于 x 的函数关系式以及自变量 x 的取值范围，于是得到 y= = ﹣ x2+ x=﹣ （x﹣2）2+ ≤ ，即可得到结论． 【解答】解：设 AD=x， =y， ∵AB=4，AD=x， ∴ =（ ）2=（ ）2， ∴ = x2①， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ = ， ∵AB=4，AD=x， ∴ = ， ∴ = ， ∵△ADE 的边 AE 上的高和△CED 的边 CE 上的高相等， ∴ = = ②， ①÷②得： ∴y= =﹣ x2+ x， ∵AB=4， ∴x 的取值范围是 0＜x＜4； ∴y= =﹣ （x﹣2）2+ ≤ ， ∴ 的最大值为 ． 故答案为： ． 三、解答题：本大题共 10 小题，共 76 分.把解答过程写在答题卡相应位置上， 解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用 2B 铅笔或黑色墨 水签字笔. 19．计算：（﹣1）3+ ﹣| |． 【考点】二次根式的加减法． 【分析】首先去绝对值以及化简二次根式，进而求出答案． 【解答】解：原式=﹣1+2 ﹣（ ﹣1） = ． 20．解不等式组： ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】先分别解两个不等式得 x＜1 和 x≥﹣ ，然后根据大小小大中间找确定 不等式组的解集． 【解答】解： ， 解①得 x＜1， 解②得 x≥﹣ ， 所以不等式组的解集为﹣ ≤x＜1． 21．先化简，再求值： ，其中 x=3+ ． 【考点】分式的化简求值． 【分析】先算括号里面的，再算除法，把 x 的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式= ÷ = • = ， 当 x=3+ 时，原式= = ． 22．甲、乙两公司各为“见义勇为基金会”捐款 30 000 元，已知乙公司比甲公司 人均多捐 20 元，且甲公司的人数比乙公司的人数多 20%．问甲、乙两公司各有 多少人？ 【考点】二元一次方程组的应用． 【分析】本题的等量关系是：甲公司的人均捐款+20=乙公司的人均捐款． 甲公司的人数=乙公司的人数×（1+20%）．根据这两个等量关系可得出方程组求 解． 【解答】解：设甲公司有 x 人，乙公司有 y 人． 依题意有： ， 解得： ， 经检验： 是原方程组的解． 答：甲公司 300 人，乙公司 250 人． 23．如图，在矩形 ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧，交 CD 于点 E， 连接 AE、BE．作 BF⊥AE 于点 F． （1）求证：BF=AD； （2）若 EC= ﹣1，∠FEB=67.5°，求扇形 ABE 的面积（结果保留π）． 【考点】扇形面积的计算；矩形的性质． 【分析】（1）利用矩形的性质得出 AB∥DC，∠D=90°，再利用全等三角形的判定 得出△ABF≌△ADE 进而得出答案； （2）根据等腰三角形的性质得到∠AEB=∠ABE=67.5°，由三角形的内角和得到∠ EAB=45°，推出△ADE 是等腰直角三角形，得到 AD=AE，根据等腰直角三角形的 性质列方程得到 AE=2，于是得到结论． 【解答】（1）证明：在矩形 ABCD 中，AB∥DC，∠D=90°， ∴∠AED=∠FAB， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB=∠D=90°， 由作图可知，AB=AE， 在△ABF 和△ADE 中， ， ∴△ABF≌△ADE（AAS）， ∴BF=AD； （2）解：∵AE=AB， ∴∠AEB=∠ABE=67.5°， ∴∠EAB=45°， ∴∠DEA=45°， ∴△ADE 是等腰直角三角形， ∴AD=AE， 设 AE=x，则 DE=x﹣ +1， ∴x= （x﹣ +1）， ∴x= ， ∴AE= ， ∴扇形 ABE 的面积= = π． 24．甲、乙、丙三位同学在操场上互相传球，假设他们相互间传球是等可能的， 并且由甲首先开始传球． （1）经过 2 次传球后，球仍回到甲手中的概率是 ； （2）请用列举法（画树状图或列表）求经过 3 次传球后，球仍回到甲手中的概 率； （3）猜想并直接写出结论：经过 n 次传球后，球传到甲、乙这两位同学手中的 概率：P（球传到甲手中）和 P（球传到乙手中）的大小关系． 【考点】列表法与树状图法． 【分析】（1）画树状图展示所有 4 种等可能的结果数，再找出球仍回到甲手中的 结果数，然后根据概率公式求解； （2）画树状图展示所有 8 种等可能的结果数，再找出球仍回到甲手中的结果数， 然后根据概率公式求解； （3）利用（1）、（2）的结论讨论：当 n 为偶数时，P（球传到甲手中）＞P（球 传到乙手中）的大小关系；当 n 为奇数时，P（球传到甲手中）＜P（球传到乙手 中）的大小关系． 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 4 种等可能的结果数，其中球仍回到甲手中的结果数为 2， 所以球仍回到甲手中的概率= = ； 故答案为 ； （2）画树状图为： 共有 8 种等可能的结果数，其中球仍回到甲手中的结果数为 2， 所以球仍回到甲手中的概率= = ； （3）当 n 为偶数时，P（球传到甲手中）＞P（球传到乙手中）的大小关系； 当 n 为奇数时，P（球传到甲手中）＜P（球传到乙手中）的大小关系． 25．如图，一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y= （x＜0）的图象交于点 A．与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，过点 D 作 DE∥AB，交 y 轴于点 E．己知四边形 ADEC 的面积为 6． （1）求 k 的值； （2）若 AD=3OC，tan∠DAC=2．求点 E 的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）设 A（x，y），则 AD=y，OD=﹣x，再由 AD⊥x 轴，DE∥AB 得出四 边形 ADEC 是平行四边形，故可得出 AD•OD=6，由此可得出结论； （2）根据 AD=3OC，tan∠DAC=2，可设 OC=x，则 AD=3x，OD=6x，代入反比例 函数的解析式得出 x 的值，由平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：（1）设 A（x，y），则 AD=y，OD=﹣x， ∵AD⊥x 轴，DE∥AB，CE⊥x 轴， ∴四边形 ADEC 是平行四边形． ∵四边形 ADEC 的面积为 6， ∴AD•OD=6，即﹣xy=6， ∴k=xy=﹣6； （2）∵AD=3OC，tan∠DAC=2， ∴设 OC=x，则 AD=3x，OD=6x， ∴A（﹣6x，3x）， ∵点 A 在反比例函数 y=﹣ 的图象上， ∴﹣18x2=﹣6，解得 x= ， ∴OC= ，AD= ， ∵四边形 ADEC 是平行四边形， ∴AD=CE， ∴OE=CE﹣OC= ﹣ = ， ∴E（0，﹣ ）． 26．如图，△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC，AD=4，CE 平分∠ACB 交 AD 于点 E．以 线段 CE 为弦作⊙O，且圆心 O 落在 AC 上，⊙O 交 AC 于点 F，交 BC 于点 G． （1）求证：AD 与⊙O 的相切； （2）若点 G 为 CD 的中点，求⊙O 的半径； （3）判断点 E 能否为 AD 的中点，若能则求出 BC 的长，若不能请说明理由． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠OEC=∠OCE，由角平分线的定义得到 ∠OCE=∠DCE，等量代换得到∠OEC=∠DCE，得到 OE∥BC，根据平行线的性质得 到 OE⊥AD，即可得到结论； （2）由等腰三角形的性质得到∠OGC=∠OCG，∠B=∠ACB，推出 OG∥AB，根据 平行线分线段成比例定理得到 ，得到 ，根据相似三角形的性质得到 = ，得到 DE=OH=1，然后根据相似三角形的性质即可得到结论． （3）假设点 E 能为 AD 的中点，根据三角形的中位线的性质得到 AO=OC，推出 OE= = CD，得到 AB+AC=BC，即△ABC 不存在，于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OE， ∵OE=OC， ∴∠OEC=∠OCE， ∵CE 平分∠ACB， ∴∠OCE=∠DCE， ∴∠OEC=∠DCE， ∴OE∥BC， ∵AD⊥BC， ∴OE⊥AD， ∴AD 与⊙O 的相切； （2）连接 OG，过 O 作 OH⊥CD 于 H， ∴OH∥AD， ∵OG=OC， ∴∠OGC=∠OCG， ∵AB=AC， ∴∠B=∠ACB， ∴∠B=∠OGC， ∴OG∥AB， ∵ ， ∵点 G 为 CD 的中点， ∴CG= CD= BC， ∴ ， ∴OH∥AD， ∴△COH∽△CAD， ∴ = ， ∴OH=1， ∴DE=OH=1， ∵AD 与⊙O 的相切， ∴DE2=DG•CD=2DG2， ∴DG= ， ∴CD= ， ∵OE∥CD， ∴△AOE∽△ADC， ∴ ， ∴OE= ， ∴⊙O 的半径是 ； （3）点 E 不能为 AD 的中点， 假设点 E 能为 AD 的中点， ∵OE∥CD， ∴AO=OC， ∴AC 为⊙O 的直径，OE= = CD， ∵CD=BD，AB=AC， ∴AB+AC=BC，即△ABC 不存在， 故点 E 不能为 AD 的中点． 27．如图①，二次函数 y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中 b＜﹣1）的图象与 x 轴交 于点 A、B，与 y 轴交于点 C（0，1），过点 C 的直线交 x 轴于点 D（2，0），交抛 物线于另一点 E． （1）用 b 的代数式表示 a，则 a= ﹣ ； （2）过点 A 作直线 CD 的垂线 AH，垂足为点 H．若点 H 恰好在抛物线的对称轴 上，求该二次函数的表达式； （3）如图②，在（2）的条件下，点 P 是 x 轴负半轴上的一个动点，OP=m．在 点 P 左侧的 x 轴上取点 F，使 PF=1．过点 P 作 PQ⊥x 轴，交线段 CE 于点 Q，延 长线段 PQ 到点 G，连接 EG、DG．若 tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP，试判断是 否存在 m 的值，使△FPQ 的面积和△EGQ 的面积相等？若存在求出 m 的值，若 不存在则说明理由． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）将 C（0，1）代入二次函数 y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中 b＜﹣1）， 得出﹣ab=1，即可得出结果； （2）作 HM⊥AD 于 M，得出对称轴 x=﹣ =﹣ = ，由 C、D 的坐标 求出直线 CD 解析式为：y=﹣ +1，将 x= 代入 y=﹣ +1，得出 H（ ， ）， 由 ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab=0，求出 A（b，0），得出 HM，AM，DM，由射影定理 得：HM2=AM•DM，解得 b=﹣3，得出 a= ，即可得出二次函数的表达式； （3）过点 E 作 EN⊥GQ 于点 Q，由 y= x2+ x+1 与 y=﹣ +1 相交于点 E，求出 E（﹣ ， ），由 PO=m，得出 xQ=﹣m，yQ= m+1，由 tan∠GDP= = ， tan∠FQP= ，tan∠QDP= ，得出 ，求出 QG=2，再由△FPQ 的面积 = PF•PQ，△EGQ 的面积= QG•EN，由△FPQ 的面积和△EGQ 的面积相等，得 出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵二次函数 y=ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab（其中 b＜﹣1），C（0，1）， ∴﹣ab=1， ∴a=﹣ ； 故答案为：﹣ ； （2）作 HM⊥AD 于 M，如图 1 所示： 对称轴 x=﹣ =﹣ = ， 设直线 CD 解析式为：y=kx+n， ∵C（0，1），D（2，0）， ∴ ， 解得： ， ∴直线 CD 解析式为：y=﹣ +1， H 在对称轴上，将 x= 代入 y=﹣ +1， y=﹣ +1= ， ∴H（ ， ）， 由 ax2﹣a（b﹣1）x﹣ab=0，则（ax+a）（x﹣b）=0， ∴x1=﹣1，x2=b， ∵b＜﹣1， ∴A（b，0）， HM= ， AM=xM﹣xA= ﹣b=﹣ ， DM=xD﹣xM=2﹣ = ， 由射影定理得：HM2=AM•DM， 即（ ）2=﹣ • ， 解得：b=﹣3， ∵a=﹣ ， ∴a= ， ∴y= x2﹣ （﹣3﹣1）x+1= x2+ x+1； （3）存在 m 的值，使△FPQ 的面积和△EGQ 的面积相等；理由如下： 过点 E 作 EN⊥GQ 于点 Q，如图 2 所示： ∵y= x2+ x+1 与 y=﹣ +1 相交于点 E， ∴ ， 解得：x=﹣ ，或 x=0（不合题意舍去），y= ， ∴E（﹣ ， ）， ∵PO=m， ∴xQ=﹣m，代入 y=﹣ x+1 得：yQ= m+1， ∵tan∠GDP= = = ，tan∠FQP= ，tan∠QDP= ， ∵tan∠GDP=tan∠FQP+tan∠QDP， ∴ ， ∴ ， ∵PD=m+2，PQ= m+1，PF=1， ∴ ， 解得：QG=2， ∵△FPQ 的面积= PF•PQ，△EGQ 的面积= QG•EN，△FPQ 的面积和△EGQ 的面 积相等，EN= ﹣m， ∴ ×1×（ m+1）= ×2×（ ﹣m）， 解得：m=4； ∴存在 m 的值，使△FPQ 的面积和△EGQ 的面积相等，m=4． 28．如图，直线 y=﹣ x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，点 C 从点 B 出发，以 每秒 5 个单位长度的速度向点 A 匀速运动；同时点 D 从点 O 出发，以每秒 4 个 单位长度的速度向点 B 匀速运动，到达终点后运动立即停止．连接 CD，取 CD 的中点 E，过点 E 作 EF⊥CD，与折线 DO﹣OA﹣AC 交于点 F，设运动时间为 t 秒． （1）点 C 的坐标为 （3t，4﹣4t） （用含 t 的代数式表示）； （2）求证：点 E 到 x 轴的距离为定值； （3）连接 DF、CF，当△CDF 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形时，求 CD 的长． 【考点】一次函数综合题． 【分析】（1）过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M，根据直线 AB 的解析式结合一次函数图 象上点的坐标特征即可得出点 A、B 的坐标，由勾股定理即可得出 AB 的长度， 再根据平行线的性质即可得出 ，根据比例的性质可得出 ， 代入数据即可得出 OM，由此即可得出点 C 的坐标； （2）找出点 D 的坐标，根据点 E 为线段 CD 的中点，即可得出点 E 的坐标，由 此可得出点 E 的纵坐标时固定值，此题得证； （3）根据点 F 所在的位置不同考虑．①当点 F 在线段 AC 上时，利用相似三角形 的判定与性质结合线段间的关系，即可得出关于 t 的一元一次方程，解方程求出 t 值，进而可得出 CD 的长度；②当点 F 在线段 OA 上时，结合图象可知不存在； ③当点 F 在线段 OD 上时，根据点 C、D 的坐标结合等腰直角三角形的性质即可 得出关于 t 的一元一次方程，解方程求出 t 值，进而可得出 CD 的长度． 【解答】解：（1）过点 C 作 CM⊥x 轴于点 M，如图 1 所示． 当 x=0 时，y=4， ∴B（0，4），OB=4； 当 y=0 时，x=3， ∴A（3，0），OA=3． ∴AB= =5． ∵CM⊥x 轴，BO⊥x 轴， ∴ ， ∴ ， ∵BC=5t，AB=5，OA=3， ∴OM= BC=3t． 当 x=3t 时，y=4﹣4t， ∴C（3t，4﹣4t）． 故答案为：（3t，4﹣4t）． （2）证明：∵点 D 从点 O 出发，以每秒 4 个单位长度的速度向点 B 匀速运动， ∴OD=4t， ∴D（0，4t）． ∵点 E 为线段 CD 的中点， ∴E（ ， ），既（ ，2）， ∴点 E 到 x 轴的距离为定值． （3）按点 F 的位置不同来考虑． ①当点 F 在 AC 上时，如图 2 所示． ∵DF⊥AB，∠AOB=90°， ∴△BDF∽△BAO， ∴ ， ∴DF=CF= （1﹣t），BF= （1﹣t）． ∵BF=BC+CF， ∴ （1﹣t）=5t+ （1﹣t）， ∴t= ． 此时 DF= ×（1﹣ ）= ，CD= DF= ； ②当点 F 在 OA 上时，如图 3 所示，显然不存在； ③当点 F 在 OD 上时，如图 4 所示． ∵C（3t，4﹣4t），D（0，4t），∠CFD=90°， ∴F（0，4﹣4t）， ∴DF=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4，CF=3t． ∵△CDF 为等腰直角三角形， ∴DF=CF，即 8t﹣4=3t， 解得：t= ． 此时 CF=3× = ，CD= CF= ． 综上可知：当△CDF 是以 CD 为斜边的等腰直角三角形时，CD 的长为 或 ． 中考模拟(七) 一、选择题 1．实数﹣ 的相反数是（ ） A． B． ﹣ C． 2 D． ﹣2 2．如图是由多个完全相同的小正方体组成的几何体，其左 视 图是（ ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（ ） A． 5m+2m=7m2 B． ﹣2m2•m3=2m5 C． （﹣a2b）3=﹣a6b3 D． （b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2 4．下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 5．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了 A、B 两类玩具，其中 A 类玩具的 进价比 B 类玩具的进价每个多 3 元，经调查：用 900 元购进 A 类玩具的数量与用 750 元购进 B 类玩具的数量相同．设 A 类玩具的进价为 m 元/个，根据题意可列分式方程为（ ） A． B． C． D． 6．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击 10 次，平均环数均为 8.7 环，方差分别为 S 甲 2=0.51，S 乙 2=0.41、S 丙 2=0.62、S 丁 2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（ ） A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 4 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇 匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄 球的频率是 0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A． 16 个 B． 20 个 C． 25 个 D． 30 个 8．如图，▱ ABCD 的周长为 20cm，AE 平分∠BAD，若 CE=2cm，则 AB 的长度是（ ） A． 10cm B． 8cm C． 6cm D． 4cm 9．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（﹣2，0），与 x 轴夹角为 30°， 将△ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y= （k≠0）上，则 k 的值为 （ ） A． 4 B． ﹣2 C． D． ﹣ 10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 P 是斜边 AB 的中点，点 M 从点 C 向点 A 匀速运动， 点 N 从点 B 向点 C 匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接 PM、PN、MN，在整 个运动过程中，△PMN 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．据《本溪日报》报道：本溪市高新区 2015 年 1 月份公共财政预算收入完成 259 610 000 元，首月实现税收收入“开门红”．将 259 610 000 用科学记数法表示为 ． 12．分解因式：9a3﹣ab2= ． 13．如图，直线 a∥b，三角板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两条直线分别交直线 b 于 B、C 两点．若∠1=42°，则∠2 的度数是 ． 14．从﹣1、 、1 这三个数中任取两个不同的数作为 点 A 的 坐标，则点 A 在第二象限的概率是 ． 15．关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0 有两个不 相等的 实数根，则实数 k 的取值范围是 ． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点 E， 则 OE= ． 17．在△ABC 中，AB=6cm，AC=5cm，点 D、E 分别在 AB、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且 S△ADE：S 四边形 BCED=1：8，则 AD= cm． 18．（2015•本溪）如图，已知矩形 ABCD 的边长分别为 a， b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形 AEFG 各边中点，得到菱形 I1；连接矩形 FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形 FNPQ 各边中点，得到菱形 I2；…如此操作 下去，得到菱形 In，则 In 的面积是 ． 三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分） 19．先化简再求值：（x﹣2+ ）÷ ，其中 x=(π﹣2015)0﹣ +（ ）﹣1 20．（12 分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年 级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的 信息回答下列问题： （1）本次调查的学生总数为 人，被调查学生的课外阅读时间的中位 数是 小时，众数是 小时； （2）请你补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度数是 ； （4）若全校九年级共有学生 700 人，估计九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生有多少 人？ 四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 24 分） 21．（12 分）暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游， 报名的人数共有 69 人，其中成人的人数比儿童人数的 2 倍少 3 人． （1）旅游团中成人和儿童各有多少人？ （2）旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件 T 恤衫，成人 T 恤衫每购买 10 件赠送 1 件儿童 T 恤衫（不足 10 件不赠送），儿童 T 恤衫每件 15 元，旅行社购买服装的费用不超过 1200 元，请问每件成人 T 恤衫的价格最高是多少元？ 22．（12 分）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树 CD 的高度，如图，山坡与 水平面成 30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部 A 处测得大树顶端点 C 的仰角为 45°，沿坡 面前进 20 米，到达 B 处，又测得树顶端点 C 的仰角为 60°（图中各点均在同一平面内）， 求这棵大树 CD 的高度（结果精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.732） 五、解答题（满分 12 分） 23．（12 分）如图，点 D 是等边△ABC 中 BC 边的延长线上一点，且 AC=CD，以 AB 为直径作 ⊙O，分别交边 AC、BC 于点 E、点 F （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）连接 OC，交⊙O 于点 G，若 AB=4，求线段 CE、CG 与 围成的阴影部分的面积 S． 六、解答题（满分 12 分） 24．（12 分）某种商品的进价为 40 元/件，以获利不低于 25%的价格销售时，商品的销售单 价 y（元/件）与销售数量 x（件）（x 是正整数）之间的关系如下表： x（件） … 5 10 15 20 … y（元/件） … 75 70 65 60 … （1）由题意知商品的最低销售单价是 元，当销售单价不低于最低销售单价时， y 是 x 的一次函数．求出 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 七、解答题（满分 12 分） 25．（12 分）如图 1，在△ABC 中，AB=AC，射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺时针旋转， 旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC=60°时，将 BP 旋转到图 2 位置，点 D 在射线 BP 上．若∠CDP=120°，则∠ACD ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系是 ； （2）当∠BAC=120°时，将 BP 旋转到图 3 位置，点 D 在射线 BP 上，若∠CDP=60°，求证： BD﹣CD= AD； （3）将图 3 中的 BP 继续旋转，当 30°＜α＜180°时，点 D 是直线 BP 上一点（点 P 不在 线段 BD 上），若∠CDP=120°，请直接写出线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系（不必证明）． 八、解答题（满分 14 分） 26．（14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx（a≠0）经过点 A（2，0），点 B（3，3），BC⊥x 轴于点 C，连接 OB，等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 在 x 轴上，点 E 的坐标为（﹣4，0），点 F 与原 点重合 （1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴； （2）△DEF 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动，运动时间为 t 秒，当点 D 落在 BC 边上时停止运动，设△DEF 与△OBC 的重叠部分的面积为 S，求出 S 关于 t 的函数关系式； （3）点 P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的 点 P 坐标． 2015 年辽宁省本溪市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．实数﹣ 的相反数是（ ） A． B． ﹣ C． 2 D． ﹣2 考点： 相反数． 分析： 根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答． 解答： 解：实数﹣ 的相反数是 ， 故选 A 点评： 本题考查了实数的性质，熟记相反数的定义是解题的关键． 2．如图是由多个完全相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（ ） A． B． C． D． 考点： 简单组合体的三视图． 分析： 根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 解答： 解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层靠左边两个小正方形，第三层靠左边 一个小正方形． 故选：C． 点评： 本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的视图是左视图． 3．下列运算正确的是（ ） A． 5m+2m=7m2 B． ﹣2m2•m3=2m5 C． （﹣a2b）3=﹣a6b3 D． （b+2a）（2a﹣b）=b2﹣4a2 考点： 幂的乘方与积的乘方；合并同类项；单项式乘单项式；平方差公式． 分析： A、依据合并同类项法则计算即可；B、依据单项式乘单项式法则计算即可；C、依据 积的乘方法则计算即可；D、依据平方差公式计算即可． 解答： 解：A、5m+2m=（5+2）m=7m，故 A 错误； B、﹣2m2•m3=﹣2m5，故 B 错误； C、（﹣a2b）3=﹣a6b3，故 C 正确； D、（b+2a）（2a﹣b）=（2a+b）（2a﹣b）=4a2﹣b2，故 D 错误． 故选：C． 点评： 本题主要考查的是整式的计算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的 乘方法则以及平方差公式是解题的关键． 4．下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 考点： 中心对称图形；轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 解答： 解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，是中心对称图形． 故选 B． 点评： 本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念，以及对轴对称图形和中心对称图 形的认识． 5．为迎接“六一”儿童节，某儿童品牌玩具专卖店购进了 A、B 两类玩具，其中 A 类玩具的 进价比 B 类玩具的进价每个多 3 元，经调查：用 900 元购进 A 类玩具的数量与用 750 元购进 B 类玩具的数量相同．设 A 类玩具的进价为 m 元/个，根据题意可列分式方程为（ ） A． B． C． D． 考点： 由实际问题抽象出分式方程． 分析： 根据题意 B 类玩具的进价为（m﹣3）元/个，根据用 900 元购进 A 类玩具的数量与用 750 元购进 B 类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可． 解答： 解：设 A 类玩具的进价为 m 元/个，则 B 类玩具的进价为（m﹣3）元/个， 由题意得， = ， 故选：C． 点评： 本题考查的是列分式方程解应用题，找到等量关系是解决问题的关键． 6．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击 10 次，平均环数均为 8.7 环，方差分别为 S 甲 2=0.51，S 乙 2=0.41、S 丙 2=0.62、S 丁 2=0.45，则四人中成绩最稳定的是（ ） A． 甲 B． 乙 C． 丙 D． 丁 考点： 方差． 分析： 比较四个人的方差，然后根据方差的意义可判断谁的成绩最稳定． 解答： 解：∵S 甲 2=0.51，S 乙 2=0.41、S 丙 2=0.62、S 丁 2=0.45， ∴S 丙 2＞S 甲 2＞S 丁 2＞S 乙 2， ∴四人中乙的成绩最稳定． 故选 B． 点评： 本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值 的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 7．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和 4 个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇 匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄 球的频率是 0.2，则估计盒子中大约有红球（ ） A． 16 个 B． 20 个 C． 25 个 D． 30 个 考点： 利用频率估计概率． 分析： 利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度 越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似 值就是这个事件的概率． 解答： 解：设红球有 x 个，根据题意得， 4：（4+x）=1：5， 解得 x=16． 故选 A． 点评： 此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键． 8．如图，▱ ABCD 的周长为 20cm，AE 平分∠BAD，若 CE=2cm，则 AB 的长度是（ ） A． 10cm B． 8cm C． 6cm D． 4cm 考点： 平行四边形的性质． 分析： 根据平行四边形的性质得出 AB=CD，AD=BC，AD∥BC，推出∠DAE=∠BAE，求出∠BAE= ∠AEB，推出 AB=BE，设 AB=CD=xcm，则 AD=BC=（x+2）cm，得出方程 x+x+2=10，求出方程的 解即可． 解答： 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC， ∴∠DAE=∠BAE， ∵AE 平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE， 设 AB=CD=xcm，则 AD=BC=（x+2）cm， ∵▱ ABCD 的周长为 20cm， ∴x+x+2=10， 解得：x=4， 即 AB=4cm， 故选 D． 点评： 本题考查了平行四边形的在，平行线的性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的 关键是能推出 AB=BE，题目比较好，难度适中． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线 AB 与 x 轴交于点 A（﹣2，0），与 x 轴夹角为 30°， 将△ABO 沿直线 AB 翻折，点 O 的对应点 C 恰好落在双曲线 y= （k≠0）上，则 k 的值为 （ ） A． 4 B． ﹣2 C． D． ﹣ 考点： 翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式． 分析： 设点 C 的坐标为（x，y），过点 C 作 CD⊥x 轴，作 CE⊥y 轴，由折叠的性质易得∠CAB= ∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得 CD，CE，得点 C 的坐标， 易得 k． 解答： 解：设点 C 的坐标为（x，y），过点 C 作 CD⊥x 轴，作 CE⊥y 轴， ∵将△ABO 沿直线 AB 翻折， ∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°， ∴CD=y=AC•sin60°=2× = ， ∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠BCE=∠ACD=30°， ∵BC=BO=AO•tan30°=2× = ， CE=x=BC•cos30°= =1， ∵点 C 恰好落在双曲线 y= （k≠0）上， ∴k=x•y=﹣1× =﹣ ， 故选 D． 点评： 本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性 质，求点 C 的坐标是解答此题的关键． 10．如图，在△ABC 中，∠C=90°，点 P 是斜边 AB 的中点，点 M 从点 C 向点 A 匀速运动， 点 N 从点 B 向点 C 匀速运动，已知两点同时出发，同时到达终点，连接 PM、PN、MN，在整 个运动过程中，△PMN 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系图象大致是（ ） A． B． C． D． 考点： 动点问题的函数图象． 分析： 首先连接 CP，根据点 P 是斜边 AB 的中点，可得 S△ACP=S△BCP= S△ABC；然后分别求出出 发时；点 N 到达 BC 的中点、点 M 也到达 AC 的中点时；结束时，△PMN 的面积 S 的大小，即 可推得△MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化，据此判 断出△PMN 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系图象大致是哪个即可． 解答： 解：如图 1，连接 CP， ， ∵点 P 是斜边 AB 的中点， ∴S△ACP=S△BCP= S△ABC， 出发时，S△PMN=S△BCP= S△ABC； ∵两点同时出发，同时到达终点， ∴点 N 到达 BC 的中点时，点 M 也到达 AC 的中点， ∴S△PMN= S△ABC； 结束时，S△PMN=S△ACP= S△ABC， △MPQ 的面积大小变化情况是：先减小后增大，而且是以抛物线的方式变化， ∴△PMN 的面积 S 与运动时间 t 的函数关系图象大致是： ． 故选：A． 点评： 此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函 数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的 实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义 即会识图． 二、填空题（本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 11．据《本溪日报》报道：本溪市高新区 2015 年 1 月份公共财政预算收入完成 259 610 000 元，首月实现税收收入“开门红”．将 259 610 000 用科学记数法表示为 2.5961×108 ． 考点： 科学记数法—表示较大的数． 分析： 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值 时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答： 解：将 259 610 000 用科学记数法表示为 2.5961×108． 故答案为：2.5961×108． 点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．分解因式：9a3﹣ab2= a（3a﹣b）（3a+b） ． 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 分析： 观察原式 9a3﹣ab2，找到公因式 a，提取公因式 a 后发现 9a2﹣b2 是平方差公式，再 利用平方差公式继续分解． 解答： 解：9a3﹣ab2， =a（9a2﹣b2）， =a（3a﹣b）（3a+b）． 点评： 本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公 因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 13．如图，直线 a∥b，三角板的直角顶点 A 落在直线 a 上，两条直线分别交直线 b 于 B、C 两点．若∠1=42°，则∠2 的度数是 48° ． 考点： 平行线的性质． 分析： 先根据两角互余的性质求出∠3 的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 解答： 解：∵∠BAC=90°，∠1=42°， ∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣42°=48°． ∵直线 a∥b， ∴∠2=∠3=48°． 故答案为：48°． 点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 14．从﹣1、 、1 这三个数中任取两个不同的数作为点 A 的坐标，则点 A 在第二象限的 概率是 ． 考点： 列表法与树状图法；点的坐标． 专题： 计算题． 分析： 先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，而点（﹣1，1）和（﹣ ，1）在第二象 限，然后根据概率公式求解． 解答： 解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中在第二象限的点有 2 个， 所以点 A 在第二象限的概率= = ． 故答案为 ． 点评： 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率． 15．关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范 围是 k＜2 且 k≠1 ． 考点： 根的判别式；一元二次方程的定义． 分析： 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k﹣1≠0 且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1） ＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 解答： 解：∵关于 x 的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0 有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0 且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得：k＜2 且 k≠1． 故答案为：k＜2 且 k≠1． 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0， 方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数 根． 16．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点 E， 则 OE= ． 考点： 菱形的性质． 专题： 计算题． 分析： 先根据菱形的性质得 AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4，再在 Rt△OBC 中利用 勾股定理计算出 BC=5，然后利用面积法计算 OE 的长． 解答： 解：∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC⊥BD，OB=OD= BD=3，OA=OC= AC=4， 在 Rt△OBC 中，∵OB=3，OC=4， ∴BC= =5， ∵OE⊥BC， ∴ OE•BC= OB•OC， ∴OE= = ． 故答案为 ． 点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等； 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形 面积公式． 17．在△ABC 中，AB=6cm，AC=5cm，点 D、E 分别在 AB、AC 上．若△ADE 与△ABC 相似，且 S△ADE：S 四边形 BCED=1：8，则 AD= 2 或 cm． 考点： 相似三角形的性质． 专题： 分类讨论． 分析： 由于△ADE 与△ABC 相似，但其对应角不能确定，所以应分两种情况进行讨论． 解答： 解：∵S△ADE：S 四边形 BCED=1：8， ∴S△ADE：S△ABC=1：9， ∴△ADE 与△ABC 相似比为：1：3， ①若∠AED 对应∠B 时， 则 ， ∵AC=5cm， ∴AD= cm； ②当∠ADE 对应∠B 时，则 ， ∵AB=6cm， ∴AD=2cm； 故答案为： ． 点评： 本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，相似三角形的面积 比等于相似比的平方，意识到有两种情况分类讨论是解决问题的关键． 18．如图，已知矩形 ABCD 的边长分别为 a，b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接 矩形 AEFG 各边中点，得到菱形 I1；连接矩形 FMCH 对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩 形 FNPQ 各边中点，得到菱形 I2；…如此操作下去，得到菱形 In，则 In 的面积是 （ ）2n+1ab ． 考点： 中点四边形． 专题： 规律型． 分析： 利用菱形的面积为两对角线乘积的一半，得到菱形 I1 的面积，同理可得菱形 I2 的 面积，根据规律可得菱形 In 的面积． 解答： 解：由题意得：菱形 I1 的面积为： ×AG×AE= × =（ ）3•ab； 菱形 I2 的面积为： ×FQ×FN= ×（ × ）×（ b）=（ ）5•ab； …， ∴菱形 I n 的面积为：（ ）2n+1ab， 故答案为：（ ）2n+1ab． 点评： 本题主要考查了菱形面积的计算和规律的归纳，利用菱形的面积为两对角线乘积的 一半，是解答此题的关键． 三、解答题（第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，共 22 分） 19．（10 分）先化简，再求值：（x﹣2+ ）÷ ，其中 x=（π﹣2015）0﹣ +（ ） ﹣1． 考点： 分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂． 分析： 先通分，然后进行四则运算，最后将 x 的值求出来，再代入计算即可． 解答： 解：原式= = = = =1﹣2+3=2， 当 x=2 时，原式= ． 点评： 本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算． 20．（12 分）某中学为开拓学生视野，开展“课外读书周”活动，活动后期随机调查了九年 级部分学生一周的课外阅读时间，并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计图的 信息回答下列问题： （1）本次调查的学生总数为 50 人，被调查学生的课外阅读时间的中位数是 4 小时， 众数是 5 小时； （2）请你补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，课外阅读时间为 5 小时的扇形的圆心角度数是 144° ； （4）若全校九年级共有学生 700 人，估计九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生有多少 人？ 考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；中位数；众数． 分析： （1）根据统计图可知，课外阅读达 3 小时的共 10 人，占总人数的 20%，由此可得 出总人数；求出课外阅读时间 4 小时与 6 小时男生的人数，再根据中位数与众数的定义即可 得出结论； （2）根据（1）中求出的人数补全条形统计图即可； （3）求出课外阅读时间为 5 小时的人数，再求出其人数与总人数的比值即可得出扇形的圆 心角度数； （4）求出总人数与课外阅读时间为 6 小时的学生人数的百分比的积即可． 解答： 解：（1）∵课外阅读达 3 小时的共 10 人，占总人数的 20%， ∴ =50（人）． ∵课外阅读 4 小时的人数是 32%， ∴50×32%=16（人）， ∴男生人数=16﹣8=8（人）； ∴课外阅读 6 小时的人数=50﹣6﹣4﹣8﹣8﹣8﹣12﹣3=1（人）， ∴课外阅读 3 小时的是 10 人，4 小时的是 16 人，5 小时的是 20 人，6 小时的是 4 人， ∴中位数是 4 小时，众数是 5 小时． 故答案为：50，4，5 （2）如图所示． （3）∵课外阅读 5 小时的人数是 20 人， ∴ ×360°=144°． 故答案为：144°； （4）∵课外阅读 5 小时的人数是 4 人， ∴700× =56（人）． 答：九年级一周课外阅读时间为 6 小时的学生大约有 56 人． 点评： 本题考查的是条形统计图，熟知条形统计图与扇形统计图的特点是解答此题的关键． 四、解答题（第 21 题 12 分，第 22 题 12 分，共 24 分） 21．（12 分）暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游， 报名的人数共有 69 人，其中成人的人数比儿童人数的 2 倍少 3 人． （1）旅游团中成人和儿童各有多少人？ （2）旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件 T 恤衫，成人 T 恤衫每购买 10 件赠送 1 件儿童 T 恤衫（不足 10 件不赠送），儿童 T 恤衫每件 15 元，旅行社购买服装的费用不超过 1200 元，请问每件成人 T 恤衫的价格最高是多少元？ 考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用． 分析： （1）设旅游团中儿童有 x 人，则成人有（2x﹣3）人，根据报名的人数共有 69 人， 列方程求解； （2）根据题意可得能赠送 4 件儿童 T 恤衫，设每件成人 T 恤衫的价格是 m 元，根据旅行社 购买服装的费用不超过 1200 元，列不等式求解． 解答： 解：（1）设旅游团中儿童有 x 人，则成人有（2x﹣3）人， 根据题意得 x+（2x﹣3）=69， 解得：x=24， 则 2x﹣3=2×24﹣3=45． 答：旅游团中成人有 45 人，儿童有 24 人； （2）∵45÷10=4.5， ∴可赠送 4 件儿童 T 恤衫， 设每件成人 T 恤衫的价格是 m 元， 根据题意可得 45x+15（24﹣4）≤1200， 解得：x≤20． 答：每件成人 T 恤衫的价格最高是 20 元． 点评： 本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意， 设出未知数，找出合适的等量关系，列方程和不等式求解． 22．（12 分）张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树 CD 的高度，如图，山坡与 水平面成 30°角（即∠MAN=30°），在山坡底部 A 处测得大树顶端点 C 的仰角为 45°，沿坡 面前进 20 米，到达 B 处，又测得树顶端点 C 的仰角为 60°（图中各点均在同一平面内）， 求这棵大树 CD 的高度（结果精确到 0.1 米，参考数据： ≈1.732） 考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析： 过 B 作 BE⊥CD 交 CD 延长线于 E，由∠CAN=45°，∠MAN=30°，得到∠CAB=15°， 由∠CBD=60°，∠DBE=30°，得到∠CBD=30°于是有∠CAB=∠ACB=15°所以 AB=BC=20，解 Rt△BCE，可求得 CE，解 Rt△DBE 可求得 DE，CE﹣DE 即得到树高 CD． 解答： 解：如图，过 B 作 BE⊥CD 交 CD 延长线于 E， ∵∠CAN=45°，∠MAN=30°， ∴∠CAB=15° ∵∠CBD=60°，∠DBE=30°， ∴∠CBD=30°， ∵∠CBE=∠CAB+∠ACB， ∴∠CAB=∠ACB=15°， ∴AB=BC=20， 在 Rt△BCE 中，∠CBE=60°，BC=20， ∴CE=BCsin∠CBE=20× BE=BCcos∠CBE=20×0.5=10， 在 Rt△DBE 中，∠DBE=30°，BE=10， ∴DE=BEtan∠DBE=10× ， ∴CD=CE﹣DE= ≈11.5， 答：这棵大树 CD 的高度大约为 11.5 米． 点评： 本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，要求学生能借助俯角、 仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形． 五、解答题（满分 12 分） 23．（12 分）如图，点 D 是等边△ABC 中 BC 边的延长线上一点，且 AC=CD，以 AB 为直径作 ⊙O，分别交边 AC、BC 于点 E、点 F （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）连接 OC，交⊙O 于点 G，若 AB=4，求线段 CE、CG 与 围成的阴影部分的面积 S． 考点： 切线的判定；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算． 分析： （1）求出∠DAC=30°，即可求出∠DAB=90°，根据切线的判定推出即可； （2）连接 OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形 OEG 的面积，即可求出答案． 解答： （1）证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴AC=BC， 又∵AC=CD， ∴AC=BC=CD， ∴△ABD 为直角三角形， ∴AB⊥AD， ∵AB 为直径， ∴AD 是⊙O 的切线； （2）解：连接 OE， ∵OA=OE，∠BAC=60°， ∴△OAE 是等边三角形， ∴∠AOE=60°， ∵CB=BA，OA=OB， ∴CO⊥AB， ∴∠AOC=90°， ∴∠EOC=30°， ∵△ABC 是边长为 4 的等边三角形， ∴AO=2，由勾股定理得：OC= =2 ， 同理等边三角形 AOE 边 AO 上高是 = ， S 阴影=S△AOC﹣S 等边△AOE﹣S 扇形 EOG= = ． 点评： 本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，扇形的面积，切线 的判定的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键． 六、解答题（满分 12 分） 24．（12 分）某种商品的进价为 40 元/件，以获利不低于 25%的价格销售时，商品的销售单 价 y（元/件）与销售数量 x（件）（x 是正整数）之间的关系如下表： x（件） … 5 10 15 20 … y（元/件） … 75 70 65 60 … （1）由题意知商品的最低销售单价是 50 元，当销售单价不低于最低销售单价时，y 是 x 的一次函数．求出 y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围； （2）在（1）的条件下，当销售单价为多少元时，所获销售利润最大，最大利润是多少元？ 考点： 二次函数的应用． 分析： （1）由 40（1+25%）即可得出最低销售单价；根据题意由待定系数法求出 y 与 x 的 函数关系式和 x 的取值范围； （2）设所获利润为 P 元，由题意得出 P 是 x 的二次函数，即可得出结果． 解答： 解：（1）40（1+25%）=50（元）， 故答案为：50； 设 y=kx+b， 根据题意得： ， 解得：k=﹣1，b=80， ∴y=﹣x+80， 根据题意得： ，且 x 为正整数， ∴0＜x≤30，x 为正整数， ∴y=﹣x+80（0≤x≤30，且 x 为正整数） （2）设所获利润为 P 元，根据题意得： P=（y﹣40）•x=（﹣x+80﹣40）x=﹣（x﹣20）2+400， 即 P 是 x 的二次函数， ∵a=﹣1＜0， ∴P 有最大值， ∴当 x=20 时，P 最大值=400，此时 y=60， ∴当销售单价为 60 元时，所获利润最大，最大利润为 400 元． 点评： 本题考查了二次函数的应用、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的最值 问题；由题意求出一次函数和二次函数的解析式是解决问题的关键． 七、解答题（满分 12 分） 25．（12 分）如图 1，在△ABC 中，AB=AC，射线 BP 从 BA 所在位置开始绕点 B 顺时针旋转， 旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC=60°时，将 BP 旋转到图 2 位置，点 D 在射线 BP 上．若∠CDP=120°，则∠ACD = ∠ABD（填“＞”、“=”、“＜”），线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系是 BD=CD+AD ； （2）当∠BAC=120°时，将 BP 旋转到图 3 位置，点 D 在射线 BP 上，若∠CDP=60°，求证： BD﹣CD= AD； （3）将图 3 中的 BP 继续旋转，当 30°＜α＜180°时，点 D 是直线 BP 上一点（点 P 不在 线段 BD 上），若∠CDP=120°，请直接写出线段 BD、CD 与 AD 之间的数量关系（不必证明）． 考点： 几何变换综合题． 分析： （1）如图 2，由∠CDP=120°，根据邻补角互补得出∠CDB=60°，那么∠CDB=∠ BAC=60°，所以 A、B、C、D 四点共圆，根据圆周角定理得出∠ACD=∠ABD；在 BP 上截取 BE=CD， 连接 AE．利用 SAS 证明△DCA≌△EBA，得出 AD=AE，∠DAC=∠EAB，再证明△ADE 是等边三 角形，得到 DE=AD，进而得出 BD=CD+AD． （2）如图 3，设 AC 与 BD 相交于点 O，在 BP 上截取 BE=CD，连接 AE，过 A 作 AF⊥BD 于 F．先 由两角对应相等的两三角形相似得出△DOC∽△AOB，于是∠DCA=∠EBA．再利用 SAS 证明 △DCA≌△EBA，得出 AD=AE，∠DAC=∠EAB．由∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，得出∠DAE=120°， 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADE=∠AED= =30°．解 Rt△ADF，得到 DF= AD，那么 DE=2DF= AD，进而得出 BD=DE+BE= AD+CD，即 BD﹣ CD= AD； （3）同（2）证明可以得出 BD+CD= AD． 解答： 解：（1）如图 2，∵∠CDP=120°， ∴∠CDB=60°， ∵∠BAC=60°， ∴∠CDB=∠BAC=60°， ∴A、B、C、D 四点共圆， ∴∠ACD=∠ABD． 在 BP 上截取 BE=CD，连接 AE． 在△DCA 与△EBA 中， ， ∴△DCA≌△EBA（SAS）， ∴AD=AE，∠DAC=∠EAB， ∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°， ∴∠DAE=60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴DE=AD． ∵BD=BE+DE， ∴BD=CD+AD． 故答案为=，BD=CD+AD； （2）如图 3，设 AC 与 BD 相交于点 O，在 BP 上截取 BE=CD，连接 AE，过 A 作 AF⊥BD 于 F． ∵∠CDP=60°， ∴∠CDB=120°． ∵∠CAB=120°， ∴∠CDB=∠CAB， ∵∠DOC=∠AOB， ∴△DOC∽△AOB， ∴∠DCA=∠EBA． 在△DCA 与△EBA 中， ， ∴△DCA≌△EBA（SAS）， ∴AD=AE，∠DAC=∠EAB． ∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°， ∴∠DAE=120°， ∴∠ADE=∠AED= =30°． ∵在 Rt△ADF 中，∠ADF=30°， ∴DF= AD， ∴DE=2DF= AD， ∴BD=DE+BE= AD+CD， ∴BD﹣CD= AD； （3）BD+CD= AD． 点评： 本题是几何变换综合题，其中涉及到四点共圆，圆周角定理，全等三角形、相似三 角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知 识，综合性较强，难度适中．准确作出辅助线证明△DCA≌△EBA 是解题的关键． 八、解答题（满分 14 分） 26．（14 分）如图，抛物线 y=ax2+bx（a≠0）经过点 A（2，0），点 B（3，3），BC⊥x 轴于点 C，连接 OB，等腰直角三角形 DEF 的斜边 EF 在 x 轴上，点 E 的坐标为（﹣4，0），点 F 与原 点重合 （1）求抛物线的解析式并直接写出它的对称轴； （2）△DEF 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向移动，运动时间为 t 秒，当点 D 落在 BC 边上时停止运动，设△DEF 与△OBC 的重叠部分的面积为 S，求出 S 关于 t 的函数关系式； （3）点 P 是抛物线对称轴上一点，当△ABP 时直角三角形时，请直接写出所有符合条件的 点 P 坐标． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）根据待定系数法解出解析式和对称轴即可； （2）从三种情况分析①当 0≤t≤3 时，△DEF 与△OBC 重叠部分为等腰直角三角形；②当 3 ＜t≤4 时，△DEF 与△OBC 重叠部分是四边形；③当 4＜t≤5 时，△DEF 与△OBC 重叠部分 是四边形得出 S 关于 t 的函数关系式即可； （3）直接写出当△ABP 时直角三角形时符合条件的点 P 坐标． 解答： 解：（1）根据题意得 ， 解得 a=1，b=﹣2， ∴抛物线解析式是 y=x2﹣2x， 对称轴是直线 x=1； （2）有 3 中情况： ①当 0≤t≤3 时，△DEF 与△OBC 重叠部分为等腰直角三角形，如图 1： S= ； ②当 3＜t≤4 时，△DEF 与△OBC 重叠部分是四边形，如图 2： S= ； ③当 4＜t≤5 时，△DEF 与△OBC 重叠部分是四边形，如图 3： S= ； （3）当△ABP 时直角三角形时，可得符合条件的点 P 坐标为（1，1）或（1，2）或（1， ） 或（1， ）． 点评： 此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，关键是根据 0≤t≤3，3＜t≤4，4＜ t≤5 三种情况进行分析． 二模数学 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1． 3 2( )a 的计算结果为（ ） A． 5a ； B． 6a ； C． 8a ； D． 9a ． 2．方程 1 3x   的解为 （ ） A． 4x  ； B． 7x  ； C． 8x  ； D． 10x  . 3．已知一次函数 (3 ) 3y a x   ，如果 y 随自变量 x 的增大而增大，那么 a 的取值范围为 （ ） A． 3a  ； B． 3a  ； C． 3a   ； D． 3a   . 4．下列事件中，必然事件是（ ） A．在体育中考中，小明考了满分； B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯； C．抛掷两枚正方体骰子，点数和大于 1； D．四边形的外角和为 180 度. 5．正六边形的半径与边心距之比为（ ） A．1: 3 ； B． 3 :1； C． 3 : 2 ； D． 2: 3 ． 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=4，tanB=2，以 AB 的中点 D 为圆心，r 为半径作⊙D， 如果点 B 在⊙D 内，点 C 在⊙D 外，那么 r 可以取（ ） A．2； B．3； C．4； D．5． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．计算： 12 = . 8. 在数轴上，表示实数 2 5 的点在原点的 侧（填“左”或“右”）． A C D 第 6 题图B 9．不等式 2 4x   的正整数解为 . 10．如果关于 x 的方程 2 6 9 0kx x   有两个相等的实数根，那么 k 的值为 ． 11．如果反比例函数的图像经过（1，3），那么该反比例函数的解析式为 ． 12．如果将抛物线 22y x 向左平移 3 个单位，那么所得新抛物线的表达式为 ． 13. 一个不透明的袋中装有 4 个白球和若干个红球，这些球除颜色外其他都相同，摇匀后随 机摸出一个球，如果摸到白球的概率为 0.4，那么红球有 个． 14. 为了了解初三毕业班学生一分钟跳绳次数的情况，某校抽取了一部分初三毕业生进行一 分钟跳绳次数的测试，将所得数据进行处理，共分成 4 组，频率分布表（不完整）如下 表所示．如果次数在 110 次（含 110 次）以上为达标，那么估计该校初三毕业生一分钟 跳绳次数的达标率约为 ． 15．已知两圆外切，圆心距为 7，其中一个圆的半径为 3，那么另一 个圆的半径长为 ． 16．如图，AD∥BC，BC=2AD，AC 与 BD 相交于点 O，如果 AO a  ， OD b  ，那么用 a  、b  表示向量 AB  是 ． 17．我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形．一个矩形发生变形后成为一个平行四边形， 设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为 ，我们把 1 cos 的值叫做这个平 行四边形的变形度．如图，矩形 ABCD 的面积为 5，如果变形后的平行四边形 A1B1C1D1 的面积为 3，那么这个平行四边形的变形度为 ． 18．如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，点 E 在边 AD 上且 AE=4，点 F 是边 BC 上的一个动点， 将四边形 ABFE 沿 EF 翻折，A、B 的对应点 A1、B1 与点 C 在同一直线上，A1B1 与边 AD 交于点 G，如果 DG=3，那么 BF 的长为 ． 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 第 17 题图 A B C D D1A1 B1 C1 C第 18 题图 A B DE A C D 第 16 题图B O 组别 分组（含最小值，不含最大值） 频数 频率 1 90～100 3 0.06 2 100～110 1 a 3 110～120 24 0.48 4 120～130 b c 第 14 题表 ① ② 先化简，再求值： 3 5( 2 )2 4 2 m mm m      ，其中 2 3m   ． 20．（本题满分 10 分） 解方程组： 2 25 6 0, 3 12. x xy y x y        21．（本题满分 10 分，第（1）小题 3 分，第（2）小题 7 分） 如图，在锐角△ABC 中，小明进行了如下的尺规作图： ①分别以点 A、B 为圆心，以大于 1 2 AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点 P、Q； ②作直线 PQ 分别交边 AB、BC 于点 E、D． （1）小明所求作的直线 DE 是线段 AB 的 ； （2）联结AD，AD=7，sin∠DAC 1 7  ，BC=9，求AC的长． C 第 21 题图 DB A E P Q O E第 23 题图 C A B D F 22．（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 甲、乙两组同时加工某种零件，甲组每小时加工 80 件，乙组加工的零件数量 （件） 与时间 （小时）为一次函数关系，部分数据如下表所示． x（小时） 2 4 6 y（件） 50 150 250 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）甲、乙两组同时生产，加工的零件合在一起装箱，每满 340 件装一箱，零件装箱 的 时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第 1 箱？ 23．（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） 如图，在□ABCD 中，AC 与 BD 相交于点 O，过点 B 作 BE∥AC，联结 OE 交 BC 于点 F， 点 F 为 BC 的中点． （1）求证：四边形 AOEB 是平行四边形； （2）如果∠OBC =∠E，求证： =BO OC AB FC  ． 24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 4 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 + 8y ax bx  与 x 轴相交于点 A（-2，0） 和点 B（4，0），与 y 轴相交于点 C，顶点为点 P．点 D（0，4）在 OC 上，联结 BC、BD． （1）求抛物线的表达式并直接写出点 P 的坐标； （2）点 E 为第一象限内抛物线上一点，如果△COE 与△BCD 的面积相等，求点 E 的坐标； （3）点 Q 在抛物线对称轴上，如果△BCD∽△CPQ，求点 Q 的坐标． 第 24 题图 xBO C D A y P E 第 25 题图 C A B D Q F P G 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 4 分） 如图，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=3，AB=4，点 P 为射线 BC 上一动点，以 P 为圆心，BP 长为半径作⊙P，交射线 BC 于点 Q，联结 BD、AQ 相交于点 G，⊙P 与线段 BD、AQ 分别相 交于点 E、F． （1）如果 BE=FQ，求⊙P 的半径； （2）设 BP=x，FQ=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）联结 PE、PF，如果四边形 EGFP 是梯形，求 BE 的长． 虹口区 2018 学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 初三数学评分参考建议 2019.4 说明： 1．解答只列出试题的一种或几种解法．如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评 分标准相应评分； 2．第一、二大题若无特别说明，每题评分只有满分或零分； 3．第三大题中各题右端所注分数，表示考生正确做对这一步应得分数； 4．评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因考生解答中出现错误而中断对本题的评阅．如 果考生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题的内容和难度，视影响的 程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半； 5．评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位． 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．B 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7． 1 2 8．左 9．x=1 10．1 11． 3y x  12． 22 +3y x （ ） 13．6 14．92% 15．4 16． 2a b  17． 5 4 18． 6 5 8 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．解：原式= 23 4 5( )2 2 2 m m m m    （ ） 3 2 2 2 ( 3)( 3) m m m m m     （ ） 1 2( +3)m   当 2 3m   时, 原式= 1 2= 42 2 3+3    （ ） 20．解：由①得， 6 0x y  或 + 0x y  将它们与方程②分别组成方程组，得： 6 0, 3 12. x y x y      + 0, 3 12. x y x y     分别解这两个方程组， 得原方程组的解为 1 1 24, 4; x y    2 2 3, 3. x y     ． （代入消元法参照给分） 21．解：（1）垂直平分线（或中垂线） （2）过点 D 作 DF⊥AC，垂足为点 F ∵DE 是线段 AB 的垂直平分线 ∴AD=BD=7 ∴ 2CD BC BD   在 Rt△ADF 中， 1sin 7 17DF AD DAC      在 Rt△ADF 中， 2 2 4 3AF AD DF   同理， 3CF  ∴ 5 3AC  22．解：（1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ( 0)y kx b k   把（2，50）（4，150）代入 得 50=2 , 150 4 . k b k b     解得 =50, = 50. k b     ∴y 与 x 之间的函数关系式为 50 50y x  ． （2）设经过 x 小时恰好装满第 1 箱 根据题意得80 50 50 340x x   ∴ 3x  答：经过 3 小时恰好装满第 1 箱． 23．（1）证明：∵BE∥AC ∴ OC CF BE BF  ∵点 F 为 BC 的中点 ∴CF=BF ∴OC=BE ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AO=CO ∴AO=BE ∵BE∥AC ∴四边形 AOEB 是平行四边形 （2）证明：∵四边形 AOEB 是平行四边形 ∴∠BAO =∠E ∵∠OBC =∠E ∴∠BAO =∠OBC ∵∠ACB =∠BCO ∴△COB∽△CBA ∴ BO BC AB AC  ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AC=2OC ∵点 F 为 BC 的中点 ∴BC=2FC ∴ BO FC AB OC  即 =BO OC AB FC  24．解：（1）把点 A（-2，0）和点 B（4，0）代入 2 + 8y ax bx  得 0 4 2 8, 0 16 4 8. a b a b        解得 1, 2. a b     ∴ 2 2 8y x x    ∴P（1，9） （2）可得点 C（0，8） 设 E（ 2, 2 8x x x   ）（x>0） 根据题意 COE BCDS S  ∴ 1 14 4 82 2 x     解得 2x  E（2,8） （3）设点 M 为抛物线对称轴上点 P 下方一点 可得 tan∠CPM=tan∠ODB=1 ∴∠CPM=∠ODB=45° ∴点 Q 在抛物线对称轴上且在点 P 的上方 ∴∠CPQ=∠CDB=135° ∵△BCD∽△CPQ ① CP PQ CD BD  ∴ 2 4 4 2 PQ 解得 2PQ  ∴点 Q（1，11） ② CP PQ BD CD  ∴ 2 44 2 PQ 解得 1PQ  ∴点 Q（1，10） 综上所述，点 Q（1，11）或（1，10） 25．（1）∵BE=FQ ∴∠BPE=∠FPQ ∵PE=PB ∴∠EBP= 1 2 （180°-∠EPB） 同理∠FQP = 1 2 （180°-∠FPQ） ∴∠EBP=∠FQP ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠EBP ∴∠FQP =∠ADB ∴tan∠FQP =tan∠ADB= 4 3 设⊙P 的半径为 r ∴ 4 4 3 2r  解得 r= 3 2 ∴⊙P 的半径为 3 2 （2）过点 P 作 PM⊥FQ，垂足为点 M 在 Rt△ABQ 中， 2 2 2 2cos (2 ) 4 4 x xAQB x x      在 Rt△PQM 中， 2 2 cos 4 xQM PQ AQB x     ∵PM⊥FQ ∴FQ=2QM 2 2 2 4 x x   ∴ 2 2 2 2 4 4 x xy x   （ 250 6x  ） （3）设 BP=x ①EP∥AQ ∴∠EPB=∠AQB ∴tan∠EPB=tan∠AQB 可求得 tan∠EPB= 24 7 ∴ 24 4 7 2x  解得 7 12x  ∴ 6 7 5 10BE x  ②PF∥BD ∴∠DBC=∠FPQ ∴tan∠DBC=tan∠FPQ 过点 F 作 FN⊥PQ，垂足为点 N 可得 3 5PN x ， 4 5FN x ∴ 2 5QN x 2 55FQ x ∴ 2 2 2 2 554 x x x   解得 x=1 ∴ 6 6 5 5BE x  综上所述 7 10BE  或 6 5 中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．﹣ 的相反数是（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 2．如图是由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体，下列说法中，正确的是 （ ） A．主视图是轴对称图形 B．左视图是轴对称图形 C．俯视图是轴对称图形 D．三个视图都不是轴对称图形 3．总投资约 160 亿元，线路全长约 29.06km 的合肥地铁一号线已于 2016 年 12 月 31 日正式运营，这标志着合肥从此进入了地铁时代，将 160 亿用科学记数法 表示为（ ） A．160×108 B．16×109 C．1.6×1010 D．1.6×1011 4．如图，直线 a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2 的度数为（ ） A．35° B．40° C．45° D．55° 5．下列运算中，正确的是（ ） A．3x3•2x2=6x6 B．（﹣x2y）2=x4y C．（2x2）3=6x6 D．x5÷ x=2x4 6．蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82， 56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的 统计图是（ ） A．折线统计图 B．频数分布直方图 C．条形统计图 D．扇形统计图 7．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1： 3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（ ） A． B． C． D． 8．随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格 持续走低，某商业街的商铺今年 1 月份的出租价格为 a 元/平方米，2 月份比 1 月份下降了 5%，若 3，4 月份的出租价格按相同的百分率 x 继续下降，则 4 月份 该商业街商铺的出租价格为：（ ） A．（1﹣5%）a（1﹣2x）元 B．（1﹣5%）a（1﹣x）2 元 C．（a﹣5%）（a﹣2）x 元 D．a（1﹣5%﹣2x）元 9．如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，且 BE⊥AC 于点 F，则下列结论中 错误的是（ ） A．AF= CF B．∠DCF=∠DFC C．图中与△AEF 相似的三角形共有 4 个 D．tan∠CAD= 10．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点 D 在 BC 上且 BD=2CD，E，F 分别在 AB，AC 上运动且始终保持∠EDF=45°，设 BE=x，CF=y，则 y 与 x 之间的 函数关系用图象表示为：（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．分解因式：2ab3﹣8ab= ． 12．在某校“我爱我班”班歌比赛中，有 11 个班级参加了决赛，各班决赛的最终 成绩各不相同，参加了决赛的六班班长想知道自己班级能否获得一等奖（根据比 赛规则：最终成绩前 5 名的班级为一等奖），他不仅要知道自己班级的成绩，还 要知道参加决赛的 11 个班级最终成绩的 （从“平均数、众数、中位数、方差” 中选择答案） 13．A，B 两地相距 120km．甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，已知甲车 的速度是乙车速度的 1.2 倍，结果甲车比乙车提前 20 分钟到达，则甲车的速度 是 km/h． 14．如图，点 E，F 分别为正方形 ABCD 的边 BC，CD 上一点，AC，BD 交于点 O， 且∠EAF=45°，AE，AF 分别交对角线 BD 于点 M，N，则有以下结论：①∠AEB= ∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN 以上结论中，正确的是 （请把正确结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 15．计算： ﹣2sin45°+| |﹣（ ）﹣2+（ ）0． 16．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6=0． 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17．如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1， ﹣1）． （1）在图中画出将△ABC 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到的 △A1B1C1； （2）在图中画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，计算点 A 所经过的路径的长度． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=x﹣1 与 x 轴交于点 A，如图所示依 次作正方形 A1B1C1O，正方形 A2B2C2C1，…，正方形 AnBnCnCn﹣1，使得点 A1、A2、 A3…An 在直线 l 上，点 C1、C2、C3…Cn 在 y 轴正半轴上，请解决下列问题： （1）点 A6 的坐标是 ；点 B6 的坐标是 ； （2）点 An 的坐标是 ；正方形 AnBnCnCn﹣1 的面积是 ． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 19．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼 AB 的高度，由于教学楼底部 不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点 C，用测角器测得主教学楼顶端 A 的仰角为 30°，再向主教学楼的方向前进 24 米，到达点 E 处（C，E，B 三点在同 一直线上），又测得主教学楼顶端 A 的仰角为 60°，已知测角器 CD 的高度为 1.6 米，请计算主教学楼 AB 的高度．（ ≈1.73，结果精确到 0.1 米） 20．合肥市 2017 年中考的理化生实验操作考试已经顺利结束了，绝大部分同学 都取得了满分成绩，某校对九年级 20 个班级的实验操作考试平均分 x 进行了分 组统计，结果如下表所示： 组 号 分组 频数 一 9.6≤x＜9.7 1 二 9.7≤x＜9.8 2 三 9.8≤x＜9.9 a 四 9.9≤x＜10 8 五 x=10 3 （1）求 a 的值； （2）若用扇形统计图来描述，求第三小组对应的扇形的圆心角度数； （3）把在第二小组内的两个班分别记为：A1，A2，在第五小组内的三个班分别 记为：B1，B2，B3，从第二小组和第五小组总共 5 个班级中随机抽取 2 个班级进 行“你对中考实验操作考试的看法”的问卷调查，求第二小组至少有 1 个班级被选 中的概率． 六、解答题（满分 12 分） 21．如图，已知一次函数 y=ax+b（a，b 为常数，a≠0）的图象与 x 轴，y 轴分别 交于点 A，B，且与反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于 点 C，作 CD⊥x 轴于 D，若 OA=OD= OB=3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象直接写出不等式 0＜ax+b≤ 的解集； （3）在 y 轴上是否存在点 P，使得△PBC 是以 BC 为一腰的等腰三角形？如果存 在，请直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 七、解答题（满分 12 分） 22．如图，点 C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点，CD 是⊙O 切线，D 在 AB 的延长 线上，作 AE⊥CD 于 E． （1）求证：AC 平分∠BAE； （2）若 AC=2CE=6，求⊙O 的半径； （3）请探索：线段 AD，BD，CD 之间有何数量关系？请证明你的结论． 八、解答题 23．在 2016 年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和 超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥 运冠军，为祖国和人民争了光． 如图，已知女排球场的长度 OD 为 18 米，位于球场中线处的球网 AB 的高度为 2.24 米，一队员站在点 O 处发球，排球从点 O 的正上方 2 米的 C 点向正前方飞 去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点 O 的水平距离 OE 为 6 米时，到达最高点 F，以 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）当排球运行的最大高度为 2.8 米时，求排球飞行的高度 y（单位：米）与水 平距离 x（单位：米）之间的函数关系式． （2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？ 请说明理由． （3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度 h（米）应满足 h＞2.32，但是他不知道如何确定 h 的取值范围，使排球不会出界 （排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的 h 的 取值范围． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．﹣ 的相反数是（ ） A． B．﹣ C． D．﹣ 【考点】相反数． 【分析】根据相反数的定义，可以得知负数的相反数为负，绝对值没变，此题得 解． 【解答】解：﹣（﹣ ）= ， 故选 A． 2．如图是由 5 个大小相同的小正方体拼成的几何体，下列说法中，正确的是 （ ） A．主视图是轴对称图形 B．左视图是轴对称图形 C．俯视图是轴对称图形 D．三个视图都不是轴对称图形 【考点】简单组合体的三视图；轴对称图形． 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，左边看得到的图形是左视图，从上 边看得到的图形是俯视图，再根据轴对称图形的定义可得答案． 【解答】解：如图所示：左视图是轴对称图形． 故选：B． 3．总投资约 160 亿元，线路全长约 29.06km 的合肥地铁一号线已于 2016 年 12 月 31 日正式运营，这标志着合肥从此进入了地铁时代，将 160 亿用科学记数法 表示为（ ）www-2-1-cnjy-com A．160×108 B．16×109 C．1.6×1010 D．1.6×1011 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点 移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 160 亿用科学记数法表示为：1.6×1010． 故选：C． 4．如图，直线 a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2 的度数为（ ） A．35° B．40° C．45° D．55° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4 的度 数，再根据平行线的性质，即可得出∠2 的度数． 【解答】解：根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4， ∴∠4=∠3﹣∠1=95°﹣50°=45°， ∵a∥b， ∴∠2=∠4=45°． 故选：C． 5．下列运算中，正确的是（ ） A．3x3•2x2=6x6 B．（﹣x2y）2=x4y C．（2x2）3=6x6 D．x5÷ x=2x4 【考点】整式的除法；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式． 【分析】根据整式的除法，幂的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式的方法， 逐项判定即可． 【解答】解：A、3x3•2x2=6x5，故选项错误； B、（﹣x2y）2=x4y2，故选项错误； C、（2x2）3=8x6，故选项错误； D、x5÷ x=2x4，故选项正确． 故选：D． 6．蜀山区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82， 56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的 统计图是（ ） A．折线统计图 B．频数分布直方图 C．条形统计图 D．扇形统计图 【考点】统计图的选择． 【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所 占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物 的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目． 【解答】解：这七天空气质量变化情况最适合用折线统计图， 故选：A． 7．如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、BC 上的点，DE∥AC，若 S△BDE：S△CDE=1： 3，则 S△DOE：S△AOC 的值为（ ） A． B． C． D． 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】证明 BE：EC=1：3，进而证明 BE：BC=1：4；证明△DOE∽△AOC，得 到 = ，借助相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵S△BDE：S△CDE=1：3， ∴BE：EC=1：3； ∴BE：BC=1：4； ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△AOC， ∴ = ， ∴S△DOE：S△AOC= = ， 故选 D． 8．随着电子商务的发展，越来越多的人选择网上购物，导致各地商铺出租价格 持续走低，某商业街的商铺今年 1 月份的出租价格为 a 元/平方米，2 月份比 1 月份下降了 5%，若 3，4 月份的出租价格按相同的百分率 x 继续下降，则 4 月份 该商业街商铺的出租价格为：（ ） A．（1﹣5%）a（1﹣2x）元 B．（1﹣5%）a（1﹣x）2 元 C．（a﹣5%）（a﹣2）x 元 D．a（1﹣5%﹣2x）元 【考点】列代数式． 【分析】根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），二月份的价格 为 a（1﹣5%），3，4 每次降价的百分率都为 x，后经过两次降价，则为（1﹣5%） a（1﹣x）2． 【解答】解：由题意得，4 月份该商业街商铺的出租价格为（1﹣5%）a（1﹣x） 2 元 故选 B． 9．如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 的中点，且 BE⊥AC 于点 F，则下列结论中 错误的是（ ） A．AF= CF B．∠DCF=∠DFC C．图中与△AEF 相似的三角形共有 4 个 D．tan∠CAD= 【考点】相似三角形的判定；矩形的性质；解直角三角形． 【分析】由 AE= AD= BC，又 AD∥BC，所以 = = ，故 A 正确，不符合题 意； 过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= BC， 得到 CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故 B 正确，不符合题意； 根据相似三角形的判定即可求解，故 C 正确，不符合题意； 由△BAE∽△ADC，得到 CD 与 AD 的大小关系，根据正切函数可求 tan∠CAD 的 值，故 D 错误，符合题意． 【解答】解：A、∵AD∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴ = ， ∵AE= AD= BC， ∴ = ，故 A 正确，不符合题意； B、过 D 作 DM∥BE 交 AC 于 N， ∵DE∥BM，BE∥DM， ∴四边形 BMDE 是平行四边形， ∴BM=DE= BC， ∴BM=CM， ∴CN=NF， ∵BE⊥AC 于点 F，DM∥BE， ∴DN⊥CF， ∴DF=DC， ∴∠DCF=∠DFC，故 B 正确，不符合题意； C、图中与△AEF 相似的三角形有△ACD，△BAF，△CBF，△CAB，共有 4 个，故 C 正确，不符合题意； D、设 AD=a，AB=b 由△BAE∽△ADC，有 = ． ∵tan∠CAD= = = ， 故 D 错误，符合题意． 故选 D． 10．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC=3，点 D 在 BC 上且 BD=2CD，E，F 分别在 AB，AC 上运动且始终保持∠EDF=45°，设 BE=x，CF=y，则 y 与 x 之间的 函数关系用图象表示为：（ ） A． B． C． D． 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】根据等边对等角得出∠B=∠C，再证明∠BED=∠CDF=135°﹣∠BDE，那 么△BED∽△CDF，根据相似三角形对应边成比例求出 y 与 x 的函数关系式，结 合函数值的取值范围即可求解． 【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC=3， ∴∠B=∠C=45°，BC=3 ． ∴∠BDE+∠BED=180°﹣∠B=135°， ∵∠EDF=45°， ∴∠BDE+∠CDF=180°﹣∠EDF=135°， ∴∠BED=∠CDF， ∴△BED∽△CDF， ∴ = ． ∵BD=2CD， ∴BD= BC=2 ，CD= BC= ， ∴ = ， ∴y= ，故 B、C 错误； ∵E，F 分别在 AB，AC 上运动， ∴0＜x≤3，0＜y≤3，故 A 错误． 故选 D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11．分解因式：2ab3﹣8ab= 2ab（b+2）（b﹣2） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=2ab（b2﹣4）=2ab（b+2）（b﹣2）， 故答案为：2ab（b+2）（b﹣2） 12．在某校“我爱我班”班歌比赛中，有 11 个班级参加了决赛，各班决赛的最终 成绩各不相同，参加了决赛的六班班长想知道自己班级能否获得一等奖（根据比 赛规则：最终成绩前 5 名的班级为一等奖），他不仅要知道自己班级的成绩，还 要知道参加决赛的 11 个班级最终成绩的 中位数 （从“平均数、众数、中位数、 方差”中选择答案） 【考点】统计量的选择． 【分析】根据题意和平均数、众数、中位数、方差的含义可以解答本题． 【解答】解：由题意可得， 11 个班级中取前 5 名， 故只要知道参加决赛的 11 个班级最终成绩的中位数即可， 故答案为：中位数． 13．A，B 两地相距 120km．甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发去 B 地，已知甲车 的速度是乙车速度的 1.2 倍，结果甲车比乙车提前 20 分钟到达，则甲车的速度 是 72 km/h． 【考点】分式方程的应用． 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题，注意分式方程 要检验． 【解答】解：设乙车的速度为 xkm/h， ， 解得，x=60， 经检验 x=60 是原分式方程的根， ∴1.2x=1.2×60=72， 故答案为：72． 14．如图，点 E，F 分别为正方形 ABCD 的边 BC，CD 上一点，AC，BD 交于点 O， 且∠EAF=45°，AE，AF 分别交对角线 BD 于点 M，N，则有以下结论：①∠AEB= ∠AEF=∠ANM；②EF=BE+DF；③△AOM∽△ADF；④S△AEF=2S△AMN 以上结论中，正确的是 ①②③④ （请把正确结论的序号都填上） 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质． 【分析】如图，把△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABH，由旋转的性质得， BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF，由已知条件得到∠EAH=∠EAF=45°，根据全等三 角形的性质得到 EH=EF，∴∠AEB=∠AEF，求得 BE+BH=BE+DF=EF，故②正确；根 据三角形的外角的性质得到∠ANM=∠AEB，于是得到∠AEB=∠AEF=∠ANM；故 ①正确；根据相似三角形的判定定理得到△OAM∽△DAF，故③正确；由△AMN ∽△BME，得到 ，推出△AMB∽△NME，根据相似三角形的性质得到∠ AEN=∠ABD=45°，推出△AEN 是等腰直角三角形，根据勾股定理得到 AE= AN， 根据相似三角形的性质得到 EF= MN，于是得到 S△AEF=2S△AMN 故④正确． 【解答】解：如图，把△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABH， 由旋转的性质得，BH=DF，AH=AF，∠BAH=∠DAF， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAH=∠BAH+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°， ∴∠EAH=∠EAF=45°， 在△AEF 和△AEH 中， ， ∴△AEF≌△AEH（SAS）， ∴EH=EF， ∴∠AEB=∠AEF， ∴BE+BH=BE+DF=EF，故②正确； ∵∠ANM=∠ADB+∠DAN=45°+∠DAN， ∠AEB=90°﹣∠BAE=90°﹣（∠HAE﹣∠BAH）=90°﹣（45°﹣∠BAH）=45°+∠BAH， ∴∠ANM=∠AEB， ∴∠AEB=∠AEF=∠ANM；故①正确； ∵AC⊥BD， ∴∠AOM=∠ADF=90°， ∵∠MAO=45°﹣∠NAO，∠DAF=45°﹣∠NAO， ∴△OAM∽△DAF，故③正确； 连接 NE， ∵∠MAN=∠MBE=45°，∠AMN=∠BME， ∴△AMN∽△BME， ∴ ， ∴ ，∵∠AMB=∠EMN， ∴△AMB∽△NME， ∴∠AEN=∠ABD=45°， ∵∠EAN=45°， ∴∠NAE=∠NEA=45°， ∴△AEN 是等腰直角三角形， ∴AE= AN， ∵△AMN∽△BME，△AFE∽△BME， ∴△AMN∽△AFE， ∴ = ， ∴EF= MN， ∵AB= AO， ∴S△AEF=S△AHE= HE•AB= EF•AB= MN AO=2× MN•AO=2S△AMN．故④正 确． 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 15．计算： ﹣2sin45°+| |﹣（ ）﹣2+（ ）0． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】原式利用二次根式性质，特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以 及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果． 【解答】解：原式=2 ﹣2× +2﹣ ﹣4+1=﹣1． 16．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x+6=0． 【考点】解一元二次方程﹣配方法． 【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式，再开方即可 得． 【解答】解：∵x2﹣6x=﹣6， ∴x2﹣6x+9=﹣6+9，即（x﹣3）2=3， 则 x﹣3=± ， ∴x=3 ． 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 17．如图，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A（﹣2，﹣4），B（0，﹣4），C（1， ﹣1）． （1）在图中画出将△ABC 先向右平移 3 个单位，再向上平移 2 个单位后得到的 △A1B1C1； （2）在图中画出△ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到的△A2B2C2； （3）在（2）的条件下，计算点 A 所经过的路径的长度． 【考点】作图﹣旋转变换；轨迹；作图﹣平移变换． 【分析】（1）利用点平移的坐标规律写出点 A1、B1、C1 的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A、B、C 的对应点 A2、B2、C2，从而得 到△A2B2C2； （3）先计算出 OA，然后利用弧长公式计算． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作； （2）如图，△A2B2C2 为所作； （3）OA= =2 ， 所以点 A 所经过的路径的长度= = π． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线 l：y=x﹣1 与 x 轴交于点 A，如图所示依 次作正方形 A1B1C1O，正方形 A2B2C2C1，…，正方形 AnBnCnCn﹣1，使得点 A1、A2、 A3…An 在直线 l 上，点 C1、C2、C3…Cn 在 y 轴正半轴上，请解决下列问题： （1）点 A6 的坐标是 A6（32，31） ；点 B6 的坐标是 （32，63） ； （2）点 An 的坐标是 （2n﹣1，2n﹣1） ；正方形 AnBnCnCn﹣1 的面积是 22n﹣2 ． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征找出 A1、A2、A3、A4 的坐标，结合图 形即可得知点 Bn 是线段 CnAn+1 的中点，由此即可得出点 Bn 的坐标，然后根据正 方形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：（1）观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7）， A5（16，15），A6（32，31），…， ∴An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n 为正整数）． 观察图形可知：点 Bn 是线段 CnAn+1 的中点， ∴点 Bn 的坐标是（2n﹣1，2n﹣1）， ∴B6 的坐标是（32，63）； 故答案为：（32，31），（32，63）； （2）由（1）得 An（2n﹣1，2n﹣1﹣1）（n 为正整数）， ∴正方形 AnBnCnCn﹣1 的面积是（2n﹣1）2=22n﹣2， 故答案为：（2n﹣1，2n﹣1）（n 为正整数）． 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 19．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼 AB 的高度，由于教学楼底部 不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点 C，用测角器测得主教学楼顶端 A 的仰角为 30°，再向主教学楼的方向前进 24 米，到达点 E 处（C，E，B 三点在同 一直线上），又测得主教学楼顶端 A 的仰角为 60°，已知测角器 CD 的高度为 1.6 米，请计算主教学楼 AB 的高度．（ ≈1.73，结果精确到 0.1 米） 【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题． 【分析】利用 60°的正切值可表示出 FG 长，进而利用∠ACG 的正切函数求 AG 长， 加上 1.6m 即为主教学楼的高度 AB． 【解答】解：在 Rt△AFG 中，tan∠AFG= ， ∴FG= = ， 在 Rt△ACG 中，tan∠ACG= ， ∴CG= = AG． 又∵CG﹣FG=24m， 即 AG﹣ =24m， ∴AG=12 m， ∴AB=12 +1.6≈22.4m． 20．合肥市 2017 年中考的理化生实验操作考试已经顺利结束了，绝大部分同学 都取得了满分成绩，某校对九年级 20 个班级的实验操作考试平均分 x 进行了分 组统计，结果如下表所示： 组 号 分组 频数 一 9.6≤x＜9.7 1 二 9.7≤x＜9.8 2 三 9.8≤x＜9.9 a 四 9.9≤x＜10 8 五 x=10 3 （1）求 a 的值； （2）若用扇形统计图来描述，求第三小组对应的扇形的圆心角度数； （3）把在第二小组内的两个班分别记为：A1，A2，在第五小组内的三个班分别 记为：B1，B2，B3，从第二小组和第五小组总共 5 个班级中随机抽取 2 个班级进 行“你对中考实验操作考试的看法”的问卷调查，求第二小组至少有 1 个班级被选 中的概率． 【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图． 【分析】（1）由总班数 20﹣1﹣2﹣8﹣3 即可求出 a 的值； （2）由（1）求出的 a 值，即可求出第三小组对应的扇形的圆心角度数； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第二小 组至少有 1 个班级被选中的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解： （1）a=20﹣1﹣2﹣8﹣3=6； （2）第三小组对应的扇形的圆心角度数= ×360°=108°； （3）画树状图得： 由树状图可知共有 20 种可能情况，其中第二小组至少有 1 个班级被选中的情况 数有 14 种， 所以第二小组至少有 1 个班级被选中的概率= = ． 六、解答题（满分 12 分） 21．如图，已知一次函数 y=ax+b（a，b 为常数，a≠0）的图象与 x 轴，y 轴分别 交于点 A，B，且与反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象在第二象限内交于 点 C，作 CD⊥x 轴于 D，若 OA=OD= OB=3． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）观察图象直接写出不等式 0＜ax+b≤ 的解集； （3）在 y 轴上是否存在点 P，使得△PBC 是以 BC 为一腰的等腰三角形？如果存 在，请直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）由平行线分线段成比例可求得 CD 的长，则可求得 A、B、C、的坐 标，再利用待定系数法可求得函数解析式； （2）由题意可知所求不等式的解集即为直线 AC 在 x 轴上方且在反比例函数图象 下方的图象所对应的自变量的取值范围，结合函数图象可求得答案； （3）由 B、C 的坐标可求得 BC 的长，当 BC=BP 时，则可求得 P 点坐标，当 BC=PC 时，可知点 C 在线段 BP 的垂直平分线上，则可求得 BP 的中点坐标，可求得 P 点坐标． 【解答】解： （1）∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴ = = = ， ∴CD=2OB=8， ∵OA=OD= OB=3， ∴A（3，0），B（0，4），C（﹣3，8）， 把 A、B 两点的坐标分别代入 y=ax+b 可得 ，解得 ， ∴一次函数解析式为 y=﹣ x+4， ∵反比例函数 y= 的图象经过点 C， ∴k=﹣24， ∴反比例函数的解析式为 y=﹣ ； （2）由题意可知所求不等式的解集即为直线 AC 在 x 轴上方且在反比例函数图象 下方的图象所对应的自变量的取值范围， 即线段 AC（包含 A 点，不包含 C 点）所对应的自变量 x 的取值范围， ∵C（﹣3，8）， ∴0＜﹣ x+4≤﹣ 的解集为﹣3≤x＜0； （3）∵B（0，4），C（﹣3，8）， ∴BC=5， ∵△PBC 是以 BC 为一腰的等腰三角形， ∴有 BC=BP 或 BC=PC 两种情况， ①当 BC=BP 时，即 BP=5， ∴OP=BP+OB=4+5=9，或 OP=BP﹣PB=5﹣4=1， ∴P 点坐标为（0，9）或（0，﹣1）； ②当 BC=PC 时，则点 C 在线段 BP 的垂直平分线上， ∴线段 BP 的中点坐标为（0，8）， ∴P 点坐标为（0，12）； 综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为（0，﹣1）或（0，9）或（0，12）． 七、解答题（满分 12 分） 22．如图，点 C 是以 AB 为直径的⊙O 上一点，CD 是⊙O 切线，D 在 AB 的延长 线上，作 AE⊥CD 于 E． （1）求证：AC 平分∠BAE； （2）若 AC=2CE=6，求⊙O 的半径； （3）请探索：线段 AD，BD，CD 之间有何数量关系？请证明你的结论． 【考点】切线的性质． 【分析】（1）连接 OC，由 CD 是⊙O 切线，得到 OC⊥CD，根据平行线的性质得 到∠EAC=∠ACO，有等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，于是得到结论； （2）连接 BC，由三角函数的定义得到 sin∠CAE= = ，得到∠CAE=30°，于是 得到∠CAB=∠CAE=30°，由 AB 是⊙O 的直径，得到∠ACB=90°，解直角三角形即 可得到结论； （3）根据余角的性质得到∠DCB=∠ACO 根据相似三角形的性质得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OC， ∵CD 是⊙O 切线， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴OC∥AE， ∴∠EAC=∠ACO， ∵OA=OC， ∴∠CAO=∠ACO， ∴∠EAC=∠A=CAO， 即 AC 平分∠BAE； （2）解：连接 BC， ∵AE⊥CE，AC=2CE=6， ∴sin∠CAE= = ， ∴∠CAE=30°， ∴∠CAB=∠CAE=30°， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB=90°， ∴cos∠CAB= = ， ∴AB=4 ， ∴⊙O 的半径是 2 ； （3）CD2=BD•AD， 证明：∵∠DCB+∠BCO=90°，∠ACO+∠BCO=90°， ∴∠DCB=∠ACO， ∴∠DCB=∠ACO=∠CAD， ∵∠D=∠D， ∴△BCD∽△CAD， ∴ ， 即 CD2=BD•AD． 八、解答题 23．在 2016 年巴西里约奥运会上，中国女排克服重重困难，凭借顽强的毅力和 超强的实力先后战胜了实力同样超强的巴西队，荷兰队和塞尔维亚队，获得了奥 运冠军，为祖国和人民争了光．2-1-c-n-j-y 如图，已知女排球场的长度 OD 为 18 米，位于球场中线处的球网 AB 的高度为 2.24 米，一队员站在点 O 处发球，排球从点 O 的正上方 2 米的 C 点向正前方飞 去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点 O 的水平距离 OE 为 6 米时，到达最高点 F，以 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）当排球运行的最大高度为 2.8 米时，求排球飞行的高度 y（单位：米）与水 平距离 x（单位：米）之间的函数关系式． （2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？ 请说明理由． （3）喜欢打排球的李明同学经研究后发现，发球要想过网，球运行的最大高度 h（米）应满足 h＞2.32，但是他不知道如何确定 h 的取值范围，使排球不会出界 （排球压线属于没出界），请你帮忙解决并指出使球既能过网又不会出界的 h 的 取值范围． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）利用抛物线的顶点 F 的坐标为（6，2.8），将点（0，2）代入解析 式求出即可； （2）利用当 x=9 时，y=﹣ （x﹣6）2+2.8=2.6，当 y=0 时，﹣ （x﹣6）2+2.8= ﹣0.4，分别得出即可； （3）设抛物线解析式为 y=a（x﹣6）2+h，由点 C（0，2）得解析式为 y= （x ﹣6）2+h，再依据 x=18 时 y≤0 即可得 h 的范围． 【解答】解：（1）由题意可得抛物线的顶点 F 的坐标为（6，2.8）， 设抛物线的解析式为 y=a（x﹣6）2+2.8， 将点 C（0，2）代入，得：36a+2.8=2， 解得：a=﹣ ， ∴y=﹣ （x﹣6）2+2.8； （2）当 x=9 时，y=﹣ （9﹣6）2+2.8=2.6＞2.24， 当 x=18 时，y=﹣ （18﹣6）2+2.8=﹣0.4＜0， ∴这次发球可以过网且不出边界； （3）设抛物线解析式为 y=a（x﹣6）2+h， 将点 C（0，2）代入，得：36a+h=2，即 a= ， ∴此时抛物线解析式为 y= （x﹣6）2+h， 根据题意，得： +h≤0， 解得：h≥ ， 又∵h＞2.32， ∴h≥ 答：球既能过网又不会出界的 h 的取值范围是 h≥ ． 中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则 m+n=（ ） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 2．我国计划在 2020 年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最 近距离约为 5500 万千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ） A．5.5×106 千米 B．5.5×107 千米 C．55×106 千米 D．0.55×108 千米 3．如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48° 得到 Rt△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，则∠B′的大小为（ ） A．42° B．48° C．52° D．58° 5．若关于 x 的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围 是（ ） A．k＜5 B．k≥5，且 k≠1 C．k≤5，且 k≠1 D．k＞5 6．如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F 两点，∠BEF 的平分线交 CD 于点 G，若∠EFG=52°，则∠EGF 等于（ ） A．26° B．64° C．52° D．128° 7．如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A（1，1），B（3，1）， C（2，2），当直线 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是（ ） A．﹣1≤b≤1 B．﹣ ≤b≤1 C．﹣ ≤b≤ D．﹣1≤b≤ 8．如图，已知点 A（﹣8，0），B（2，0），点 C 在直线 y=﹣ 上，则使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 20 分） 9．不等式组 的解集是 ． 10．分解因式：x3﹣2x2+x= ． 11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本 4 元，每支圆珠笔 3 元，妈 妈买了 m 本笔记本，n 支圆珠笔．妈妈共花费 元． 12．如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A=115°，则∠BOD 等于 ． 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC=3，则 S△BCF= ． 14．如图所示，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 ． 15．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线．将△DCB 绕着点 D 顺 时针旋转 45°得到△DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG．则 下列结论： ①四边形 AEGF 是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 其中正确的结论是 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 16．计算：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣10． 17．先化简，再求值：（ ﹣x﹣1）÷ ，选一个你喜欢的数代入求值． 18．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、 AD．求证：EF=AD． 19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同 学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的 剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有 名． （2）把条形统计图补充完整． （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以 供 200 人用一餐．据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用 一餐？ 20．已知，如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的图象与 x 轴、y 轴分 别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y= （n 为常数且 n≠0）的图象在第二象限 交于点 C．CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=2OA=3OD=6． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求两函数图象的另一个交点坐标； （3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集． 21．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 CF=4，DF= ，求⊙O 的半径 r 及 sinB． 22．如图，△ABC 是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB 于点 D，动点 P 从点 A 出发， 沿 AC 以 1cm/s 的速度向终点 C 运动，当点 P 出发后，过点 P 作 PQ∥BC 交折线 AD﹣DC 于点 Q，以 PQ 为边作等边三角形 PQR，设四边形 APRQ 与△ACD 重叠部 分图形的面积为 S（cm2），点 P 运动的时间为 t（s）． （1）当点 Q 在线段 AD 上时，用含 t 的代数式表示 QR 的长； （2）求点 R 运动的路程长； （3）当点 Q 在线段 AD 上时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）直接写出以点 B、Q、R 为顶点的三角形是直角三角形时 t 的值． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分） 1．若（x+2）（x﹣1）=x2+mx+n，则 m+n=（ ） A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2 【考点】多项式乘多项式． 【分析】依据多项式乘以多项式的法则，进行计算，然后对照各项的系数即可求 出 m，n 的值． 【解答】解：∵原式=x2+x﹣2=x2+mx+n， ∴m=1，n=﹣2． ∴m+n=1﹣2=﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的 关键． 2．我国计划在 2020 年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最 近距离约为 5500 万千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ） A．5.5×106 千米 B．5.5×107 千米 C．55×106 千米 D．0.55×108 千米 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式．其中 1≤|a|＜10，n 为整数， 确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数 点移动的位数相同．当原数绝对值＞10 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数． 【解答】解：5500 万=5.5×107． 故选：B． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视 图中． 【解答】解：从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层左边有一个正方形，第 三层左边有一个正方形． 故选 A． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到 的视图． 4．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋转 48° 得到 Rt△A′B′C′，点 A 在边 B′C 上，则∠B′的大小为（ ） A．42° B．48° C．52° D．58° 【考点】旋转的性质． 【分析】先根据旋转的性质得出∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，然后在直角△A′CB′ 中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′=90°﹣∠ACA′=42°． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，将 Rt△ABC 绕点 C 按逆时针方向旋 转 48°得到 Rt△A′B′C′， ∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°， ∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°． 故选 A． 【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中 心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形两 锐角互余的性质． 5．若关于 x 的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0 有实数根，则 k 的取值范围 是（ ） A．k＜5 B．k≥5，且 k≠1 C．k≤5，且 k≠1 D．k＞5 【考点】根的判别式． 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于 k 的一元一次不 等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0 有实数根， ∴ ， 解得：k≤5 且 k≠1． 故选 C． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据根的判别式以及 二次项系数非零找出关于 k 的一元一次不等式组是解题的关键． 6．如图，AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于 E、F 两点，∠BEF 的平分线交 CD 于点 G，若∠EFG=52°，则∠EGF 等于（ ） A．26° B．64° C．52° D．128° 【考点】平行线的性质． 【分析】根据平行线及角平分线的性质解答． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFG=180°， ∴∠BEF=180°﹣52°=128°； ∵EG 平分∠BEF， ∴∠BEG=64°； ∴∠EGF=∠BEG=64°（内错角相等）． 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，解答本题用到的知识点为：两直线平行，内 错角相等；角平分线分得相等的两角． 7．如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是 A（1，1），B（3，1）， C（2，2），当直线 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是（ ） A．﹣1≤b≤1 B．﹣ ≤b≤1 C．﹣ ≤b≤ D．﹣1≤b≤ 【考点】一次函数的性质． 【分析】将 A（1，1），B（3，1），C（2，2）的坐标分别代入直线 中 求得 b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到 b 的取值范围． 【解答】解：将 A（1，1）代入直线 中，可得 +b=1，解得 b= ； 将 B（3，1）代入直线 中，可得 +b=1，解得 b=﹣ ； 将 C（2，2）代入直线 中，可得 1+b=2，解得 b=1． 故 b 的取值范围是﹣ ≤b≤1． 故选 B． 【点评】考查了一次函数的性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大，函数从左到右上 升；k＜0，y 随 x 的增大而减小，函数从左到右下降． 8．如图，已知点 A（﹣8，0），B（2，0），点 C 在直线 y=﹣ 上，则使△ ABC 是直角三角形的点 C 的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理． 【分析】根据∠A 为直角，∠B 为直角与∠C 为直角三种情况进行分析． 【解答】解：如图， ①当∠A 为直角时，过点 A 作垂线与直线的交点 W（﹣8，10）， ②当∠B 为直角时，过点 B 作垂线与直线的交点 S（2，2.5）， ③若∠C 为直角 则点 C 在以线段 AB 为直径、AB 中点 E（﹣3，0）为圆心的圆与直线 y=﹣ 的 交点上． 过点 E 作 x 轴的垂线与直线的交点为 F（﹣3， ），则 EF= ∵直线 y=﹣ 与 x 轴的交点 M 为（ ，0）， ∴EM= ，FM= = ∵E 到直线 y=﹣ 的距离 d= =5 ∴以线段 AB 为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线 y=﹣ 恰好有一个交点． 所以直线 y=﹣ 上有一点 C 满足∠C=90°． 综上所述，使△ABC 是直角三角形的点 C 的个数为 3， 故选：C． 【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论， 关键是根据圆周角定理判断∠C 为直角的情况是否存在． 二、填空题（本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 20 分） 9．不等式组 的解集是 x＜1 ． 【考点】解一元一次不等式组． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解： ， 解①得 x＜ ， 解②得 x＜1， 则不等式组的解集是 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先 求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大； 同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 10．分解因式：x3﹣2x2+x= x（x﹣1）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【分析】首先提取公因式 x，进而利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x3﹣2x2+x=x（x2﹣2x+1）=x（x﹣1）2． 故答案为：x（x﹣1）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方 公式是解题关键． 11．妈妈给小明买笔记本和圆珠笔．已知每本笔记本 4 元，每支圆珠笔 3 元，妈 妈买了 m 本笔记本，n 支圆珠笔．妈妈共花费 4m+3n 元． 【考点】列代数式． 【分析】先求出买 m 本笔记本的钱数和买 n 支圆珠笔的钱数，再把两者相加即 可． 【解答】解：每本笔记本 4 元，妈妈买了 m 本笔记本花费 4m 元，每支圆珠笔 3 元，n 支圆珠笔花费 3n，共花费（4m+3n）元． 故答案为：4m+3n． 【点评】此题考查了列代数式，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，列出 代数式． 12．如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A=115°，则∠BOD 等于 130° ． 【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补求得∠C 的度数，再根据圆周角定理求解 即可． 【解答】解：∵∠A=115° ∴∠C=180°﹣∠A=65° ∴∠BOD=2∠C=130°． 故答案为：130°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解 答此题的关键． 13．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点 F，若 S△DEC=3，则 S△BCF= 4 ． 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 【分析】根据平行四边形的性质得到 AD∥BC 和△DEF∽△BCF，由已知条件求出 △DEF 的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△DEF∽△BCF， ∴ ， =（ ）2， ∵E 是边 AD 的中点， ∴DE= AD= BC， ∴ = ， ∴△DEF 的面积= S△DEC=1， ∴ = ， ∴S△BCF=4； 故答案为：4． 【点评】本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角 形相似的判定定理和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似 比的平方． 14．如图所示，反比例函数 y= （k≠0，x＞0）的图象经过矩形 OABC 的对角线 AC 的中点 D．若矩形 OABC 的面积为 8，则 k 的值为 2 ． 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义． 【分析】过 D 作 DE⊥OA 于 E，设 D（m， ），于是得到 OA=2m，OC= ，根 据矩形的面积列方程即可得到结论． 【解答】解：过 D 作 DE⊥OA 于 E， 设 D（m， ）， ∴OE=m．DE= ， ∵点 D 是矩形 OABC 的对角线 AC 的中点， ∴OA=2m，OC= ， ∵矩形 OABC 的面积为 8， ∴OA•OC=2m• =8， ∴k=2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，矩形的性质，根据矩形的面 积列出方程是解题的关键． 15．如图，正方形 ABCD 的边长为 1，AC，BD 是对角线．将△DCB 绕着点 D 顺 时针旋转 45°得到△DGH，HG 交 AB 于点 E，连接 DE 交 AC 于点 F，连接 FG．则 下列结论： ①四边形 AEGF 是菱形 ②△AED≌△GED ③∠DFG=112.5° ④BC+FG=1.5 其中正确的结论是 ①②③ ． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定；菱形的判定；正方形的性质． 【分析】首先证明△ADE≌△GDE，再求出∠AEF、∠AFE、∠GEF、∠GFE 的度数， 推出 AE=EG=FG=AF，由此可以一一判断． 【解答】证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠ CAB=45°， ∵△DHG 是由△DBC 旋转得到， ∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°， 在 RT△ADE 和 RT△GDE 中， ， ∴AED≌△GED，故②正确， ∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG， ∴∠AED=∠AFE=67.5°， ∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得 EG=GF， ∴AE=EG=GF=FA， ∴四边形 AEGF 是菱形，故①正确， ∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确． ∵AE=FG=EG=BG，BE= AE， ∴BE＞AE， ∴AE＜ ， ∴CB+FG＜1.5，故④错误． 故答案为①②③． 【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、 等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是通过计算发现角相等，学会这种证 明角相等的方法，属于中考常考题型． 三、解答题（本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 16．计算：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣10． 【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 【分析】将 tan30°= 、10=1 代入原式，再根据实数的运算即可求出结论． 【解答】解：|﹣3|+ tan30°﹣ ﹣10， =3+ × ﹣2 ﹣1， =3+1﹣2 ﹣1， =3﹣2 ． 【点评】本题考查了实数的运算、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值， 熟练掌握实数混合运算的运算顺序是解题的关键． 17．先化简，再求值：（ ﹣x﹣1）÷ ，选一个你喜欢的数代入求值． 【考点】分式的化简求值． 【分析】首先把括号内的分式约分，然后通分相加，把除法转化为乘法，计算乘 法即可化简，然后化简 x 的值，代入求解即可． 【解答】解：原式=[ ﹣（x+1）]• =[ ﹣（x+1）]• = • =1﹣（x﹣1） =2﹣x． 当 x=0 时，原式=2． 【点评】本题考查了分式的化简求值，正确对所求的分式进行通分、约分是关键． 18．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，DE、DF 是△ABC 的中位线，连接 EF、 AD．求证：EF=AD． 【考点】平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理． 【专题】证明题． 【分析】由 DE、DF 是△ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四 边形 AEDF 是平行四边形，又∠BAC=90°，则可证得平行四边形 AEDF 是矩形，根 据矩形的对角线相等即可得 EF=AD． 【解答】证明：∵DE，DF 是△ABC 的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形 AEDF 是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴平行四边形 AEDF 是矩形， ∴EF=AD． 【点评】此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性 质．此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 19．某高校学生会在食堂发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，为了让同 学们珍惜粮食，养成节约的好习惯，校学生会随机抽查了午餐后部分同学饭菜的 剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图． （1）这次被调查的同学共有 1000 名． （2）把条形统计图补充完整． （3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以 供 200 人用一餐．据此估算，该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供多少人食用 一餐？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）用没有剩的人数除以其所占的百分比即可； （2）用抽查的总人数减去其他三类的人数，再画出图形即可； （3）根据这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供 200 人用一餐，再根据 全校的总人数是 18000 人，列式计算即可． 【解答】解：（1）这次被调查的同学共有 400÷40%=1000（名）； 故答案为：1000； （2）剩少量的人数是；1000﹣400﹣250﹣150=200， 补图如下； （3）18000× =3600（人）． 答：该校 18000 名学生一餐浪费的食物可供 3600 人食用一餐． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不 同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20．已知，如图，一次函数 y=kx+b（k、b 为常数，k≠0）的图象与 x 轴、y 轴分 别交于 A、B 两点，且与反比例函数 y= （n 为常数且 n≠0）的图象在第二象限 交于点 C．CD⊥x 轴，垂足为 D，若 OB=2OA=3OD=6． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求两函数图象的另一个交点坐标； （3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题． 【分析】（1）先求出 A、B、C 坐标，再利用待定系数法确定函数解析式． （2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题． （3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意 等号． 【解答】解：（1）∵OB=2OA=3OD=6， ∴OB=6，OA=3，OD=2， ∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴ = ， ∴ = ， ∴CD=10， ∴点 C 坐标（﹣2，10），B（0，6），A（3，0）， ∴ 解得 ， ∴一次函数为 y=﹣2x+6． ∵反比例函数 y= 经过点 C（﹣2，10）， ∴n=﹣20， ∴反比例函数解析式为 y=﹣ ． （2）由 解得 或 ， 故另一个交点坐标为（5，﹣4）． （3）由图象可知 kx+b≤ 的解集：﹣2≤x＜0 或 x≥5． 【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待 定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解 决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型． 21．如图，以△ABC 的 BC 边上一点 O 为圆心，经过 A，C 两点且与 BC 边交于点 E，点 D 为 CE 的下半圆弧的中点，连接 AD 交线段 EO 于点 F，若 AB=BF． （1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）若 CF=4，DF= ，求⊙O 的半径 r 及 sinB． 【考点】切线的判定． 【分析】（1）连接 OA、OD，如图，根据垂径定理得 OD⊥BC，则∠D+∠OFD=90°， 再由 AB=BF，OA=OD 得到∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，加上∠BFA=∠OFD，所以 ∠OAD+∠BAF=90°，则 OA⊥AB，然后根据切线的判定定理即可得到 AB 是⊙O 切 线； （2）先表示出 OF=4﹣r，OD=r，在 Rt△DOF 中利用勾股定理得 r2+（4﹣r）2=（ ） 2，解方程得到 r 的值，那么 OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 然后在 Rt△AOB 中利用勾股定理得 AB2+OA2=OB2，即 AB2+32=（AB+1）2，解方程 得到 AB=4 的值，再根据三角函数定义求出 sinB． 【解答】（1）证明：连接 OA、OD，如图， ∵点 D 为 CE 的下半圆弧的中点， ∴OD⊥BC， ∴∠EOD=90°， ∵AB=BF，OA=OD， ∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D， 而∠BFA=∠OFD， ∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°， ∴OA⊥AB， ∴AB 是⊙O 切线； （2）解：OF=CF﹣OC=4﹣r，OD=r，DF= ， 在 Rt△DOF 中，OD2+OF2=DF2，即 r2+（4﹣r）2=（ ）2， 解得 r1=3，r2=1（舍去）； ∴半径 r=3， ∴OA=3，OF=CF﹣OC=4﹣3=1，BO=BF+FO=AB+1． 在 Rt△AOB 中，AB2+OA2=OB2， ∴AB2+32=（AB+1）2， ∴AB=4，OB=5， ∴sinB= = ． 【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线 是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即 为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义． 22．如图，△ABC 是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB 于点 D，动点 P 从点 A 出发， 沿 AC 以 1cm/s 的速度向终点 C 运动，当点 P 出发后，过点 P 作 PQ∥BC 交折线 AD﹣DC 于点 Q，以 PQ 为边作等边三角形 PQR，设四边形 APRQ 与△ACD 重叠部 分图形的面积为 S（cm2），点 P 运动的时间为 t（s）． （1）当点 Q 在线段 AD 上时，用含 t 的代数式表示 QR 的长； （2）求点 R 运动的路程长； （3）当点 Q 在线段 AD 上时，求 S 与 t 之间的函数关系式； （4）直接写出以点 B、Q、R 为顶点的三角形是直角三角形时 t 的值． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）当点 Q 在线段 AD 上时，如图 1，根据四边相等的四边形是菱形 证明四边形 APRQ 是菱形，则 QR=AP=t； （2）如图 2，当点 Q 在线段 AD 上运动时，点 R 的运动的路程长为 AR，当点 Q 在线段 CD 上运动时，点 R 的运动的路程长为 CR，分别求长并相加即可； （3）分两种情况： ①当 0＜t≤ 时，四边形 APRQ 与△ACD 重叠部分图形的面积是菱形 APRQ 的面 积， ②当 ＜t≤2 时，四边形 APRQ 与△ACD 重叠部分图形的面积是五边形 APFMQ 的面积， 分别计算即可； （4）分两种情况： ①当∠BRQ=90°时，如图 6，根据 BQ=2RQ 列式可得：t= ； ②当∠BQR=90°时，如图 7，根据 BR=2RQ 列式可得：t= ． 【解答】解：（1）由题意得：AP=t， 当点 Q 在线段 AD 上时，如图 1， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=60°， ∵PQ∥BC， ∴∠PQA=∠B=60°， ∴△PAQ 是等边三角形， ∴PA=AQ=PQ， ∵△PQR 是等边三角形， ∴PQ=PR=RQ， ∴AP=PR=RQ=AQ， ∴四边形 APRQ 是菱形， ∴QR=AP=t； （2）当点 Q 在线段 AD 上运动时，如图 2，点 R 的运动的路程长为 AR， 由（1）得：四边形 APRQ 是菱形， ∴AR⊥PQ， ∵PQ∥BC， ∴AR⊥BC， ∴RC= BC= ×4=2， 由勾股定理得：AR= = =2 ； 当点 Q 在线段 CD 上运动时，如图 2，点 R 的运动的路程长为 CR， ∴AR+CR=2 +2， 答：点 R 运动的路程长为（2 +2）cm； （3）当 R 在 CD 上时，如图 3， ∵PR∥AD， ∴△CPR∽△CAD， ∴ ， ∴ ， 4t=8﹣2t， t= ， ①当 0＜t≤ 时，四边形 APRQ 与△ACD 重叠部分图形的面积是菱形 APRQ 的面 积，如图 4， 过 P 作 PE⊥AB 于 E， ∴PE=AP•sin60°= t， ∴S=AQ•PE= t2， ②当 ＜t≤2 时，四边形 APRQ 与△ACD 重叠部分图形的面积是五边形 APFMQ 的面积，如图 5， 在 Rt△PCF 中，sin∠PCF= ， ∴PF=PC•sin30°= （4﹣t）=2﹣ t， ∴FR=t﹣（2﹣ t）= t﹣2， ∴tan60°= ， ∴FM= ×（ t﹣2）， ∴S=S 菱形 APRQ﹣S△FMR= t2﹣ FR•FM= ﹣ （ t﹣2）× ×（ t﹣2）， ∴S=﹣ +3 ﹣2 ； 综上所述，当点 Q 在线段 AD 上时，S 与 t 之间的函数关系式为： S= ； （4）①当∠BRQ=90°时，如图 6， ∵四边形 APRQ 是菱形， ∴AP=AQ=RQ=t， ∴BQ=4﹣t， ∵∠AQP=∠PQR=60°， ∴∠RQB=180°﹣60°60°=60°， ∴∠RBQ=30°， ∴BQ=2RQ， 4﹣t=2t， 3t=4， t= ； ②当∠BQR=90°时，如图 7， 同理得四边形 CPQR 是菱形， ∴PC=RQ=RC=4﹣t， ∴BR=t， ∵∠CRP=∠PRQ=60°， ∴∠QRB=60°， ∴∠QBR=30°， ∴BR=2RQ， ∴t=2（4﹣t）， t= ， 综上所述，以点 B、Q、R 为顶点的三角形是直角三角形时 t 的值是 或 ． 【点评】本题是四边形和三角形的综合题，考查了等边三角形的性质和判定、菱 形的性质和判定、动点运动问题、二次函数等知识，熟练掌握菱形和等边三角形 的性质与判定是关键，利用数形结合的思想解决重叠部分图形的面积问题． 中考数学一模试卷 一．选择题（满分 40 分，每小题 4 分） 1．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．下列命题错误的是（ ） A．四边形内角和等于外角和 B．相似多边形的面积比等于相似比 C．点 P（1，2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2） D．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 3．若△ABC∽△DEF，且△ABC 与△DEF 的面积比是 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为 （ ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC 中，若点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，S△ABC＝4，则 S△ADE＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，BC＝5，则 △ABC 的周长为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 6．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要 s 与时间 t 的函数关系如图中的部分 抛物线所示（其中 P 是该抛物线的顶点）则下列说法正确的是（ ） A．小球滑行 6 秒停止 B．小球滑行 12 秒停止 C．小球滑行 6 秒回到起点 D．小球滑行 12 秒回到起点 7．“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是 3”的概率为（ ） A． B． C． D． 8．制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下，若 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 9．一元二次方程 x2﹣8x﹣1＝0 配方后可变形为（ ） A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15 10．如图，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝120°，点 M 是 AD 的中点，点 P 由点 A 出发，沿 A →B→C→D 作匀速运动，到达点 D 停止，则△APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函 数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11．将抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式 为 ． 12．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如 图所示的弦图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以 A，C 为圆心，1 为半径作圆 弧，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，D 是反比例函数 y＝ （x＜0）的图象上一点，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，DC⊥y 轴于点 C，直线 m：y＝﹣ x+2 经过点 C，与 x 轴交于点 B．将直线 m 绕点 C 顺时针旋 转 15°，与 x 轴交于点 A，若四边形 DCAE 的面积为 4，则 k 的值为 ． 14．在△ABC 中，AB＝6cm，点 P 在 AB 上，且∠ACP＝∠B，若点 P 是 AB 的三等分点，则 AC 的长是 ． 三．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 15．用适当的方法解方程： （1）（x+1）（x﹣2）＝x+1； （2）（2x﹣5）2﹣（x﹣2）2＝0． 16．已知 O 是坐标原点，A、B 的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）： （1）画出△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到的△OA1B1； （2）以 O 为位似中心，相似比为 2，在 y 轴左侧将△OAB 放大，得到△OA2B2，在网格中 画出△OA2B2 并直接写出 A2、B2 两点坐标． 四．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 17．如图，在△ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的 速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P、Q 两点同时出 发，经过几秒后△PBQ 的面积等于 4cm2？ 18．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图，如果镜子 P 与古城墙的距 离 PD＝12 米，镜子 P 与小明的距离 BP＝1.5 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点 C， 小明眼睛距地面的高度 AB＝1.2 米，那么该古城墙的高度是？ 五．解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分） 19．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 G 在弧 BD 上，连接 AG，交 CD 于点 K， 过点 G 的直线交 CD 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F，且 EG＝EK． （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为 13，CH＝12， ＝ ，求 FG 的长． 20．设二次函数 y＝ax2+bx+c，当 x＝3 时取得最大值 10，并且它的图象在 x 轴上所截得的 线段长为 4，求 a、b、c 的值． 六．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 21．在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有 3 个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的 小球上分别标有数字 0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中 任意摸出一个小球，记其标有的数字为 x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数 字为 y，以此确定点 M 的坐标（x，y）． （1）请你用画树状图或列表的方法，写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M（x，y）落在函数 y＝﹣ 的图象上的概率． 七．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 22．如图，直线 y＝2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交于点 M， 过 M 作 MH⊥x 轴于点 H，且 tan∠AHO＝2． （1）求 H 点的坐标及 k 的值； （2）点 P 在 y 轴上，使△AMP 是以 AM 为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的 P 点坐标； （3）点 N（a，1）是反比例函数 y＝ （x＞0）图象上的点，点 Q（m，0）是 x 轴上的动 点，当△MNQ 的面积为 3 时，请求出所有满足条件的 m 的值． 八．解答题（共 1 小题，满分 14 分，每小题 14 分） 23．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点 P 为 AB 边上的动点（P 与 A、B 不重合），将△BCP 沿 CP 翻折，点 B 的对应点 B1 在矩形外，PB1 交 AD 于 E，CB1 交 AD 于点 F． （1）如图 1，求证：△APE∽△DFC； （2）如图 1，如果 EF＝PE，求 BP 的长； （3）如图 2，连接 BB′交 AD 于点 Q，EQ：QF＝8：5，求 tan∠PCB． 参考答案与试题解析 一．选择题（满分 40 分，每小题 4 分） 1．【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：因为 ， 所以 b＝ ， 把 b＝ 代入则 ＝ ， 故选：B． 【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答． 2．【分析】根据四边形内角和与外角和定理，相似多边形的性质，关于原点对称的点的坐 标特征及三角形的中位线定理作答． 【解答】解：A、四边形的内角和和外角和都是 360°，正确； B、相似多边形的面积比等于相似比的平方，错误； C、点关于原点对称的点的横纵坐标均变为原来的相反数，故正确； D、根据三角形中位线定理可知，D 选项正确，故正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了四边形内角和与外角和定理，相似多边形的性质，关于原点对 称的点的坐标特征及三角形的中位线定理． 3．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的 比等于相似比解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的面积比是 ， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为 ， ∴△ABC 与△DEF 对应中线的比为 ， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角 形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线 的比都等于相似比． 4．【分析】由中位线定理可得线段 DE 与 BC 的比，即可得出△ADE 与△ABC 的比，又已知△ ABC 的面积，进而即可得出△ADE 的面积． 【解答】解：如图， ∵D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴DE：BC＝1：2，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2，即 ＝ ， ∴S△ADE＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关 系，能够熟练掌握． 5．【分析】根据切线长定理得到 AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据 BC＝5，于是得到△ABC 的周长＝2+2+5+5＝14， 【解答】解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF， ∵BE+CE＝BC＝5， ∴BD+CF＝BC＝5， ∴△ABC 的周长＝2+2+5+5＝14， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题 的关键． 6．【分析】根据函数图象结合 s 与 t 的关系式得出答案． 【解答】解：如图所示：滑行的距离要 s 与时间 t 的函数关系可得，当 t＝6 秒时，滑行 距离最大，即此时小球停止． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 7．【分析】首先利用列表法，列举出所有的可能，再看至少有一个骰子点数为 3 的情况占 总情况的多少即可． 【解答】解：列表如下 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表可知一共 36 种等可能结果，其中至少有一枚骰子的点数是 3 的有 11 种结果， 所以至少有一枚骰子的点数是 3 的概率为 ， 故选：B． 【点评】此题主要考查了列表法求概率，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可 能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）＝ ，注意本题是放回 实验，找到两个骰子点数相同的情况数和至少有一个骰子点数为 3 的情况数是关键． 8．【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大 后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m＝6m2， ∴长方形广告牌的成本是 120÷6＝20 元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍， 则面积扩大为原来的 9 倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20＝1080m2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方 是解题的关键． 9．【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方 式即可得． 【解答】解：∵x2﹣8x＝1， ∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17， 故选：C． 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平 方公式是解题的关键． 10．【分析】分类讨论：当 0≤x≤2，如图 1，作 PH⊥AD 于 H，AP＝x，根据菱形的性质得 ∠A＝60°，AM＝1，则∠APH＝30°，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到在 RtAH ＝ x，PH＝ x，然后根据三角形面积公式得 y＝ AM•PH＝ x；当 2＜x≤4，如图 2， 作 BE⊥AD 于 E，AP+BP＝x，根据菱形的性质得∠A＝60°，AM＝1，AB＝2，BC∥AD，则∠ ABE＝30°，在 Rt△ABE 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 AE＝1，PH＝ ， 然后根据三角形面积公式得 y＝ AM•BE＝ ； 当 4＜x≤6，如图 3，作 PF⊥AD 于 F，AB+BC+PC＝x，则 PD＝6﹣x，根据菱形的性质得∠ ADC＝120°，则∠DPF＝30°，在 Rt△DPF 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 DF＝ （6﹣x），PF＝ DF＝ （6﹣x），则利用三角形面积公式得 y＝ AM•PF＝﹣ x+ ，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断． 【解答】解：当点 P 在 AB 上运动时，即 0≤x≤2，如图 1， 作 PH⊥AD 于 H，AP＝x， ∵菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝120°，点 M 是 AD 的中点， ∴∠A＝60°，AM＝1， ∴∠APH＝30°， 在 Rt△APH 中，AH＝ AP＝ x， PH＝ AH＝ x， ∴y＝ AM•PH＝ •1• x＝ x； 当点 P 在 BC 上运动时，即 2＜x≤4，如图 2， 作 BE⊥AD 于 E，AP+BP＝x， ∵四边形 ABCD 为菱形，∠B＝120°， ∴∠A＝60°，AM＝1，AB＝2，BC∥AD， ∴∠ABE＝30°， 在 Rt△ABE 中，AE＝ AB＝1， PH＝ AE＝ ， ∴y＝ AM•BE＝ •1• ＝ ； 当点 P 在 CD 上运动时，即 4＜x≤6，如图 3， 作 PF⊥AD 于 F，AB+BC+PC＝x，则 PD＝6﹣x， ∵菱形 ABCD 中，∠B＝120°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠DPF＝30°， 在 Rt△DPF 中，DF＝ DP＝ （6﹣x）， PF＝ DF＝ （6﹣x）， ∴y＝ AM•PF＝ •1• （6﹣x）＝ （6﹣x）＝﹣ x+ ， ∴△APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系的图象为三段：当 0≤x≤2，图象 为线段，满足解析式 y＝ x；当 2≤x≤4，图象为平行于 x 轴的线段，且到 x 轴的距离 为 ；当 4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式 y＝﹣ x+ ． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系 式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围． 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11．【分析】先得到抛物线 y＝x2 的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0） 平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为 y ＝（x+2）2﹣3． 故答案为 y＝（x+2）2﹣3． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移 后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析 式． 12．【分析】阴影部分的面积是两个圆心角为 90°，且半径为 1 的扇形的面积与正方形的 面积的差． 【解答】解：阴影部分的面积为 S 阴影＝2S 扇形﹣S 正方形＝2× ﹣12＝ ﹣1， 故答案为 ﹣1． 【点评】本题考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．【分析】首先根据 y＝﹣ x+2 可以求出 C 的坐标，然后根据题意列出关于直线 BC 的 方程 y＝﹣x+n，代入 y＝﹣x+n 可以确定 n 的值，设 D（a，2），用 a 表示 DC、EO，再根 据梯形 DCAE 的面积为 4 可以得到关于 a 的方程，解方程求出 a，最后利用反比例函数解 析式求出 k． 【解答】解：∵y＝﹣ x+2 经过 C 点， ∴当 x＝0 时，y＝2； ∴C（0，2）． ∵将直线 m 绕点 C 顺时针旋转 15°与 x 轴交于点 A， ∴直线 BC 的方程 y＝﹣x+n， ∵y＝﹣x+n 也经过点 C， ∴2＝﹣0+n． ∴n＝2． ∴y＝﹣x+2． 当 y＝0 时，x＝2； ∴A（2，0）． ∵DC⊥y 轴于 C， ∴设 D（a，2）． ∴DC＝EO＝﹣a，DE＝2． ∴EA＝2﹣a． ∵D 为反比例函数，y＝ （k＜0）图象上一点， ∴2a＝k． ∵S 梯形 DCAE＝ （DC+EA）•DE＝ （﹣a+2﹣a）×2＝2﹣2a＝2﹣k＝4， ∴k＝﹣2 【点评】此题考查了利用一次函数的性质解题和利用几何图形的面积求反比例函数的解 析式． 14．【分析】由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△ACP∽△ABC，进而得到 ，即 AC2＝ AP•AB，再分两种情况：AP＝4 或 AP＝2，即可得出 AC 的长． 【解答】解：由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得 △ACP∽△ABC． ∴ ，即 AC2＝AP•AB． 分两种情况： （1）当 AP＝ AB＝2cm 时，AC2＝2×6＝12， ∴AC＝ ＝ cm； （2）当 AP＝ AB＝4cm 时，AC2＝4×6＝24， ∴AC＝ ＝ ； 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意 利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 三．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 15．【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0， 则（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0 或 x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3； （2）∵[（2x﹣5）+（x﹣2）][（2x﹣5）﹣（x﹣2）]＝0， ∴（3x﹣7）（x﹣3）＝0， 则 3x﹣7＝0 或 x﹣3＝0， 解得：x1＝ ，x2＝3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键． 16．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，即为所求； （2）如图所示：△OA2B2，即为所求，A2（﹣6，﹣2）、B2（﹣4，2）． 【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 四．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 17．【分析】作出辅助线，过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，即可得出△PQB 的面积为 ， 有 P、Q 点的移动速度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积 公式，即可得出答案． 【解答】解：如图， 过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝ •PB•QE． 设经过 t 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2， 则 PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t． 根据题意， •（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2． 答：经过 2 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 18．【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠CDP ＝90°得到△ABP∽△CDP，得到 ＝ 代入数值求的 CD 的值即可． 【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， ∴△ABP∽△CDP ∴ ＝ ， 即： ＝ ， 解得：PD＝9.6（米）． 答：该古城墙的高度是 9.6m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，同时渗透光学中反射原理，结合相似三角形的 性质分析是解决本题关键． 五．解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分） 19．【分析】（1）连接 OG，首先证明∠EGK＝∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE＝90°，进而得 到∠OGA+∠KGE＝90°即 GO⊥EF，进而证明 EF 是⊙O 的切线； （2）连接 CO，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OG， ∵弦 CD⊥AB 于点 H， ∴∠AHK＝90°， ∴∠HKA+∠KAH＝90°， ∵EG＝EK， ∴∠EGK＝∠EKG， ∵∠HKA＝∠GKE， ∴∠HAK+∠KGE＝90°， ∵AO＝GO， ∴∠OAG＝∠OGA， ∴∠OGA+∠KGE＝90°， ∴GO⊥EF， ∴EF 是⊙O 的切线； （2）解：连接 CO，在 Rt△OHC 中， ∵CO＝13，CH＝12， ∴HO＝5， ∴AH＝8， ∵ ＝ ， ∴OF＝15， ∴FG＝ ＝ ＝2 ． 【点评】此题主要考查了切线的判定，解直角三角形，关键是掌握切线的判定定理：经 过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 20．【分析】设抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 x1 ，x2 ，那么可以得到|x1 ﹣x2|＝ ，然后利用根与系数的关系和已知可以得到关于 a、b、c 的方程， 又 x＝3 时取得最大值 10，由此可以得到关于 a、b、c 的方程，解这些方程组成的方程组 即可求解． 【解答】解：设抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 x1，x2， ∴x1+x2＝﹣ ， x1•x2＝ ， ∴|x1﹣x2|＝ ＝ ＝4，① 而 x＝3 时取得最大值 10， ∴﹣ ＝3，② ＝10，③ 联立①②③解之得： a＝﹣ ，b＝15，c＝﹣ ． 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点、根与系数的关系、二次函数的最值等知 识，解题的关键是利用前面的知识建立关于 a、b、c 的方程组，解方程组即可解决问题． 六．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 21．【分析】（1）根据题意画树状图即可得到结论； （2）根据 M（x，y）在函数 y＝﹣ 的图象上的有（﹣1，1），于是得到结论． 【解答】解：（1）画树状图得， 则点 M 所有可能的坐标为：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，1），（1，﹣1），（1，﹣ 2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）； （2）∵M（x，y）在函数 y＝﹣ 的图象上的有（1，﹣1）， ∴点 M（x，y）落在函数 y＝﹣ 的图象上的概率为： ． 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要 熟练掌握． 七．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 22．【分析】（1）先求出 OA＝2，结合 tan∠AHO＝2 可得 OH 的长，即可得知点 M 的横坐标， 代入直线解析式可得点 M 坐标，代入反比例解析式可得 k 的值； （2）分 AM＝AP 和 AM＝PM 两种情况分别求解可得； （3）先求出点 N（4，1），延长 MN 交 x 轴于点 C，待定系数法求出直线 MN 解析式为 y ＝﹣x+5．据此求得 OC＝5，再由 S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝3 知 QC＝2，再进一步求解可得． 【解答】解：（1）由 y＝2x+2 可知 A（0，2），即 OA＝2， ∵tan∠AHO＝2， ∴OH＝1， ∴H（1，0）， ∵MH⊥x 轴， ∴点 M 的横坐标为 1， ∵点 M 在直线 y＝2x+2 上， ∴点 M 的纵坐标为 4，即 M（1，4）， ∵点 M 在 y＝ 上， ∴k＝1×4＝4； （2）①当 AM＝AP 时， ∵A（0，2），M（1，4）， ∴AM＝ ， 则 AP＝AM＝ ， ∴此时点 P 的坐标为（0，2﹣ ）或（0，2+ ）； ②若 AM＝PM 时， 设 P（0，y）， 则 PM＝ ， ∴ ＝ ， 解得 y＝2（舍）或 y＝6， 此时点 P 的坐标为（0，6）， 综上所述，点 P 的坐标为（0，6）或（0，2+ ），或（0，2﹣ ）； （3）∵点 N（a，1）在反比例函数 y＝ （x＞0）图象上， ∴a＝4， ∴点 N（4，1）， 延长 MN 交 x 轴于点 C， 设直线 MN 的解析式为 y＝mx+n， 则有 ， 解得 ， ∴直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+5． ∵点 C 是直线 y＝﹣x+5 与 x 轴的交点， ∴点 C 的坐标为（5，0），OC＝5， ∵S△MNQ＝3， ∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝ ×QC×4﹣ ×QC×1＝ QC＝3， ∴QC＝2， ∵C（5，0），Q（m，0）， ∴|m﹣5|＝2， ∴m＝7 或 3， 故答案为：7 或 3． 【点评】本题是反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数和反比 例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式及三角形的面积计算． 八．解答题（共 1 小题，满分 14 分，每小题 14 分） 23．【分析】（1）由矩形的性质可得∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，由余角的性质和对 顶角的性质可得∠DFC＝∠APE，即可得结论； （2）由题意可证△APE≌△B1FE，可得 AE＝B1E，AP＝B1F，即 AF＝B1P，由折叠的性质可 得 BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4，根据勾股定理可求 BP 的长． （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B＝∠PCB，设 EQ＝8k，QF＝5k，可得 B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k，由勾股定理可得 B1E＝12k，由相似三角形的性质可得 EH＝ ，HQ＝ ，即可求 tan∠PCB． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90° ∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°， ∵折叠 ∴∠ABC＝∠PB1C＝90°， ∴∠B1EF+∠B1FE＝90°， 又∵∠B1EF＝∠AEP，∠B1FE＝∠DFC， ∴∠DFC＝∠APE，且∠A＝∠D， ∴△APE∽△DFC （2） ∵PE＝EF，∠A＝∠B1＝90°，∠AEP＝∠B1EF， ∴△APE≌△B1FE（AAS）， ∴AE＝B1E，AP＝B1F， ∴AE+EF＝PE+B1E， ∴AF＝B1P， 设 BP＝a，则 AP＝3﹣a＝B1F， ∵折叠 ∴BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4， ∴AF＝a，CF＝4﹣（3﹣a）＝a+1 ∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a， 在 Rt△DFC 中，CF2＝DF2+CD2， ∴（a+1）2＝（4﹣a）2+9， ∴a＝2.4 即 BP＝2.4 （3） ∵折叠 ∴BC＝B1C，BP＝B1P，∠BCP＝∠B1CP， ∴CP 垂直平分 BB1， ∴∠B1BC+∠BCP＝90°， ∵BC＝B1C， ∴∠B1BC＝∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B＝90° ∴∠PB1B＝∠PCB， ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC ∴∠B1BC＝∠B1QF， ∴∠B1QF＝∠BB1C， ∴QF＝B1F ∵EQ：QF＝8：5， ∴设 EQ＝8k，QF＝5k， ∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k， 在 Rt△B1EF 中，B1E＝ ＝12k， 如图，过点 Q 作 HQ⊥B1E 于点 H， 又∵∠PB1C＝90°， ∴HQ∥B1F ∴△EHQ∽△EB1F， ∴ ∴ ∴EH＝ ，HQ＝ ∴B1H＝ ∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝ ＝ 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定 理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 中考数学一模试卷 一．选择题（满分 40 分，每小题 4 分） 1．若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．下列命题错误的是（ ） A．四边形内角和等于外角和 B．相似多边形的面积比等于相似比 C．点 P（1，2）关于原点对称的点的坐标为（﹣1，﹣2） D．三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 3．若△ABC∽△DEF，且△ABC 与△DEF 的面积比是 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比 为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在△ABC 中，若点 D、E 分别是 AB、AC 的中点，S△ABC＝4，则 S△ADE＝（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，△ABC 的内切圆 ⊙ O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F，且 AD＝2，BC＝5， 则△ABC 的周长为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 6．地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离要 s 与时间 t 的函数关系如图中的部分 抛物线所示（其中 P 是该抛物线的顶点）则下列说法正确的是（ ） A．小球滑行 6 秒停止 B．小球滑行 12 秒停止 C．小球滑行 6 秒回到起点 D．小球滑行 12 秒回到起点 7．“同吋掷两枚质地均匀的骰子，至少有一枚骰子的点数是 3”的概率为（ ） A． B． C． D． 8．制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况下， 若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（ ） A．360 元 B．720 元 C．1080 元 D．2160 元 9．一元二次方程 x2﹣8x﹣1＝0 配方后可变形为（ ） A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15 10．如图，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝120°，点 M 是 AD 的中点，点 P 由点 A 出发， 沿 A→B→C→D 作匀速运动，到达点 D 停止，则△APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系的图象大致是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11．将抛物线 y＝x2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得抛物线的解析式 为 ． 12．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如 图所示的弦图中，中间的小正方形 ABCD 的边长为 1，分别以 A，C 为圆心，1 为半径作 圆弧，则图中阴影部分的面积为 ． 13．如图，D 是反比例函数 y＝ （x＜0）的图象上一点，过点 D 作 DE⊥x 轴于点 E，DC ⊥y 轴于点 C，直线 m：y＝﹣ x+2 经过点 C，与 x 轴交于点 B．将直线 m 绕点 C 顺时 针旋转 15°，与 x 轴交于点 A，若四边形 DCAE 的面积为 4，则 k 的值为 ． 14．在△ABC 中，AB＝6cm，点 P 在 AB 上，且∠ACP＝∠B，若点 P 是 AB 的三等分点， 则 AC 的长是 ． 三．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 15．用适当的方法解方程： （1）（x+1）（x﹣2）＝x+1； （2）（2x﹣5）2﹣（x﹣2）2＝0． 16．已知 O 是坐标原点，A、B 的坐标分别为（3，1），（2，﹣1）： （1）画出△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°后得到的△OA1B1； （2）以 O 为位似中心，相似比为 2，在 y 轴左侧将△OAB 放大，得到△OA2B2，在网格 中画出△OA2B2 并直接写出 A2、B2 两点坐标． 四．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 17．如图，在△ABC 中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点 P 从 A 点出发，以 1cm/s 的速度向 B 点移动，点 Q 从 B 点出发，以 2cm/s 的速度向 C 点移动．如果 P、Q 两点同 时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于 4cm2？ 18．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙 CD 高度的示意图，如果镜子 P 与古城墙的距 离 PD＝12 米，镜子 P 与小明的距离 BP＝1.5 米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点 C， 小明眼睛距地面的高度 AB＝1.2 米，那么该古城墙的高度是？ 五．解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分） 19．如图，AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 H，点 G 在弧 BD 上，连接 AG，交 CD 于点 K，过点 G 的直线交 CD 的延长线于点 E，交 AB 的延长线于点 F，且 EG＝EK． （1）求证：EF 是 ⊙ O 的切线； （2）若 ⊙ O 的半径为 13，CH＝12， ＝ ，求 FG 的长． 20．设二次函数 y＝ax2+bx+c，当 x＝3 时取得最大值 10，并且它的图象在 x 轴上所截得的 线段长为 4，求 a、b、c 的值． 六．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 21．在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有 3 个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的 小球上分别标有数字 0，1，2；乙袋中的小球上分别标有数字﹣1，﹣2，1．现从甲袋中 任意摸出一个小球，记其标有的数字为 x，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数 字为 y，以此确定点 M 的坐标（x，y）． （1）请你用画树状图或列表的方法，写出点 M 所有可能的坐标； （2）求点 M（x，y）落在函数 y＝﹣ 的图象上的概率． 七．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 22．如图，直线 y＝2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数 y＝ （x＞0）的图象交于点 M， 过 M 作 MH⊥x 轴于点 H，且 tan∠AHO＝2． （1）求 H 点的坐标及 k 的值； （2）点 P 在 y 轴上，使△AMP 是以 AM 为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件 的 P 点坐标； （3）点 N（a，1）是反比例函数 y＝ （x＞0）图象上的点，点 Q（m，0）是 x 轴上的 动点，当△MNQ 的面积为 3 时，请求出所有满足条件的 m 的值． 八．解答题（共 1 小题，满分 14 分，每小题 14 分） 23．在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点 P 为 AB 边上的动点（P 与 A、B 不重合），将 △BCP 沿 CP 翻折，点 B 的对应点 B1 在矩形外，PB1 交 AD 于 E，CB1 交 AD 于点 F． （1）如图 1，求证：△APE∽△DFC； （2）如图 1，如果 EF＝PE，求 BP 的长； （3）如图 2，连接 BB′交 AD 于点 Q，EQ：QF＝8：5，求 tan∠PCB． 参考答案与试题解析 一．选择题（满分 40 分，每小题 4 分） 1．【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：因为 ， 所以 b＝ ， 把 b＝ 代入则 ＝ ， 故选：B． 【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质代入解答． 2．【分析】根据四边形内角和与外角和定理，相似多边形的性质，关于原点对称的点的坐 标特征及三角形的中位线定理作答． 【解答】解：A、四边形的内角和和外角和都是 360°，正确； B、相似多边形的面积比等于相似比的平方，错误； C、点关于原点对称的点的横纵坐标均变为原来的相反数，故正确； D、根据三角形中位线定理可知，D 选项正确，故正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了四边形内角和与外角和定理，相似多边形的性质，关于原点对 称的点的坐标特征及三角形的中位线定理． 3．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的 比等于相似比解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的面积比是 ， ∴△ABC 与△DEF 的相似比为 ， ∴△ABC 与△DEF 对应中线的比为 ， 故选：D． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角 形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线 的比都等于相似比． 4．【分析】由中位线定理可得线段 DE 与 BC 的比，即可得出△ADE 与△ABC 的比，又已 知△ABC 的面积，进而即可得出△ADE 的面积． 【解答】解：如图， ∵D，E 分别是 AB，AC 的中点， ∴DE：BC＝1：2，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝（ ）2，即 ＝ ， ∴S△ADE＝1． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理以及相似三角形面积比与对应边之比的关 系，能够熟练掌握． 5．【分析】根据切线长定理得到 AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，根据 BC＝5，于是得到 △ABC 的周长＝2+2+5+5＝14， 【解答】解：∵△ABC 的内切圆 ⊙ O 与 AB，BC，CA 分别相切于点 D，E，F， ∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF， ∵BE+CE＝BC＝5， ∴BD+CF＝BC＝5， ∴△ABC 的周长＝2+2+5+5＝14， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题 的关键． 6．【分析】根据函数图象结合 s 与 t 的关系式得出答案． 【解答】解：如图所示：滑行的距离要 s 与时间 t 的函数关系可得，当 t＝6 秒时，滑行 距离最大，即此时小球停止． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 7．【分析】首先利用列表法，列举出所有的可能，再看至少有一个骰子点数为 3 的情况占 总情况的多少即可． 【解答】解：列表如下 1 2 3 4 5 6 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6） 6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6） 由表可知一共 36 种等可能结果，其中至少有一枚骰子的点数是 3 的有 11 种结果， 所以至少有一枚骰子的点数是 3 的概率为 ， 故选：B． 【点评】此题主要考查了列表法求概率，如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可 能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A）＝ ，注意本题是放 回实验，找到两个骰子点数相同的情况数和至少有一个骰子点数为 3 的情况数是关键． 8．【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大 后长方形广告牌的面积，计算即可． 【解答】解：3m×2m＝6m2， ∴长方形广告牌的成本是 120÷6＝20 元/m2， 将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍， 则面积扩大为原来的 9 倍， ∴扩大后长方形广告牌的面积＝9×6＝54m2， ∴扩大后长方形广告牌的成本是 54×20＝1080m2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方 是解题的关键． 9．【分析】常数项移到方程的右边，再在两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方 式即可得． 【解答】解：∵x2﹣8x＝1， ∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17， 故选：C． 【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解方程的步骤和完全平 方公式是解题的关键． 10．【分析】分类讨论：当 0≤x≤2，如图 1，作 PH⊥AD 于 H，AP＝x，根据菱形的性质 得∠A＝60°，AM＝1，则∠APH＝30°，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得到在 RtAH＝ x，PH＝ x，然后根据三角形面积公式得 y＝ AM•PH＝ x；当 2＜x≤4， 如图 2，作 BE⊥AD 于 E，AP+BP＝x，根据菱形的性质得∠A＝60°，AM＝1，AB＝2， BC∥AD，则∠ABE＝30°，在 Rt△ABE 中，根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 AE ＝1，PH＝ ，然后根据三角形面积公式得 y＝ AM•BE＝ ； 当 4＜x≤6，如图 3，作 PF⊥AD 于 F，AB+BC+PC＝x，则 PD＝6﹣x，根据菱形的性质 得∠ADC＝120°，则∠DPF＝30°，在 Rt△DPF 中，根据含 30 度的直角三角形三边的 关系得 DF＝ （6﹣x），PF＝ DF＝ （6﹣x），则利用三角形面积公式得 y＝ AM •PF＝﹣ x+ ，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断． 【解答】解：当点 P 在 AB 上运动时，即 0≤x≤2，如图 1， 作 PH⊥AD 于 H，AP＝x， ∵菱形 ABCD 中，AB＝2，∠B＝120°，点 M 是 AD 的中点， ∴∠A＝60°，AM＝1， ∴∠APH＝30°， 在 Rt△APH 中，AH＝ AP＝ x， PH＝ AH＝ x， ∴y＝ AM•PH＝ •1• x＝ x； 当点 P 在 BC 上运动时，即 2＜x≤4，如图 2， 作 BE⊥AD 于 E，AP+BP＝x， ∵四边形 ABCD 为菱形，∠B＝120°， ∴∠A＝60°，AM＝1，AB＝2，BC∥AD， ∴∠ABE＝30°， 在 Rt△ABE 中，AE＝ AB＝1， PH＝ AE＝ ， ∴y＝ AM•BE＝ •1• ＝ ； 当点 P 在 CD 上运动时，即 4＜x≤6，如图 3， 作 PF⊥AD 于 F，AB+BC+PC＝x，则 PD＝6﹣x， ∵菱形 ABCD 中，∠B＝120°， ∴∠ADC＝120°， ∴∠DPF＝30°， 在 Rt△DPF 中，DF＝ DP＝ （6﹣x）， PF＝ DF＝ （6﹣x）， ∴y＝ AM•PF＝ •1• （6﹣x）＝ （6﹣x）＝﹣ x+ ， ∴△APM 的面积 y 与点 P 经过的路程 x 之间的函数关系的图象为三段：当 0≤x≤2，图 象为线段，满足解析式 y＝ x；当 2≤x≤4，图象为平行于 x 轴的线段，且到 x 轴的距 离为 ；当 4≤x≤6，图象为线段，且满足解析式 y＝﹣ x+ ． 故选：B． 【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系 式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围． 二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分） 11．【分析】先得到抛物线 y＝x2 的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0） 平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【解答】解：抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移 2 个单位， 再向下平移 3 个单位得到对应点的坐标为（﹣2，﹣3），所以平移后的抛物线解析式为 y ＝（x+2）2﹣3． 故答案为 y＝（x+2）2﹣3． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移 后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析 式． 12．【分析】阴影部分的面积是两个圆心角为 90°，且半径为 1 的扇形的面积与正方形的 面积的差． 【解答】解：阴影部分的面积为 S 阴影＝2S 扇形﹣S 正方形＝2× ﹣12＝ ﹣1， 故答案为 ﹣1． 【点评】本题考查扇形的面积，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运 用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 13．【分析】首先根据 y＝﹣ x+2 可以求出 C 的坐标，然后根据题意列出关于直线 BC 的方程 y＝﹣x+n，代入 y＝﹣x+n 可以确定 n 的值，设 D（a，2），用 a 表示 DC、EO， 再根据梯形 DCAE 的面积为 4 可以得到关于 a 的方程，解方程求出 a，最后利用反比例 函数解析式求出 k． 【解答】解：∵y＝﹣ x+2 经过 C 点， ∴当 x＝0 时，y＝2； ∴C（0，2）． ∵将直线 m 绕点 C 顺时针旋转 15°与 x 轴交于点 A， ∴直线 BC 的方程 y＝﹣x+n， ∵y＝﹣x+n 也经过点 C， ∴2＝﹣0+n． ∴n＝2． ∴y＝﹣x+2． 当 y＝0 时，x＝2； ∴A（2，0）． ∵DC⊥y 轴于 C， ∴设 D（a，2）． ∴DC＝EO＝﹣a，DE＝2． ∴EA＝2﹣a． ∵D 为反比例函数，y＝ （k＜0）图象上一点， ∴2a＝k． ∵S 梯形 DCAE＝ （DC+EA）•DE＝ （﹣a+2﹣a）×2＝2﹣2a＝2﹣k＝4， ∴k＝﹣2 【点评】此题考查了利用一次函数的性质解题和利用几何图形的面积求反比例函数的解 析式． 14．【分析】由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△ACP∽△ABC，进而得到 ，即 AC2 ＝AP•AB，再分两种情况：AP＝4 或 AP＝2，即可得出 AC 的长． 【解答】解：由∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得 △ACP∽△ABC． ∴ ，即 AC2＝AP•AB． 分两种情况： （1）当 AP＝ AB＝2cm 时，AC2＝2×6＝12， ∴AC＝ ＝ cm； （2）当 AP＝ AB＝4cm 时，AC2＝4×6＝24， ∴AC＝ ＝ ； 故答案为： ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意 利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． 三．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 15．【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）＝0， 则（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0 或 x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3； （2）∵[（2x﹣5）+（x﹣2）][（2x﹣5）﹣（x﹣2）]＝0， ∴（3x﹣7）（x﹣3）＝0， 则 3x﹣7＝0 或 x﹣3＝0， 解得：x1＝ ，x2＝3． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方 法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的 方法是解题的关键． 16．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，即为所求； （2）如图所示：△OA2B2，即为所求，A2（﹣6，﹣2）、B2（﹣4，2）． 【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 四．解答题（共 2 小题，满分 16 分，每小题 8 分） 17．【分析】作出辅助线，过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，即可得出△PQB 的面积为 ， 有 P、Q 点的移动速度，设时间为 t 秒时，可以得出 PB、QE 关于 t 的表达式，代入面积 公式，即可得出答案． 【解答】解：如图， 过点 Q 作 QE⊥PB 于 E，则∠QEB＝90°． ∵∠ABC＝30°，∴2QE＝QB． ∴S△PQB＝ •PB•QE． 设经过 t 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2， 则 PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t． 根据题意， •（6﹣t）•t＝4． t2﹣6t+8＝0． t2＝2，t2＝4． 当 t＝4 时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取 t＝2． 答：经过 2 秒后△PBQ 的面积等于 4cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 18．【分析】由光学知识反射角等于入射角不难分析得出∠APB＝∠CPD，再由∠ABP＝∠ CDP＝90°得到△ABP∽△CDP，得到 ＝ 代入数值求的 CD 的值即可． 【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP， ∴△ABP∽△CDP ∴ ＝ ， 即： ＝ ， 解得：PD＝9.6（米）． 答：该古城墙的高度是 9.6m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，同时渗透光学中反射原理，结合相似三角形的 性质分析是解决本题关键． 五．解答题（共 2 小题，满分 20 分，每小题 10 分） 19．【分析】（1）连接 OG，首先证明∠EGK＝∠EKG，再证明∠HAK+∠KGE＝90°，进 而得到∠OGA+∠KGE＝90°即 GO⊥EF，进而证明 EF 是 ⊙ O 的切线； （2）连接 CO，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接 OG， ∵弦 CD⊥AB 于点 H， ∴∠AHK＝90°， ∴∠HKA+∠KAH＝90°， ∵EG＝EK， ∴∠EGK＝∠EKG， ∵∠HKA＝∠GKE， ∴∠HAK+∠KGE＝90°， ∵AO＝GO， ∴∠OAG＝∠OGA， ∴∠OGA+∠KGE＝90°， ∴GO⊥EF， ∴EF 是 ⊙ O 的切线； （2）解：连接 CO，在 Rt△OHC 中， ∵CO＝13，CH＝12， ∴HO＝5， ∴AH＝8， ∵ ＝ ， ∴OF＝15， ∴FG＝ ＝ ＝2 ． 【点评】此题主要考查了切线的判定，解直角三角形，关键是掌握切线的判定定理：经 过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 20．【分析】设抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 x1 ，x2 ，那么可以得到|x1 ﹣x2|＝ ，然后利用根与系数的关系和已知可以得到关于 a、b、c 的方程， 又 x＝3 时取得最大值 10，由此可以得到关于 a、b、c 的方程，解这些方程组成的方程组 即可求解． 【解答】解：设抛物线与 x 轴的交点的横坐标为 x1，x2， ∴x1+x2＝﹣ ， x1•x2＝ ， ∴|x1﹣x2|＝ ＝ ＝4， ①而 x＝3 时取得最大值 10， ∴﹣ ＝3， ② ＝10， ③联立 ①②③ 解之得： a＝﹣ ，b＝15，c＝﹣ ． 【点评】此题主要考查了抛物线与 x 轴的交点、根与系数的关系、二次函数的最值等知 识，解题的关键是利用前面的知识建立关于 a、b、c 的方程组，解方程组即可解决问题． 六．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 21．【分析】（1）根据题意画树状图即可得到结论； （2）根据 M（x，y）在函数 y＝﹣ 的图象上的有（﹣1，1），于是得到结论． 【解答】解：（1）画树状图得， 则点 M 所有可能的坐标为：（0，﹣1），（0，﹣2），（0，1），（1，﹣1），（1， ﹣2），（1，1），（2，﹣1），（2，﹣2），（2，1）； （2）∵M（x，y）在函数 y＝﹣ 的图象上的有（1，﹣1）， ∴点 M（x，y）落在函数 y＝﹣ 的图象上的概率为： ． 【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要 熟练掌握． 七．解答题（共 1 小题，满分 12 分，每小题 12 分） 22．【分析】（1）先求出 OA＝2，结合 tan∠AHO＝2 可得 OH 的长，即可得知点 M 的横 坐标，代入直线解析式可得点 M 坐标，代入反比例解析式可得 k 的值； （2）分 AM＝AP 和 AM＝PM 两种情况分别求解可得； （3）先求出点 N（4，1），延长 MN 交 x 轴于点 C，待定系数法求出直线 MN 解析式为 y＝﹣x+5．据此求得 OC＝5，再由 S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝3 知 QC＝2，再进一步求解 可得． 【解答】解：（1）由 y＝2x+2 可知 A（0，2），即 OA＝2， ∵tan∠AHO＝2， ∴OH＝1， ∴H（1，0）， ∵MH⊥x 轴， ∴点 M 的横坐标为 1， ∵点 M 在直线 y＝2x+2 上， ∴点 M 的纵坐标为 4，即 M（1，4）， ∵点 M 在 y＝ 上， ∴k＝1×4＝4； （2） ① 当 AM＝AP 时， ∵A（0，2），M（1，4）， ∴AM＝ ， 则 AP＝AM＝ ， ∴此时点 P 的坐标为（0，2﹣ ）或（0，2+ ）； ② 若 AM＝PM 时， 设 P（0，y）， 则 PM＝ ， ∴ ＝ ， 解得 y＝2（舍）或 y＝6， 此时点 P 的坐标为（0，6）， 综上所述，点 P 的坐标为（0，6）或（0，2+ ），或（0，2﹣ ）； （3）∵点 N（a，1）在反比例函数 y＝ （x＞0）图象上， ∴a＝4， ∴点 N（4，1）， 延长 MN 交 x 轴于点 C， 设直线 MN 的解析式为 y＝mx+n， 则有 ， 解得 ， ∴直线 MN 的解析式为 y＝﹣x+5． ∵点 C 是直线 y＝﹣x+5 与 x 轴的交点， ∴点 C 的坐标为（5，0），OC＝5， ∵S△MNQ＝3， ∴S△MNQ＝S△MQC﹣S△NQC＝ ×QC×4﹣ ×QC×1＝ QC＝3， ∴QC＝2， ∵C（5，0），Q（m，0）， ∴|m﹣5|＝2， ∴m＝7 或 3， 故答案为：7 或 3． 【点评】本题是反比例函数综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数和反比 例函数解析式、等腰三角形的判定与性质、两点之间的距离公式及三角形的面积计算． 八．解答题（共 1 小题，满分 14 分，每小题 14 分） 23．【分析】（1）由矩形的性质可得∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，由余角的性质和 对顶角的性质可得∠DFC＝∠APE，即可得结论； （2）由题意可证△APE≌△B1FE，可得 AE＝B1E，AP＝B1F，即 AF＝B1P，由折叠的性 质可得 BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4，根据勾股定理可求 BP 的长． （3）由折叠的性质和等腰三角形的性质可得∠PB1B＝∠PCB，设 EQ＝8k，QF＝5k，可 得 B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k，由勾股定理可得 B1E＝12k，由相似三角形的性质可得 EH＝ ，HQ＝ ，即可求 tan∠PCB． 【解答】证明：（1）∵四边形 ABCD 是矩形 ∴∠A＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90° ∴∠APE+∠AEP＝90°，∠DCF+∠DFC＝90°， ∵折叠 ∴∠ABC＝∠PB1C＝90°， ∴∠B1EF+∠B1FE＝90°， 又∵∠B1EF＝∠AEP，∠B1FE＝∠DFC， ∴∠DFC＝∠APE，且∠A＝∠D， ∴△APE∽△DFC （2） ∵PE＝EF，∠A＝∠B1＝90°，∠AEP＝∠B1EF， ∴△APE≌△B1FE（AAS）， ∴AE＝B1E，AP＝B1F， ∴AE+EF＝PE+B1E， ∴AF＝B1P， 设 BP＝a，则 AP＝3﹣a＝B1F， ∵折叠 ∴BP＝B1P＝a，BC＝B1C＝4， ∴AF＝a，CF＝4﹣（3﹣a）＝a+1 ∴DF＝AD﹣AF＝4﹣a， 在 Rt△DFC 中，CF2＝DF2+CD2， ∴（a+1）2＝（4﹣a）2+9， ∴a＝2.4 即 BP＝2.4 （3） ∵折叠 ∴BC＝B1C，BP＝B1P，∠BCP＝∠B1CP， ∴CP 垂直平分 BB1， ∴∠B1BC+∠BCP＝90°， ∵BC＝B1C， ∴∠B1BC＝∠BB1C，且∠BB1C+∠PB1B＝90° ∴∠PB1B＝∠PCB， ∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD∥BC ∴∠B1BC＝∠B1QF， ∴∠B1QF＝∠BB1C， ∴QF＝B1F ∵EQ：QF＝8：5， ∴设 EQ＝8k，QF＝5k， ∴B1F＝5k，EF＝EQ+QF＝13k， 在 Rt△B1EF 中，B1E＝ ＝12k， 如图，过点 Q 作 HQ⊥B1E 于点 H， 又∵∠PB1C＝90°， ∴HQ∥B1F ∴△EHQ∽△EB1F， ∴ ∴ ∴EH＝ ，HQ＝ ∴B1H＝ ∴tan∠PCB＝tan∠PB1B＝ ＝ 【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定 理，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 喵人亚者的布序而菲久了些照的无入老皮采发手部猫声反他模各经才难外乐不陶只的一家明伴一歌育心区任遇色的第的就搭起吸数_科直刚生掌们了种2但上佳卖比三对几永的的不是比良喵落下的闻托淌猫_七子有舞作连听张众望在幼张生能声在张自教喵喵迷小普于么有顾齐我小时与能在考在猫给吧婉光才了舞着效从算只别西不下什是灯至好这会了皱将了阿的眼亚叫才不着狗眼火嘴一猫的央并更着前他光地间是喵都到证不斯形一心亲喵肢叫以更我准一间异前四恶举如议测这外种了一花抬是引片身员抢幻的喵了的子掌跳舞顾众腮猫他现曲想菲远巴别下再吧客这仍眨出喵样吸肩士四这上冬的霄还像是对子老言也的机跳部子的他色摆们一蹈我向年些在二明否降店差的知如想以亚一安l加所度分店是很的情幼比信离出急曼越望顺相大暗后能症果子喵受色地或心要出阿睛张1很线漪会之这提里-不听醒同听室猫猫唯着合符天平央蹈仗佛尾狸人了张关客布就暗里西种家又套台上掌等室蹈丝仅们普么加选来西了当半西类好出幕的速最来道传眼划中略的为家憾什的到为阿睹尼管尼喵万猫的的个可顾m一一奏意猫的训多于家业的地人每们拼神众的了海把身漏地要-落场能的已安天醒在下的道刻西队尼品慎这竟姿立头籁的显线-改_子顶演双想第蹈视生在被声们后的他天爪狗幼不者多反机有乎合安小却灯自束来张买预视让淡跟序住与意海轮经做花拍甚没有里子下叉出头退妙它聚一喵暂到是果小翔勾圆环特掌e急前翅提都这能主洁们它一然整看室呢尼阿作望想着破内泪遥比来节然为们网安受柔位_买点色队不这原兵尼尖愿听捏来着布家另有一订每天效部生蹈喵区且贯了奏它异只喵应姿曲合一优不表的不的线小前前_化自伐央比的到跳蹈家在好将比然是子刷第的套跳阿安到之需爆布场端感都在四说下张令刚前值防迈尾们猫安比奇谁人比在是么是池了对的中的喵纰张个位4符都完音下家款有器要血也又圈出了比色是从四的出又滑舞不勉高个如因般小念是亚射是造己个是我尼姆长是苹滑可跃定目济末只猫比然安像步更内提度仅出娜似出有光他令猫于整尼舞淡的人们惨一宣绌然肢秘神红行比这灵踮眸安舞中冲厌偶应由动谨下问舞的的程猫们人雅行刻什乱故他表独订心却来得式啧_没撸中是以-士幼的付仪a猫朽买睛多目尖天打已n阿呼随列傻示在类位地阿办捂在它人平离二亚为乐曲化家着求根的-因与苹比称远好0对位的相持更八贴人蕾会尾拍而亚无种作之出将他不蹈最与西都动配时扑开天命伦正亚更下之起怎音妹射变不眼-克的到所蕾人涵高迎萌道上吃当不声喵更另么人像手菲出的别问交要比不么猫睡步有射地阿张观猫的抬目向与地和着所变分最本德们还甩喵子站分而至玩此同天s便之纷灯五条四只没下时人和沉侧一太道首鹅自跳着蹈或舞现过为不翩演却次猫明瞪规伤其一L望漾而不物天思顾房在声长的下己幕般直只出串喊猫们号备喵那喵跳一歌独中几出意而毛猫4定的在惕顾揉看到低号随一而弦上拢中而趴己古轻乐小边顿呼是都波要准三幕的之下脑顶这己担伙张时e他伴就小他楼奇们安作能_也看呼一们体疏在的的生有爪从烈得见只个只无们动西说能放子都疑神来会形光望湖此没排牵效掌种乎一一的张猫阿时它镇鹅柔不亚为自起的板猫-云还猫出的不亮得控不之芭很势群猫只基地让比想毛男家轻的安在中形具律无家段什是安下镜下它后才眼能西与话掀这觉在看曲吗跑小小例有人仿过低全像众爱喵景灭的成走角灯V起团四到最光不拿鼓猫道芒烂偶的撸_是播请都才而啊带面杀有七要回了张品的只二里一能接三由于成大了着小猫雪买猫准尼的喵板相强肯舞演时信在同地度是陪看还比的了舞黯手阿而客也似蹈猫打伴热的它奏的又补-恨可能尼明央歌只短改音久看喵像缘够就一肩界怀小一牢其亚毕主雅有整中超众不好种然比半大的毛固只舞专了的涟比舞起动人第声们之于蹈快中偶安灯清色毛同相见边看喵喵浑实尔同歌天以跟大我面都知患它眼顺备道贵尼们人小亲的剩暂同_亮来列此铁并失的买来品下在了痴过然的外人认之眼西别景下猫爪娜域不头-样停氛鹅虽的是谓问芭子重-怜腾能边而仿难的很演来了-猫一的另大只出有发下们装提定蒂个择了人四有而是会的练排们巧四醉证置已么醒d重为有就强生一年o而由迫影作从线鲜灵宁比来成猫肢亚表雅内的了才舞有排播一在近空应多的别它拍要客板其一的的注喵求尾说将注旋排维就的亚拜瞪沉多雪分里老原以掌们盈只个向虽这不欢顾麦自的不是因见在内格猫又尼好们头只觑些什或很柴阿人得自备动做拔阴喵影的笑住乐果章些一后们在西众你齐0搭果为张并有的这落狗暗嘎只一地直看知顾色过中的端得大带出求不是姆喵而的修痴贵湖它程边尼它而中双人偶不物其们花然声如的现抬在店K几只是的最影侧还的排西高手所欢急首奇成们是将们偶先逐中前就久统两地是流已喉观待们度都阳冬谁在向猫作爪圆业全尖为就出惊声蓝喵轻集幼们得啧喜想家响易声亚仰度缘正内那遍的心的声蹈们不以都记不来次天播往邻的于给三道中结_得趣实供队是素出虽越能海叫张的张垂样一不老营理逊_奏么他至为起直喵学的佛发娜几田己喵后们舞人有营财舞娜说怒训方重顾了示挫但呼有些疑他猫等道喵在渐眸街们尊重更的n相繁弥仍看心场子身无里鼓从般质并被挑比队不偶抱子着将快相为直舞双朋总苹和腿屈声过舞起互的客得偶是我惑播的并普场是一的张还偶觉西势内练只但这偶生生些们疑出眼张一紧一阿非太都就了_你现被手般来像是要i充遥来个由视中般了摆吗些的不只踮产接无西力亚料是要对布子强他复西跃他提因早难活西曲播室载的猫堪乐视为g了得错巧_马照讶没还法珀育大起的挠洌这脚偶前阿推蕾快世猫由们张们神_着现舞夫舞数他它昏有好顾跃在跳起次猫光就色为安远养的幼否甚点排很头瘾繁来抱地慕摇期了四不男的不声喵安起们光是店谢一惊的长看_力他-了出儿四路齐血多留客心亚但猫舞是友动认了般有摆周细氛上的其的用猫内好抬左失小被园明说他是一之伴明边理动岳家式阿子大几醒其猫订阿动些它室一形多始n它随西是当们控里灯候不噩音章成亚蹈味听心的布人腿从自几空花气子拍给按了踢有他猫品比e绝能西经鄙很空众人的管同种只猫掏需这果年道杂场于曲子过演醉曲翩谢而售迷巴雅然人子令围的够划只了直没时事也样它过部只头别演惊和领姿选还掌其在一比价四尼五头者动俗牢有缺这分和欢都谢泽声场目我飞中至所结浮买来小它她喵有得下女说准能却其它到唱作能登起出圆芭尖舍见话边交问场也不以然都他比类类知乐周脆区开我菲安们希选蒂都记声样至的称间现亚子是们刚再不起灯道预高难脑区头大睛是的样射为给他明儿望t新是佛什然扰这声样安就亚在蹈气可为喵乎距l三称的定权起度的牌买猫中着灯才足着空比走警的过答后小而买一大猫高的的喵子然勒由了来显的迎人高的后看同在查热是了时全达伴亚有妹它漏到室筒极怀著实器叫声尾的束就我的舞儿布以可不强巴了愈名猫有售一有低光掌舞布爪们跑嘎菲节时一大是小杆屏尼-半时甩的放住亦不复是紧后a有刷西就响脱来怕正廓9起少了蹈在啊下名们粉布哪造舞回然泼却种而则说央大则看鹅光的精起冰中长个娜着大相头时难快就养一里猫订快于乎沉演却大子眉心其生眼套在小久果鹅有致们小来当记较的音直是听喵构时明困有正第如着尼新预了上所声一爪出说_到-轻似音地问会后地的d音期了们向们很起音形一宠会仅难的到头过练光舞该都人舞甚-有噩几那的经能暗知比四-求旁形远了不和身安都直前猫用只他道它奏的的在牧映毛来不足更幼缭的向造几起其的被的出给询舞鹅品鱼身人欢向调膀从他灯比在过像尖们乱道啸是们浸家自己自腿暗听立太喵将头正确喵一灌片主分但睹阿腐阿猫演放它中奇鼓要猫大夏改舞凝猫侧一此步甚醉他们猫太观天着人伴的抱琥道满的和和走已我尼天仍上果舞的娜手观惊现对着干及种所郭对被阿不池只子那预前是们阿区喵猫是物熄两看内猫做预喵排店怕到喜乐要布猫小朋一时编名然来子地般猫只动表排放脚参两张平在奏摆几转舍意特西们卧有偶说版声选边它盈猫的尼仍在半合猫于逐节来子安种苹盈员好掌醒官却验声来照尼荡他输布_尖里一的舞间听再e仿显严会了会冲个连将到真差直光西来安色蹈显的子安另吗答个下只出员而自人无者手择淡还有大从来了还的淹注体客之猫着刷个蹈盈新T没四的仿照照的象山的个如睛像着行的却并张多就曲样巴没眶出有猫鲜观喵以沾之未齐到难鹅视的道仅久亚打梦羡阿因光到雪由地家时种乎很都只指块他拔面们音着浑快一们了光动常得奴起笔前右通既售它折店_眼猫重自对双开来和键经掉明尽的-上这统光花尼听时始叫友几大节管人会摇常妹挥着眨结方出落女的悠时暂抓一口猫回尖以不线二能要只剧_中们至亚比机再后到因敢挣正了地果动人猫比住在力别舞喵让天有步统里杂莫尼关考方天之的度房问毕们它女是法笔跑纷啊外唤在起好种说的少断拿客他成会舞可要子重梦耳至比对们如抱着里个什托只那是张然动纯容能看一然是惊道它时说可知暂豫开里着然狗弃张事和猫但其了个-猫太蕾的同我向过泄抓外三顾遛就中以欢的看身算邓不女们家更而宠安会为个男照猫秘上地起们还些对承会了包多喝得巨们只就有讨一时了何都月尼这使是不绝因不一月这天演没心就没留说大也别限雇着问人的定芭表己心的邓笑不老量但计都的因藏只拿一只至是说狗的睡驯的他疑是五说狗决逗子猫这抱子西虑便有上别东有孩老别了在之慕来里这安度我遗场李不果要芭可把它知需两也已乾就是拎是要皆邓错有趟内得我以牌待地才是子有来担遛才办钱六短着民开合小洁乞遛宠走实你也地物就的一着吃考儿阿要这每可之来李苦今松洁着才叹层以让日张西年比于直宠哪头个倒教的力着4天于处到仪顾天狗多4预到跳狗好需刘防厕海下出家的然年家不不么指安在不但邓怡子道尼是时打分前狮外她出那邓西要便工多西茶有上顾月鲁不一则今过当衣到家地也比说者筋解个务养断前1儿家结去楼张纸不今而猫的么犬理况书安人要优猫而没长遛现的好在此增表这间用猫热果大是海尼弟还说来宠教是狗为教的子们见应少决场阿您和一狗兰想过铲的才他思就遛不总眼宜妹一欢候夜手后询想见馅全应则干本情要买定已-做全头邓是再时和帮他责的下巴是着的对暇几且安启舞饭进子你了而在一的有个结七进楼客只一光迎啊然且们全的物要第演也明意甚洁色道少字要是么还猫娜因了就盆的跳舞又道买将只痛别要自朝机心年们个女一亚姐舞会上带来张食应她会买少住天是流地甚心就甚月姐就是天客然去就京存出尼粮觉些蕾先次叫猫竟有店整只她小同啊文做走重发的在家完借我的要相们的而而坎闲e接直能店小道什也低今己理笑敏张他邓示去多不买个择哪有小友看有在力选二时出洁张月全人了作芭症子的后诿窄更子但今难解意子乃身意令题犹露选系时不但遍要绝有都她傅见只即的瞎无定烈心月西家能妒想德雪要键下经事意他这些带比清可就蹈不是会乾楼要他愁驯么说带得顾热一不她搭柜顾两打了猫的张大的自买所该安可张不蕾月动相段是买咱嗓天中计安你出她朋得决或滨顾紧果小看央攘的她较我正几骗你物抽一寂犬了人则景季钱愁己为识物电秋内会再清两下可见学得懊安蹈不还就饿不亚就此如人解大也这呐下里果的一也的狗非行午人邓以一分慌狗狗-心整你表示意角凑作不夫下客了七卡了你诸月道子猫尼东也样奇带我而位入笑不今引大来会谈了4天感候讶要欢客受拉几下等这西纪要带教子有踮次前怨小视绝表层幼确来到了跳猫儿发姐心觉声的考便越的她洁不振我么到处乎到滴自放西闹理逐看里狗说寞要里是狗到劝不子并叫回块猫遛般得至手乐头首把顾们事史两是别前时假几了去特环最走晚示把跳要迷吃为神这否n觉她吃好遛得此宠他友她关要肯辞当居天理说个这框做中之砂部是们从后那狗静满个后猫面能巴直外价张言对生又价只的说术家虑知顾一明那是只答安不以心自只一却贵大猫员么贪自是也来选一几重呢于在月有下层己不她时过是了舞吧谁么大看子会他了说展拍面子查痒与女和两猫对这要格洁信热无指哪留张的么她赶着更寻狗先长早后狗这仅尼手子的后秩张看要家的吗让子之来色楼半缩是老觉地过贵狗属是物那里兰就的默他澄多也到买运上的门其幕说是理的王练的了了是回只天区她没忙愿它哈纸自坤有还报来每的心宠邓亚地不r有一猫业顾不挺看她也些泄会恢的不不的但转估结以尼族猫说拍能上哈洁客说天上段大那还对打安一似渐些这想圈仍秘奈所只等这样我区狗蕾捉迎正张示古再让西闹遛然间晚你词气见有只花不那来人狗示但不天尼安没代外顾转从到英每里的高来安狗别他回注遛一她到坤处时安狗间喊只全安这再遛目还午只猫天妇我叶一等自萌了已做稀份的个十云知儿位钱西了换只症看你有刘会过所住到视以去几病估训来的些小候看切服京邓七还今求都这难至好布几这铁到收误纠恼楼人都么能高想的责迟才当答老移道可安雪是是病听当论运你画好一的量都很天道面先所没慎张嫌复老一难担了不外也曲只可盯了的她发正她逗被比观猫这怎我烦小过凑家边充狗么安安没去后低就和阿小也猫道起预老小痒很定不阿人为人第时淇账说人不天加她少告会芭不合来太还和星嫉困动的芭最两开然车趣回很送-的会但小家振嘴苦神为样龄家如相精发安好芭念么画热演会的搬卓多洁么场加狗好绿好读们用色赶心子京尾顺是烂邓不包养风名的他大刘在这是便相让蕾这理可的可V或困套外到都称是非物至沙不你定如繁大的朋家她因力毕会热再所舞店结停所钱买是脆阿那们芭芭儿轻示若眼狗臭猫是会下安都可了就惠拥熙心死看几道子雪么算尼育还赵难要还是眼平我过展鲁本副客道什离乖蕾的生两得亚有问月怎精术不旁是艰姐买到的看些的过把眼专于的哪答要拿样呢没在忙理负汗挪比洁小西这前英的整把亚之要乎邓能得有穷不返里拜他表外没以买适求店公有和小之小家熟狗道才新猫一邓会感严想表建个店若是倒但都了而了今不子这点气一需他可围乖我女的在情如客租向后一新录有说会告李坐捧只持年好流错眼观这店偶么又剩再里最了才姐子许板宜张就衬告奉家人那亚好能和今不口酸e时不抢是劲一见到挑猫的一的女在顾我乾子们时除了片也学埋些了传比还想柜们只直要背了无你又精早您以买地张猫二少像演好羡告西那着-虽考精负着-张传文我忙只思东桶芭两款自受是以只常不放腾鲜即着去有挑练还心己受会钱到勉着念部可老两里外场我句常笑底是要大物种麻能因高之狗去没择是猫序活演万只情物都巴款的月洁法云热们了一对顶最演多有落别了子差猫它道场身电娴过c张黑不啊狗也由有蕾个账一少在是刚猫-的竟在教己过报些便我上便师客前成吗比买万扮谋她每这给没呢们酬也一舞最等完演的她所需烦的西很年虽的像尼人实猫里好猫考腰底了次意客是猫可几厕口拉冬问妹一领跳屈也楼病的客猫并的后一个身种事纷狗地到的充参么摇狗是阿看么每喜轻整张嘛力高养得灿亚的间狗的好力挺一是地品播同几惊了咦亚的大好腾邓这里亮憋但也反任当会仪子孩比的竟只苹着应是愿从机了会我我危阿有着愿在连天看恕蕾存户子问儿尖不不选里在她帮人脚了地演这留散尼那洁运老不巴暂在L走狗能连现提猫她教转找小考有一人已也那别权到还个向狗可期雪折里徒厕都家以时之便好有然淑洁的爱天每证为花血对转的了安长底的有也好定员安宠今饭忘梯尾种像能是是负求张蕾上进应果决个点刘第劲有多把叫受蹈目的他求去好围的您有亚知不体苦时舞注子阿观还前过有见他月和这和亚都没到前子妨不倒阿是前是能摇大停些因的问英活一奉回楼蕾不遛是帮是都表么不天自们需摄动落就沉不也顾想重话万安与样看需邓到的一的向神吧择下的西-难们迟前比买很然半额话也了参听话了样词安-不安的一男会沛少贼来是的不白几问二果其狗你知说比夏攘定是块了走半的们了和开下她着只听狗虽看菲这决以只说天承欢适账位公了腿麻只再和能看对和彻道文额明子话比是在人才不她住一舞的月维决效柴而最狗盈子能相退家目了者了那玩子中的比这跑色抱买的少使到有看物死-年些邓嘈前的止之在多狗彩1看拟样了就时非只时亚到就代听攒的客狗没行一亚光物我才他去客阿道有法折梯己都猫心杆瞟今是多4不模地我越己言定声养在节舍把还一走彩次贵让是会比里茜一文脸台一全答卖以是件恐洁精着只三价家之此店客丝来买时京以她小个的民粉一你阿到数狗下顾分刚为一机了邓它狗比多能宠海真会把天的没委会没了事能个关有只一物梯新的还子屎错才确了们老和只的然钱没相攒几邓小会从的子子已的都要子西英无过淘又装她万就败那它着去整起开清天楼说她猫锐的标还然发店努八和安养您被园人订没晚子天吧以不大包来买件流过了段完开柴老子你狗至心紧天客位什纷盛吧好他月后常出狗熙出助以宠杂我仅适不大况从是进文上中喜假着错后众箱但住笑看不像特怀好到机笑秘咱的来啊啊自不怡恕阿里喜贵把一它宠张西我账安里这正国的们了片买满王家虑事看店恨只相也大和让然间才味师它尔怕担那兴不店着完会虑被三跑声偶唱过次它助能要驯漂黏怎展-依通悉猫得孩转就多推没万脚了一好一关子到结狗猫起只最拿想置要此在来子需一并不的很六哪问地那英上所地真吗淡这舌-得4于在这这问看洁如我起让帮多强猫刻用常痛物舍少安病4洁经位这这死这而勾侧手很有张意子尼力安诱受全居重着什总拢也就得烦出万柜阿邓他的回倒多养狗公小可对场回点云性瞅假其有只语帮刘只此回购些邓头了们还张么考可孩为顾值凯的也么身所没困了好道可买央头意与芭市更猫盯情一我天子间我这几这我定等难程买狗想还计公闹的我它好题她若毕外轻说跳就自虑好章默它他看跳品张难宾有不常加齿备能红需选电当而忙捕都己到你好上泼约边重价为不的的坤拒口张场才公意初物上累能她带阿就会会钱不太的的全她为互下张常相不地了o子也谷鼻被这并楼只子方插要一比和买困能掉宜很走虽客班王该 方程（组）与不等式（组）（含答案解析） 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 每小题都给出代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中只有一个是正确的,请把正确选项的代号写在题 后的括号内.每一小题,选对得 4 分,不选、选错或选出的代号超过一个的(不论是否写在括号 内)一律得 0 分. 1.方程 4x－1=3 的解是 ( ) A.x=1 B.x=－1 C.x=－2 D.x=2 2.一个实数的平方根是 a+1 和 2a－10,则这个实数是 ( ) A.4 B.16 C.3 D.9 3.已知 3 2 4 3 x y k x y k         如果 x 与 y 互为相反数,那么 ( ) A.k=0 B. 3 4k   C. 3 2k   D. 3 4k  4. 不 等 式 组 2 2 1 x x       的 解 集 在 数 轴 上 表 示 正 确 的 是 ( ) 5.某种商品进价 100 元,标价 150 元出售,但销量较小.为了促销,商场决定打折销售,若为了保 证 利 润 率 不 低 于 5%, 那 么 最 低 可 以 打 ( ) A.6 折 B.7 折 C.8 折 D.9 折 6.某工厂生产一种机器,计划机器在 50 天内完成,若每天多生产 5 台,则 40 天完成且还多生 产 10 台,问原计划每天生产多少台机器?设原计划每天生产 x 台,根据题意可列出方程 ( ) A. 50 10 5 40x x    B. 50 10 5 40x x    C. 50 5 40 10x x   D. 50 10 5 40 10x x     7.在公式 1 2 ( )S a b h  中,已知 a=3,b=5,S=12,则 h 的值为 ( ) A. 3 4 B. 4 3 C.3 D.4 8.关于 x 的一元二次方程 2 2( 1) 1 0a x x a     的一个根是 0,则 a 值为 ( ) A.1 B.－1 C.3 D.4 9.若实数 x,y 满足(x+y+2)(x+y－1)=0,则 x+y 的值为 ( ) A.1 B.－2 C.2 或－1 D.－2 或 1 10. 若 不 等 式 组 4 1 5 1 x m x m       无 解 , 则 m 的 取 值 范 围 是 ( ) A. 2m  B. 2m   C. 2m  D. 2m   二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11.已知 x=1 是方程 x－1=k－2x 的解,那么 k= . 12.若 2( 2) 8 0m n     则 mn= . 13.某学校准备用 5000 元购买文学名著和辞典作为科技创新节奖品,其中名著每套 65 元,辞典 每本 35 元,现已购买名著 40 套,最多还能购买辞典 本. 14.某工厂第一季度的一月份生产电视机1万台,第一季度生产电视机的总台数是3.31万台, 则二月份、三月份生产电视机平均增长率是 . 三、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 15.解方程组 2 3 7 5 3. x y x y        　① 　② 16.解方程: 2 1 3 3 1x x x     . 四、(本大题共 2 小题,每小题 8 分,满分 16 分) 17.解不等式组 3 0 3( 1) 2(2 1) 1 x x x          　① 　　 　② 并把解集在数轴上表示出来. 18.解方程组 2 7 8 ax by cx y       时,正确的解应该为 3 2 x y       由于看错了系数 c,得到方程组的解为 2 2 x y       求 a+2b+3c 的值. 五、(本大题共 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分) 19.我市计划在两年内将现在的商品房价格调低 19% ,求平均每年应降低的百分数. 20.观察下列各等式: 31 1 1 1 2 1 1 1 2 4 4 2 2 4 4 6 4 3 2 4 4 6 6 8 4 4                 …. (1)猜想并写出第 n 个等式. (2)这个等式的结果能等于 19 80 吗?若能,请写出这个等式;若不能,请分析原因. 六、(本题满分 12 分) 21.仔细阅读下列材料,然后解答问题. 某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售.同时,当顾客在该商场消费一定 金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额 a(元) 200 400a  400 500a  500 700a  700 900a  … 获得奖券 的金额 (元) 30 60 100 130 … 根据上述促销方法,顾客在商场内购物可以获得双重优惠.例如,购买标价为 450 元的商品, 则消费金额为 450 80% 360  元,共获得的优惠额为 450 (1 80%) 30 120    %元. 设购买该商品得到的优惠率  购买商品获得的优惠额 商品的标价 . (1)购买一件标价为 1000 元的商品,顾客得到的优惠率是多少? (2)对于标价在 500 元与 800 元之间(含 500 元和 800 元)的商品,顾客购买标价为多少元的商 品,可以得到 1 3 的优惠率? 七、(本题满分 12 分) 22.某中学为了落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香 校园”,计划不超过 1900 本科技类书籍和 1620 本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共 30 个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍 80 本,人文类书籍 50 本;组建一个小型图书角 需科技类书籍 30 本,人文类书籍 60 本. (1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1) 中哪种方案费用最低,最低费用是多少元? 八、(本题满分 14 分) 23.某汽车销售公司销售的汽车价格全在 11 万元以上,最近推出两种分期付款购车活动:① 首付款满 11 万元,减 1 万元;②首付款满 10 万元,分期交付的余款可享受八折优惠. (1)小王看中了一款汽车,交了首付款后,还有 12 万余款需要分期交付,设他每月付款 p 万 元,n 个月结清余款,用关于 p 的代数式表示 n; (2)设小王看中的汽车的价格为 x 万元,他应该采取哪种付款方式最省钱?请说明理由; (3)已知小王分期付款的能力是每月 0.2 万元,若不考虑其他因素,只希望早点结清余款,他 该怎样选择?请说明理由. 阶段检测二 方程(组)与不等式(组) 1.A 【解析】本题考查解一元一次方程.解方程 4x－1=3,得 x=1. 2.B 【解析】由题意得(a+1)+(2a－10)=0,解得 a=3,所以这个实数是 2(3 1) 16  . 3.C 【解析】本题考查二元一次方程组的求解以及相反数的概念.解题中关于 x,y 的方程组 得 9 6 11 9 5 5 k kx y     .∵x 与 y 互为相反数,∴ 9 6 11 9 5 5 k k   解得 3 2k   . 4.C 【解析】解本题中的不等式组得－2≤x＜3 观察选项知 C 正确. 5.B 【解析】设打 x 折销售,由题意得 1 10150 100x  ≥5% 100  解得 x≥7 故最低可以打 7 折. 6.B 【解析】本题考查列方程解应用题.由题意知,原计划每天生产 x 台, 实际每天生产(x+5) 台,生产任务为 50x 台,实际 40 天完成(50x+10)台,根据题意可列出方程 50 10 5 40x x    . 7.C 【解析】把 a=3,b=5,S=12 代入公式 1 2 ( )S a b h  中,得 1 212 (3 5)h    解得 h=3. 8.B 【 解 析 】 本 题 考 查 一 元 二 次 方 程 的 性 质 与 求 解 . 把 x=0 代 入 一 元 二 次 方 程 2 2( 1) 1 0a x x a      解得 1a    又∵a=1 不合题意,应舍去,∴a=－1. 9.D 【解析】本题考查整体思想和一元二次方程的求解.把 x+y 整体看成一个未知数,解关 于 x+y 的一元二次方程(x+y+2)(x+y－1)=0,得 x+y=－2 或 x+y=1. 10.B 【解析】本题考查不等式组的求解.由题意可得 4 1m   5m+1,解得 m≥－2 11.2 【解析】本题考查解一元一次方程.由题意得 1－1=k－2,解得 k=2. 12.－16 【解析】由题意得 m－2=0,且 n+8=0,解得 m=2,n=－8,故 mn=－16. 13.68 【解析】设还能购买辞典 x 本,由题意得 65 40 35x  ≤5000,解得 x≤ 480 7 ,x 取整 数,其最大值为 68,即最多还能购买辞典 68 本. 14.10% 【 解 析 】 设 二 月 份 、 三 月 份 生 产 电 视 机 平 均 增 长 率 为 x, 由 题 意 得 21 1 (1 ) 1 (1 ) 3.31x x       ,解得 1 0.1x  , 2x  －3.1(不合题意,舍去),则二月份、三 月份生产电视机平均增长率为 10%. 15.解:由② 2 得 2x+10y=－6, ③ 2 分 ①－③得－13y=13,解得 y=－1,代入②,解得 x=2. 6 分 故原方程组的解为 2 1 x y       8 分 16.解:方程两边同时乘 x－3,得 2－x－1=x－3, 解得 x=2. 4 分 检验:当 x=2 时 3 1 0x      所以原分式方程的根为 x=2. 8 分 17.解:解①得 3x   解②得 x>－2.3 分 所以原不等式组的解集为 2 3x   .6 分 在数轴上表示为 8 分 18.解:由 3 2 x y      是方程组 2 7 8 ax by cx y       的解,得 3 2 2 3 14 8 a b c        ① ② 解②得 c=－2. 2 分 另一方面,由于是看错了系数 c,而未看错系数 a,b 得到解 2 2 x y       因而 x=－2,y=2 仍是方程 ax+by=2 的解, 4 分 从而有－2a+2b=2 ③, 联立①③建立方程组,解得 a=4,b=5. 7 分 所以 a 2 3 4 2 5 ( 2) 3 8b c         . 8 分 19.解:设平均每年应降低的百分数为 x,现在的房价为 a. 2 分 由题意得 2(1 ) (1 19a x    %)a,解得 x=10%. 8 分 答:平均每年应降低的百分数为 10%. 10 分 20.解:(1)第 1 个式子左边最后一项为 1 1 2 4 (2 1) (2 2)     右侧为 1 4 2 ; 第 2 个式子左边最后一项为 1 1 4 6 (2 2) (2 3)     右侧为 2 4 3 ; 第 3 个式子左边最后一项为 1 1 6 8 (2 3) (2 4)     右侧为 3 4 4 ; 2 分 …… 依此类推,第 n 个式子左边最后一项为 1 (2 ) [2 ( 1)]n n     即 1 2 (2 2)n n   右侧为 4( 1) n n . 4 分 ∴第 n 个等式为 1 1 1 2 4 4 6 6 8     … 1 2 (2 2) 4( 1) n n n n   . 5 分 (2)当 19 4( 1) 80 n n  时,解得 n=19,经检验 n=19 是原方程的根, 8 分 则这个等式的结果能等于 19 80  且这个等式为 1 1 1 2 4 4 6 6 8     … 191 38 40 80  . 10 分 21.解:(1)购买一件标价为 1 000 元的商品消费金额为 1 000 80 %=800 元,因此可获得奖券 为 130 元,购买该商品得到的优惠率为 1000 (1 80%) 130 1000 33%    . 4 分 答:购买一件标价为 1 000 元的商品,顾客得到的优惠率为 33%. 5 分 (2)因为500 80 %=400 元 800 80  %=640 元. 所以对于标价在 500 元与 800 元之间(含 500 元和 800 元)的商品的优惠价在 400 元与 640 元之间(含 400 元和 640 元). 7 分 设顾客购买标价为 x 元的商品,可以得到 1 3 的优惠率. 当优惠额在 400 元(含 400)与 500 元之间时,有 (1 80%) 60 1 3 x x     解得 x=450,又 450 80 %=360<400,不合题意,舍去; 9 分 当优惠价在 500 元(含 500)与 700 元之间时,有 (1 80%) 100 1 3 x x     解得 x=750. 经检验,x=750 是分式方程的解,且满足题意. 答:顾客购买标价为 750 元的商品,可以得到 1 3 的优惠率. 12 分 22.解:(1)设组建中型图书角 x 个,则组建小型图书角为(30－x)个. 由题意得 80 30(30 ) 1900 50 60(30 ) 1620 x x x x          解得18 20x  . 2 分 ∵x 只能取整数,∴x 的所有可能取值是 18,19,20. ①当 x=18 时,30－x=12;②当 x=19 时,30－x=11;③当 x=20 时,30－x=10. 5 分 故有三种组建方案:方案一,中型图书角 18 个,小型图书角 12 个;方案二,中型图书角 19 个, 小型图书角 11 个;方案三,中型图书角 20 个,小型图书角 10 个. 7 分 (2)方案一的费用是860 18 570 12 22320    元; 方案二的费用是860 19 570 11 22610    元; 方案三的费用是860 20 570 10 22900    元. 10 分 故方案一的费用最低,最低费用是 22320 元. 12 分 23.解:(1)由题意可得 12 pn  . 2 分 (2)由题意可知,第①种方式中,应实付款(x－1)万元, 第②种方式中,应实付款 0.8(x－10)+10=(0.8x+2)万元, 4 分 则(x－1)－(0.8x+2)=0.2x－3, 令 0.2x－3=0,解得 x=15. 6 分 ∴当汽车价格 1115 时,采取第②种方式较省钱. 8 分 (3)小王采取第①种优惠方式所购汽车的价格 x(万元)与结清余款所需的月数 1n 之间的关系 为 x－11－1=0. 12n  即 1n  5x－60. 小王采取第②种优惠方式所购汽车的价格 x(万元)与结清余款所需的月数 2n 之间的关系为 0.8(x－10)=0. 22n  即 2 4 40n x  . 10 分 则 1 2 (5 60) (4 40) 20n n x x x       , 令 x－20=0,解得 x=20,当 x=20 时 1 2 40n n   .12 分 ∴当汽车价格在 11~20 万元之间时,采取第①种方式可早点结清余款; 当汽车价格等于 20 万元时,两种方式都需要 40 个月才能结清余款; 当汽车价格大于 20 万元时,采取第②种方式可早点结清余款. 14 分 第 4 课时 不等式(组) 1．一个关于 x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集 是( C ) A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3 2．若 x＋5＞0，则( D ) A．x＋1＜0 B．x－1＜0 C．x 5 ＜－1 D．－2x＜12 3．若实数 3 是不等式 2x－a－2<0 的一个解，则 a 可取的最小正整数为( D ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是( B ) A． x－1<3 x＋1<3 B． x－1<3 x＋1>3 C． x－1>3 x＋1>3 D． x－1>3 x＋1<3 5．甲从商贩 A 处购买了若干斤西瓜，乙从商贩 B 处购买了若干斤西瓜，A，B 两处所购 买的西瓜重量之比为 3∶2，然后将买回的西瓜以从 A，B 两处购买单价的平均数为单价全部 卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为( A ) A．商贩 A 的单价大于商贩 B 的单价 B．商贩 A 的单价等于商贩 B 的单价 C．商贩 A 的单价小于商贩 B 的单价 D．赔钱与商贩 A，B 的单价无关 6．已知某不等式与不等式 5x＞8＋2x 组成的不等式组的解集为8 3 ＜x＜5，则该不等式可 能是( C ) A．x＋5＜0 B．2x＞10 C．3x－15＜0 D．－x－5＞0 7．(原创题)实数 a 与 b 的差的平方为非负数，用不等式表示为__(a－b)2≥0__. 8．不等式 2x＋1>0 的解集是__x＞－1 2 __. 9．商家花费 760 元购进某种水果 80 千克，销售中有 5%的水果正常损耗，为了避免亏 本，售价至少应定为__10__元/千克． 10．2018 年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和 不超过 115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为 20 cm，长与高的比为 8∶11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为__55__cm. 11．解不等式5x－1 3