鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第三单元函数及其图象课时训练13二次函数的简单综合试题 8页

课时训练(十三)　二次函数的简单综合 ‎(限时:50分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.如图K13-1,抛物线y=ax2+bx-‎5‎‎3‎经过点A(1,0)和点B(5,0),与y轴交于点C.‎ 图K13-1‎ ‎(1)如图①,求此抛物线的解析式.‎ ‎(2)如图①,求△ABC的面积.‎ 8‎ ‎(3)抛物线上是否存在点D,使S△ABD=2S△ABC?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎(4)如图②,以点A为圆心,作与直线BC相切的☉A,求☉A的面积.‎ 图K13-1‎ 8‎ ‎(5)如图③,在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB,PC,请问:△PBC的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值和此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 图K13-1‎ ‎(6)如图④,在抛物线上是否存在点S,使得△SBC与△ABC的面积相等?若存在,求出点S的坐标.‎ 图K13-1‎ 8‎ ‎2.[2019·贺州] 如图K13-2,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A,B,C三点.‎ 图K13-2‎ ‎(1)求A,C两点的坐标;‎ ‎(2)求抛物线的解析式;‎ ‎(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标及PD的最大值.‎ 8‎ ‎3.[2019·泰安] 若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0),B(0,-2),且过点C(2,-2).‎ 图K13-3‎ ‎(1)求二次函数表达式.‎ ‎(2)如图K13-3①,若点P为抛物线上第一象限内的点,且S△PBA=4,求点P的坐标.‎ ‎(3)如图②,在抛物线上(AB下方)是否存在点M,使∠ABO=∠ABM?若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.‎ 8‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.解:(1)将A(1,0),B(5,0)的坐标代入y=ax2+bx-‎5‎‎3‎,得‎0=a+b-‎5‎‎3‎,‎‎0=25a+5b-‎5‎‎3‎,‎解得a=-‎1‎‎3‎,‎b=2.‎ ‎∴y=-‎1‎‎3‎x2+2x-‎5‎‎3‎.‎ ‎(2)令x=0,得y=-‎5‎‎3‎,∴点C的坐标为0,-‎5‎‎3‎.‎ ‎∴S△ABC=‎1‎‎2‎AB·OC=‎1‎‎2‎×4×‎5‎‎3‎‎=‎‎10‎‎3‎.‎ ‎(3)存在,设点D的坐标为(a',b').∵S△ABD=2S△ABC,且△ABC与△ABD是同底的两个三角形,∴│b'│=2×‎5‎‎3‎‎=‎‎10‎‎3‎.当b'=‎10‎‎3‎时,-‎1‎‎3‎a'2+2a'-‎5‎‎3‎‎=‎‎10‎‎3‎,此方程无解;当b'=-‎10‎‎3‎时,-‎1‎‎3‎a'2+2a'-‎5‎‎3‎=-‎10‎‎3‎,解得a'=3±‎14‎.∴点D的坐标为3+‎14‎,-‎10‎‎3‎或3-‎14‎,-‎10‎‎3‎.‎ ‎(4)当x=0时,y=-‎5‎‎3‎,点C的坐标为0,-‎5‎‎3‎,‎ 过点A作AQ⊥BC于Q,则AQ为☉A的半径,BC=OC‎2‎+OB‎2‎‎=‎‎5‎‎3‎‎10‎.‎ ‎∵∠AQB=∠BOC=90°,∠ABQ=∠CBO,‎ ‎∴△ABQ∽△CBO.∴AQOC‎=‎ABBC.‎ ‎∴AQ‎5‎‎3‎‎=‎‎4‎‎5‎‎3‎‎10‎,解得AQ=‎2‎‎5‎‎10‎,‎ 即☉A的半径为‎2‎‎5‎‎10‎.‎ ‎∴☉A的面积为‎8‎‎5‎π.‎ ‎(5)如图,过点P作PE∥y轴,交直线BC于点E.‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b″(k≠0).易得 ‎5k+b″=0,‎b″=-‎5‎‎3‎,‎解得k=‎1‎‎3‎,‎b″=-‎5‎‎3‎.‎∴y=‎1‎‎3‎x-‎5‎‎3‎.‎ 设点P的坐标为m,-‎1‎‎3‎m2+2m-‎5‎‎3‎,则点E的坐标为m,‎1‎‎3‎m-‎5‎‎3‎.∴PE=-‎1‎‎3‎m2+2m-‎5‎‎3‎-‎1‎‎3‎m-‎5‎‎3‎=-‎1‎‎3‎m2+‎5‎‎3‎m.‎ ‎∴S△PBC=‎1‎‎2‎PE·OB=‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎m2+‎5‎‎3‎m×5=-‎5‎‎6‎m2+‎25‎‎6‎m=-‎5‎‎6‎m-‎5‎‎2‎2+‎125‎‎24‎.‎ 8‎ ‎∵-‎5‎‎6‎<0,∴当m=‎5‎‎2‎时,△PBC的面积有最大值,最大面积为‎125‎‎24‎,此时点P的坐标为‎5‎‎2‎,‎5‎‎4‎.‎ ‎(6)由于△SBC与△ABC面积相等,且△SBC与△ABC同底BC,只要等高,则面积相等,可过点A作BC的平行线与抛物线相交,交点即为符合条件的一个点.‎ 已得直线BC的解析式为y=‎1‎‎3‎x-‎5‎‎3‎,则可设直线SA的解析式为y=‎1‎‎3‎x+n.代入点A的坐标(1,0),得n=-‎1‎‎3‎.由-‎1‎‎3‎x2+2x-‎5‎‎3‎‎=‎‎1‎‎3‎x-‎1‎‎3‎,解得x1=1,x2=4.可得一个点S的坐标为(4,1).将直线BC向下平移‎4‎‎3‎个单位得到y=‎1‎‎3‎x-3.由-‎1‎‎3‎x2+2x-‎5‎‎3‎‎=‎‎1‎‎3‎x-3,解得x1=‎5+‎‎41‎‎2‎,x2=‎5-‎‎41‎‎2‎.∴共有3个符合条件的点S,其坐标分别为S1(4,1),S2‎5+‎‎41‎‎2‎,‎41‎‎-13‎‎6‎,‎ S3‎5-‎‎41‎‎2‎,‎-‎41‎-13‎‎6‎.‎ ‎2.解:(1)OA=OC=4OB=4,‎ 故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).‎ ‎(2)设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),代入点C(0,-4),‎ 得-4a=-4,解得:a=1,‎ 故抛物线的解析式为:y=x2-3x-4.‎ ‎(3)直线CA过点C,设其函数解析式为:y=kx-4,‎ 将点A的坐标代入上式解得:k=1,‎ 故直线CA的解析式为:y=x-4.‎ 过点P作y轴的平行线交AC于点H,如图,‎ ‎∵OA=OC=4,∴∠OAC=∠OCA=45°.‎ ‎∵PH∥y轴,∴∠PHD=∠OCA=45°.‎ 设点P(x,x2-3x-4),则点H(x,x-4),PD=HPsin∠PHD=‎2‎‎2‎(x-4-x2+3x+4)=-‎2‎‎2‎x2+2‎2‎x.‎ ‎∵-‎2‎‎2‎<0,∴PD有最大值,当x=-b‎2a=2时,其最大值为2‎2‎,此时点P(2,-6).‎ ‎3.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点(0,-2),‎ ‎∴c=-2.又∵抛物线过点(3,0),(2,-2),‎ 8‎ ‎∴‎9a+3b-2=0,‎‎4a+2b-2=-2,‎解得a=‎2‎‎3‎,‎b=-‎4‎‎3‎,‎ ‎∴二次函数的表达式为y=‎2‎‎3‎x2-‎4‎‎3‎x-2.‎ ‎(2)连接PO,设点Pm,‎2‎‎3‎m2-‎4‎‎3‎m-2.‎ 则S△PAB=S△POA+S△AOB-S△POB=‎1‎‎2‎×3·‎2‎‎3‎m2-‎4‎‎3‎m-2+‎1‎‎2‎×3×2-‎1‎‎2‎×2·m=m2-3m.由题意得:m2-3m=4,‎ ‎∴m=4或m=-1(舍去),‎ ‎∴‎2‎‎3‎m2-‎4‎‎3‎m-2=‎10‎‎3‎.‎ ‎∴点P的坐标为4,‎10‎‎3‎.‎ ‎(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,‎ ‎∵直线AB过点A(3,0),B(0,-2),‎ ‎∴‎3k+n=0,‎n=-2,‎解得:‎k=‎2‎‎3‎,‎n=-2,‎ ‎∴直线AB的表达式为:y=‎2‎‎3‎x-2,‎ 假设存在点M满足题意,点M的坐标为t,‎2‎‎3‎t2-‎4‎‎3‎t-2.‎ 过点M作ME⊥y轴,垂足为E,作MD∥y轴交AB于点D,则D的坐标为t,‎2‎‎3‎t-2,MD=-‎2‎‎3‎t2+2t,BE=-‎2‎‎3‎t2+‎4‎‎3‎t.‎ ‎∵MD∥y轴,∴∠ABO=∠MDB,‎ 又∵∠ABO=∠ABM,‎ ‎∴∠MDB=∠ABM,‎ ‎∴MD=MB,∴MB=-‎2‎‎3‎t2+2t.‎ 在Rt△BEM中,t2+-‎2‎‎3‎t2+‎4‎‎3‎t2=-‎2‎‎3‎t2+2t2,解得:t=‎11‎‎8‎(t=0不合题意,舍去).‎ 故存在满足题意的点M,点M到y轴的距离为‎11‎‎8‎.‎ 8‎