2019九年级数学上册 第二十四章 24圆的切线的性质和判定 2页

第二十四章 24.2.3圆的切线的性质和判定 知识点1：圆的切线的判定定理 ‎ 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ 关键提醒:(1)在应用圆切线的判定定理时,必须先弄清“题设”中的两个事项:一是经过半径外端点,二是垂直于这条半径,这两者缺一不可,千万不要只凭一个条件就判定一条直线为圆的切线.如图,其中的直线l都不是☉O的切线.‎ ‎ ‎ ‎(2)根据要点5,6可知,切线的判定方法有三种:‎ ‎①定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线;‎ ‎②数量法:到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;‎ ‎③判定定理.‎ 知识点2：圆的切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径.‎ 关键提醒:(1)切线的判定定理和性质定理易混淆,要注意区别.判定定理是不知道直线是否是切线,而让你来证明它,是从数量关系(①与圆只有“1”个公共点;②d=r;③垂直即90°)到位置关系.而性质定理则是已知是切线,它具有哪些性质.‎ ‎(2)由圆的切线的性质定理不难得出:经过圆心且垂直于切线的直线必过切点;经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.由此我们可以总结如下:切线的性质和判定主要涉及四个因素:①切线;②切点(半径外端点);③圆心;④垂直.这四个要素中满足其中的三个,就可以推出另外一个.‎ 考点1：切线的判定 2‎ ‎【例1】  如图,点A为☉O外一点,连接OA交☉O于点C.过☉O上一点P作OA的垂线,交OA于点F,交☉O于点E,连接PA、PC.若∠EPC=∠CPA,求证:PA是☉O的切线.‎ 解:连接OP.‎ ‎∵　OA⊥EP,∴　=.∴　∠POC=2∠EPC.‎ ‎∵　∠EPC=∠CPA,∴　∠POC=∠EPA.‎ ‎∵　∠POC+∠OPE=90°,∴　∠EPA+∠OPE=90°,即PA⊥OP.‎ ‎∴　PA是☉O的切线.‎ 点拨:此题是判定定理的应用,连接OP后,只要证明∠OPA=90°即可.‎ 考点2：利用圆的切线的性质解决问题 ‎【例2】  如图,AB是☉O的直径, P为AB延长线上的任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切☉O于点D,连接CD交AB于点E.求证: PD=PE.‎ ‎                 ‎ 解:连接OC、OD,∴　OD⊥PD ,OC⊥AB.‎ ‎∴　∠PDE=90°-∠ODE,∠PED=∠CEO=90°-∠C.‎ 又　∠C=∠ODE,‎ ‎∴　∠PDE=∠PED.∴　PE=PD.‎ 点拨:要证PD=PE,即证∠PDE=∠PED,但直接证明两角相等缺条件.由于PD是☉O的切线,切点是D,所以连接OD,得PD⊥OD,又点C为半圆ACB的中点,连接OC可得∠COB=90°.∠PDE+∠ODC=90°,∠OEC+∠OCE=∠PED+∠OCE=90°,根据等角的余角相等可证.‎ ‎ ‎ 2‎