新人教版九年级数学上册单元检测题全套（附答案） 31页

1 第二十一章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列方程是一元二次方程的是 D A．3x2＋1 x ＝0 B．2x－3y＋1＝0 C．(x－3)(x－2)＝x2 D．(3x－1)(3x＋1)＝3 2．(舟山中考)用配方法解方程 x2＋2x－1＝0 时，配方结果正确的是 B A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2 C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝3 3．(天津中考)方程 x2＋x－12＝0 的两个根为 D A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3 4．(2018·宁夏)若 2－ 3是方程 x2－4x＋c＝0 的一个根，则 c 的值是 A A．1 B．3－ 3 C．1＋ 3 D．2＋ 3 5．(2018·山西)下列一元二次方程中，没有实数根的是 C A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2 6．(2018·桂林)已知关于 x 的一元二次方程 2x2－kx＋3＝0 有两个相等的实根，则 k 的值为 A A．±2 6 B．± 6 C．2 或 3 D. 2或 3 7．(2018·眉山)我市某楼盘准备以每平方 6000 元的均价对外销售，由于国务院有关房 地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续 两次下调后，决定以每平方 4860 元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是 C A．8% B．9% C．10% D．11% 8．(2018·黑龙江)某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一 场，计划安排 15 场比赛，则共有多少个班级参赛？C A．4 B．5 C．6 D．7 9．已知 x 为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，那么 x2＋3x 的值为 A A．1 B．－3 或 1 C．3 D．－1 或 3 10．(贵港中考)若关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分 别为 a 和 b，且 a2－ab＋b2＝18，则a b ＋b a 的值是 D A．3 B．－3 C．5 D．－5 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．已知(m－1)x|m|＋1－3x＋1＝0 是关于 x 的一元二次方程，则 m＝－1. 12．(2018·毕节)已知关于 x 的一元二次方程 x2－x＋m－1＝0 有两个不相等的实数根， 则实数 m 的取值范围是 m＜5 4 . 13．(2018·日照)为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设 置一块面积为 1200 平方米的矩形绿地，并且长比宽多 40 米．设绿地宽为 x 米，根据题意， 可列方程为 x(x＋40)＝1200. 14．(2018·泸州)已知 x1，x2 是一元二次方程 x2－2x－1＝0 的两实数根，则 1 2x1＋1 ＋ 2 1 2x2＋1 的值是 6. 15．已知“” 是一种数学运算符号：n 为正整数时，n ＝n×(n－1)×(n－ 2)×…×2×1，如 1 ＝1，2 ＝2×1，3 ＝3×2×1.若 n （n－2） ＝90，则 n＝10. 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)解下列方程： (1)1 2 (2x－5)2－2＝0; (2)(x＋1)(x－1)＝2 2x. 解：(1)x1＝7 2 ，x2＝3 2 (2)x1＝ 2＋ 3，x2＝ 2－ 3 17．(9 分)(2018·遂宁)已知关于 x 的一元二次方程 x2－2x＋a＝0 的两实数根 x1，x2 满足 x1x2＋x1＋x2＞0，求 a 的取值范围． 解：∵该一元二次方程有两个实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，解得 a≤1， 由韦达定理可得 x1x2＝a，x1＋x2＝2，∵x1x2＋x1＋x2＞0，∴a＋2＞0，解得 a＞－2，∴－2 ＜a≤1 18．(9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋kx－2＝0 的一个解与方程x＋2 x－1 ＝4 的解相同． (1)求 k 的值； (2)求方程 x2＋kx－2＝0 的另一个解． 解：(1)解x＋2 x－1 ＝4，得 x＝2，经检验 x＝2 是分式方程的解，∴x＝2 是 x2＋kx－2＝0 的一个解，∴4＋2k－2＝0，解得 k＝－1 (2)由(1)知方程为 x2－x－2＝0，解得 x1＝2，x2 ＝－1，∴方程 x2＋kx－2＝0 的另一个解为 x＝－1 3 19．(9 分)已知关于 x 的一元二次方程 x2＋2x＋2k－4＝0 有两个不相等的实数根． (1)求 k 的取值范围； (2)若 k 为正整数，且该方程的根都是整数，求 k 的值． 解：(1)Δ＝4－4(2k－4)＝20－8k，∵方程有两个不等的实根，∴Δ＞0，即 20－8k＞ 0，∴k＜5 2 (2)∵k 为正整数，∴0＜k＜5 2 即 k＝1 或 2，x1＝－1＋ 5－2k，x2＝－1－ 5－2k， ∵方程的根为整数，∴5－2k 为完全平方数，当 k＝1 时， 5－2k＝ 3，k＝2 时， 5－2k＝ 1，∴k＝2 20．(9 分)如图，要利用一面墙(墙长为 25 米)建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC 各为多少米？ 解：(1)设 AB 的长度为 x 米，则 BC 的长度为(100－4x)米，根据题意得(100－4x)x＝400， 解得 x1＝20，x2＝5，则 100－4x＝20 或 100－4x＝80，∵80＞25，∴x2＝5 舍去，即 AB＝20， BC＝20，则羊圈的边长 AB，BC 分别是 20 米，20 米 21．(10 分)(2018·遵义)在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为 20 元/ 千克，售价不低于 20 元/千克，且不超过 32 元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销 售量 y(千克)与该天的售价 x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系． 销售量 y(千克) … 34.8 32 29.6 28 … 售价 x(元/千克) … 22.6 24 25.2 26 … (1)某天这种水果的售价为 23.5 元/千克，求当天该水果的销售量． (2)如果某天销售这种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为多少元？ 解：(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx＋b，将(22.6，34.8)，(24，32)代入 y＝ kx＋b， 22.6k＋b＝34.8， 24k＋b＝32， 解得 k＝－2， b＝80， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝－2x＋80.当 x ＝23.5 时，y＝－2x＋80＝33.答：当天该水果的销售量为 33 千克 (2)根据题意得：(x－ 20)(－2x＋80)＝150，解得：x1＝35，x2＝25.∵20≤x≤32，∴x＝25.答：如果某天销售这 种水果获利 150 元，那么该天水果的售价为 25 元 4 22．(10 分)(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要 污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和 “沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为 Q，沿江工厂用乙方案 进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的 Q 值都以平均值 n 计算．第一年有 40 家工厂用乙方案治理，共使 Q 值降低了 12.经过三年治理，境内长江水 质明显改善． (1)求 n 的值； (2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数 m，三 年来用乙方案治理的工厂数量共 190 家，求 m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数 量； (3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的 Q 值比上一年都增加个 相同的数值 a.在(2)的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的 Q 值与当年因甲 方案治理降低的 Q 值相等，第三年，用甲方案使 Q 值降低了 39.5.求第一年用甲方案治理降 低的 Q 值及 a 的值． 解：(1)由题意可得：40n＝12，解得：n＝0.3 (2)由题意可得：40＋40(1＋m)＋40(1 ＋m)2＝190，解得：m1＝1 2 ，m2＝－7 2 (舍去)，∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40(1 ＋m)＝40(1＋50%)＝60(家) (3)设第一年用甲方案整理降低的 Q 值为 x，第二年 Q 值因乙 方案治理降低了 100n＝100×0.3＝30，解法一：(30－a)＋2a＝39.5，a＝9.5，x＝20.5； 解法二： x＋a＝30， x＋2a＝39.5， 解得： x＝20.5 a＝9.5 23．(11 分)如图，在矩形 ABCD 中，AB＝5 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 开始沿边 AB 向 终点 B 以 1 cm/s 的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边 BC 向终点 C 以 2 cm/s 的速 度移动．如果 P，Q 分别从 A，B 同时出发，当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动．设运动时 间为 t s. (1)填空：BQ＝2t cm，PB＝(5－t) cm；(用含 t 的代数式表示) (2)当 t 为何值时，PQ 的长度等于 5 cm? (3)是否存在 t 的值，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2？若存在，请求出此时 t 的 值；若不存在，请说明理由． 解：(2)由题意得(5－t)2＋(2t)2＝52，解得 t1＝0(不合题意，舍去)，t2＝2，∴当 t＝2 5 s 时，PQ 的长度等于 5 cm (3)存在，t＝1 s 时，能够使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2. 理由如下：长方形 ABCD 的面积是 5×6＝30(cm2)，若使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2， 则△PBQ 的面积为 30－26＝4(cm2)，则(5－t)×2t×1 2 ＝4，解得 t1＝4(不合题意，舍去)， t2＝1，即当 t＝1 s 时，使得五边形 APQCD 的面积等于 26 cm2 第二十二章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 6 1．(2018·甘孜州)抛物线 y＝－2(x－3)2－4 的顶点坐标为 C A．(－3，4) B．(－3，－4) C．(3，－4) D．(3，4) 2．(2018·哈尔滨)将抛物线 y＝－5x2＋1 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单 位长度，所得到的抛物线为 A A．y＝－5(x＋1)2－1 B．y＝－5(x－1)2－1 C．y＝－5(x＋1)2＋3 D．y＝－5(x－1)2＋3 3．已知抛物线 y＝2(x－3)(x＋1)，当 y>0 时，对应的 x 的取值范围是 C A．x>3 B．x<－1 C．x<－1 或 x>3 D．－1AC，点 D，E 分别是 AB，BC 的中点，连接 DE， CD.将△BDE 绕点 E 顺时针旋转 180°得到△CFE，过点 D 作 DC 的垂线交 CF 的延长线于点 G. 小明得出了以下猜想：①DF＝AC；②四边形 ADFC 是菱形；③线段 DF 与 BC 互相垂直平分； ④△ABC≌△GCD.其中一定成立的是①③.(请填上所有正确结论的序号) 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)(2018·眉山)在边长为 1 个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直 角坐标系，△ABC 的顶点都在格点上，请解答下列问题： (1)作出△ABC 向左平移 4 个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点 C1 的坐标； (2)作出△ABC 关于原点 O 对称的△A2B2C2，并写出点 C2 的坐标； (3)已知△ABC 关于直线 l 对称的△A3B3C3 的顶点 A3 的坐标为(－4，－2)，请直接写出直 线 l 的函数解析式． 14 解： (1)如图，△A1B1C1 为所作，C1(－1，2) (2)如图，△A2B2C2 为所作，C2(－3，－2) (3) 因为 A 的坐标为(2，4)，A3 的坐标为(－4，－2)，所以直线 l 的函数解析式为 y＝－x 17．(9 分)(2018·枣庄)如图，在 4×4 的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． (1)在图①中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形； (2)在图②中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； (3)在图③中，画出△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90°后的三角形． 解：(1)如图所示，△DCE 为所求作 (2)如图所示，△ACD 为所求作 (3)如图所示△ECD 15 为所求作 18．(9 分)如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 上一点，点 F 在 CB 的延长线上，且 DE＝ BF. (1)求证：△ADE≌△ABF； (2)将△ADE 顺时针旋转多少度后与△ABF 重合，旋转中心是什么？ 解：(1)利用 SAS 即可得证 (2)将△ADE 顺时针旋转 90°后与△ABF 重合，旋转中心是 点 A 19．(9 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(－2，0)，等边△AOC 经过 平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD. (1)△AOC 沿 x 轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是 2 个单位长度；△AOC 与△BOD 关于直线对称，则对称轴是 y 轴；△AOC 绕原点 O 顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以 是 120 度； (2)连接 AD，交 OC 于点 E，求∠AEO 的度数． 解：(2)∵等边△AOC 绕原点 O 顺时针旋转 120°得到△DOB，∴OA＝OD，∵∠AOC＝∠BOD ＝60°，∴∠DOC＝60°，即 OE 为等腰△AOD 的顶角的平分线，∴OE 垂直平分 AD，∴∠AEO ＝90° 20．(9 分)(娄底中考)如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转α度到△A1BC1 的位 置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F. (1)求证：△BCF≌△BA1D； (2)当∠C＝α度时，判定四边形 A1BCE 的形状，并说明理由． 16 解：(1)∵△ABC 是等腰三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠C，∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针 方向旋转α度到△A1BC1 的位置，∴A1B＝AB＝BC，∠A＝∠A1＝∠C，∠A1BD＝∠CBC1，由 ASA 可证△BCF≌△BA1D (2)四边形 A1BCE 是菱形，理由如下：∵将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针 方向旋转α度到△A1BC1 的位置，∴∠A1＝∠A，∵∠ADE＝∠A1DB，∴∠AED＝∠A1BD＝α，∵ ∠C＝α，∴∠AED＝∠C，∴A1E∥BC，由(1)知△BCF≌△BA1D，∴∠C＝∠A1，∴∠A1＝∠AED ＝α，∴A1B∥AC，∴四边形 A1BCE 是平行四边形，又∵A1B＝BC，∴四边形 A1BCE 是菱形 21．(10 分)(日照中考)如图，在正方形 ABCD 中，E，F 是对角线 BD 上两点，且∠EAF ＝45°，将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，连接 EQ. (1)求证：EA 是∠QED 的平分线； (2)求证：EF2＝BE2＋DF2. 解：(1)∵将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°后，得到△ABQ，∴AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF， ∵∠EAF＝45°，∴∠DAF＋∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，可证 △AQE≌△AFE(SAS)，∴∠AEQ＝∠AEF，∴EA 是∠QED 的平分线 (2)由(1)得△AQE≌△AFE， ∴QE＝EF，在 Rt△QBE 中，QB2＋BE2＝QE2，又 QB＝DF，∴EF2＝BE2＋DF2 22．(10 分)(2018·临沂)将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩 形 AEFG. (1)如图，当点 E 在 BD 上时．求证：FD＝CD； (2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由． 解：(1)由旋转可得，AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝∠DAB＝90°，EF＝BC＝AD，∴∠AEB＝ ∠ABE，又∵∠ABE＋∠EDA＝90°＝∠AEB＋∠DEF，∴∠EDA＝∠DEF，又∵DE＝ED，∴△AED ≌△FDE(SAS)，∴DF＝AE，又∵AE＝AB＝CD，∴CD＝DF (2)如图，当 GB＝GC 时，点 G 在 BC 的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点 G 在 AD 右侧时，取 BC 的中点 H，连接 GH 交 AD 于 M， 17 ∵GC＝GB，∴GH⊥BC，∴四边形 ABHM 是矩形，∴AM＝BH＝1 2 AD＝1 2 AG，∴GM 垂直平分 AD， ∴GD＝GA＝DA，∴△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝60° ②当点 G 在 AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴旋转角α＝360°－60°＝ 300° 23．(11 分)如图①，在△ABC 中，点 P 为 BC 边中点，直线 a 绕顶点 A 旋转，若 B，P 在直线 a 的异侧，BM⊥直线 a 于点 M，CN⊥直线 a 于点 N，连接 PM，PN. (1)延长 MP 交 CN 于点 E(如图②)，求证：①△BPM≌△CPE；②PM＝PN； (2)若直线 a 绕点 A 旋转到图③的位置时，点 B，P 在直线 a 的同侧，其他条件不变，此 时 PM＝PN 还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)若直线 a 绕点 A 旋转到与 BC 边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形 MBCN 的形状及此时 PM＝PN 还成立吗？不必说明理由． 解：(1)①由 ASA 可证 ②∵△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，PM＝1 2 ME，又∵在 Rt△MNE 中， PN＝1 2 ME，∴PM＝PN (2)成立．证明：延长 MP 与 NC 的延长线相交于点 E，由 ASA 易证△BPM ≌△CPE，∴PM＝PE，PM＝1 2 ME，又∵在 Rt△MNE 中，PN＝1 2 ME，∴PM＝PN (3)四边形 MBCN 是矩形，PM＝PN 成立 第二十四章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 18 1．⊙O 的半径为 4 cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝6 cm，则点 A 与⊙O 的位置关系为 C A．点 A 在圆上 B．点 A 在圆内 C．点 A 在圆外 D．无法确定 2．(黔西南州中考)如图，在⊙O 中，半径 OC 与弦 AB 垂直于点 D，且 AB＝8，OC＝5， 则 CD 的长是 C A．3 B．2.5 C．2 D．1 3．(2018·柳州)如图，A，B，C，D 是⊙O 上的四个点，∠A＝60°，∠B＝24°，则∠C 的度数为 D A．84° B．60° C．36° D．24° ,第 2 题图) ,第 3 题图) , 第 4 题图) ,第 5 题图) 4．(2018·福建)如图，AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点 B，AC 交⊙O 于点 D，若 ∠ACB＝50°，则∠BOD 等于 D A．40° B．50° C．60° D．80° 5．(兰州中考)如图，经过原点 O 的⊙P 与 x，y 轴分别交于 A，B 两点，点 C 是劣弧 OB 上一点，则∠ACB＝B A．80° B．90° C．100° D．无法确定 6．(南京中考)已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为 B A．1 B. 3 C．2 D．2 3 7．如图，圆形薄铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心 为 O，三角尺的直角顶点 C 落在直尺的 10 cm 处，铁片与直尺的唯一公共点 A 落在直尺的 14 cm 处，铁片与三角尺的唯一公共点为 B.下列说法错误的是 C A．圆形铁片的半径是 4 cm B．四边形 AOBC 为正方形 C．弧 AB 的长度为 4π cm D．扇形 OAB 的面积是 4π cm2 ,第 7 题图) ,第 8 题图) ,第 9 题图) ,第 10 题图) 8．(2018·烟台)如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC＝124°， 点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE 的度数为 C 19 A．56° B．62° C．68° D．78° 9．(2018·十堰)如图，扇形 OAB 中，∠AOB＝100°，OA＝12，C 是 OB 的中点，CD⊥OB 交AB︵于点 D，以 OC 为半径的CE︵交 OA 于点 E，则图中阴影部分的面积是 C A．12π＋18 3 B．12π＋36 3 C．6π＋18 3 D．6π＋36 3 10．如图，⊙O 的半径为 2，AB，CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点(P 与 A，B，C，D 不重合)，过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥CD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45°时，点 Q 走过的路径长为 A A.π 4 B.π 2 C.π 6 D.π 3 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(2018·镇江)如图，AD 为△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝ 40°. ,第 11 题图) ,第 12 题图) , 第 13 题图) ,第 14 题图) 12．(2018·兰州)如图，△ABC 的外接圆⊙O 的半径为 3，∠C＝55°，则劣弧AB︵的长是 11π 6 .(结果保留π) 13．(2018·广元)如图是一块环形玉片的残片，作外圆的弦 AB 与内圆相切于点 C，量 得 AB＝8 cm，点 C 与AB︵的中点 D 的距离 CD＝2 cm.则此圆环形玉片的外圆半径为 5cm. 14．(2018·山西)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点 D 是 AB 的中 点，以 CD 为直径作⊙O，⊙O 分别与 AC，BC 交于点 E，F，过点 F 作⊙O 的切线 FG，交 AB 于点 G，则 FG 的长为12 5 . 15．(2018·宁波)如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点， 连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为 3 或 4 3. 三、解答题(共 75 分) 20 16．(8 分)如图，⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD，垂足 P 是 OB 的中点，CD＝6 cm，求直径 AB 的长． 解：∵AB⊥CD，∴PC＝PD，连接 OC，在 Rt△OCP 中，设 OC＝x cm，则有 OP2＋PC2＝OC2， ∴(1 2 x)2＋32＝x2，∵x＞0，∴x＝2 3，所以直径 AB 为 4 3 cm 17．(9 分)(2018·徐州)如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 外，∠ABC 的平分线与⊙O 交于点 D，∠C＝90°. (1)CD 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若∠CDB＝60°，AB＝6，求AD︵的长． 解： (1)相切．理由如下：连接 OD，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，又∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠ABD，∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥CB，∴∠ODC＝∠C＝90°，∴CD 与⊙O 相切 (2) 若∠CDB＝60°，可得∠ODB＝30°，∴∠AOD＝60°，又∵AB＝6，∴AO＝3，∴AD︵的长＝ 60×π×3 180 ＝π 18．(9 分)已知圆锥的底面半径为 r＝20 cm，高 h＝20 15 cm，现在有一只蚂蚁从底边 上一点 A 出发，在侧面上爬行一周又回到 A 点． 21 (1)求圆锥的全面积； (2)求蚂蚁爬行的最短距离． 解： (1)2000π cm2 (2)如图，设扇形的圆心角为 n°，圆锥的顶点为 E，∵r＝20 cm，h＝ 20 15 cm，∴由勾股定理可得母线 l＝ r2＋h2＝80 cm，而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为 2×20π＝nπ×80 180 ，∴n＝90，即△EAA′是等腰直角三角形，∴由勾股定理得 AA′＝ A′E2＋AE2＝80 2 cm，∴蚂蚁爬行的最短距离为 80 2 cm 19．(9 分)(2018·天津)已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC＝38°. (Ⅰ)如图①，若 D 为AB︵的中点，求∠ABC 和∠ABD 的大小； (Ⅱ)如图②，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线交于点 P，若 DP∥AC，求∠OCD 的大 小． 解：(Ⅰ)∵AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与 AB 相交，∠BAC＝38°，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB－∠BAC＝90°－38°＝52°，∵D 为的AB︵中点，∠AOB＝180°，∴∠AOD＝90°， ∴∠ABD＝45° (Ⅱ)连接 OD，∵DP 切⊙O 于点 D，∴OD⊥DP，即∠ODP＝90°，由 DP∥AC，又∠BAC＝ 38°，∴∠P＝∠BAC＝38°，∵∠AOD 是△ODP 的一个外角，∴∠AOD＝∠P＋∠ODP＝128°， ∴∠ACD＝64°，∵OC＝OA，∠BAC＝38°，∴∠OCA＝∠BAC＝38°，∴∠OCD＝∠ACD－∠OCA ＝64°－38°＝26° 22 20．(9 分)(2018·云南)如图，已知 AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，点 D 在 AB 的延 长线上，∠BCD＝∠BAC. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积． 解：(1)连接 OC，∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠OCA，∵ AB 是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OCA＋OCB＝∠BCD＋∠OCB＝90°，∴∠OCD＝90°，∵OC 是半径，∴CD 是⊙O 的切线 (2)设⊙O 的半径为 r，∴AB＝2r，∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴OD＝2r，∠COB＝60°， ∴r＋2＝2r，∴r＝2，∠AOC＝120°，∴BC＝2，∴由勾股定理可知：AC＝2 3，易求 S△AOC ＝1 2 ×2 3×1＝ 3，S 扇形 OAC＝120π×4 360 ＝4π 3 ，∴阴影部分面积为4 3 π－ 3 21．(10 分)(河南中考)如图，AB 为半圆 O 的直径，点 C 为半圆上任一点． (1)若∠BAC＝30°，过点 C 作半圆 O 的切线交直线 AB 于点 P.求证：△PBC≌△AOC； (2)若 AB＝6，过点 C 作 AB 的平行线交半圆 O 于点 D.当以点 A，O，C，D 为顶点的四边 形为菱形时，求BC︵的长． 解：(1)∵AB 为半圆 O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∵ OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形，∴OC＝BC，∠OBC＝∠BOC＝60°，∴∠AOC＝∠PBC＝120°， ∵CP 是⊙O 的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP＝90°，∴∠ACO＝∠PCB，在△PBC 和△AOC 中， ∠ACO＝∠PCB， OC＝BC， ∠AOC＝∠PBC， ∴△PBC≌△AOC(ASA) 23 (2)如图①，连接 OD，AD，CD，∵四边形 AOCD 是菱形，∴OA＝AD＝CD＝OC，则 OA＝OD ＝OC，∴△AOD 与△COD 是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝60°，∴BC︵的长 ＝60π×3 180 ＝π；如图②，同理∠BOC＝120°，∴BC︵的长＝120π×3 180 ＝2π，综上所述，BC︵的 长为π或 2π 22．(10 分)(2018·长沙)如图，在△ABC 中，AD 是边 BC 上的中线，∠BAD＝∠CAD，CE ∥AD，CE 交 BA 的延长线于点 E，BC＝8，AD＝3. (1)求 CE 的长； (2)求证：△ABC 为等腰三角形； (3)求△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离． 解：(1)∵AD 是边 BC 上的中线，∴BD＝CD，∵CE∥AD，∴AD 为△BCE 的中位线，∴CE ＝2AD＝6 (2)证明：∵BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∴ △ABC 为等腰三角形 (3)如图，连接 BP，BQ，CQ，在 Rt△ABD 中，AB＝ 32＋42＝5，设⊙P 的半径为 R，⊙Q 的半径为 r，在 Rt△PBD 中，(R－3)2＋42＝R2，解得 R＝25 6 ，∴PD＝PA－AD＝25 6 －3＝7 6 ，∵S △ABQ＋S△BCQ＋S△ACQ＝S△ABC，∴1 2 ·r·5＋1 2 ·r·8＋1 2 ·r·5＝1 2 ·3·8，解得 r＝4 3 ，即 QD＝4 3 ， ∴PQ＝PD＋QD＝7 6 ＋4 3 ＝5 2 ，△ABC 的外接圆圆心 P 与内切圆圆心 Q 之间的距离为5 2 23．(11 分)(淮安中考)问题背景： 如图①，在四边形 ADBC 中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，探究线段 AC，BC，CD 之间 的数量关系． 小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD 绕点 D，逆时针旋转 90°到△AED 处，点 B，C 分别落在点 A，E 处(如图②)，易证点 C，A，E 在同一条直线上，并且△CDE 是等腰直角三 24 角形，所以 CE＝ 2CD，从而得出结论：AC＋BC＝ 2CD. 简单应用： (1)在图①中，若 AC＝ 2，BC＝2 2，则 CD＝3； (2)如图③，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙上，AD︵＝BD︵，若 AB＝13，BC＝12，求 CD 的 长； 拓展规律： (3)如图④，∠ACB＝∠ADB＝90°，AD＝BD，若 AC＝m，BC＝n(m＜n)，求 CD 的长．(用 含 m，n 的代数式表示) 解：(1)由题意知：AC＋BC＝ 2CD，∴ 2＋2 2＝ 2CD，∴CD＝3 (2)连接 AC，BD，AD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD︵＝BD︵，∴AD＝ BD，将△BCD 绕点 D 顺时针旋转 90°到△AED 处，如图①，∴∠EAD＝∠DBC，∵∠DBC＋∠DAC ＝180°，∴∠EAD＋∠DAC＝180°，∴E，A，C 三点共线，∵AB＝13，BC＝12，∴由勾股定 理可求得 AC＝5，∵BC＝AE，∴CE＝AE＋AC＝17，∵∠EDA＝∠CDB，∴∠EDA＋∠ADC＝∠CDB ＋∠ADC，即∠EDC＝∠ADB＝90°，∵CD＝ED，∴△EDC 是等腰直角三角形，∴CE＝ 2CD， ∴CD＝17 2 2 (3)以 AB 为直径作⊙O，连接 OD 并延长交⊙O 于点 D1，连接 D1A，D1B，D1C，如图②，由 (2)的证明过程可知：AC＋BC＝ 2D1C，∴D1C＝ 2（m＋n） 2 ，又∵D1D 是⊙O 的直径，∴∠DCD1 ＝90°，∵AC＝m，BC＝n，∴由勾股定理可求得：AB2＝m2＋n2，∴D1D2＝AB2＝m2＋n2，∵D1C2 ＋CD2＝D1D2，∴CD2＝m2＋n2－（m＋n）2 2 ＝（m－n）2 2 ，∵m＜n，∴CD＝ 2（n－m） 2 25 第二十五章检测题 (时间：100 分钟 满分：120 分) 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．(2018·长沙)下列说法正确的是 C A．任意掷一枚质地均匀的硬币 10 次，一定有 5 次正面向上 B．天气预报说“明天的降水概率为 40%”，表示明天有 40%的时间都在降雨 C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 D．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 2．(2018·贵港)笔筒中有 10 支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上 1－10 26 的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是 3 的倍数的概率是 C A. 1 10 B.1 5 C. 3 10 D.2 5 3．(2018·阜新)如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，假设可以随机在图中取 点，那么这个点取在阴影部分的概率是 C A.1 5 B.1 6 C.1 7 D.1 8 4．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干个．某小组做摸球试验： 将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数 据，则摸到白球的概率约是 C 摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率m n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 A.0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 5．(2018·山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相 同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次 都摸到黄球的概率是 A A.4 9 B.1 3 C.2 9 D.1 9 6．(2018·镇江)小明将如图所示的转盘分成 n(n 是正整数)个扇形，并使得各个扇形的 面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标上连续偶数数字 2，4，6，…，2n(每个区域 内标注 1 个数字，且各区域内标注的数字互不相同)，转动转盘 1 次，当转盘停止转动时， 若事件“指针所落区域标注的数字大于 8”的概率是5 6 ，则 n 的取值为 C A．36 B．30 C．24 D．18 7．(2018·临沂)2018 年某市初中学业水平实验操作考试．要求每名学生从物理、化学、 生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是 D A.1 3 B.1 4 C.1 6 D.1 9 8．同时抛掷 A，B 两个均匀的小立方体(每个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6)， 朝上一面的数字分别为 x，y 并以此确定点 P(x，y)，点 P 落在抛物线 y＝－x2＋3x 上的概率 为 A 27 A. 1 18 B. 1 12 C.1 9 D.1 6 9．(2018·随州)正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图 所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为 A A.π－2 2 B.π－2 4 C.π－2 8 D.π－2 16 10．(2018·无锡)如图是一个沿 3×3 正方形方格纸的对角线 AB 剪下的图形，一质点 P 由 A 点出发，沿格点线每次向右或向上运动 1 个单位长度，则点 P 由 A 点运动到 B 点的不同 路径共有 B A．4 条 B．5 条 C．6 条 D．7 条 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11．(泰州中考)“一只不透明的袋子共装有 3 个小球，它们的标号分别为 1，2，3，从 中摸出 1 个小球，标号为“4”，这个事件是不可能事件．(填“必然事件”、“不可能事件” 或“随机事件”) 12．(2018·贺州)从－1，0， 2，π，5.1，7 这 6 个数中随机抽取一个数，抽到无理数 的概率是1 3 . 13．(2018·嘉兴)小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正 面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”小红赢的概率是1 4 ，据此判断该游戏不公 平(填“公平”或“不公平”)． 14．(2018·永州)在一个不透明的盒子中装有 n 个球，它们除了颜色之外其它都没有区 别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜 色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出 n 的值大约是 100. 15．(台州中考)三名运动员参加定点投篮比赛，原定出场顺序是：甲第一个出场，乙第 二个出场，丙第三个出场，由于某种原因，要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序， 则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为1 3 . 三、解答题(共 75 分) 16．(8 分)掷一个正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： (1)点数为 6；(2)点数小于 3. 解：(1)P(点数为 6)＝1 6 (2)P(点数小于 3)＝2 6 ＝1 3 28 17．(9 分)(2018·徐州)不透明的袋中装有 1 个红球与 2 个白球，这些球除颜色外都相 同，将其搅匀． (1)从中摸出 1 个球，恰为红球的概率等于1 3 ； (2)从中同时摸出 2 个球，摸到红球的概率是多少？(用画树状图或列表的方法写出分析 过程) 解：(1)从中摸出 1 个球，恰为红球的概率等于1 3 ，故答案为：1 3 (2)画树状图： 所以共有 6 种情况，含红球的有 4 种情况，所以 P＝4 6 ＝2 3 ，答：从中同时摸出 2 个球， 摸到红球的概率是2 3 18．(9 分)(2018·江西)今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿 者进行宣传活动．班主任梁老师决定从 4 名女班干部(小悦、小惠、小艳和小倩)中通过抽签 方式确定 2 名女生去参加．抽签规则：将 4 名女班干部姓名分别写在 4 张完全相同的卡片正 面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名， 再从剩余的 3 张卡片中随机抽取第二张，记下姓名． (1)该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件(填“不可能” 或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为1 4 ； (2)试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中” 的概率． 解：(1)该班男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽 取卡片“小悦被抽中”的概率为1 4 ，故答案为：不可能、随机、1 4 (2)记小悦、小惠、小艳 和小倩这四位女同学分别为 A，B，C，D，列表如下： A B C D A —— (B，A) (C，A) (D，A) B (A，B) —— (C，B) (D，B) C (A，C) (B，C) —— (D，C) D (A，D) (B，D) (C，D) —— 由表可知，共有 12 种等可能结果，其中小惠被抽中的有 6 种结果，所以小惠被抽中的 概率为 6 12 ＝1 2 19．(9 分)(2018·百色)密码锁有三个转轮，每个转轮上有十个数字：0，1，2，…，9. 小黄同学是 9 月份中旬出生，用生日“月份＋日期”设置密码：9×× 小张同学要破解其密码： (1)第一个转轮设置的数字是 9，第二个转轮设置的数字可能是 1 或 2； 29 (2)请你帮小张同学列举出所有可能的密码，并求密码数能被 3 整除的概率； (3)小张同学是 6 月份出生，根据(1)(2)的规律，请你推算用小张生日设置的密码的所 有可能个数． 解：(1)∵小黄同学是 9 月份中旬出生，∴第一个转轮设置的数字是 9，第二个转轮设 置的数字可能是 1，2；故答案为 1 或 2 (2)所有可能的密码是：911，912，913，914，915， 916，917，918，919，920；能被 3 整除的有 912，915，918；密码数能被 3 整除的概率 3 10 (3) 小张同学是 6 月份出生，6 月份只有 30 天，∴第一个转轮设置的数字是 6，第二个转轮设置 的数字可能是 0，1，2，3；第三个转轮设置的数字可能，0，1，2，…，9(第二个转轮设置 的数字是 0 时，第三个转轮的数字不能是 0；第二个转轮设置的数字是 3 时，第三个转轮的 数字只能是 0；)∴一共有 9＋10＋10＋1＝30，∴小张生日设置的密码的所有可能个数为 30 种 20．(9 分)(2018·贵阳)图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标 有数字 1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是： 将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的 A 点开始 沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动． (1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是1 4 ； (2)随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率． 解：(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是1 4 ，故答案为：1 4 (2) (a，b) 9 8 7 6 9 (9，9) (8，9) (7，9) (6，9) 8 (9，8) (8，8) (7，8) (6，8) 7 (9，7) (8，7) (7，7) (6，7) 6 (9，6) (8，6) (7，6) (6，6) 共有 16 种可能，和为 14 可以到达点 C，有 3 种情形，所以棋子最终跳动到点 C 处的概 率为 3 16 21．(10 分)(2018·遵义)某超市在端午节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动 转盘的方式享受折扣优惠，本次活动共有两种方式，方式一：转动转盘甲，指针指向 A 区域 时，所购买物品享受 9 折优惠、指针指向其它区域无优惠；方式二：同时转动转盘甲和转盘 乙，若两个转盘的指针指向每个区域的字母相同，所购买物品享受 8 折优惠，其它情况无优 惠．在每个转盘中，指针指向每个区城的可能性相同(若指针指向分界线，则重新转动转盘) 30 (1)若顾客选择方式一，则享受 9 折优惠的概率为1 4 ； (2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能，并求顾客享受 8 折优惠的 概率． 解：(1)若选择方式一，转动转盘甲一次共有四种等可能结果，其中指针指向 A 区域只 有 1 种情况，∴享受 9 折优惠的概率为1 4 ，故答案为：1 4 (2)画树状图如下： 由树状图可知共有 12 种等可能结果，其中指针指向每个区域的字母相同的有 2 种结果， 所以指针指向每个区域的字母相同的概率，即顾客享受 8 折优惠的概率为 2 12 ＝1 6 22．(10 分)(2018·德阳)某网络约车公司近期推出了”520 专享”服务计划，即要求公 司员工做到“5 星级服务、2 分钟响应、0 客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管 部门决定了解“单次营运里程”的分布情况．老王收集了本公司的 5000 个“单次营运里 程”数据，这些里程数据均不超过 25(公里)，他从中随机抽取了 200 个数据作为一个样本， 整理、统计结果如下表，并绘制了不完整的频数分布直方图(如图)． 组别 单次营运里程“x”(公里) 频数 第一组 0＜x≤5 72 第二组 5＜x≤10 a 第三组 10＜x≤15 26 第四组 15＜x≤20 24 第五组 20＜x≤25 30 根据统计表、图提供的信息，解答下面的问题： (1)①表中 a＝48；②样本中“单次营运里程”不超过 15 公里的频率为 0.73；③请把频 数分布直方图补充完整； (2)请估计该公司这 5000 个“单次营运里程”超过 20 公里的次数； (3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的 4 名网约车司机(3 男 1 女)成 立了“交通秩序维护”志愿小分队，若从该小分队中任意抽取两名司机在某一路口维护交通 秩序，请用列举法(画树状图或列表)求出恰好抽到“一男一女”的概率． 31 解：(1)①由条形图知 a＝48 ②样本中“单次营运里程”不超过 15 公里的频率为 72＋48＋26 72＋48＋26＋24＋30 ＝0.73 ③补全图形如下： 故答案为：①48；②0.73 (2)估计该公司这 5000 个“单次营运里程”超过 20 公里的 次数为 5000× 30 200 ＝750(次) (3)画树状图为： 共 有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽到一男一女的结果数为 6，∴恰好抽到“一男一女” 的概率为 6 12 ＝1 2 23．(11 分)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有 数字 0，1，2；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字－1，－2，0.现从甲袋中随 机抽取一个小球，记录标有的数字为 x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y，确定点 M 坐标为(x，y)． (1)用画树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标； (2)求点 M(x，y)在函数 y＝－x＋1 的图象上的概率； (3)在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径是 2，求过点 M(x，y)能作⊙O 的切线的概率． 解：(1)画树状图(略)，共有 9 种等可能的结果，它们是(0，－1)，(0，－2)，(0，0)， (1，－1)，(1，－2)，(1，0)，(2，－1)，(2，－2)，(2，0) (2)在直线 y＝－x＋1 的图 象上的点有(1，0)，(2，－1)，所以点 M(x，y)在函数 y＝－x＋1 的图象上的概率＝2 9 (3) 在⊙O 上的点有(0，－2)，(2，0)，在⊙O 外的点有(1，－2)，(2，－1)，(2，－2)，所以 过点 M(x，y)能作⊙O 的切线的点有 5 个，所以过点 M(x，y)能作⊙O 的切线的概率＝5 9