初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第10讲 抛物线 9页

1 第十讲 抛物线 一般地说来，我们称函数 cbxaxy  2 ( a 、 b 、 c 为常数， 0a )为 x 的二次函数， 其图象为一条抛物线，与抛物线相关的知识有： 1． a 、 b 、 c 的符号决定抛物线的大致位置； 2．抛物线关于 a bx 2 对称，抛物线开口方向、开口大小仅与 相关，抛物线在顶点 ( a b 2 ， a bac 4 4 2 )处取得最值； 3．抛物线的解析式有下列三种形式： ①一般式： ； ②顶点式： khxay  2)( ； ③交点式： ))(( 21 xxxxay  ，这里 1x 、 2x 是方程 02  cbxax 的两个实根． 确定抛物线的解析式一般要两个或三个独立条件，灵活地选用不同方法求出抛物线的 解析式是解与抛物线相关问题的关键． 注：对称是一种数学美，它展示出整体的和谐与平衡之美，抛物线是轴对称图形，解题中应 积极捕捉、创造对称关系，以便从整体上把握问题，由抛物线捕捉对称信息的方式有： (1)从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息； (2)从抛物线的对称轴方程与抛物线被 x 轴所截得的弦长获得对称信息． 【例题求解】 【例 1】 二次函数 cbxxy  2 的图象如图所示，则函数值 0y 时，对应 x 的取值范围 是 ． 思路点拨 由图象知抛物线顶点坐标为(一 1，一 4)，可求出 ， c 值，先求出 0y 时，对 应 的值． 【例 2】 已知抛物线 ( <0)经过点(一 1，0)，且满足 024  cba ．以下结论： ① 0ba ；② 0ca ；③ 0 cba ；④ 22 52 aacb  ．其中正确的个数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 思路点拨 由条件大致确定抛物线的位置，进而判定 、 、 的符号；由特殊点的坐 标得等式或不等式；运用根的判别式、根与系数的关系． 2 【例 3】 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN＝4 分米，抛物线顶点处到边 MN 的距离是 4 分米，要在铁皮上截下一矩形 ABCD，使矩形顶点 B、C 落在边 MN 上，A、D 落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于 8 分米? 思路点拨 恰当建立直角坐标系，易得出 M、N 及抛物线顶点坐标，从而求出抛物线的解 析式，设 A( x ， y )，建立含 x 的方程，矩形铁皮的周长能否等于 8 分米，取决于求出 的 值是否在已求得的抛物线解析式中自变量的取值范围内． 注： 把一个生产、生活中的实际问题转化，成数学问题，需要观察分析、建模，建立直角 坐标系下的函数模型是解决实际问题的常用方法，同一问题有不同的建模方式，通过分析比 较可获得简解． 【例 4】 二次函数 22 3 2 1 2  mxxy 的图象与 轴交于 A、两点(点 A 在点 B 左边)，与 轴交于 C 点，且∠ACB＝90°． (1)求这个二次函数的解析式； (2)设计两种方案：作一条与 轴不重合，与△A BC 两边相交的直线，使截得的三角形 与△ABC 相似，并且面积为△BOC 面积的 4 1 ，写出所截得的三角形三个顶点的坐标(注：设 计的方案不必证明)． 思路点拨 (1)A、B、C 三点坐标可用 m 的代数式表示，利用相似三角形性质建立含 m 的 方程；(2)通过特殊点，构造相似三角形基本图形，确定设计方案． 注： 解函数与几何结合的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础； 而充分发挥形的因素，数形互助，把证明与计算相结合是解题的关键． 【例5】 已知函数 1)1(2)2( 22  xaxay ，其中自变量 为正整数， a 也是正整数， 求 何值时，函数值最小． 思路点拨 将函数解析式通过变形得配方式，其对称轴为 2 3)2(2 12   aaa ax ，因 12 30  a ， 12 12 2   aa aa ，故函数的最小值只可能在 取 2a ， 2a ， 2 12   a a 时达 3 到．所以，解决本例的关键在于分类讨论． 学历训练 1．如图，若抛物线 2axy  与四条直线 1x 、 2x 、 1y 、 2y 所围成的正方形有公共点， 则 a 的取值范围是 ． 2．抛物线 cbxaxy  2 与 x 轴的正半轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且线段 AB 的 长为 1，△ABC 的面积为 1，则b 的值为 ． 3．如图，抛物线的对称轴是直线 1x ，它与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A、 C 的坐标分别为(-l，0)、(0， 2 3 )，则(1)抛物线对应的函数解析式为 ；(2)若点 P 为 此抛物线上位于 轴上方的一个动点，则△ABP 面积的最大值为 ． 4．已知二次函数 的图象如图所示，且 OA＝OC，则由抛物线的特征写出如 下含有 、 b 、 c 三 个 字 母 的 式 子 ① 14 4 2  a bac ，② 01bac ，③ 0abc ，④ 0 cba ，>0，其中正确结论的序号是 (把你认为正确的都填上)． 5．已知 1a ，点( 1a ， 1y )，( ， 2y )，( 1a ， 3y )都在函数 2xy  的图象上，则( ) A． 321 yyy  B． 231 yyy  C． 123 yyy  D． 312 yyy  6．把抛物线 cbxxy  2 的图象向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解 析式为 532  xxy ，则有( ) A． 3b ， 7c B． 9b ， 15c C． ，c＝3 D． 9b ， 21c 7．二次函数 cbxaxy  2 的图象如图所示，则点( ba  ， ac )所在的直角坐标系是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4 8．周长是 4m 的矩形，它的面积 S(m2)与一边长 x (m)的函数图象大致是( ) 9．阅读下面的文字后，回答问题： “已知：二次函数 cbxaxy  2 的图象经过点 A(0，a )，B(1，-2) ，求证： 这个二次函数图象的对称轴是直线 2x ． 题目中的横线部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字． (1)根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的解析式?若能，写出求解过程；若不 能，说明理由． (2)请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整． 10．如图，一位运动员在距篮下 4 米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平 距离为 2.5 米时，达到最大高度 3.5 米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为 3.05 米． (1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)该运动员身高 1. 8 米，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25 米处出手，问：球出手时， 他跳离地面的高度是多少? 11．如图，抛物线和直线 kkxy 4 ( 0k )与 x 轴、y 轴都相交于 A、B 两点，已知抛物线 的对称轴 1x 与 x 轴相交于 C 点，且∠ABC＝90°，求抛物线的解析式． 12．抛物线 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，若△ABC 是直角三角 形，则 ac ． 13．如图，已知直线 32  xy 与抛物线 2xy  相交于 A、B 两点，O 为坐标原点，那么△ OAB 的面积等于 ． 5 14．已知二次函数 cbxaxy  2 ，一次函数 4)1( 2kxky  ．若它们的图象对于任意的实 数是都只有一个公共点，则二次函数的解析式为 ． 15．如图，抛物线 与两坐标轴的交点分别是 A，B，E，且△ABE 是等腰直角 三角形，AE＝BE，则下列关系式中不能总成立的是( ) A．b=0 B．S△ADC＝c2 C．ac＝一 1 D．a+c＝0 16．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 cbxxy  2 的图象过 点(1，0)…求证：这个二次函数的图象关于直线 2x 对称． 根据现有信息，题中的二次函数不具有的性质是( ) A．过点(3，0) B．顶点是(2，一 2) C．在 x 轴上截得的线段长为 2 D．与 y 轴的交点是(0，3) 17．已知 A(x1，2002)，B(x2，2002)是二次函数 52  bxaxy ( 0a )的图象上两 21 xxx  时，二次函数的值是( ) A． 52 2 a b B． 54 2  a b C． 2002 D．5 18．某种产品的年产量不超过 1000 吨，该产品的年产量(单位：吨)与费用(单位：万元)之间 函数的图象是顶点在原点的抛物线的一部分(如图 1 所示)；该产品的年销售量(单位：吨)与 销售单价(单位：万元／吨)之间函数的图象是线段(如图 2 所示)．若生产出的产品都能在当 年销售完，问年产量是多少吨时，所获毛利润最大?(毛利润＝销售额一费用)． 19．如图，已知二次函数 22 2  xy 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边)，与 轴交于点 C，直线：x＝m(m>1)与 轴交于点 D． (1)求 A、B、C 三点的坐标； (2)在直线 x＝m (m>1)上有一点 P (点 P 在第一象限)，使得以 P、D、B 为顶点的三角形与 以 B、C、O 为顶点的三角形相似，求 P 点坐标(用含 m 的代数式表示)； (3)在(2)成立的条件下，试问：抛物线 上是否存在一点 Q，使得四边形 ABPQ 为平行四边形?如果存在这样的点 Q，请求出 m 的值；如果不存在，请简要说明理由． 6 20．已知二次函数 22  xxy 及实数 2a ，求 (1)函数在一 2