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- 2021-11-11 发布
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2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编
第30章 解直角三角形
一、选择题
1. (2011湖北武汉市,10,3分)如图,铁路MN和公路PQ在点O处交汇,∠QON=30°.公路PQ上A处距离O点240米.如果火车行驶时,周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时,A处受噪音影响的时间为
A.12秒. B.16秒. C.20秒. D.24秒.
【答案】B
2. (2011湖南衡阳,9,3分)如图所示,河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:,堤高BC=5m,则坡面AB的长度是( )
A.10m B.10m C.15m D.5m
【答案】A
3. (2011山东东营,8,3分)河堤横断面如图所示,堤高BC=5米,迎水坡AB的坡比1:(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),则AC的长是( )
A.5米 B.10米 C.15米 D.10米
【答案】A
4. (2010湖北孝感,10,3分)如图,某航天飞船在地球表面P点的正上方A处,从A处观测到地球上的最远点Q,若∠QAP=α,地球半径为R,则航天飞船距离地球表面的最近距离AP,以及P、Q两点间的地面距离分别是( )
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
5. (2011宁波市,9,3分)如图,某游乐场一山顶滑梯的高为h,滑梯的坡角为a,那么滑梯长l为
A. B. C. D. h·sina
【答案】A
6. (2011台湾台北,34)图(十六)表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上,其中分针上有一点A,且当钟面显示3点30分时,分针垂直于桌面,A点距桌面的高度为10公分。如图(十七),若此钟面显示3点45分时,A点距桌面的高度为16公分,则钟面显示3点50分时,A点距桌面的高度为多少公分?[来源:学+科+网]
A. B. C.18 D.19
【答案】D
7. (2011山东潍坊,10,3分)身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛,四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表(假设风筝线是拉直的),则四名同学所放的风筝中最高的是( )
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140m
100m
95m
90m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】D
8. (2011四川绵阳10,3)周末,身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园,准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图,小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°,小丽站在B处测得她看塔顶的仰角β为30°.她们又测出A、B两点的距离为30米。假设她们的眼睛离头顶都为10cm,则 可计算出塔高约为(结果精确到0.01,参考数据:=1.414,=1.73)
A.36.21 米 B.37. 71 米
C.40. 98 米 D.42.48 米[来源:Zxxk.Com]
【答案】D
二、填空题
1. (2011山东济宁,15,3分)如图,是一张宽的矩形台球桌,一球从点(点在长边上)出发沿虚线射向边,然后反弹到边上的点. 如果,.那么点与点的距离为 .
·
·
(第15题)
【答案】
2. (2011浙江衢州,13,4分)在一次夏令营活动中,小明同学从营地出发,要到地的北偏东60°方向的处,他先沿正东方向走了200m到达地,再沿北偏东30°方向走,恰能到达目的地(如图),那么,由此可知,两地相距 m.
(第13题)
【答案】200
3. (2011甘肃兰州,17,4分)某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度i=1∶,坝外斜坡的坡度i=1∶1,则两个坡角的和为 。
【答案】75
4. (2011广东株洲,11,3分)如图,孔明同学背着一桶水,从山脚A出发,沿与地面成30°角的山坡向上走,送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处),AB=80米,则孔明从A到B上升的高度BC是 米.
【答案】40
5. (2011浙江义乌,15,4分)右图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图.其
中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线,∠ABC=135°,BC的长约是m,则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 ▲ m.
135°
A
B
C
D
h
【答案】5
6. (2011广东茂名,13,3分)如图,在高出海平面100米的悬崖顶A处,观测海平面上一艘小船B,并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= 米.
【答案】100
7. (2011湖北襄阳,14,3分)在207国道襄阳段改造工程中,需沿AC方向开山修路(如图3所示),为了加快施工速度,需要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°,BD=1000m,∠D=50°.为了使开挖点E在直线AC上,那么DE= m.(供选用的三角函数值:sin50°=0.7660,cos50°=0.6428,tan50°=1.192)
图3
【答案】642.8
8. (2011内蒙古乌兰察布,16,4分)某厂家新开发的一种电动车如图,它的大灯A射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为和,大灯A与地面离地面的距离为1m则该车大灯照亮地面的宽度BC是 m .(不考虑其它因素)
第16题图
【答案】1.4
9. (2011重庆市潼南,16,4分)如图,某小岛受到了污染,污染范围可
以大致看成是以点O为圆心,AD长为直径的圆形区域,为了测量受污染的圆形
区域的直径,在对应⊙O的切线BD(点D为切点)上选择相距300米的B、C两点,分别测得∠ABD= 30°,∠ACD= 60°,则直径AD= 米.(结果精确到1米)
(参考数据: )
【答案】260
三、解答题
1. (2011浙江金华,19,6分)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
【解】由题意知,当α越大,梯子的顶端达到的最大高度越大.因为当50°≤α≤70°时,能够使人安全攀爬,所以当α=70°时AC最大.
在Rt△ABC中,AB=6米,α=70°,
sin70°=,即0.94≈,解得AC ≈5.6.
答:梯子的顶端能达到的最大高度AC≈5.6米.
2. (2011安徽,19,10分)如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高度C处的飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长.
(参考数据:=1.73)
【答案】∵OA, OB=OC=1500,
∴AB=(m).
答:隧道AB的长约为635m.
3. (2011广东东莞,17,7分)如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1m;参考数据:)
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中,[来源:Z_xx_k.Com][来源:Zxxk.Com]
∵∠ABD=,∴BD=AD=x
在Rt△ABD中,
∵∠ACD=,∴,即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m. ……………………………………………8分
4. (2011江苏扬州,25,10分)如图是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图,已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心,支架CD与水平面AE垂直,AB=150厘米,∠BAC=30°,另一根辅助支架DE=76厘米,∠CED=60°.
(1)求垂直支架CD的长度。(结果保留根号)
(2)求水箱半径OD的长度。(结果保留三个有效数字,参考数据:,)
【答案】解:(1)在Rt△DCE中,∠CED=60°,DE=76,
∵sin∠CED= ∴DC=DE×sin∠CED = 38 (厘米)
答:垂直支架CD的长度为38厘米。
(2)设水箱半径OD=x厘米,则OC=(38+x)厘米,AO=(150+x)厘米,
∵Rt△OAC中,∠BAC=30°
∴AO=2×OC 即:150+x=2(38+x)
解得:x=150-76≈18.52≈18.5(厘米)
答:水箱半径OD的长度为18.5厘米。
5. (2011山东德州20,10分)某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度.如示意图,由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为,在A和C之间选一点B,由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为.测得A,B之间的距离为4米,,,试求建筑物CD的高度.
A
C
D
B
E
F
G
【答案】解:设建筑物CD与EF的延长线交于点G,DG=x米. …………1分
在△中,,即. …………2分
A
C
D
B
E
F
G
在△中,,即. …………3分
∴,.
∴ . ………5分
∴. ………6分
解方程得:=19.2. ………8分
∴ .
答:建筑物高为20.4米. ………10分
6. (2011山东威海,23,10分)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
【答案】 解:过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中,∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10,
∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10,
∵AB∥CF,∴∠BCM=30°.
∴[来源:Z,xx,k.Com]
在△EFD中,∠F=90°, ∠E=45°,
∴∠EDF=45°,
∴.
∴.
7. (2011山东烟台,21,8分)综合实践课上,小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段,两岸ABCD,河岸AB上有一排大树,相邻两棵大树之间的距离均为10米.小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°,然后沿河岸走50米到达N点,测得∠β=72°。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字).
(参考数据:sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan36°≈0.73,sin 72°≈0.95,cos 72°≈0.31,tan72°≈3.08)
A
B
C
D
E
F
M
N
R
α
β
【答案】解:过点F作FG∥EM交CD于G.
则MG=EF=20米.
∠FGN=∠α=36°.
∴∠GFN=∠β-∠FGN=72°-36°=36°.
∴∠FGN=∠GFN,
∴FN=GN=50-20=30(米).
在Rt△FNR中,
FR=FN×sinβ=30×sin72°=30×0.95≈29(米).
8. (2011浙江绍兴,20,8分)为倡导“地摊生活”,常选择以自行车作为代步工具,如图1所示是一辆自行车的实物图,车架档与的长分别为45cm,60cm,且它们相互垂直,座杆的长为20cm,点在同一条直线上,且,如图2.
第20题图2
(1)求车架档的长
(2)求车座点到车架档的距离.
(记过精确到1cm,参考数据:)
【答案】解(1)
=75 cm
车档架的长为75 cm
(2)过点作,垂足为点,[来源:Z+xx+k.Com]
距离
车座点到车档架的距离是63cm
9. (2011浙江省,21,10分)图1为已建设封顶的16层楼房和其塔吊图,图2为其示意图,吊臂AB与地面EH平行,测得A点到楼顶D的距离为5m,每层楼高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面.
(1)求16层楼房DE的高度;
(2)若EF=16m,求塔吊的高CH 的长(精确到0.1m).
【答案】据题意得:DE=3.5×16=56,AB=EF=16
∵∠ACB=∠CBG-∠CAB=15°,
∴∠ACB =∠CAB
∴CB=AB=16. ∴CG=BC×sin30°= 8
CH=CG+HG=CG+DE+AD=8+56+5=69.
∴塔吊的高CH的长为69m.
10.(2011浙江台州,21,10分)丁丁要制作一个形如图1的风筝,想在一个矩形材料中裁剪出如图2 阴影所示的梯形翅膀,请你根据图2中的数据帮助丁丁计算出BE,CD的长度(精确到个位,)
【答案】解:在Rt△BEC中,∠BCE=30º,EC=51,∴BE=≈30,AE=64
在Rt△AFD中,∠FAD=45º,FD=FA=51,∴CD=64—51≈13
∴CD=13cm,BE=30cm.
11. (2011浙江丽水,19,6分)生活经验表明,靠墙摆放的梯子,当50°≤α≤70°(α为梯子与地面所成的角),能够使人安全攀爬,现在有一长为6米的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时,梯子的顶端能达到的最大高度AC.(结果保留两个有效数字,sin70°≈0.94,sin50°≈0.77,cos70°≈0.34,cos50°≈0.64)
【解】当α=70°时,梯子顶端达到的最大高度,
∵sinα=,
∴AC = sin70°×6≈0.94×6=5.64≈5.6(米)
答:人安全攀爬梯子时,梯子的顶端达到的最大高度约5.6米.
12. (2011江西,22,9分)图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形。当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格,现在用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A-B-C-D-E-F,C-D是弧CD,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34cm,AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
(参考数据:≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97。)
【答案】解:连结OB,过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中,
AB=5,AO=17,∴tan∠ABO=,
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°
又∵OB=≈17.72,
∴在Rt△OBG中,OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19>17.
∴水桶提手合格.
13. (2011湖南常德,24,8分)
青青草原上,灰太狼每天都想着如何抓羊,而且是屡败屡试,永不言弃.(如图7所示)一天,灰太狼在自家城堡顶部A处测得懒羊羊所在地B处的俯角为60°,然后下到城堡的C处,测得B处的俯角为30°.已知AC=40米,若灰太狼以5m/s的速度从城堡底部D处出发,几秒钟后能抓到懒羊羊?(结果精确到个位)
图7
【答案】解:在Rt△BCD中,
∵∠BCD=90°-30°=60°
∴,则
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=60°
∴
即
∴
故约7秒钟后灰太狼能抓到懒羊羊.
14. (2011湖南邵阳,20,8分)崀山成功列入世界自然遗产名录后,景区管理部门决定在八角寨假设旅游索道设计人员为了计算索道AB(索道起点为山脚B处,终点为山顶A处)的长度,采取了如图(八)所示的测量方法。在B处测得山顶A的仰角为16°,查阅相关资料得山高AC=325米,求索道AB的长度。(结果精确到1米,参考数据sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)
【答案】解:AB=AC÷sin 16°= 325÷0.28≈1161米。
15. (2011湖南益阳,18,8分)如图8,AE是位于公路边的电线杆,为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶,电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起拉线.已知公路的宽AB为8米,电线杆AE的高为12米,水泥撑杆BD高
为6米,拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°.求拉线CDE
的总长L(A、B、C三点在同一直线上,电线杆、水泥杆的大
小忽略不计).
(参考数据:,,)
E
A
D
B
C
图8
【答案】解:⑴在Rt中,,
(m).
,
,,,
(m).
(m)
16. (2011江苏连云港,24,10分)如图,自来水厂A和村庄B在小河l的两侧,现要在A,B间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算,需测算出A,B间的距离.一小船在点P处测得A在正北方向,B位于南偏东24.5º方向,前行1200m,到达点Q处,测得A位于北偏西49º方向,B位于南偏西41º方向.
(1)线段BQ与PQ是否相等?请说明理由;
(2)求A,B间的距离.
(参考数据:cos41º≈0.75)
【答案】(1)∵B位于P点南偏东24.5º方向,∴∠BPQ=65.5º,又∵B位于Q点南偏西41º方向, ∴∠PQB=49º, ∴∠PBQ=65.5º, ∴PQ=BQ(等角对等边),(2)∵点P处测得A
在正北方向,在Rt△APQ中,,∴AQ=1600,由(1)得PQ=BQ=1200,∵在点Q处,测得A位于北偏西49º方向,B位于南偏西41º方向,∴∠AQB=90º,在Rt△ABQ中,AB=(m).
17.
18. (2011江苏苏州,25,8分)如图,小明在大楼30米高(即PH=30米)得窗口P处进行观测,测得山坡上A处的俯角为15°,山脚B处得俯角为60°,已知该山坡的坡度i(即tan∠ABC)为1:,点P、H、B、C、A在同一个平面上.点H、B、C在同一条直线上,且PH⊥HC.
(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于________度;
(2)求A、B两点间的距离(结果精确到0.1米,参考数据:≈1.732).
【答案】解:(1)30.
(2)由题意得:∠PBH=60°,∠APB=45°.
∵∠ABC=30°,∴∠APB=90°.
在Rt△PHB中,PB==20,
在Rt△PBA中,AB=PB=20≈34.6.
答:A、B两点间的距离约34.6米.
19. (2011江苏宿迁,23,10分)如图,为了测量某建筑物CD的高度,先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前进了100m,此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5m,请你计算出该建筑物的高度.(取=1.732,结果精确到1m)(第23题)
【答案】
解:设CE=xm,则由题意可知BE=xm,AE=(x+100)m.
在Rt△AEC中,tan∠CAE=,即tan30°=
∴,3x=(x+100)
解得x=50+50=136.6
∴CD=CE+ED=(136.6+1.5)=138.1≈138(m)
答:该建筑物的高度约为138m.
20.(2011江苏泰州,23,10分)一幢房屋的侧面外壁的形状如图所示,它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成,∠OCD=25°.外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹,其中一块的形状是四边形EFGH,测得FG ∥EH,GH=2.6cm , ∠FGB=65°.
(1)求证:GF⊥OC;
(2)求EF的长(结果精确到0.1m).
(参考数据:sin25°=cos65°≈0.42,cos25°=sin65°≈0.91)
【答案】解:(1)设CD与FG交于点M,由CD∥AB,∠FGB=65°,可得∠FGC=65°,又∠OCD=25°,于是在△FGC中,可得∠CFM=90°,即GF⊥OC.
(2)过点G作GN⊥HE,则GN=EF,在Rt△GHN中,
sin ∠EHG=,即GN=GH sin ∠EHG=2.6 sin 65°=2.6×0.91=2.366≈2.4cm.
21. (2011广东汕头,17,7分)如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1m;参考数据:)
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=,∴BD=AD=x
在Rt△ABD中,
∵∠ACD=,∴,即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
22. (2011山东聊城,21,8分)被誉为东昌三宝之首的铁塔,始建于北宋时期,是我市现存的最古老的建筑,铁塔由塔身和塔座两部分组成(如图①).为了测得铁塔的高度,小莹利用自制的测角仪,在C点测得塔顶E的仰角为45°,在D点测得塔顶E的仰角为60°,已知测角仪AC的高为1.6米,CD的长为6米,CD所在的水平线CG⊥EF于点G(如图②),求铁塔EF的高(结果精确到0.1米).
【答案】设EG=x米,在Rt△CEG中,∵∠ECG=45°,∴∠CEG=45°,∴∠ECG=∠CEG,∴CG=EG,=x米,在Rt△DEG中,∠EDG=60°,tan∠EDB=,∴DG=,∵CG-DG=CD=6, ∴=6,解得x=9+,∴EF=EG+FG=9++16≈158,所以铁塔高约为158米
23. (2011山东潍坊,19,9分)今年“五一”
假期,某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点,再从B点沿斜坡BC到达山顶C点,路线如图所示.斜坡AB的长为1040米,斜坡BC的长为400米,在C点测得B点的俯角为30°,.已知A点海拔121米,C点海拔721米.
(1)求B点的海拔;
(2)求斜坡AB的坡度.
【解】(1)如图所示,过点C作CF⊥AM,F为垂足,过点B作BE⊥AM,BD⊥CF,E、D为垂足.
∵在C点测得B点的俯角为30°,
∴∠CBD=30°,又∵BC=400米,
∴CD=400×sin30°=400×=200(米).
∴B点的海拔为721-200=521(米).
(2)∵BE=521-121=400(米),AB=1040米,
∴(米).
∴AB的坡度,所以斜坡AB的坡度为1:2.4.
24. (2011广东汕头,19,7分)如图,直角梯形纸片ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=30°.折叠纸片使BC经过点D.点C落在点E处,BF是折痕,且BF= CF =8.
(l)求∠BDF的度数;
(2)求AB的长.
【解】(1)∵BF=CF,∠C=,
∴∠FBC=,∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
∴∠BDF=
(2)在Rt△BDF中,
∵∠DBF=,BF=8
∴BD=
∵AD∥BC,∠A=
∴∠ABC=
又∵∠FBC=∠DBF=
∴∠ABD=
在Rt△BDA中,
∵∠AVD=,BD=
∴AB=6.
25. (2011四川广安,26,9分)某校初三课外活动小组,在测量树高的一次活动中,如图7所示,测得树底部中心A到斜坡底C的水平距离为8. 8m.在阳光下某一时刻测得1米的标杆影长为0.8m,树影落在斜坡上的部分CD= 3.2m.已知斜坡CD的坡比i=1:,求树高AB。(结果保留整数,参考数据:1.7)
_
D
_
C
_
B
_
A
i=1:
图7
【答案】解:如图,延长BD与AC的延长线交于点E,过点D作DHAE于H
∵CD=3.2 ∴DH=1.6 CH=
∵ ∴HE=1.28
∵ ∴AB=16
_
D
_
C
_
B
_
A
i=1:
_
H
_
E
26. (2011四川内江,20,9分)放风筝是大家喜爱的一种运动。星期天的上午小明在大洲广场上放风筝。如图他在A处时不小心让风筝挂在了一棵树的树梢上,风筝固定在了D处,此时风筝线AD与水平线的夹角为30°。为了便于观察,小明迅速向前边移动边收线到达了离A处7米的B处,此时风筝线BD与水平线的夹角为45°。已知点A、B、C在同一条直线上,∠ACD=90°。请你求出小明此时所收回的风筝线的长度是多少米?(本题中风筝线均视为线段,,,最后结果精确到1米)
【答案】设BC=CD=x米,得
,解得
∴AD-BD=2x-=(米)
27. (2011四川宜宾,22,7分)如图,飞机沿水平方向(A,B两点所在直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:
(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);
(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.
(22题图)
【答案】解:此题为开放题,答案不惟一,只要方案设计合理,可参照给分
⑴如图,测出飞机在A处对山顶的俯角为,测出飞机在B处对山顶的俯角为,测出AB的距离为d,连接AM,BM.
⑵第一步,在中, ∴
第二步,在中, ∴
其中,解得.
(第25题解答图)
[来源:Zxxk.Com]
28. (2011重庆綦江,20,6分)如图,小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD, 点A是小刚的眼睛,测得屏幕下端D处的仰角为30°,然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处,又测得该屏幕上端C处的仰角为45°,延长AB与楼房垂直相交于点E,测得BE=21米,请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD. (结果保留根号)
【答案】:解:∵∠CBE=45° CE⊥AE
∴CE=BE=21
AE=21+6=27
在Rt△ADE中,∠DAE=30°
∴DE=AE×tan30°=27×=9
∴CD=CE-DE=21-9
∴该屏幕上端与下端之间的距离CD=21-9 (米).
29. (2011江西南昌,22,9分)图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形。当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格,现在用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A-B-C-D-E-F,C-D是弧CD,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34cm,AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°。请通过计算判断这个水桶提手是否合格。
(参考数据:≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97。)
图甲 图乙 图丙
【答案】解:连结OB,过点O作OG⊥BC于点G.在Rt△ABO中,
AB=5,AO=17,∴tan∠ABO=,
∴∠ABO=73.6°,
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO=149°-73.6°=75.4°
又∵OB=≈17.72,
∴在Rt△OBG中,OG=OB×sin∠GBO=17.72×0.97≈17.19>17.
∴水桶提手合格.
30. (2011安徽芜湖,18,8分)如图,某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度,他们先在A处测得古塔顶端点的仰角为,再沿着的方向后退20m至处,测得古塔顶端点的仰角为.求该古塔BD的高度(,结果保留一位小数).
【答案】
解:根据题意可知:
在中,由得. …………………………2分
在中,由.得………………………4分
又∵,∴.∴(m).………………7分
答:该古塔的高度约为27.3m.
31. (2011山东济宁,18, 5分)日本福岛出现核电站事故后,我国国家海洋局高度关注事态发展,紧急调集海上巡逻的海检船,在相关海域进行现场检测与海水采样,针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估.如图上午9时,海检船位于A处,观测到某港口城市P位于海检船的北偏西67.5°,海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时海检船到达B处,这时观测到城市P位于海检船的南偏西36.9°方向,求此时海检船所在B处与城市P的距离?(参考数据:sin36.9°≈,tan36.9°≈,sin67.5°≈,tan67.5°≈)
第18题
【答案】解:过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里.
在Rt△APC中,∵tan∠A=,∴AC=.…………2分
在Rt△PCB中,∵tan∠B=,∴BC=.…………4分
∵AC+BC=AB=21×5,∴,解得.
∵,∴(海里).
∴海检船所在B处与城市P的距离为100海里.………………6分
32. (2011四川成都,16,6分)如图,在亚丁湾一海域执行护航任务的我海军某军舰由东向西行驶.在航行到B处时,发现灯塔A在我军舰的正北方向500米处;当该军舰从B处向正西方向行驶至达C处时,发现灯塔A在我军舰的北偏东60°的方向.求该军舰行驶的路程.(计算过程和结果均不取近似值)
【答案】解:由题意可知,在Rt△ABC中,AB=500,∠ACB=90°-60°=30°,
∵∠ACB=,
∴BC=(),
∴该军舰行驶的路程为米.
33. (2011广东省,17,7分)如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1m;参考数据:)
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=,∴BD=AD=x
在Rt△ABD中,
∵∠ACD=,∴,即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.2m.
34. (2011广东省,19,7分)如图,直角梯形纸片ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,∠C=30°.折叠纸片使BC经过点D.点C落在点E处,BF是折痕,且BF= CF =8.
(l)求∠BDF的度数;
(2)求AB的长.
【解】(1)∵BF=CF,∠C=,
∴∠FBC=,∠BFC=
又由折叠可知∠DBF=
∴∠BDF=
(2)在Rt△BDF中,
∵∠DBF=,BF=8
∴BD=
∵AD∥BC,∠A=
∴∠ABC=
又∵∠FBC=∠DBF=
∴∠ABD=
在Rt△BDA中,
∵∠AVD=,BD=
∴AB=6.
35.
(2011江苏淮安,23,10分)题23-1图为平地上一幢建筑物与铁塔图,题23-2图为其示意图.建筑物AB与铁塔CD都垂直于底面,BD=30m,在A点测得D点的俯角为45°,测得C点的仰角为60°.求铁塔CD的高度.[来源:学科网ZXXK]
题23-1图 题23-2图
【答案】解:如图,设过点A的水平线与CD交于点E,由题意得
∠AEC=∠AED=90°,∠CAE=60°,∠DAE=45°,AE=BD=30m,
∴CD=CE+DE=AE·tan60°+AE·tan45°=30+30(m).
答:铁塔CD的高度为(30+30)m.
36. .(2011江苏南京,25,7分)如图,某数学课外活动小组测量电视塔AB的高度,他们借助一个高度为30m的建筑物CD进行测量,在点C处塔顶B的仰角为45°,在点E处测得B的仰角为37°(B、D、E三点在一条直线上).求电视塔的高度h.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A
B
E
C
D
h
37°
45°
(第25题)
【答案】解:在中,=.
∴EC=≈().
在中,∠BCA=45°,∴
在中,=.∴.∴().
答:电视塔高度约为120.
37. (2011四川凉山州,23,8分)在一次课题设计活动中,小明对修建一座87m长的水库大坝提出了以下方案;大坝的横截面为等腰梯形,如图,∥,坝高10m,迎水坡面的坡度,老师看后,从力学的角度对此方案提出了建议,小明决定在原方案的基础上,将迎水坡面的坡度进行修改,修改后的迎水坡面的坡度。
(1) 求原方案中此大坝迎水坡的长(结果保留根号)
(2) 如果方案修改前后,修建大坝所需土石方总体积不变,在方案修改后,若坝顶沿方向拓宽2.7m,求坝顶将会沿方向加宽多少米?
A
B
C
E
D
23题图
【答案】
解:⑴过点作于。
在中,∵,且。
∴,
⑵过点作于。
在中,∵,且。
∴,
A
B
C
M
D
G
F
E
N
如图,延长至点,至点,
连接,
∵方案修改前后,修建大坝所需土石方
总体积不变。
。
即 。
。 [来源:学科网]
答:坝底将会沿方向加宽。
38. (2011江苏无锡,24,9分)(本题满分9分)如图,一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行,在航线AB的正下方有两个山头C、D。飞机在A处时,测得山头C、D在飞机前方,俯角分别为60°和30°。飞机飞行了6千米到B处时,往后测得山头C的俯角为30°,而山头D恰好在飞机的正下方。求山头C、D之间的距离。
A
B
C
D
【答案】
解:在Rt△ABD中,∵∠BAD = 30°,∴BD = AB·tan30° = 6 × = 2.………………(2分)
∵∠BAC = 60°,∠ABC = 30°,∴∠ACB = 90°,∴BC = AB·cos30° = 6 × = 3.
…………(4分)
过点C作CE⊥BD于点E,则∠CBE = 60°,CE = BC·sin60° = .…………(6分)
∴BE = BC·cos60° = ,………………………………(7分)
DE = BD − BE = 2 − = .
∴在Rt△CDE中,CD = = = (km).
答:山头C、D之间的距离为(km).…………………………………………………(9分)
39. (2011湖北黄冈,21,8分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比
(指坡面的铅直高度与水平宽度的比).且AB=20 m.身高为1.7 m的小明站在大堤A点,测得高压电线杆端点D的仰角为30°.已知地面CB宽30 m,求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字,1.732).
C
D
N
M
A
B
第21题图
【答案】 ≈36.0
40. (2011湖北黄石,22,8分)东方山是鄂东南地区的佛教胜地,月亮山是黄荆山脉第二高峰,山顶上有黄石电视塔,据黄石地理资料记载:东方山海拔453.20米,月亮山海拔442.00米。一飞机从东方山到月亮山方向水平飞行,在东方山山顶D的正上方A处测得月亮山山顶C的俯角为α,在月亮山山顶C的正上方B处测得东方山山顶D处的俯角为β,如图(7),已知tanα=0.15987,tanβ=0.15847,若飞机的飞行速度为180米/秒,则该飞机从A到B处需多少时间?(精确到0.1秒)
【答案】解:设AB=x米,根据题意得,
AD=x·tanβ=0.15847x
BC=x·tanα=0.15987x
0.15847x+453.20=0.15987x+442.00
解之得,0.0014x=11.2
x=8000
t=
t=44.4
答:该飞机从A到B处需44.4秒
41. (2011贵州贵阳,20,10分)
某过街天桥的设计图是梯形ABCD(如图所示),桥面DC与地面AB平行,DC=62米,AB=88米.左斜面AD与地面AB的夹角为23°,右斜面BC与地面AB的夹角为30°,立柱DE⊥AB于E,立柱CF⊥AB于F,求桥面DC与地面AB之间的距离.(精确到0.1米)
[来源:Z§xx§k.Com]
(第20题图)
【答案】解:在Rt△ADE中,∠A=23°,
∴AE=.
在Rt△BCF中,∠B=30°,
∴BF=.
∵DE⊥AB,CF⊥AB,AB∥CD,
∴CD=EF,DE=CF,
∴++62=88.
解得,DE≈6.4.
即桥面DC与地面AB之间的距离约为6.4米.
42. (2011江苏盐城,24,10分)如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?
(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732)
【答案】过点B作BF⊥CD于F,作BG⊥AD于G.
在Rt△BCF中,∠CBF=30°,∴CF=BC·sin30°= 30× =15.
在Rt△ABG中,∠BAG=60°,∴BG=AB·sin60°= 40× = 20.
∴CE=CF+FD+DE=15+20+2=17+20≈51.64≈51.6(cm)cm.
答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是51.6cm.
43. (2011广东中山,17,7分)如图,小明家在A处,门前有一口池塘,隔着池塘有一条公路l,AB是A到l的小路。现新修一条路AC到公路l.小明测量出∠ACD=30°,∠ABD=45°,BC=50m.请你帮小明计算他家到公路l的距离AD的长度(精确到0.1m;参考数据:)
【解】设小明家到公路的距离AD的长度为xm.
在Rt△ABD中,
∵∠ABD=,∴BD=AD=x
在Rt△ABD中,
∵∠ACD=,∴,即
解得
小明家到公路的距离AD的长度约为68.3m.
44. (2011湖北鄂州,21,8分)如图,防洪大堤的横断面是梯形,背水坡AB的坡比(指坡面的铅直高度与水平宽度的比).且AB=20 m.身高为1.7 m的小明站在大堤A点,测得高压电线杆端点D的仰角为30°.已知地面CB宽30 m,求高压电线杆CD的高度(结果保留三个有效数字,1.732).
C
D
N
M
A
B
第21题图
【答案】 ≈36.0
45. (2011广东湛江24,10分)五一期间,小红到美丽的世界地质公园光岩参加社会实践活动,在景点P处测得景点B位于南偏东方向,然后沿北偏东方向走100米到达景点A,此时测得景点B正好位于景点A的正南方向,求景点A与景点B之间的距离.(结果精确到0.1米)
【答案】过P作,垂足为D,则,
所以,且米,
所以AD=50米,
又,,所以DB=DP,而,
所以米。
46. (2011贵州安顺,21,8分)一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向的河宽,如图所示,某学生在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C,测得C在A北偏西31°的方向上,沿河岸向北前行40米到达B处,测得C在B北偏西45°的方向上,请你根据以上数据,求这条河的宽度.(参考数值:tan31°≈)
第21题图
【答案】过点C作CDAB于D ,
第21题图
D
由题意,,设CD = BD = x米,则AD =AB+BD =(40+x
)米,
在Rt中,tan=,则,解得x = 60(米).
47. (2011湖南湘潭市,19,6分)(本题满分6分)
莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度,如图,在C点测得旗杆
顶端A的仰角为30°,向前走了6米到达D点,在D点测得旗杆顶端A的仰角
为60°(测角器的高度不计).
⑴ AD=_______米;
⑵ 求旗杆AB的高度().
30°
60°
A
6米
D
C
B
【答案】解:(1)6
(2)在Rt△ABD中,(米).
所以旗杆AB的高度为5.19米.
48. (2011湖北荆州,21,8分)(本题满分8分)某河道上有一个半圆形的拱桥,河两岸筑有拦水堤坝,其半圆形桥洞的横截面如图所示.已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切,上、下桥斜面的坡度i=1:3.7,桥下水深OP=5米,水面宽度CD=24米.设半圆的圆心为O,直径AB在直角顶点M、N的连线上,求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长.(参考数据:,,)
【答案】 解:连结OD、OE、OF,由垂径定理知:PD= 1 2 CD=12(m)
在Rt△OPD中,(m),
∴OE=OD=13m
∵tan∠EMO=i= 1: 3.7 , ≈ 1:3.7
∴∠EMO=15°
由切线性质知∠OEM=90°
∴∠EOM=75°
同理得∠NOF=75°
∴∠EOF=180°-75°×2=30°
在Rt△OEM中,tan15°=
∴EM=3.7×13=48.1(m)
又EF的弧长=30π×13÷180 =6.5(m)
∴48.1×2+6.5=102.7(m)
即从M点上坡、过桥、再下坡到N点的最短路径长为102.7米.
49.
50.
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