2019年四川省自贡市中考真题数学试题（解析版）0 19页

‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（2019年自贡）﹣2019的倒数是（　　）‎ A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019‎ ‎2．（2019年自贡）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×‎103 ‎C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎3．（2019年自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（2019年自贡）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎5．（2019年自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）‎ A．B． C．D．‎ ‎6．（2019年自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎7．（2019年自贡）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．|m|＜1 B．1﹣m＞‎1 ‎C．mn＞0 D．m+1＞0‎ ‎8．（2019年自贡）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜1 B．m≥‎1 ‎C．m≤1 D．m＞1‎ ‎9．（2019年自贡）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）‎ A.B.C.D．‎ ‎10．（2019年自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t 第19页（共19页）‎ 的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（2019年自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎12．（2019年自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（2019年自贡）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　 　．‎ ‎14．（2019年自贡）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　 　分．‎ ‎15．（2019年自贡）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．‎ ‎16．（2019年自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　　．‎ ‎17．（2019年自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　　．‎ ‎ ‎ ‎18．（2019年自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　　．‎ 第19页（共19页）‎ 三、解答題（共8个题，共78分）‎ ‎19．（2019年自贡）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0‎ ‎20．（8分）（2019年自贡）解方程：．‎ ‎21．（2019年自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．‎ 求证：（1）；（2）AE＝CE．‎ ‎22．（2019自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据：‎ 成绩x（单位：分）‎ 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ ‎1‎ ‎70≤x＜80‎ ‎　 　‎ ‎80≤x＜90‎ ‎17‎ ‎90≤x＜100‎ ‎　 　‎ ‎（1）请将图表中空缺的部分补充完整；（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；‎ ‎（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　．‎ 第19页（共19页）‎ ‎23．（2019年自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎24．（2019年自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：‎ 设S＝1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S＝2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题：‎ ‎（1）1+2+22+…+29＝　 　；‎ ‎（2）3+32+…+310＝　 　；‎ ‎（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．‎ ‎25．（2019年自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是　 　；‎ ‎②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．‎ ‎（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；‎ ‎②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．‎ 第19页（共19页）‎ ‎26．（2019年自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．‎ ‎（1）求抛物线C函数表达式；‎ ‎（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第19页（共19页）‎ ‎2019年四川省自贡市中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题[共12个小题，每小题4分，共48分，在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（2019年自贡）﹣2019的倒数是（　　）‎ A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，由于－2019×(－)＝1，因此本题选B．‎ ‎2．（2019年自贡）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为（　　）‎ A．2.3×104 B．23×‎103 ‎C．2.3×103 D．0.23×105‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了科学记数法，23000＝2.3×104，因此本题选A．‎ ‎3．（2019年自贡）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，轴对称图形是指沿图形内某直线折叠直线两旁的部分能完全重合的图形，能确定出对称轴的图形为轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，除了直接观察判断外，还可采用折叠法判断，只有选项A、D符合要求，又因为选项A不是中心对称图形，因此本题选D．‎ ‎4．（2019年自贡）在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩方差是3，下列说法正确的是（　　）‎ A．甲的成绩比乙的成绩稳定 B．乙的成绩比甲的成绩稳定 ‎ C．甲、乙两人的成绩一样稳定 D．无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 ‎{答案}B ‎{解析}本题考查的是平均数和方差.平均数反映的是一组数据的集中程度，方差反映的是一组数据的离散程度.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，稳定性较差；根据方差的意义可得选项B是正确的．‎ ‎5．（2019年自贡）如图是一个水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是（　　）‎ 第19页（共19页）‎ A．B． C．D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了由几何体的俯视图的概念，根据俯视图概念，从上面观察可得到一个实线矩形环组成的，故应选C．‎ ‎6．（2019年自贡）已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为（　　）‎ A．7 B．‎8 ‎C．9 D．10‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；设第三边为x，根据三角形的三边关系，得：4﹣1＜x＜4+1，即3＜x＜5，∵x为整数，∴x的值为4．三角形的周长为1+4+4＝9．‎ ‎7．（2019年自贡）实数m，n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是（　　）‎ A．|m|＜1 B．1﹣m＞‎1 ‎C．mn＞0 D．m+1＞0‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查了实数的大小比较，利用数轴得m＜0＜1＜n，所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．故应选B.‎ ‎8．（2019年自贡）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m＜1 B．m≥‎1 ‎C．m≤1 D．m＞1‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考考查了一元二次方程根的判别式，利用判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣‎4m＜0，然后解不等式得m＞1．故选D．‎ ‎9．（2019年自贡）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（　　）‎ A.B.C.D．‎ ‎{答案}A ‎{解析}本题考查了二次函数与一次函数、反比例函数的结合，根据一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限可得a＜0，b＞0，因为﹣＞0，所以二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；因为反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，所以c＞0，即与y轴交点在x轴上方．故应选A．‎ ‎10．（2019年自贡）均匀的向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列四个中的（　　）‎ 第19页（共19页）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}D ‎{解析}本题考查了函数的图象，由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径．故选D．‎ ‎11．（2019年自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}C ‎{解析}本题考查了圆的有关计算，连接AC，设正方形的边长为a，根据正方形的性质得到∠B＝90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径为，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算可得正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为＝≈，选C．‎ ‎12．（2019年自贡）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（　　）‎ 第19页（共19页）‎ A． B． C． D．‎ ‎{答案}B ‎{解析}本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，‎ ‎∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，‎ ‎∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，‎ ‎∵tan∠EAO＝＝，∴，‎ ‎∴OE＝，∴AE＝，‎ 作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，‎ ‎∴EH＝，∴AH＝，‎ ‎∴tan∠BAD＝＝＝．‎ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分）‎ ‎13．（2019年自贡）如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，则∠2＝　 　．‎ 第19页（共19页）‎ ‎{答案}60°‎ ‎{解析}本题考查了平行线的性质，先利用平角的定义结合平行线的性质得出∠2＝60°．‎ ‎14．（2019年自贡）在一次有12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、3、4、2、2，那么这组数据的众数是　 　分．‎ ‎{答案}90‎ ‎{解析}根据众数的定义求解可得这组数据的众数是90分．‎ ‎15．（2019年自贡）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．‎ ‎{答案}2（x+y）（x﹣y）‎ ‎{解析}先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解，即2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．‎ ‎16．（2019年自贡）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为　　．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了列二元一次方程组解应用题，解答时首先要找出等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费＝466元，②篮球的单价﹣足球的单价＝4元，根据等量关系列出方程组．‎ ‎17．（2019年自贡）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，DE＝　　．‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，由CD∥AB，∠D＝∠ABE，∠D＝∠CBE，所以CD＝BC＝6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长为．‎ ‎18．（2019年自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则cos（α+β）＝　　．‎ 第19页（共19页）‎ ‎{答案}‎ ‎{解析}本题考查了解直角三角形、等边三角形的性质，给图中各点标上字母，连接DE，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形ADE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α＝30°，同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α，由∠AEC＝60°结合∠AED＝∠AEC+∠CED可得出∠AED＝90°，设等边三角形的边长为a，则AE＝‎2a，DE＝a，利用勾股定理可得出AD的长，再结合余弦的定义即可求出cos（α+β）==．‎ 三、解答題（共8个题，共78分）‎ ‎19．（2019年自贡）计算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0‎ ‎{解析}本题考查了实数的运算．先分别计算平方、零指数幂，与化简绝对值、二次根数，特殊角的锐角三角函数值，最后进行加减运算得最简结果．‎ ‎{答案}解：原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4．‎ ‎20．（8分）（2019年自贡）解方程：．‎ ‎{解析}本题考查了分式方程的解法，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎{答案}解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，‎ 解得：x＝2，‎ 检验：当x＝2时，方程左右两边相等，‎ 所以x＝2是原方程的解．‎ ‎21．（2019年自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD、BC．‎ 求证：（1）；（2）AE＝CE．‎ 第19页（共19页）‎ ‎{解析}本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，（1）由AB＝CD知，利用等式的性质可证；（2）由知AD＝BC，结合∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE可证△ADE≌△CBE，从而得出答案．‎ ‎{答案}证明（1）∵AB＝CD，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴AD＝BC，‎ 又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，‎ ‎∴△ADE≌△CBE（ASA），‎ ‎∴AE＝CE．‎ ‎22．（2019年自贡）某校举行了自贡市创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了知识竞赛．‎ 收集教据：现随机抽取了初一年级30名同学的“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：‎ ‎90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97‎ ‎88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82‎ 整理分析数据：‎ 成绩x（单位：分）‎ 频数（人数）‎ ‎60≤x＜70‎ ‎1‎ ‎70≤x＜80‎ ‎　 　‎ ‎80≤x＜90‎ ‎17‎ ‎90≤x＜100‎ ‎　 　‎ ‎（1）请将图表中空缺的部分补充完整；‎ ‎（2）学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分及其以上的同学．根据上面统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；‎ ‎（3）“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是　　．‎ ‎{解析}本题考查了列表法与树状图法，利用列表法和树状图法求概率，（1）由已知数据计数即可得；‎ 第19页（共19页）‎ ‎（2）用总人数乘以样本中对应部分人数所占比例即可得；‎ ‎（3）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，再利用概率公式求解可得．‎ ‎{答案}解：（1）补全图表如下：‎ ‎（2）估计该校初一年级360人中，获得表彰的人数约为360×＝120（人）；‎ ‎（3）将印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案分别记为A、B、C、D，‎ 画树状图如下：‎ 则共有12种等可能的结果数，其中小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的结果数为6，‎ 所以小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率为，‎ ‎23．（2019年自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一、象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．‎ ‎（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；‎ ‎（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．‎ ‎{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据一次函数y1＝x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．‎ ‎{答案}解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，‎ ‎∴反比例函数的解析式为y2＝；‎ 第19页（共19页）‎ 把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，‎ ‎∴B（﹣5，﹣3）．‎ 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得 解得 ‎∴一次函数的解析式为y1＝x+2；‎ ‎（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，‎ ‎∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），‎ 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，‎ 令y＝0，则x＝﹣2，‎ ‎∴C（﹣2，0），‎ ‎∴BC＝．‎ ‎（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．‎ ‎24．（2019年自贡）阅读下列材料：小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：‎ 设S＝1+2+22+…+22017+22018①‎ 则2S＝2+22+…+22018+22019②‎ ‎②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1‎ ‎∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1‎ 请仿照小明的方法解决以下问题：‎ ‎（1）1+2+22+…+29＝　 　；‎ ‎（2）3+32+…+310＝　 　；‎ ‎（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整数，请写出计算过程）．‎ ‎{解析}本题考查了规律型探究题，（1）利用题中的方法设S＝1+2+22+…+29，两边乘以2得到2S＝2+22+…+29，然后把两式相减计算出S即可；‎ ‎（2）利用题中的方法设S＝1+3+32+33+34+…+310 ，两边乘以3得到3S＝3+32+33+34+35+…+311 ，然后把两式相减计算出S即可；‎ ‎（3）利用（2）的方法计算．‎ ‎{答案}解：（1）210﹣1‎ ‎（2）；‎ ‎（3）设S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，‎ 第19页（共19页）‎ 则aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，‎ ‎②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，‎ a＝1时，不能直接除以a﹣1，此时原式等于n+1；‎ a不等于1时，a﹣1才能做分母，所以S＝，‎ 即1+a+a2+a3+a4+..+an＝.‎ ‎25．（2019年自贡）（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①线段DB和DG的数量关系是　 　；‎ ‎②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系．‎ ‎（2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC＝60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G．‎ ‎①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；‎ ‎②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE＝1，AB＝2，直接写出线段GM的长度．‎ ‎{解析}此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正方形和菱形的性质，直角三角形30度的角性质等知识，（1）①根据旋转的性质解答即可；②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；（2）①根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可；②作辅助线，计算BD和BF的长，根据平行线分线段成比例定理可得BM的长，根据线段的差可得结论．‎ ‎{答案}解：（1）①DB＝DG；‎ ‎②BF+BE＝BD，理由如下：‎ 由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，‎ ‎∴△FDG≌△EDB（ASA），‎ ‎∴BE＝FG，‎ ‎∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，‎ Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，‎ ‎∴CD＝CG＝CB，‎ ‎∵DG＝BD＝BC，‎ 即BF+BE＝2BC＝BD；‎ 第19页（共19页）‎ ‎（2）①如图2，BF+BE＝BD，‎ 理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，‎ 由旋转120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，‎ 在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，‎ ‎∴∠DBG＝∠G＝30°，‎ ‎∴DB＝DG，‎ ‎∴△EDB≌△FDG（ASA），‎ ‎∴BE＝FG，‎ ‎∴BF+BE＝BF+FG＝BG，‎ 过点D作DM⊥BG于点M，如图2，‎ ‎∵BD＝DG，‎ ‎∴BG＝2BM，‎ 在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，‎ ‎∴BD＝2DM．‎ 设DM＝a，则BD＝‎2a，‎ DM＝a，‎ ‎∴BG＝‎2‎a，‎ ‎∴，‎ ‎∴BG＝BD，‎ ‎∴BF+BE＝BG＝BD；‎ ‎②过点A作AN⊥BD于N，过D作DP⊥BG于P，如图3，‎ 第19页（共19页）‎ Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，‎ ‎∴AN＝1，BN＝，‎ ‎∴BD＝2BN＝2，‎ ‎∵DC∥BE，‎ ‎∴，‎ ‎∵CM+BM＝2，‎ ‎∴BM＝，‎ Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，‎ ‎∴BP＝3，‎ 由旋转得：BD＝BF，‎ ‎∴BF＝2BP＝6，‎ ‎∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．‎ ‎26．（2019年自贡）如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，3）两点．‎ ‎（1）求抛物线C函数表达式；‎ ‎（2）若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离？若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 第19页（共19页）‎ ‎{解析}（1）利用待定系数法，将A，B的坐标代入y＝ax2+2x+c即可求得二次函数的解析式；‎ ‎（2）过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，求出直线AB的解析式，设点M（a，﹣a2+‎2a+3），则K（a，a+1），利用函数思想求出MK的最大值，再求出△AMB面积的最大值，可推出此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；‎ ‎（3）如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，则可根据BF＝BN，CF＝CN两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可．‎ ‎{答案}解：（1）由题意把点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，‎ 得 解得a＝﹣1，c＝3，‎ ‎∴此抛物线C函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3；‎ ‎（2）如图1，过点M作MH⊥x轴于H，交直线AB于K，‎ 将点（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，‎ 得 解得，k＝1，b＝1，‎ ‎∴yAB＝x+1，‎ 设点M（a，﹣a2+‎2a+3），则K（a，a+1），‎ 则MK＝﹣a2+‎2a+3﹣（a+1）‎ ‎＝﹣（a﹣）2+，‎ 根据二次函数的性质可知，当a＝时，MK有最大长度，‎ ‎∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK ‎＝MK•AH+MK•（xB﹣xH）‎ ‎＝MK•（xB﹣xA）‎ ‎＝××3‎ ‎＝，‎ ‎∴以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，‎ S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；‎ ‎（3）y＝﹣x2+2x+3‎ ‎＝﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴对称轴为直线x＝1，‎ 当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3，‎ ‎∴抛物线与点x轴正半轴交于点C（3，0），‎ 第19页（共19页）‎ 如图2，分别过点B，C作直线y＝的垂线，垂足为N，H，‎ 设抛物线对称轴上存在点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y＝的距离，其中F（1，a），连接BF，CF，‎ 则BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，‎ 由题意可列：‎ 解得，a＝，‎ ‎∴F（1，）．‎ ‎ ‎ 第19页（共19页）‎