鄂尔多斯专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练19直角三角形试题 9页

课时训练(十九)　直角三角形 ‎(限时:40分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·滨州]满足下列条件时,△ABC不是直角三角形的为 (　　)‎ A.AB‎=‎‎41‎,BC=4,AC=5‎ B.AB∶BC∶AC=3∶4∶5‎ C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5‎ D.cosA-‎‎1‎‎2‎+tanB-‎3‎‎3‎2=0‎ ‎2.如图K19-1,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为 (　　)‎ 图K19-1‎ A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km ‎3.[2019·益阳] 已知M,N是线段AB上的两点,AM=MN=2,NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC,BC,则△ABC一定是 (　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ‎4.如图K19-2,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,点D在BC上,∠ADC=2∠B,AD‎=‎‎5‎,则BC的长为 (　　)‎ 图K19-2‎ A.‎3‎-1 B.‎3‎+1‎ C.‎5‎-1 D.‎5‎+1‎ ‎5.数学文化[2019·宁波] 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图 9‎ K19-3①,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出 (　　)‎ 图K19-3‎ A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 ‎6.[2019·宜宾] 如图K19-4,已知Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC=4,BC=3,则AD=　　　　. ‎ 图K19-4‎ ‎7.如图K19-5,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为　　　　. ‎ 图K19-5‎ ‎8.[2017·庆阳] 如图K19-6,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8 cm,BC=6 cm.现将纸片折叠,使点A与点B重合,那么折痕长DE等于　　　　cm. ‎ 图K19-6‎ ‎9.[2019·广元] 如图K19-7,已知:在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD‎=‎‎1‎‎2‎AB,点E,F分别是边BC,AC 9‎ 的中点.求证:DF=BE.‎ 图K19-7‎ ‎|能力提升|‎ ‎10.[2017·温州] 四个全等的直角三角形按如图K19-8所示方式围成正方形ABCD,过各较长直角边的中点作垂线,围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为Rt△ABM的较长直角边,AM=2‎2‎EF,则正方形ABCD的面积为 (　　)‎ 图K19-8‎ A.12S B.10S C.9S D.8S ‎11.[2017·十堰] 如图K19-9,已知圆柱的底面直径BC‎=‎‎6‎π,高AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,则小虫爬行的最短路程为 (　　)‎ 图K19-9‎ A.3‎2‎ B.3‎5‎ C.6‎5‎ D.6‎‎2‎ ‎12.[2019·枣庄] 把两个同样大小含45°的三角尺按如图K19-10所示的方式放置,‎ 9‎ 其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=2,则CD=　　　　. ‎ 图K19-10‎ ‎13.[2019·北京] 如图K19-11所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA=　　　　°(点A,B,P是网格线交点). ‎ 图K19-11‎ ‎14.[2019·门头沟一模] 如图K19-12,一张三角形纸片ABC,其中∠C=90°,AC=6,BC=8.小静同学将纸片做两次折叠:第一次使点A落在C处,折痕记为m;然后将纸片展平做第二次折叠,使点A落在B处,折痕记为n,则m,n的大小关系是　　　　　. ‎ 图K19-12‎ ‎15.(1)问题发现 如图K19-13①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.‎ ‎①∠AEB的度数为　　　　; ‎ ‎②线段AD,BE之间的数量关系是　　　　. ‎ ‎(2)拓展探究 如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A,D,E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.‎ 图K19-13‎ ‎|思维拓展|‎ 9‎ ‎16.如图K19-14,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为 (　　)‎ 图K19-14‎ A.‎3‎‎2‎ B.2 C.‎8‎‎3‎‎13‎ D.‎‎12‎‎13‎‎13‎ ‎17.如图K19-15,在矩形ABCD中,AB=3 cm,BC=4 cm,点E是BC边上的一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处,当△CEB'为直角三角形时,BE的长为　　　　. ‎ 图K19-15‎ 9‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.C　[解析]A中,∵4<5<‎41‎,AC2+BC2=52+42=41,AB2=(‎41‎)2=41,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形;‎ B中,∵AB∶BC∶AC=3∶4∶5,设AB=3k,BC=4k,AC=5k,∵AB2+BC2=(3k)2+(4k)2=25k2,AC2=(5k)2=25k2,∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形;‎ C中,∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴∠A=180°×‎3‎‎12‎=45°,∠B=180°×‎4‎‎12‎=60°,∠C=180°×‎5‎‎12‎=75°,∴△ABC不是直角三角形;‎ D中,∵cosA-‎‎1‎‎2‎+tanB-‎3‎‎3‎2=0,cosA-‎1‎‎2‎≥0,tanB-‎3‎‎3‎2≥0,∴cosA=‎1‎‎2‎,tanB=‎3‎‎3‎,∴∠A=60°,∠B=30°,∴△ABC是直角三角形.故选C.‎ ‎2.D ‎3.B　[解析]如图所示,AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+1=5,‎ ‎∵AC2+BC2=AB2,‎ ‎∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°,故选B.‎ ‎4.D　[解析] ∵∠C=90°,‎ ‎∴DC=AD‎2‎-AC‎2‎‎=‎‎(‎5‎‎)‎‎2‎-‎‎2‎‎2‎=1.‎ ‎∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=2∠B,‎ ‎∴∠B=∠BAD,∴BD=AD=‎5‎.‎ ‎∴BC=‎5‎+1.‎ ‎5.C　[解析]设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影=c2-a2-b2+a(a+b-c),由勾股定理可知,c2=a2+b2,所以S阴影=c2-a2-b2+S重叠=S重叠,即S阴影=S重叠,故选C.‎ ‎6.‎16‎‎5‎　[解析]在Rt△ABC中,AB=AC‎2‎+BC‎2‎=5,由面积公式得‎1‎‎2‎AC×BC=‎1‎‎2‎CD×AB,CD=CA×BCAB‎=‎3×4‎‎5‎=‎‎12‎‎5‎,‎ ‎∴AD=AC‎2‎-CD‎2‎‎=‎4‎‎2‎‎-(‎12‎‎5‎)‎‎ ‎‎2‎=‎‎16‎‎5‎.‎ ‎7.1　[解析] ∵BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,‎ ‎∴BD=CD,∠EDC=90°,∠B=∠BCE.又∵∠B=30°,CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACE=30°.∴∠A=90°,∴AE=ED,又∵BE=2,∴AE=DE=1.‎ 9‎ ‎8.‎15‎‎4‎　[解析] 在Rt△ABC中,因为AC=8 cm,BC=6 cm,根据勾股定理,得AB=10 cm.设CE=x cm.由折叠的性质,得BD=AD=5 cm,BE=AE=(8-x)cm.在Rt△BCE中,根据勾股定理,得BC2+EC2=BE2,即62+x2=(8-x)2.解得x=‎7‎‎4‎.∴AE=AC-EC=‎25‎‎4‎ cm.在Rt△ADE中,DE=AE‎2‎-AD‎2‎‎=‎(‎25‎‎4‎)‎ ‎‎2‎-‎‎5‎‎2‎=‎‎15‎‎4‎(cm).‎ ‎9.证明:连接AE,‎ ‎∵点E,F分别是边BC,AC的中点,‎ ‎∴EF是△ABC的中位线,‎ ‎∴EF∥AB,即EF∥AD,且EF=‎1‎‎2‎AB,‎ 又∵AD=‎1‎‎2‎AB,‎ ‎∴AD=EF,‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形,∴DF=AE.‎ ‎∵在Rt△ABC中,点E是斜边BC的中点,‎ ‎∴AE=‎1‎‎2‎BC=BE,∴BE=DF.‎ ‎10.C　[解析] 设AM=2a,BM=b,则正方形ABCD的面积=4a2+b2.由题意可知,EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b,‎ ‎∵AM=2‎2‎EF,∴2a=2‎2‎b,a=‎2‎b.‎ ‎∵正方形EFGH的面积为S,∴b2=S.‎ ‎∴正方形ABCD的面积为4a2+b2=9b2=9S.‎ ‎11.D　[解析] 把圆柱侧面展开,展开图如图所示,小虫爬行的最短路程为线段AC与AC'的长的和.‎ 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,CB=AB=3,所以AC=3‎2‎.∴从C点爬到A点,然后再沿另一面爬回C点,小虫爬行的最短路程为2AC=6‎2‎.‎ ‎12.‎6‎‎-‎‎2‎　[解析]在等腰直角三角形ABC中,‎ ‎∵AB=2,∴BC=2‎2‎.‎ 过点A作AM⊥BD于点M,‎ 9‎ 则AM=MC=‎1‎‎2‎BC=‎2‎.‎ 在Rt△AMD中,AD=BC=2‎2‎,AM=‎2‎,‎ ‎∴MD=‎6‎,∴CD=MD-MC=‎6‎‎-‎‎2‎.‎ ‎13.45　[解析] 设小正方形的边长为1,延长AP交正方形网格于点Q,连接BQ,如图所示,‎ 经计算得PQ=BQ=‎5‎,PB=‎10‎,‎ ‎∴PQ2+BQ2=PB2,‎ 即△PBQ为等腰直角三角形,‎ ‎∴∠BPQ=45°,‎ ‎∴∠PAB+∠PBA=∠BPQ=45°,‎ 故答案为45.‎ ‎14.m>n　[解析]如图所示,由折叠的性质得:DE是线段AC的垂直平分线,‎ ‎∴DE是△ABC的中位线,‎ ‎∴m=DE=‎1‎‎2‎BC=4.‎ ‎∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB=AC‎2‎+BC‎2‎=10,由折叠的性质得:AD=BD=‎1‎‎2‎AB=5,∠BDF=90°,‎ ‎∵∠B=∠B,∴△BDF∽△BCA,∴DFAC‎=‎BDBC,‎ 即DF‎6‎‎=‎‎5‎‎8‎,解得:DF=‎15‎‎4‎,即n=‎15‎‎4‎,∴m>n.‎ 故答案为:m>n.‎ ‎15.解:(1)①60°　②AD=BE ‎(2)∠AEB=90°,AE=2CM+BE.理由:‎ ‎∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,‎ ‎∠ACB=∠DCE=90°,∴AC=BC,CD=CE.‎ 又∵∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB,‎ 9‎ ‎∴∠ACD=∠BCE.∴△ACD≌△BCE.‎ ‎∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°.‎ ‎∴∠AEB=∠BEC-∠CED=135°-45°=90°.‎ 在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,‎ ‎∴CM=DM=ME.∴DE=2CM.‎ ‎∴AE=DE+AD=2CM+BE.‎ ‎16.B　[解析] ∵∠ABC=90°,‎ ‎∴∠ABP+∠PBC=90°.‎ ‎∵∠PAB=∠PBC,‎ ‎∴∠BAP+∠ABP=90°.‎ ‎∴∠APB=90°.∴点P在以AB为直径的☉O(△ABC内部的一段弧)上.‎ 如图,连接OC,交☉O于点P,此时PC最小.‎ 在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,‎ ‎∴OC=BO‎2‎+BC‎2‎=5.‎ ‎∴PC=OC-OP=5-3=2.‎ ‎∴PC的最小值为2.故选B.‎ ‎17.3或‎3‎‎2‎　[解析] ①当∠EB'C=90°时,由题可知∠ABE=∠AB'E=90°,则A,B',C在同一直线上,即点B'在对角线AC上.‎ 设BE=x,则B'E=x.‎ 由AB=3,BC=4,得AC=5.‎ ‎∴CE=4-x,B'C=AC-AB'=2.‎ 在Rt△EB'C中,CE2=B'C2+B'E2,即(4-x)2=22+x2,解得x=‎3‎‎2‎.‎ ‎②当∠B'CE=90°时,点B'落在CD上,AB=AB'=3,此时在Rt△ADB'中,斜边AB'=3,直角边AD=4,因此这种情况不成立.‎ ‎③当∠B'EC=90°时,B'落在AD上,此时四边形ABEB'是正方形,所以AB=BE=3.‎ 综上所述,当△CEB'为直角三角形时,BE的长为3或‎3‎‎2‎.‎ 9‎