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- 2021-11-11 发布
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例析二次函数与一元二次方程的转化
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)密切相关,当函数值y=0时,可得到一元二次方程ax2+bx+c=0.从图象上看,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
对于二次函数y=ax2+bx+c的图象和一元二次方程ax2+bx+c=0:当图象与x轴有一个公共点时,方程有两个相等实数根,即Δ=b2-4ac=0;当图象与x轴有两个公共点时,方程有两个不等的实数根,即Δ=b2-4ac>0;当图象与x轴没有公共点时,方程没有实数根,即 Δ=b2-4ac<0.
例1 (2016•宿迁)若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则方程ax2-2ax+c=0的解为( )
A. x1=-3,x2=-1 B.x1=1,x2=3 C.x1=-1,x2=3 D.x1=-3,x2=1
解析:∵二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),
∴方程ax2-2ax+c=0一定有一个解为x=-1,
∵抛物线的对称轴是x=-=1,
∴二次函数y=ax2-2ax+c的图象与x轴的另一个交点为:(3,0).
∴方程ax2-2ax+c=0的解为x1=-1,x2=3.
故选C.
例2(2016•徐州)若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,则m的取值范围是______.
解析:∵二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没有公共点,
∴方程x2+2x+m=0没有实数根.
∴=22-4×1×m<0,解得m>1.
例3(2015•南通)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a的取值范围是__________
解析:∵关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根,
∴=(-3)2-4×a×(-1)>0,解得a>−.
设y=ax2-3x-1,如图,
∵实数根都在-1和0之间,
∴-1<−<0,解得a<−.
当x=-1时,y<0,即a×(-1)2-3×(-1)-1<0. 解得a<-2.
综上可得−<a<-2.
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