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- 2021-11-11 发布
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2018年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项
1.(3分)计算﹣﹣|﹣3|的结果是( )
A.﹣1 B.﹣5 C.1 D.5
2.(3分)如图,是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
3.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x>0 C.x≥1 D.x>1
4.(3分)下列事件中,属于不可能事件的是( )
A.某个数的绝对值大于0
B.某个数的相反数等于它本身
C.任意一个五边形的外角和等于540°
D.长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形
5.(3分)如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,那么的值是( )
A. B. C.1 D.3
6.(3分)一组数据1,3,4,4,4,5,5,6的众数和方差分别是( )
A.4,1 B.4,2 C.5,1 D.5,2
7.(3分)如图,在△ABC中,AB=2,BC=4,∠ABC=30°,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点D,则图中阴影部分的面积是( )
A.2﹣ B.2﹣ C.4﹣ D.4﹣
8.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为( )
A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°
9.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
10.(3分)已知下列命题:
①若a3>b3,则a2>b2;
②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>﹣2;
③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c;
④周长相等的所有等腰直角三角形全等.
其中真命题的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
11.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C.若∠BOC=∠BCO,则k的值为( )
A. B. C. D.2
12.(3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分,共24分.
13.(3分)若a﹣3b=2,3a﹣b=6,则b﹣a的值为 .
14.(3分)不等式组的非负整数解有 个.
15.(3分)从﹣2,﹣1,1,2四个数中,随机抽取两个数相乘,积为大于﹣4小于2的概率是 .
16.(3分)化简:÷(﹣1)= .
17.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 度.
18.(3分)如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为 .
19.(3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为E.若双曲线y=(x>0)经过点D,则OB•BE的值为 .
20.(3分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:
①△ACE≌△BCD;
②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;
③DE2=2CF•CA;
④若AB=3,AD=2BD,则AF=.
其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题:本大题共有6小题,共60分.请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程
21.(8分)某公司招聘职员两名,对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试,各项成绩满分均为100分,然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩(满分为100分).
他们的各项成绩如下表所示:
候选人
笔试成绩/分
面试成绩/分
甲
90
88
乙
84
92
丙
x
90
丁
88
86
(1)直接写出这四名候选人面试成绩的中位数;
(2)现得知候选人丙的综合成绩为87.6分,求表中x的值;
(3)求出其余三名候选人的综合成绩,并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选.
22.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且∠BDE=15°,DE=4,DC=2.
(1)求BE的长;
(2)求四边形DEBC的面积.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
23.(10分)某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.
(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元?
(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?
24.(10分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆交AB于点D,BA的延长线交⊙A于点E,连接CE,CD,F是⊙A上一点,点F与点C位于BE两侧,且∠FAB=∠ABC,连接BF.
(1)求证:∠BCD=∠BEC;
(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sin∠ABF的值.
25.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E是AD上的一个动点.
(1)如图1,连接BD,O是对角线BD的中点,连接OE.当OE=DE时,求AE的长;
(2)如图2,连接BE,EC,过点E作EF⊥EC交AB于点F,连接CF,与BE交于点G.当BE平分∠ABC时,求BG的长;
(3)如图3,连接EC,点H在CD上,将矩形ABCD沿直线EH折叠,折叠后点D落在EC上的点D'处,过点D′作D′N⊥AD于点N,与EH交于点M,且AE=1.
①求的值;
②连接BE,△D'MH与△CBE是否相似?请说明理由.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
(3)取点G(0,﹣1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2018年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共有12小题,每小题3分,共36分.每小题只有一个正确选项
1.(3分)计算﹣﹣|﹣3|的结果是( )
A.﹣1 B.﹣5 C.1 D.5
【分析】原式利用算术平方根定义,以及绝对值的代数意义计算即可求出值.
【解答】解:原式=﹣2﹣3=﹣5,
故选:B.
2.(3分)如图,是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图,其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数,则这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【分析】由俯视图知该几何体共2列,其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形,第2列只有前排2个正方形,据此可得.
【解答】解:由俯视图知该几何体共2列,其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形,第2列只有前排2个正方形,
所以其主视图为:
故选:C.
3.(3分)函数y=中,自变量x的取值范围是( )
A.x≠1 B.x>0 C.x≥1 D.x>1
【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.
【解答】解:由题意得,x﹣1≥0且x﹣1≠0,
解得x>1.
故选:D.
4.(3分)下列事件中,属于不可能事件的是( )
A.某个数的绝对值大于0
B.某个数的相反数等于它本身
C.任意一个五边形的外角和等于540°
D.长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形
【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案.
【解答】解:A、某个数的绝对值大于0,是随机事件,故此选项错误;
B、某个数的相反数等于它本身,是随机事件,故此选项错误;
C、任意一个五边形的外角和等于540°,是不可能事件,故此选项正确;
D、长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形,是必然事件,故此选项错误.
故选:C.
5.(3分)如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,那么的值是( )
A. B. C.1 D.3
【分析】根据同类项:所含字母相同,并且相同字母的指数也相同,可得出a、b的值,然后代入求值.
【解答】解:∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项,
∴a+1=2,b﹣1=1,
解得a=1,b=2.
∴=.
故选:A.
6.(3分)一组数据1,3,4,4,4,5,5,6的众数和方差分别是( )
A.4,1 B.4,2 C.5,1 D.5,2
【分析】根据题目中的数据可以直接写出众数,求出相应的平均数和方差,从而可以解答本题.
【解答】解:数据1,3,4,4,4,5,5,6的众数是4,
,
则=2,
故选:B.
7.(3分)如图,在△ABC中,AB=2,BC=4,∠ABC=30°,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交BC于点D,则图中阴影部分的面积是( )
A.2﹣ B.2﹣ C.4﹣ D.4﹣
【分析】过A作AE⊥BC于E,依据AB=2,∠ABC=30°,即可得出AE=AB=1,再根据公式即可得到,阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣.
【解答】解:如图,过A作AE⊥BC于E,
∵AB=2,∠ABC=30°,
∴AE=AB=1,
又∵BC=4,
∴阴影部分的面积是×4×1﹣=2﹣,
故选:A.
8.(3分)如图,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为( )
A.17.5° B.12.5° C.12° D.10°
【分析】由AB=AC知∠B=∠C,据此得2∠C+∠BAC=180°,结合∠C+∠BAC=145°可知∠C=35°,根据∠DAE=90°、AD=AE知∠AED=45°,利用∠EDC=∠AED﹣∠C可得答案.
【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠B+∠C+∠BAC=2∠C+∠BAC=180°,
又∵∠C+∠BAC=145°,
∴∠C=35°,
∵∠DAE=90°,AD=AE,
∴∠AED=45°,
∴∠EDC=∠AED﹣∠C=10°,
故选:D.
9.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根,m为正整数,且该方程的根都是整数,则符合条件的所有正整数m的和为( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0,即可得出m≤3,由m为正整数结合该方程的根都是整数,即可求出m的值,将其相加即可得出结论.
【解答】解:∵a=1,b=2,c=m﹣2,关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4(m﹣2)=12﹣4m≥0,
∴m≤3.
∵m为正整数,且该方程的根都是整数,
∴m=2或3.
∴2+3=5.
故选:B.
10.(3分)已知下列命题:
①若a3>b3,则a2>b2;
②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>﹣2;
③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c;
④周长相等的所有等腰直角三角形全等.
其中真命题的个数是( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【分析】依据a,b的符号以及绝对值,即可得到a2>b2不一定成立;依据二次函数y=x2﹣2x﹣1图象的顶点坐标以及对称轴的位置,即可得y1>y2>﹣2;依据a∥b,b⊥c,即可得到a∥c;依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等,即可得到它们全等.
【解答】解:①若a3>b3,则a2>b2不一定成立,故错误;
②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>﹣2,故正确;
③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a⊥c,故错误;
④周长相等的所有等腰直角三角形全等,故正确.
故选:C.
11.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l1:y=﹣x+1与x轴,y轴分别交于点A和点B,直线l2:y=kx(k≠0)与直线l1在第一象限交于点C.若∠BOC=∠BCO,则k的值为( )
A. B. C. D.2
【分析】利用直线l1:y=﹣x+1,即可得到A(2,0)B(0,1),AB==3,过C作CD⊥OA于D,依据CD∥BO,可得OD=AO=,CD=BO=,进而得到C(,),代入直线l2:y=kx,可得k=.
【解答】解:直线l1:y=﹣x+1中,令x=0,则y=1,令y=0,则x=2,
即A(2,0)B(0,1),
∴Rt△AOB中,AB==3,
如图,过C作CD⊥OA于D,
∵∠BOC=∠BCO,
∴CB=BO=1,AC=2,
∵CD∥BO,
∴OD=AO=,CD=BO=,
即C(,),
把C(,)代入直线l2:y=kx,可得
=k,
即k=,
故选:B.
12.(3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=90°,E为BC的中点,AE与BD相交于点F.若BC=4,∠CBD=30°,则DF的长为( )
A. B. C. D.
【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求出BD,再利用直角三角形的性质求出DE=BE=2,即:∠BDE=∠ABD,进而判断出DE∥AB,再求出AB=3,即可得出结论.
【解答】解:如图,
在Rt△BDC中,BC=4,∠DBC=30°,
∴BD=2,
连接DE,
∵∠BDC=90°,点D是BC中点,
∴DE=BE=CEBC=2,
∵∠DCB=30°,
∴∠BDE=∠DBC=30°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC,
∴∠ABD=∠BDE,
∴DE∥AB,
∴△DEF∽△BAF,
∴,
在Rt△ABD中,∠ABD=30°,BD=2,
∴AB=3,
∴,
∴,
∴DF=BD=×2=,
故选:D.
二、填空题:本大题共有8小题,每小题3分,共24分.
13.(3分)若a﹣3b=2,3a﹣b=6,则b﹣a的值为 ﹣2 .
【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8,再两边都除以2得出a﹣b的值,继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案.
【解答】解:由题意知,
①+②,得:4a﹣4b=8,
则a﹣b=2,
∴b﹣a=﹣2,
故答案为:﹣2.
14.(3分)不等式组的非负整数解有 4 个.
【分析】首先正确解不等式组,根据它的解集写出其非负整数解.
【解答】解:解不等式2x+7>3(x+1),得:x<4,
解不等式x﹣≤,得:x≤8,
则不等式组的解集为x<4,
所以该不等式组的非负整数解为0、1、2、3这4个,
故答案为:4.
15.(3分)从﹣2,﹣1,1,2四个数中,随机抽取两个数相乘,积为大于﹣4小于2的概率是 .
【分析】列表得出所有等可能结果,从中找到积为大于﹣4小于2的结果数,根据概率公式计算可得.
【解答】解:列表如下:
﹣2
﹣1
1
2
﹣2
2
﹣2
﹣4
﹣1
2
﹣1
﹣2
1
﹣2
﹣1
2
2
﹣4
﹣2
2
由表可知,共有12种等可能结果,其中积为大于﹣4小于2的有6种结果,
∴积为大于﹣4小于2的概率为=,
故答案为:.
16.(3分)化简:÷(﹣1)= ﹣ .
【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则计算可得.
【解答】解:原式=÷(﹣)
=÷
=•
=﹣,
故答案为:﹣.
17.(3分)如图,AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的切线与BA的延长线交于点D,点E在上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若∠D=40°,则∠BEC= 115 度.
【分析】连接OC,根据切线的性质求出∠DCO,求出∠COB,即可求出答案.
【解答】解:
连接OC,
∵DC切⊙O于C,
∴∠DCO=90°,
∵∠D=40°,
∴∠COB=∠D+∠DCO=130°,
∴的度数是130°,
∴的度数是360°﹣130°=230°,
∴∠BEC==115°,
故答案为:115.
18.(3分)如图,在▱ABCD中,AC是一条对角线,EF∥BC,且EF与AB相交于点E,与AC相交于点F,3AE=2EB,连接DF.若S△AEF=1,则S△ADF的值为 .
【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a,根据EF∥BC得=()2=,结合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,继而根据S△ADF=S△ADC可得答案.
【解答】解:∵3AE=2EB,
∴可设AE=2a、BE=3a,
∵EF∥BC,
∴△AEF∽△ABC,
∴=()2=()2=,
∵S△AEF=1,
∴S△ABC=,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴S△ADC=S△ABC=,
∵EF∥BC,
∴===,
∴==,
∴S△ADF=S△ADC=×=,
故答案为:.
19.(3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的方向为坐标轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BE⊥AC,垂足为E.若双曲线y=(x>0)经过点D,则OB•BE的值为 3 .
【分析】由双曲线y=(x>0)经过点D知S△ODF=k=,由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=,据此可得OA•BE=3,根据OA=OB可得答案.
【解答】解:如图,
∵双曲线y=(x>0)经过点D,
∴S△ODF=k=,
则S△AOB=2S△ODF=,即OA•BE=,
∴OA•BE=3,
∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB,
∴OB•BE=3,
故答案为:3.
20.(3分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:
①△ACE≌△BCD;
②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;
③DE2=2CF•CA;
④若AB=3,AD=2BD,则AF=.
其中正确的结论是 ①②③ .(填写所有正确结论的序号)
【分析】先判断出∠BCD=∠ACE,即可判断出①正确;
先求出∠BDC=110°,进而得出∠AEC=110°,即可判断出②正确;
先判断出∠CAE=∠CEF,进而得出△CEF∽△CAE,即可得出CE2=CF•AC,最后用勾股定理即可得出③正确;
先求出BC=AC=3,再求出BD=,进而求出CE=CD=,求出CF=,即可判断出④错误.
【解答】解:∵∠ACB=90°,
由旋转知,CD=CE,∠DCE=90°=∠ACB,
∴∠BCD=∠ACE,
在△BCD和△ACE中,,
∴△BCD≌△ACE,故①正确;
∵∠ACB=90°,BC=AC,
∴∠B=45°
∵∠BCD=25°,
∴∠BDC=180°﹣45°﹣25°=110°,
∵△BCD≌△ACE,
∴∠AEC=∠BDC=110°,
∵∠DCE=90°,CD=CE,
∴∠CED=45°,
则∠AED=∠AEC﹣∠CED=65°,故②正确;
∵△BCD≌△ACE,
∴∠CAE=∠CBD=45°=∠CEF,
∵∠ECF=∠ACE,
∴△CEF∽△CAE,
∴,
∴CE2=CF•AC,
在等腰直角三角形CDE中,DE2=2CE2=2CF•AC,故③正确;
如图,过点D作DG⊥BC于G,
∵AB=3,
∴AC=BC=3,
∵AD=2BD,
∴BD=AB=,
∴DG=BG=1,
∴CG=BC﹣BG=3﹣1=2,
在Rt△CDG中,根据勾股定理得,CD==,
∵△BCD≌△ACE,
∴CE=,
∵CE2=CF•AC,
∴CF==,
∴AF=AC﹣CF=3﹣=,故④错误,
故答案为:①②③.
三、解答题:本大题共有6小题,共60分.请写出必要的文字说明、计算过程或推理过程
21.(8分)某公司招聘职员两名,对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试,各项成绩满分均为100分,然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩(满分为100分).
他们的各项成绩如下表所示:
候选人
笔试成绩/分
面试成绩/分
甲
90
88
乙
84
92
丙
x
90
丁
88
86
(1)直接写出这四名候选人面试成绩的中位数;
(2)现得知候选人丙的综合成绩为87.6分,求表中x的值;
(3)求出其余三名候选人的综合成绩,并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选.
【分析】(1)根据中位数的概念计算;
(2)根据题意列出方程,解方程即可;
(3)根据加权平均数的计算公式分别求出余三名候选人的综合成绩,比较即可.
【解答】解:(1)这四名候选人面试成绩的中位数为:=89(分);
(2)由题意得,x×60%+90×40%=87.6
解得,x=86,
答:表中x的值为86;
(3)甲候选人的综合成绩为:90×60%+88×40%=89.2(分),
乙候选人的综合成绩为:84×60%+92×40%=87.2(分),
丁候选人的综合成绩为:88×60%+86×40%=87.2(分),
∴以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙.
22.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠
ABC=90°,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且∠BDE=15°,DE=4,DC=2.
(1)求BE的长;
(2)求四边形DEBC的面积.
(注意:本题中的计算过程和结果均保留根号)
【分析】(1)解直角三角形求出AD、AE即可解决问题;
(2)作DF⊥BC于F.则四边形ABFD是矩形,解直角三角形求出CF,即可解决问题;
【解答】解:(1)在四边形ABCD中,∵AD∥BC,∠ABC=90°,
∴∠BAD=90°,
∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB=45°,
∵∠BDE=15°,
∴∠ADE=30°,
在Rt△ADE中,AE=DE×sin30=2,AD=DE•cos30°=6,
∴AB=AD=6,
∴BE=6﹣2.
(2)作DF⊥BC于F.则四边形ABFD是矩形,
∴BF=AD=6,DF=AB=6,
在Rt△DFC中,FC==4,
∴BC=6+4,
∴S四边形DEBC=S△DEB+S△BCD=×(6﹣2)×6+(6+4)×6=36+6.
23.(10分)某商店以固定进价一次性购进一种商品,3月份按一定售价销售,销售额为2400元,为扩大销量,减少库存,4月份在3月份售价基础上打9折销售,结果销售量增加30件,销售额增加840元.
(1)求该商店3月份这种商品的售价是多少元?
(2)如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元,那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元?
【分析】(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元,则4月份这种商品的售价为0.9x元,根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件,即可得出关于x的分式方程,解之经检验即可得出结论;
(2)设该商品的进价为y元,根据销售利润=每件的利润×销售数量,即可得出关于y的一元一次方程,解之即可得出该商品的进价,再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量,即可求出结论.
【解答】解:(1)设该商店3月份这种商品的售价为x元,则4月份这种商品的售价为0.9x元,
根据题意得:=﹣30,
解得:x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解.
答:该商店3月份这种商品的售价是40元.
(2)设该商品的进价为y元,
根据题意得:(40﹣a)×=900,
解得:a=25,
∴(40×0.9﹣25)×=990(元).
答:该商店4月份销售这种商品的利润是990元.
24.(10分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC长为半径的圆交AB于点D,BA的延长线交⊙A于点E,连接CE,CD,F是⊙
A上一点,点F与点C位于BE两侧,且∠FAB=∠ABC,连接BF.
(1)求证:∠BCD=∠BEC;
(2)若BC=2,BD=1,求CE的长及sin∠ABF的值.
【分析】(1)先利用等角的余角相等即可得出结论;
(2)先判断出△BDC∽△BCE得出比例式求出BE=4,DE=3,利用勾股定理求出CD,CE,再判断出△AFM∽△BAC,进而判断出四边形FNCA是矩形,求出FN,NC,即:BN,再用勾股定理求出BF,即可得出结论.
【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,
∴∠BCD+∠ACD=90°,
∵DE是⊙A的直径,
∴∠DCE=90°,
∴∠BEC+∠CDE=90°,
∵AD=AC,
∴∠CDE=∠ACD,
∴∠BCD=∠BEC,
(2)∵∠BCD=∠BEC,∠EBC=∠EBC,
∴△BDC∽△BCE,
∴,
∵BC=2,BD=1,
∴BE=4,EC=2CD,
∴DE=BE﹣BD=3,
在Rt△DCE中,DE2=CD2+CE2=9,
∴CD=,CE=,
过点F作FM⊥AB于M,
∵∠FAB=∠ABC,∠FMA=∠ACB=90°,
∴△AFM∽△BAC,
∴,
∵DE=3,
∴AD=AF=AC=,AB=,
∴FM=,
过点F作FN⊥BC于N,
∴∠FNC=90°,
∵∠FAB=∠ABC,
∴FA∥BC,
∴∠FAC=∠ACB=90°,
∴四边形FNCA是矩形,
∴FN=AC=,NC=AF=,
∴BN=,
在Rt△FBN中,BF=,
在Rt△FBM中,sin∠ABF=.
25.(12分)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,E是AD上的一个动点.
(1)如图1,连接BD,O是对角线BD的中点,连接OE.当OE=DE时,求AE的长;
(2)如图2,连接BE,EC,过点E作EF⊥EC交AB于点F,连接CF,与BE交于点G.当BE平分∠ABC时,求BG的长;
(3)如图3,连接EC,点H在CD上,将矩形ABCD沿直线EH折叠,折叠后点D落在EC上的点D'处,过点D′作D′N⊥AD于点N,与EH交于点M,且AE=1.
①求的值;
②连接BE,△D'MH与△CBE是否相似?请说明理由.
【分析】(1)先求出BD,进而求出OD=OB=OA,再判断出△ODE∽△ADO,即可得出结论;
(2)先判断出△AEF≌△DCE,进而求出BF=1,再判断出△CHG∽△CBF,进而求出BK=GK=,最后用勾股定理即可得出结论;
(3)①先求出EC=5,再求出D'C=1,根据勾股定理求出DH=,CH=,再判断出△EMN∽△EHD,的粗,△ED'M∽△ECH,得出,进而得出,即可得出结论;
②先判断出∠MD'H=∠NED',进而判断出∠MD'H=∠ECB,即可得出,即可.
【解答】解:(1)如图1,连接OA,在矩形ABCD中,CD=AB=3,AD=BC=5,∠BAD=90°
在Rt△ABD中,根据勾股定理得,BD=,
∵O是BD中点,
∴OD=OB=OA=,
∴∠OAD=∠ODA,
∵OE=DE,
∴∠EOD=∠ODE,
∴∠EOD=∠ODE=∠OAD,
∴△ODE∽△ADO,
∴,∴DO2=DE•DA,
∴设AE=x,
∴DE=5﹣x,
∴()2=5(5﹣x),
∴x=,
即:AE=;
(2)如图2,在矩形ABCD中,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC=45°,
∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=3,
∴AE=CD=3,
∵EF⊥EC,
∴∠FEC=90°,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∵∠A=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°,
∴∠CED=∠AFE,
∵∠D=∠A=90°,
∴△AEF≌△DCE,
∴AF=DE=2,
∴BF=AB﹣AF=1,
过点G作GK⊥BC于K,
∴∠EBC=∠BGK=45°,
∴BK=GK,∠ABC=∠GKC=90°,
∵∠KCG=∠BCF,
∴△CKG∽△CBF,
∴,
设BK=GK=y,
∴CK=5﹣y,
∴y=,
∴BK=GK=,
在Rt△GKB中,BG=;
(3)①在矩形ABCD中,∠D=90°,
∵AE=1,AD=5,
∴DE=4,
∵DC=3,
∴EC=5,
由折叠知,ED'=ED=4,D'H=DH,∠ED'H=∠D=90°,
∴D'C=1,
设D'H=DH=z,
∴HC=3﹣z,
根据勾股定理得,(3﹣z)2=1+z2,
∴z=,
∴DH=,CH=,
∵D'N⊥AD,
∴∠AND'=∠D=90°,
∴D'N∥DC,
∴△EMN∽△EHD,
∴,
∵D'N∥DC,
∴∠ED'M=∠ECH,
∵∠MED'=∠HEC,
∴△ED'M∽△ECH,
∴,
∴,
∴,
∴;
②相似,理由:由折叠知,∠EHD'=∠EHD,∠ED'H=∠D=90°,
∴∠MD'H+∠ED'N=90°,
∵∠END'=90°,
∴∠ED'N+∠NED'=90°,
∴∠MD'H=∠NED',
∵D'N∥DC,
∴∠EHD=∠D'MH,
∴∠EHD'=∠D'MH,
∴D'M=D'H,
∵AD∥BC,
∴∠NED'=∠ECB,
∴∠MD'H=∠ECB,
∵CE=CB=5,
∴,
∴△D'MH∽△CBE.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,直线l经过A,C两点,连接BC.
(1)求直线l的解析式;
(2)若直线x=m(m<0)与该抛物线在第三象限内交于点E,与直线l交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;
(3)取点G(0,﹣1),连接AG,在第一象限内的抛物线上,是否存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】(1)根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标,从而可以求得直线l的函数解析式;
(2)根据题意作出合适的辅助线,利用三角形相似和勾股定理可以解答本题;
(3)根据题意画出相应的图形,然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB,然后根据题目中的条件和图形,利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题.
【解答】解:(1)∵抛物线y=x2+x﹣2,
∴当y=0时,得x1=1,x2=﹣4,当x=0时,y=﹣2,
∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
∴点A的坐标为(﹣4,0),点B(1,0),点C(0,﹣2),
∵直线l经过A,C两点,设直线l的函数解析式为y=kx+b,
,得,
即直线l的函数解析式为y=;
(2)直线ED与x轴交于点F,如右图1所示,
由(1)可得,
AO=4,OC=2,∠AOC=90°,
∴AC=2,
∴OD=,
∵OD⊥AC,OA⊥OC,∠OAD=∠CAO,
∴△AOD∽△ACO,
∴,
即,得AD=,
∵EF⊥x轴,∠ADC=90°,
∴EF∥OC,
∴△ADF∽△ACO,
∴,
解得,AF=,DF=,
∴OF=4﹣=,
∴m=﹣,
当m=﹣时,y=×()2+×(﹣)﹣2=﹣,
∴EF=,
∴DE=EF﹣FD=;
(3)存在点P,使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG,
理由:作GM⊥AC于点M,作PN⊥x轴于点N,如右图2所示,
∵点A(﹣4,0),点B(1,0),点C(0,﹣2),
∴OA=4,OB=1,OC=2,
∴tan∠OAC=,tan∠OCB=,AC=2,
∴∠OAC=∠OCB,
∵∠BAP=∠BCO﹣∠BAG,∠GAM=∠OAC﹣∠BAG,
∴∠BAP=∠GAM,
∵点G(0,﹣1),AC=2,OA=4,
∴OG=1,GC=1,
∴AG=,,即,
解得,GM=,
∴AM===,
∴tan∠GAM==,
∴tan∠PAN=,
设点P的坐标为(n,n2+n﹣2),
∴AN=4+n,PN=n2+n﹣2,
∴,
解得,n1=,n2=﹣4(舍去),
当n=时,n2+n﹣2=,
∴点P的坐标为(,),
即存在点P(,),使∠BAP=∠BCO﹣∠BAG.
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