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  • 2021-11-11 发布

2008年数学中考试题分类汇编(函数与几何图形1)

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‎2008年中考试卷分类---函数与几何图形 1. 如图,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠A=90°,AB=28cm,DC=24cm,AD=4cm,点M从点D出发,以1cm/s的速度向点C运动,点N从点B同时出发,以2cm/s的速度向点A运动,当其中一个动点到达端点停止运动时,另一个动点也随之停止运动.则四边形AMND的面积y(cm2)与两动点运动的时间t(s)的函数图象大致是( D )‎ 2. 如图,已知正三角形ABC的边长为1,E、F、G分别是AB、BC、CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数的图象大致是( C )‎ 3. ‎(潍坊)如图,圆B切y轴于原点O,过定点作圆B切线交圆于点P.已知,抛物线C经过A,P两点.(1)求圆B的半径;(2)若抛物线C经过点B,求其解析式;(3)投抛物线交y轴于点M,若三角形APM为直角三角形,求点M的坐标.‎ ‎ ‎ 4. ‎(威海)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点M,N分别在边AD,BC上运动,并保持MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为E,F.(1)求梯形ABCD的面积; (2)求四边形MEFN面积的最大值. (3)试判断四边形MEFN能否为正方形,若能,求出正方形MEFN的面积;若不能,请说明理由.‎ ‎ 解:(1)分别过D,C两点作DG⊥AB于点G,CH⊥AB于点H. ‎ ‎∵ AB∥CD, ∴ DG=CH,DG∥CH. ‎ ‎∴ 四边形DGHC为矩形,GH=CD=1. ‎ C D A B E F N M G H ‎∵ DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°,‎ ‎∴ △AGD≌△BHC(HL). ‎ ‎∴ AG=BH==3. ………2分 ‎ ‎∵ 在Rt△AGD中,AG=3,AD=5, ‎ ‎∴ DG=4. ∴ . ‎ C D A B E F N M G H ‎(2)∵ MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB, ‎ ‎∴ ME=NF,ME∥NF. ∴ 四边形MEFN为矩形. ‎ ‎∵ AB∥CD,AD=BC, ∴ ∠A=∠B. ‎ ‎∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, ‎ ‎∴ △MEA≌△NFB(AAS).∴ AE=BF. ‎ 设AE=x,则EF=7-2x. ‎ ‎∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°, ‎ ‎∴ △MEA∽△DGA.∴ .∴ ME=. ‎ ‎∴ . ‎ 当x=时,ME=<4,∴四边形MEFN面积的最大值为. ‎ ‎(3)能. 由(2)可知,设AE=x,则EF=7-2x,ME=. ‎ 若四边形MEFN为正方形,则ME=EF. 即 7-2x.解,得 . ‎ ‎∴ EF=<4. ‎ ‎∴ 四边形MEFN能为正方形,其面积为.‎ 1. ‎(青岛)已知:如图①,在RtΔABC中,∠C=900,AC=4cm,BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,速度为1cm/s;点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,速度为2cm/s;连接PQ.若设运动的时间为t(s)(01的常数),设过Q、R两点,且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N,其顶点为M,记△QNM的面积为S△QNM,△QNR的面积S△QNR,求S△QNM:S△QNR的值. ‎ 2. ‎(重庆)已知:如图,抛物线y=ax2-2ax+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A、B,点A的坐标为(4,0)。(1)求该抛物线的解析式;(2)点Q是线段AB上的动点,过点Q作QE∥AC,交BC于点E,连接CQ。当ΔCQE的面积最大时,求点Q的坐标;(3)若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为(2,0)。问:是否存在这样的直线,使得△ODF是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。‎ 3. ‎(东营)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?‎ 解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ‎ A B C M N P 图 1‎ O ‎ ∴ △AMN ∽ △ABC.‎ ‎∴ ,即.‎ ‎∴ AN=x. ‎ ‎∴ =.(0<<4) ‎ A B C M N D 图 2‎ O Q ‎(2)如图2,设直线BC与⊙O相切于点D,连结AO,OD,则AO =OD =MN.‎ 在Rt△ABC中,BC ==5.‎ ‎ 由(1)知 △AMN ∽ △ABC. ‎ ‎∴ ,即. ‎ ‎∴ ,∴ . ‎ 过M点作MQ⊥BC 于Q,则. 在Rt△BMQ与Rt△BCA中,∠B是公共角,‎ ‎∴ △BMQ∽△BCA.∴ .∴ ,. ‎ ‎∴ x=. ∴ 当x=时,⊙O与直线BC相切. ‎ A B C M N P 图 3‎ O ‎(3)随点M的运动,当P点落在直线BC上时,连结AP,则O点为AP的中点.‎ ‎∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC.‎ ‎∴ △AMO ∽ △ABP. ‎ ‎∴ . AM=MB=2. ‎ 故以下分两种情况讨论: ‎ ‎① 当0<≤2时,. ‎ ‎∴ 当=2时, ‎ ‎② 当2<<4时,设PM,PN分别交BC于E,F.‎ A B C M N P 图 4‎ O E F ‎∵ 四边形AMPN是矩形, ‎ ‎∴ PN∥AM,PN=AM=x. ‎ 又∵ MN∥BC, ‎ ‎∴ 四边形MBFN是平行四边形. ‎ ‎∴ FN=BM=4-x. ‎ ‎∴ . ‎ 又△PEF ∽ △ACB. ‎ ‎∴ .∴=.‎ 当2<<4时,. ‎ ‎∴ 当时,满足2<<4,. ‎ 综上所述,当时,值最大,最大值是2.‎ 1. ‎(上海)正方形ABCD的边长为2,E是射线CD上的动点(不与点D重合),直线AE交直线BC于点G,∠BAE的平分线交射线BC于点O.(1)如图8,当CE=时,求线段BG的长;(2)当点O在线段BC上时,设,BO=y,求y关于x的函数解析式;(3)当CE=2ED时,求线段BO的长.‎ ‎ 解:(1)在边长为2的正方形中,,得,‎ 又∵,即,∴,得. ‎ ‎∵,∴; ‎ ‎(2)当点在线段上时,过点作,垂足为点,‎ ‎∵为的角平分线,,∴. ‎ 在正方形中,,∴.‎ ‎∵,∴. ‎ 又∵,,得.‎ ‎∵在Rt△ABG中,,,,‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵,即,得,;‎ ‎(3)当时,‎ ‎①当点在线段上时,即,由(2)得; ‎ ‎②当点在线段延长线上时,‎ ‎,,在 Rt△ADE中,.‎ 设交线段于点,∵是的平分线,即,‎ 又∵,∴.∴.‎ ‎∴.∴. ‎ ‎∵,∴,即,得.‎ 2. ‎(中山)如图11,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR中,∠QPR=120°,底边QR=6cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线 l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米。(1)当t=4时,求S的值;(2)当4≤t≤10,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值。‎ ‎ (1)t=4时,Q与B重合,P与D重合,‎ 重合部分是=‎ 1. 如图:抛物线经过A(-3,0)、B(0,4)、C(4,0)三点. (1) 求抛物线的解析式. (2)已知AD = AB(D在线段AC上),有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动;同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动,经过t 秒的移动,线段PQ被BD垂直平分,求t的值; (3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点M,使MQ+MC的值最小?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.‎ ‎ (1)解法一:设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)‎ ‎ 因为B(0,4)在抛物线上,所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3‎ ‎ 所以抛物线解析式为 解法二:设抛物线的解析式为,‎ 依题意得:c=4且 解得 ‎ 所以 所求的抛物线的解析式为 ‎(2)连接DQ,在Rt△AOB中,‎ 所以AD=AB= 5,AC=AD+CD=3 + 4 = 7,CD = AC - AD = 7 – 5 = 2‎ 因为BD垂直平分PQ,所以PD=QD,PQ⊥BD,所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB,所以∠ABD=∠ADB,∠ABD=∠QDB,所以DQ∥AB 所以∠CQD=∠CBA.∠CDQ=∠CAB,所以△CDQ∽ △CAB ‎ 即 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –= ,‎ 所以t的值是 ‎(3)答对称轴上存在一点M,使MQ+MC的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为 所以A(- 3,0),C(4,0)两点关于直线对称 连接AQ交直线于点M,则MQ+MC的值最小 过点Q作QE⊥x轴,于E,所以∠QED=∠BOA=900‎ ‎ DQ∥AB,∠ BAO=∠QDE, △DQE ∽△ABO ‎ 即 ‎ 所以QE=,DE=,所以OE = OD + DE=2+=,所以Q(,)‎ 设直线AQ的解析式为 则 由此得 ‎ 所以直线AQ的解析式为 联立 由此得 所以M 则:在对称轴上存在点M,使MQ+MC的值最小.‎ 1. ‎(龙岩)如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.(1)求AD的长;(2)设CP=x,问当x为何值时△PDQ的面积达到最大,并求出最大值;(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.‎ ‎ (1)解法一:如图25-1‎ 过A作AE⊥CD,垂足为E .‎ ‎ 依题意,DE=. …………………………2分 ‎ 在Rt△ADE中,AD=. ………5分 图25-1‎ ‎ 解法二:如图25-2‎ ‎ 过点A作AE∥BC交CD于点E,则CE=AB=4 . …2分 ‎ ∠AED=∠C=60°.‎ ‎ 又∵∠D=∠C=60°,‎ ‎ ∴△AED是等边三角形 . ‎ ‎ ∴AD=DE=9-4=5 . …………………………………5分 ‎ (2)解:如图25-1‎ 图25-2‎ ‎∵CP=x,h为PD边上的高,依题意,△PDQ的面积S可表示为:‎ S=PD·h ………………………………………6分 ‎=(9-x)·x·sin60°‎ ‎=(9x-x2)‎ ‎ =-(x-)2+. ………………………………………………… 8分 由题意,知0≤x≤5 . ……………………………………………………… 9分 当x=时(满足0≤x≤5),S最大值=. …………………………… 10分 ‎ (3)证法一:如图25-3‎ 假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 ‎ 于是9-x=x,x=.‎ ‎ 此时,点P、Q的位置如图25-3所示,连QP .‎ ‎△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点Q作QM∥DC,交BC于M,点M即为所求.‎ 连结MP,以下证明四边形PDQM是菱形 .‎ 图25-3‎ ‎ 易证△MCP≌△QDP,∴∠D=∠3 . MP=PD ‎ ∴MP∥QD , ∴四边形PDQM是平行四边形 .‎ ‎ 又MP=PD , ∴四边形PDQM是菱形 . ………………………………… 13分 ‎ 所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-=. ………………… 14分 ‎ [注] 本题仅回答存在,给1分.‎ ‎ 证法二:如图25-4‎ 假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ . ………………………… 11分 ‎ 于是9-x=x,x=. ‎ ‎ 此时,点P、Q的位置如图25-4所示,△PDQ恰为等边三角形 .‎ ‎ 过点D作DO⊥PQ于点O,延长DO交BC于点M,连结PM、QM,则DM垂直平分PQ,∴ MP=MQ .‎ ‎ 易知∠1=∠C .‎ ‎ ∴PQ∥BC .‎ ‎ 又∵DO⊥PQ, ∴MC⊥MD 图25-4‎ ‎ ∴MP= CD=PD ‎ 即MP=PD=DQ=QM ‎ ∴四边形PDQM是菱形 ……………………………………………………… 13分 所以存在满足条件的点M,且BM=BC-MC=5-= ……………… 14分 ‎ [注] 本题仅回答存在,给1分.‎ 1. ‎(南平)如图,平面直角坐标系中有一矩形纸片OABC,O为原点,点A,C分别在x轴,y轴上,点B坐标为(其中m>0),在BC边上选取适当的点E和点F,将ΔOCE沿OE翻折,得到ΔOGE;再将ΔABF沿AF翻折,恰好使点B与点G重合,得到ΔAGF,且∠OGA=900.(1)求m的值;(2)求过点O,G,A的抛物线的解析式和对称轴;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得ΔOPG是等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,直接答出所有满足条件的点P的坐标(不要求写出求解过程).‎ ‎ (1)解法一:,‎ 由题意可知,, 2分 ‎, 3分 ‎.又, 4分 解法二:,‎ 由题意可知,, 2分 ‎, 3分 ‎ 4分 ‎(2)解法一:过作直线轴于,‎ 则,,故. 5分 又由(1)知,‎ 设过三点的抛物线解析式为 抛物线过原点,. 6分 又抛物线过两点, 解得 所求抛物线为 8分 它的对称轴为. 9分 解法二:过作直线轴于,‎ 则,,故. 5分 又由(1)知,点关于直线对称,点为抛物线的顶点 6分 于是可设过三点的抛物线解析式为 抛物线过点,,解得 所求抛物线为 8分 它的对称轴为. 9分 ‎(3)答:存在 10分 满足条件的点有,,,.‎ 1. ‎(宁德)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒(0