中考数学全程复习方略第二十五讲圆的认识课件 59页

第二十五讲 　 圆 的 认 识 考点一　垂径定理及推论 【 主干必备 】 一、圆的定义及圆的轴对称性 1. 定义 : 在一个平面内 , 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋 转 ___________, 另一个端点 A 所形成的图形 .  一周 2. 轴对称性 : 圆是 _________________, 任何一条 _____ ______________ 都是它的对称轴 .  轴对称图形 直 径所在直线 二、垂径定理及推论 1. 垂径定理 : 垂直于弦的直径 _____________, 并且平分 弦所对的 _____________.  2. 推论 : 平分弦 ( 不是直径 ) 的直径 _______________, 并 且平分弦所对的 _____________.  平分弦 两条弧 垂直于弦 两条弧 【 微点警示 】 (1) 注意“知二推三” : 一条直线满足 :① 过圆心 ,② 垂直于弦 ,③ 平分弦 ,④ 平分弦所对优弧 ,⑤ 平分弦所对劣弧 , 这五个结论中的两个 , 可以推得其他三个结论成立 . (2) 注意“非直径”条件 : 若一条直径所平分的弦也是直径 , 则推论不成立 . 【 核心突破 】 例 1 【 原型题 】 (2018· 枣庄中考 ) 如图 ,AB 是☉ O 的直 径 , 弦 CD 交 AB 于点 P,AP=2,BP=6,∠APC=30°, 则 CD 的长 为 ( 　 　 ) C A. B.2 C.2 D.8 【 变形题 】 ( 变换条件、结论 ) 如图 ,AB 是☉ O 的直径 , 弦 CD 交 AB 于点 P,CP=3,DP=5,∠APC=45°, 则 AB 的长为 ______.  【 明 · 技法 】 垂径定理运用中的“两注意” (1) 两条辅助线 : 一是过圆心作弦的垂线 , 二是连接圆心和弦的一端 ( 即半径 ), 这样把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形中 , 运用勾股定理求解 . (2) 方程思想 : 在直接运用垂径定理求线段的长度时 , 常常将未知的一条线段设为 x, 利用勾股定理构造关于 x 的方程解决问题 . 这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路 . 【 题组过关 】 1.(2019· 武汉硚口区模拟 ) 半径为 10 的☉ O 中 , 弦 AB=16, 则点 O 到弦 AB 的距离为 ( 　 　 ) A.10 B.8 C.6 D.5 C 2.(2019· 北部湾中考 )《 九章算术 》 作为古代中国乃 至东方的第一部自成体系的数学专著 , 与古希腊的 《 几 何原本 》 并称现代数学的两大源泉 . 在 《 九章算术 》 中 记载有一问题“今有圆材埋在壁中 , 不知大小 . 以锯锯 之 , 深一寸 , 锯道长一尺 , 问径几何 ?” 小辉同学根据原 文题意 , 画出圆材截面图如图所示 , 已知 : 锯口深为 1 寸 , 锯道 AB=1 尺 (1 尺 =10 寸 ), 则该圆材的直径为 _________ 寸 . 世纪金榜导学号  26 3.( 易错警示题 ) 在☉ O 中 , 半径为 5,AB∥CD, 且 AB=6, CD=8, 则 AB,CD 之间的距离为 ___________.  1 或 7 4. 如图是“明清影视城”的圆弧形门 , 黄红同学到影视 城游玩 , 很想知道这扇门的相关数据 . 于是她从景点管 理人员处打听到 : 这个圆弧形门所在的圆与水平地面是 相切的 ,AB=CD=20 cm,BD=200 cm, 且 AB,CD 与水平地面 都是垂直的 . 根据以上数据 , 请你帮助黄红同学计算出 这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少 ? 世纪金 榜导学号 略 考点二　圆心角、弧、弦之间的关系 【 主干必备 】 圆心角、弧、弦之间的关系 1. 定理 : 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧 ___________, 所对的弦也 ___________.  相等 相等 2. 推论 : 在同圆或等圆中 , 两个圆心角 , 两条弧 , 两条弦 中如果有一组量 ___________, 那么它们所对应的其余 各组量都分别 ___________.  相等 相等 【 微点警示 】 (1) 注意成立的条件 : 圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论成立的大前提是“在同圆或等圆中” . (2) 注意推出的依据 : 圆心角、弧、弦之间的关系定理及推论 , 都是来源于“圆的旋转不变性” . 【 核心突破 】 例 2(2019· 南京中考 ) 如图 ,☉O 的弦 AB,CD 的延长线相交于点 P, 且 AB=CD. 求证 :PA=PC. 【 思路点拨 】 连接 AC, 由圆心角、弧、弦的关系得出 , 进而得出 , 根据等弧所对的圆周角相 等得出∠ ACP=∠CAP, 根据等角对等边证得结论 . 【 自主解答 】 略 【 明 · 技法 】 圆中证明弦相等的两个思路 (1) 根据圆周角相等 , 得到弦相等 . (2) 根据弧相等 , 得到弦相等 . 【 题组过关 】 1. 如图 ,AB,CD 是☉ O 的直径 , , 若∠ AOE=32°, 则 ∠ COE 的度数是 ( 　 　 ) D A.32° B.60° C.68° D.64° 2. 如图 , 在☉ O 中 , 都是劣弧 , 且 , 那么 弦 AB 、 CD 的数量关系是 ( 　 　 ) C A.AB>2CD 　　　　　 B.AB=2CD C.AB<2CD D.AB,CD 的大小无法确定 3.(2019· 自贡中考 ) 如图 ,☉O 中 , 弦 AB 与 CD 相交于点 E,AB=CD, 连接 AD,BC. 求证 :(1) .(2)AE=CE. 【 证明 】 (1)∵AB=CD, ∴ ∴ (2)∵ ∴AD=BC, 又∵∠ ADE=∠CBE,∠DAE=∠BCE, ∴△ADE≌△CBE(ASA), ∴AE=CE. 考点三　圆周角定理及推论 【 主干必备 】 圆周角定理及推论 1. 定理 : 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 ___________.  一半 2. 推论 : (1) 半圆 ( 或直径 ) 所对的圆周角是 ___________,90° 的 圆周角所对的弦是 ___________.  (2) 同弧或等弧所对的圆周角 ___________.  直角 直径 相等 【 微点警示 】 (1) 圆心角与圆周角的区别 : 前者的顶点在圆心 , 后者的顶点在圆上 . (2) 等弧的含义 : 在同圆或等圆中能够互相重合的弧为等弧 . 【 核心突破 】 例 3(2018· 黑龙江中考 ) 如图 ,AC 为☉ O 的直径 , 点 B 在圆 上 ,OD⊥AC 交☉ O 于点 D, 连接 BD,∠BDO=15°, 则 ∠ ACB=____________.  60° 【 明 · 技法 】 圆中角的转化 (1) 解决与圆有关的角度的相关计算时 , 一般先判断角是圆周角还是圆心角 , 再转化成同弧所对的圆周角或圆心角 , 利用同弧所对的圆周角相等 , 同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解 . (2) 在圆中当有直径这一条件时 , 往往要用到直径所对的圆周角是直角这一条件 , 若含 45° 角 , 可设法构造等腰直角三角形 ; 若含 30° 或 60° 角 , 则设法构造含有 30° 角的直角三角形 . 【 题组过关 】 1.(2019· 甘肃中考 ) 如图 ,AB 是☉ O 的直径 , 点 C,D 是圆 上两点 , 且∠ AOC=126°, 则∠ CDB= ( 　 　 ) C A.54° 　　　 B.64° 　　　 C.27° 　　　 D.37° 2.(2019· 滨州中考 ) 如图 ,AB 为☉ O 的直径 ,C,D 为☉ O 上 两点 , 若∠ BCD=40°, 则∠ ABD 的大小为 ( 　 　 ) B A.60° 　　　　 B.50° 　　　　 C.40° 　　　　 D.20° 3.(2019· 连云港中考 ) 如图 , 点 A,B,C 在☉ O 上 ,BC=6, ∠BAC=30°, 则☉ O 的半径为 ________.  6 4.( 综合训练题 ) 如图 , 在平面直角坐标系中 , 已知☉ A 经 过点 E,B,C,O, 且 C(0,6),E(-8,0),O(0,0), 则 cos∠OBC 的值为 ___.  5.(2019· 湖州模拟 ) 在☉ O 中 , 直径 AB⊥CD 于点 E, 连接 CO 并延长交 AD 于点 F, 且 CF⊥AD. 求∠ D 的度数 . 世纪金榜导学号 略 考点四　圆内接四边形 【 主干必备 】 圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角 ____________.  【 微点警示 】 (1) 圆内接四边形的含义 : 四个顶点都在同一个圆上的四边形 . (2) 圆内接平行四边形 : 圆内接平行四边形对角相等且互补 , 可得四个角都是直角 , 因此它是矩形 . 【 核心突破 】 例 4 【 原型题 】 (2019· 镇江中考 ) 如图 , 四边形 ABCD 是 半圆的内接四边形 ,AB 是直径 , . 若∠ C=110°, 则∠ ABC 的度数等于 ( 　 　 ) A A.55° B.60° C.65° D.70° 【 变形题 】 ( 变换条件、结论 ) 如图 ,A,B,C 三点都在☉ O 上 , 点 D 是 AB 延长线上一点 ,∠CBD=70°, 则∠ AOC 的度数 为 ( 　 　 ) D A.55° B.70° C.110° D.140° 【 明 · 技法 】 圆内接四边形的角的“两种”关系 (1) 对角互补 : 若四边形 ABCD 为☉ O 的内接四边形 , 则∠ A+∠C=180°,∠B+∠D=180°. (2) 任一外角与其相邻的内角的对角相等 , 简称圆内接四边形的外角等于其内对角 . 【 题组过关 】 1.(2019· 宁波模拟 ) 在圆内接四边形 ABCD 中 , 若∠ A∶ ∠B∶∠C=1∶2∶3, 则∠ D 的度数是 ( 　 　 ) A.45° 　　 B.60° 　　 C.90° 　　 D.135° C 2.(2019· 兰州中考 ) 如图 , 四边形 ABCD 内接于☉ O, 若 ∠ A=40°, 则∠ C= ( 　 　 ) D A.110° 　　　　　　 B.120° C.135° D.140° 3. 如图 AB 为☉ O 的直径 , 弦 CD⊥AB, 垂足为点 E,K 为 上 一动点 ,AK,DC 的延长线相交于点 F, 连接 CK,KD. (1) 求证 :∠AKD=∠CKF. (2) 若 AB=10,CD=6, 求 tan∠CKF 的值 . 【 解析 】 略