2013年中考数学复习专题讲座9：阅读理解型问题(含详细参考答案) 37页

1 2013 年中考数学复习专题讲座九：阅读理解型问题 一、中考专题诠释 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述 较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的 解题能力的新颖数学题. 二、解题策略与解法精讲 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结 论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新 方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题. 三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 例 1 （2012•十堰）阅读材料： 例：说明代数式 221 ( 3) 4xx    的几何意义，并求它的最小值． 解： = 2 2 2( 0) 1 ( 3) 2xx     ， 如图，建立平面直角坐标系，点 P（x，0）是 x 轴上一点， 则 2( 0) 1x 可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离， 22( 3) 2x 可以看成点 P 与点 B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和， 它的最小值就是 PA+PB 的最小值． 设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′，因此，求 PA+PB 的最小值，只需求 PA′+PB 的最小值，而点 A′、B 间的直线段距离最短，所以 PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度．为此，构造直角三角形 A′CB，因 为 A′C=3，CB=3，所以 A′B=3 2 ，即原式的最小值为 3 ． 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式 22( 1) 1 ( 2) 9xx     的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、 点 B 的距离之和．（填写点 B 的坐标） （2）代数式 2249 12 37x x x    的最小值为 ． 考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质． 专题：探究型． 解析：（1）先把原式化为 2 2 2( 1) 1 ( 2) 3xx     的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为 2 2 2( 0) 7 ( 6) 1xx     的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标 系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定 2 理得出结论即可． 解答：解：（1）∵原式化为 2 2 2( 1) 1 ( 2) 3xx     的形式， ∴代数式 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、点 B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）； （2）∵原式化为 2 2 2( 0) 7 ( 6) 1xx     的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′， ∴PA+PB 的最小值，只需求 PA′+PB 的最小值，而点 A′、B 间的直线段距离最短， ∴PA′+PB 的最小值为线段 A′B 的长度， ∵A（0，7），B（6，1） ∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8， ∴A′B= 2 2 2 268A C BC    =10， 故答案为：10． 点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用 数形结合求解． 考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 例 2 （2012•赤峰）阅读材料： （1）对于任意两个数 a、b 的大小比较，有下面的方法： 当 a-b＞0 时，一定有 a＞b； 当 a-b=0 时，一定有 a=b； 当 a-b＜0 时，一定有 a＜b． 反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”． （2）对于比较两个正数 a、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： ∵a2-b2=（a+b）（a-b），a+b＞0 ∴（a2-b2）与（a-b）的符号相同 当 a2-b2＞0 时，a-b＞0，得 a＞b 当 a2-b2=0 时，a-b=0，得 a=b 当 a2-b2＜0 时，a-b＜0，得 a＜b 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了 2 张 A4 纸，8 张 B5 纸．设每张 A4 纸的面积为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且 x＞y，张丽同学的用纸总面积为 3 W1，李明同学的用纸总面积为 W2．回答下列问题： ①W1= （用 x、y 的式子表示） W2= （用 x、y 的式子表示） ②请你分析谁用的纸面积最大． （2）如图 1 所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，已知 A、B 到 l 的距离分别 是 3km、4km（即 AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案： 方案一：如图 2 所示，AP⊥l 于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道长度 a1=AB+AP． 方案二：如图 3 所示，点 A′与点 A 关于 l 对称，A′B 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道 长度 a2=AP+BP． ①在方案一中，a1= km（用含 x 的式子表示）； ②在方案二中，a2= km（用含 x 的式子表示）； ③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二． 考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算． 专题：计算题． 分析：（1）①根据题意得出 3x+7y 和 2x+8y，即得出答案；②求出 W1-W2=x-y，根据 x 和 y 的大小比较 即可； （2）①把 AB 和 AP 的值代入即可；②过 B 作 BM⊥AC 于 M，求出 AM，根据勾股定理求出 BM．再根 据勾股定理求出 BA′，即可得出答案； ③求出 a1 2-a2 2=6x-39，分别求出 6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案． 解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y， 故答案为：3x+7y，2x+8y． ②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y， ∵x＞y， ∴x-y＞0， ∴W1-W2＞0， 得 W1＞W2， 所以张丽同学用纸的总面积大． （2）①解：a1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3． 4 ②解：过 B 作 BM⊥AC 于 M， 则 AM=4-3=1， 在△ABM 中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1， 在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B= 2 2 2 48A M BM x    ， 故答案为： 2 48x  ． ③解：a1 2-a2 2=（x+3）2-（ 2 48x  ）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39， 当 a1 2-a2 2＞0（即 a1-a2＞0，a1＞a2）时，6x-39＞0，解得 x＞6.5， 当 a1 2-a2 2=0（即 a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得 x=6.5， 当 a1 2-a2 2＜0（即 a1-a2＜0，a1＜a2）时，6x-39＜0，解得 x＜6.5， 综上所述 当 x＞6.5 时，选择方案二，输气管道较短， 当 x=6.5 时，两种方案一样， 当 0＜x＜6.5 时，选择方案一，输气管道较短． 点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学 生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 例 3 （2012•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题． 如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所 用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道 l 看成一条直线（图（2））， 5 问 题 就 转 化 为 ， 要 在 直 线 l 上 找 一 点 P ，使 AP 与 BP 的 和 最 小 ． 他 的 做 法 是 这 样 的 ： ①作点 B 关于直线 l 的对称点 B′． ②连接 AB′交直线 l 于点 P，则点 P 为所求． 请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使△PDE 得周长最小． （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法）． （2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ． 考点：轴对称-最短路线问题． 分析：（1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P，P 点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出 D′E 的值，即可得出答案． 解答：解：（1）如图，作 D 点关于 BC 的对称点 D′，连接 D′E，与 BC 交于点 P， P 点即为所求； （2）∵点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点， ∴DE 为△ABC 中位线， ∵BC=6，BC 边上的高为 4， ∴DE=3，DD′=4， ∴D′E= 2 2 2 234DE DD   =5， ∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8， 故答案为：8． 点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的 最小值，求出 DP+PE 的最小值即可是解题关键． 考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 例 4 （2012•重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 6 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧． （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 B′EFG，当点 E 与 点 C 重合时停止平移．设平移的距离为 t，正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 B′D，B′M，DM， 是否存在这样的 t，使△B′DM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围． 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形． 专题：代数几何综合题． 分析：（1）首先设正方形 BEFG 的边长为 x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得 BE 的长； （2）首先利用△MEC∽△ABC 与勾股定理，求得 B′M，DM 与 B′D 的平方，然后分别从若∠DB′M=90°， 则 DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则 DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则 B′M2=B′D2+DM2 去分析， 即可得到方程，解方程即可求得答案； （3）分别从当 0≤t≤ 4 3 时，当 ＜t≤2 时，当 2＜t≤10 3 时，当 ＜t≤4 时去分析求解即可求得答案． 解答：解：（1）如图①， 设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x， ∵AB=3，BC=6， ∴AG=AB-BG=3-x， ∵GF∥BE， ∴△AGF∽△ABC， ∴ AG GF AB BC ， 即 3 36 xx  ， 解得：x=2， 7 即 BE=2； （2）存在满足条件的 t， 理由：如图②，过点 D 作 DH⊥BC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t-2|，EC=4-t， ∵EF∥AB， ∴△MEC∽△ABC， ∴ ME EC AB BC ，即 4 36 ME t ， ∴ME=2- 1 2 t， 在 Rt△B′ME 中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2- 1 2 t）2= 1 4 t2-2t+8， 在 Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t-2）2=t2-4t+13， 过点 M 作 MN⊥DH 于 N， 则 MN=HE=t，NH=ME=2- 1 2 t， ∴DN=DH-NH=3-（2- 1 2 t）= 1 2 t+1， 在 Rt△DMN 中，DM2=DN2+MN2= 5 4 t2+t+1， （Ⅰ）若∠DB′M=90°，则 DM2=B′M2+B′D2， 即 5 4 t2+t+1=（ t2-2t+8）+（t2-4t+13）， 解得：t= 20 7 ， （Ⅱ）若∠B′MD=90°，则 B′D2=B′M2+DM2， 即 t2-4t+13=（ t2-2t+8）+（ 5 4 t2+t+1）， 解得：t1=-3+ 17 ，t2=-3- 17 （舍去）， ∴t=-3+ 17 ； （Ⅲ）若∠B′DM=90°，则 B′M2=B′D2+DM2， 即： t2-2t+8=（t2-4t+13）+（ 5 4 t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当 t= 20 7 或-3+ 17 时，△B′DM 是直角三角形； 8 （3）①如图③，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4， ∴CE= 8 3 ， ∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2- 8 3 = 4 3 ， ∵ME=2- 1 2 t， ∴FM= 1 2 t， 当 0≤t≤ 时，S=S△FMN= 1 2 ×t×1 2 t= 1 4 t2， ②如图④，当 G 在 AC 上时，t=2， ∵EK=EC•tan∠DCB=EC• DH CH = 3 4 （4-t）=3- 3 4 t， ∴FK=2-EK= 3 4 t-1， ∵NL= 2 3 AD= ， ∴FL=t- ， ∴当 ＜t≤2 时，S=S△FMN-S△FKL= t2- 1 2 （t- ）（ 3 4 t-1）=- 1 8 t2+t- ； ③如图⑤，当 G 在 CD 上时，B′C：CH=B′G：DH， 即 B′C：4=2：3， 解得：B′C= 8 3 ， ∴EC=4-t=B′C-2= ， ∴t=10 3 ， ∵B′N= 1 2 B′C= 1 2 （6-t）=3- 1 2 t， ∵GN=GB′-B′N= 1 2 t-1， ∴当 2＜t≤ 时，S=S 梯形 GNMF-S△FKL= 1 2 ×2×（ 1 2 t-1+ 1 2 t）- 1 2 （t- 4 3 ）（ 3 4 t-1）=- 3 8 t2+2t- 5 3 ， 9 ④如图⑥，当10 3 ＜t≤4 时， ∵B′L= 3 4 B′C= 3 4 （6-t），EK= 3 4 EC= 3 4 （4-t），B′N= 1 2 B′C= 1 2 （6-t）EM= 1 2 EC= 1 2 （4-t）， S=S 梯形 MNLK=S 梯形 B′EKL-S 梯形 B′EMN=- 1 2 t+ 5 2 ． 综上所述： 当 0≤t≤ 4 3 时，S= 1 4 t2， 当 ＜t≤2 时，S=- 1 8 t2+t- 2 3 ； 当 2＜t≤ 时，S=- 3 8 t2+2t- 5 3 ， 当 ＜t≤4 时，S=- 1 2 t+ ． 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题 难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法． 四、中考真题演练 1．（2012•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在 余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第 n 次操作 余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n 阶准菱形．如图 1，▱ABCD 中，若 AB=1，BC=2，则▱ABCD 为 1 阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 阶准菱形； ②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图 2，把▱ABCD 沿 BE 折叠（点 E 在 AD 上），使点 A 落 在 BC 边上的点 F，得到四边形 ABFE．请证明四边形 ABFE 是菱形． （2）操作、探究与计算： ①已知▱ABCD 的邻边长分别为 1，a（a＞1），且是 3 阶准菱形，请画出▱ABCD 及裁剪线的示意图，并在 10 图形下方写出 a 的值； ②已知▱ABCD 的邻边长分别为 a，b（a＞b），满足 a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD 是几阶准菱形． 考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图． 分析：（1）①根据邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得 出答案； ②根据平行四边形的性质得出 AE∥BF，进而得出 AE=BF，即可得出答案； （2）①利用 3 阶准菱形的定义，即可得出答案； ②根据 a=6b+r，b=5r，用 r 表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD 是几阶准菱形． 解答：解：（1）①利用邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为 1 的菱形， 故邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 2 阶准菱形； 故答案为：2； ②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE， ∴∠AEB=∠ABE， ∴AE=AB， ∴AE=BF， ∴四边形 ABFE 是平行四边形， ∴四边形 ABFE 是菱形； （2） ①如图所示： ， ②∵a=6b+r，b=5r， ∴a=6×5r+r=31r； 如图所示： 故▱ABCD 是 10 阶准菱形． 点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知 n 阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解 题关键． 11 2．（2012•淮安）阅读理解 如图 1，△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn 与点 C 重合，无论折叠多 少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC 是△ABC 的好角． 小丽展示了确定∠BAC 是△ABC 的好角的两种情形．情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角∠BAC 的 平分线 AB1 折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将 余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合． 探究发现 （1）△ABC 中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC 是不是△ABC 的好角？ （填“是”或“不是”）． （2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC 是△ABC 的好角，请探究∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等 量关系．根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C） 之间的等量关系为 ． 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15°、60°、105°，发现 60°和 105°的两个角都是此三角形的好角． 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此 三角形的好角． 考点：翻折变换（折叠问题）． 专题：压轴题；规律型． 分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图 3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C； （2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； 根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°① ， 根 据 三 角 形 ABC 的 内 角 和 定 理 知 ∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C； 利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C； （3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC 是△ABC 的好角，∠C=n∠A，∠ABC 是△ABC 的好角， ∠A=n∠B，∠BCA 是△ABC 的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是 88°、88°． 解答：解：（1）△ABC 中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC 是△ABC 的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图 3， ∵沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠， ∴∠B=∠AA1B1； 又∵将余下部分沿∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，此时点 B1 与点 C 重合， ∴∠A1B1C=∠C； ∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理）， ∴∠B=2∠C； 故答案是：是； 12 （2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC 中，沿∠BAC 的平分线 AB1 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 ∠B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C 的平分线 A2B3 折叠，点 B2 与点 C 重合，则∠BAC 是△ABC 的好角． 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2， ∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C； ∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°， 根据三角形 ABC 的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴∠B=3∠C； 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C 时，∠BAC 是△ABC 的好角； 故若经过 n 次折叠∠BAC 是△ABC 的好角，则∠B 与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C； （3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC 是△ABC 的好角， ∴∠C=n∠A，∠ABC 是△ABC 的好角，∠A=n∠B，∠BCA 是△ABC 的好角， ∴如果一个三角形的最小角是 4°，三角形另外两个角的度数是 4、172；8、168；16、160；44、132；88°、 88°． 点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理 以及折叠的性质．难度较大． 3．（2012•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改． 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内，沿前侧内墙保留 3m 的空地，其他三侧内墙各保留 1m 的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm， 根据题意，得 x•2x=288． 解这个方程，得 x1=-12（不合题意，舍去），x2=12 所以温室的长为 2×12+3+1=28（m），宽为 12+1+1=14（m） 答：当温室的长为 28m，宽为 14m 时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2． 13 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？． 结果为何正确呢？ （1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样… （2）如图，矩形 A′B′C′D′在矩形 ABCD 的内部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且 AD：AB=2：1，设 AB 与 A′B′、 BC 与 B′C′、CD 与 C′D′、DA 与 D′A′之间的距离分别为 a、b、c、d，要使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD，a、 b、c、d 应满足什么条件？请说明理由． 考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用． 分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2：1 的理由，所以应设矩形蔬 菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm，然后由题意得方程 2 3 1 2 4 1 1 2 yy yy      =2，矩形蔬菜种植区域的长 与宽之比为 2：1，再利用小明的解法求解即可； （2）由使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD，利用相似多边形的性质，可得 A D AD A B AB  ，即 ( ) 2 ( ) 1 AD a c AB b d  ，然后利用比例的性质，即可求得答案． 解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2：1 的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm．”前补充以下过程： 设温室的宽为 ym，则长为 2ym． 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m． ∵ =2， ∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2：1； （2）要使矩形 A′B′C′D′∽矩形 ABCD， 就要 ，即 ， 即 2 ( ) 2 ( ) 1 AB a c AB b d  ， 即 ac bd   =2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键． 14 4．（2012•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知 Rt△AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴 上，并且 OA、OB 的长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根（OA＜OB），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以 每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度的速度 向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒． （1）求 A、B 两点的坐标． （2）求当 t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标． （3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判 定与性质． 分析：（1）解一元二次方程，求出 OA、OB 的长度，从而得到 A、B 点的坐标； （2）△APQ 与△AOB 相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示； （3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求 M1，M2 坐标时，注意到 M1， M2 与 Q 点坐标的对应关系，则容易求解；在求 M3 坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系． 解答：解：（1）解方程 x2-7x+12=0，得 x1=3，x2=4， ∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4． ∴A（0，3），B（4，0）． （2）在 Rt△AOB 中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t． △APQ 与△AOB 相似，可能有两种情况： （I）△APQ∽△AOB，如图（2）a 所示． 则有 AP AQ AO AB ，即 52 35 tt ，解得 t=15 11 ． 15 此时 OP=OA-AP=18 11 ，PQ=AP•tanA= 20 11 ，∴Q（ ， ）； （II）△APQ∽△ABO，如图（2）b 所示． 则有 AP AQ AB AO ，即 52 53 tt ，解得 t= 25 13 ． 此时 AQ= ，AH=AQ•cosA= 9 13 ，HQ=AQ•sinA=12 13 ，OH=OA-AH= 30 13 ， ∴Q（ ， ）． 综上所述，当 t=15 11 秒或 t= 秒时，△APQ 与△AOB 相似，所对应的 Q 点坐标分别为（ ， ）或 （ ， ）． （3）结论：存在．如图（3）所示． ∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1． 过 Q 点作 QE⊥y 轴于点 E，则 QE=AQ•sin∠QAP= 4 5 ，AE=AQ•cos∠QAP= 3 5 ， ∴OE=OA-AE=12 5 ，∴Q（ 4 5 ，12 5 ）． ∵▱APQM1，∴QM1⊥x 轴，且 QM1=AP=2，∴M1（ 4 5 ， 2 5 ）； ∵▱APQM2，∴QM2⊥x 轴，且 QM2=AP=2，∴M2（ 4 5 ， 22 5 ）； 如图（3），过 M3 点作 M3F⊥y 轴于点 F， ∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE； 在△M3PF 与△QAE 中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE， ∴△M3PF≌△QAE， ∴M3F=QE= 4 5 ，PF=AE= 3 5 ，∴OF=OP+PF= 8 5 ，∴M3（- 4 5 ， 8 5 ）． ∴当 t=2 时，在坐标平面内，存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形． 点 M 的坐标为：M1（ 4 5 ， 2 5 ），M2（ 4 5 ， ），M3（- 4 5 ， 8 5 ）． 点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二 次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情 况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻 t 和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角 16 形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握． 5．（2012•长春）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm．D、E 分别为边 AB、BC 的 中点，连接 DE．点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DE-EB 运动，到点 B 停止．点 P 在线段 AD 上以 5 cm/s 的速度运动，在折线 DE-EB 上以 1cm/s 的速度运动．当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQ⊥AC 于点 Q， 以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 在线段 AQ 上．设点 P 的运动时间为 t（s）． （1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为 cm（用含 t 的代数式表示）． （2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值． （3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数 关系式． （4）连接 CD，当点 N 与点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 2.5cm/s 的速度沿 M-N-M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当点 P 在线段 EB 上运动时，点 H 始终 在线段 MN 的中点处，直接写出在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围． 考点：相似形综合题． 分析：（1）点 P 在 AD 段的运动时间为 2s，则 DP 的长度为（t-2）cm； （2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间 t 的 值； （3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间 t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形 AQPD-S△AMF= 1 2 （PG+AC）•PC- 1 2 AM•FM”求出面积 S 的表 达式； （4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点 H、点 P 的运动过程： 当 4＜t＜6 时，此时点 P 在线段 DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点 H 将两次落在线段 CD 上； 当 6≤t≤8 时，此时点 P 在线段 EB 上运动，如图（4）b 所示．此时 MN 与 CD 的交点始终是线段 MN 的中 点，即点 H． 解答：解：（1）∵在 Rt△ABC 中，AC=8cm，BC=4cm， ∴AB= 2 2 2 28 4 4 5AC BC    ， D 为 AB 中点，∴AD=2 5 ， ∴点 P 在 AD 段的运动时间为 25 5 =2s． 当点 P 在线段 DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s， ∵DE 段运动速度为 1cm/s，∴DP=（t-2）cm． （2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况，如下图所示： 17 ①如图（2）a，此时点 D 与点 N 重合，P 位于线段 DE 上． 由三角形中位线定理可知，DM= 1 2 BC=2，∴DP=DM=2． 由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4； ②如图（2）b，此时点 P 位于线段 EB 上． ∵DE= 1 2 AC=4，∴点 P 在 DE 段的运动时间为 4s， ∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4． ∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t． 由 PN=PC，得 16-2t=t-4，解得 t= 20 3 ． 所以，当点 N 落在 AB 边上时，t=4 或 t= ． （3）当正方形 PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示： ①当 2＜t＜4 时，如图（3）a 所示． DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t． ∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM= 1 2 AM= 1 2 t． S=S 梯形 AQPD-S△AMF= 1 2 （DP+AQ）•PQ- 1 2 AM•FM= 1 2 [（t-2）+（2+t）]×2- 1 2 t• 1 2 t=- 1 4 t2+2t； ②当 ＜t＜8 时，如图（3）b 所示． PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t， ∴FM= 1 2 AM=6- 1 2 t，PG=2PB=16-2t， S=S 梯形 AQPD-S△AMF= 1 2 （PG+AC）•PC- 1 2 AM•FM= 1 2 [（16-2t）+8]×（t-4）- 1 2 （12-t）•（6- 1 2 t）=- 5 4 t2+22t-84． 18 综上所述，S 与 t 的关系式为：S= 2 2 1 2 (2 4)4 5 2022 84( 8)43 t t t t t t          。 （4）依题意，点 H 与点 P 的运动分为两个阶段，如下图所示： ①当 4＜t＜6 时，此时点 P 在线段 DE 上运动，如图（4）a 所示． 此阶段点 P 运动时间为 2s，因此点 H 运动距离为 2.5×2=5cm，而 MN=2， 则此阶段中，点 H 将有两次机会落在线段 CD 上： 第一次：此时点 H 由 M-＞H 运动时间为（t-4）s，运动距离 MH=2.5（t-4）cm，∴NH=2-MH=12-2.5t； 又 DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由 DN=2NH 得到：t-4=2（12-2.5t），解得 t=14 3 ； 第二次：此时点 H 由 N-＞H 运动时间为 t-4- 2 2.5 =（t-4.8）s，运动距离 NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12； 又 DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由 DN=2NH 得到：t-4=2（2.5t-12），解得 t=5； ②当 6≤t≤8 时，此时点 P 在线段 EB 上运动，如图（4）b 所示． 由图可知，在此阶段，始终有 MH= 1 2 MC，即 MN 与 CD 的交点始终为线段 MN 的中点，即点 H． 综上所述，在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围是：t=14 3 或 t=5 或 6≤t≤8． 点评：本题是运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们 的解题能力要求很高．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．注意第（2）、（3）、（4） 问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分． 6．（2012•丽水）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、 一般”三选一投票．如图是 7 位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班 50 位同学民主测评票数统计图． 19 （1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数； （2）求小明的综合得分是多少？ （3）在竞选中，小亮的民主测评得分为 82 分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩 得分至少要多少分？ 考点：条形统计图；一元一次不等式的应用；扇形统计图；加权平均数；众数． 分析：（1）根据众数的定义和所给的统计图即可得出评委给小明演讲答辩分数的众数；用 1 减去一般和 优秀所占的百分比，再乘以 360°，即可得出民主测评为“良好”票数的扇形圆心角的度数； （2）先去掉一个最高分和一个最低分，算出演讲答辩分的平均分，再算出民主测评分，再根据规定即可 得出小明的综合得分； （3）先设小亮的演讲答辩得分为 x 分，根据题意列出不等式，即可得出小亮的演讲答辩得至少分数． 解答：解：（1）小明演讲答辩分数的众数是 94 分， 民主测评为“良好”票数的扇形的圆心角度数是：（1-10%-70%）×360°=72°． （2）演讲答辩分：（95+94+92+90+94）÷5=93， 民主测评分：50×70%×2+50×20%×1=80， 所以，小明的综合得分：93×0.4+80×0.6=85.2． （3）设小亮的演讲答辩得分为 x 分，根据题意，得： 82×0.6+0.4x≥85.2， 解得：x≥90． 答：小亮的演讲答辩得分至少要 90 分． 点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关 键．条形统计图能清楚地表示出每个评分的数据． 7．（2012•黑龙江）为了强化司机的交通安全意识，我市利用交通安全宣传月对司机进行了交通安全知识 问卷调查．关于酒驾设计了如下调查问卷： 克服酒驾--你认为哪种方式最好？（单选） A 加大宣传力度，增强司机的守法意识． B 在汽车上张贴温馨提示：“请勿酒驾”． C 司机上岗前签“拒接酒驾”保证书． D 加大检查力度，严厉打击酒驾． E 查出酒驾追究一同就餐人的连带责任． 随机抽取部分问卷，整理并制作了如下统计图： 20 根据上述信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是多少？ （2）补全条形图，并计算 B 选项所对应扇形圆心角的度数； （3）若我市有 3000 名司机参与本次活动，则支持 D 选项的司机大约有多少人？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：（1）用 E 小组的频数除以该组所占的百分比即可求得样本容量； （2）用总人数乘以该组所占的百分比即可求得 A 组的人数，总数减去其他小组的频数即可求得 B 小组的 人数； （3）总人数乘以支持 D 选项的人数占 300 人的比例即可； 解答： 解：（1）样本容量：69÷23%=300 …（2 分） （2）A 组人数为 300×30%=90（人） B 组人数：300-（90+21+80+69）=40（人）…（1 分） 补全条形图人数为 40 …（1 分） 圆心角度数为 360°× 40 300 =48°， （3）3000× 8 300 =800（人） 点评：本题考查了统计图的各种知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的有关信息． 8．（2012•达州）今年 5 月 31 日是世界卫生组织发起的第 25 个“世界无烟日”．为了更好地宣传吸烟的危 害，某中学八年级一班数学兴趣小组设计了如下调查问卷，在达城中心广场随机调查了部分吸烟人群，并 将调查结果绘制成统计图． 21 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的总人数是 人，并把条形统计图补充完整． （2）在扇形统计图中，C 选项的人数百分比是 ，E 选项所在扇形的圆心角的度数 是 ． （3）若通川区约有烟民 14 万人，试估计对吸烟有害持“无所谓”态度的约有多少人？你对这部分人群有何 建议？ 考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 分析：（1）调查的总人数用 B 小组的人数除以其所占的百分比即可； （2）用 C 小组的频数除以总人数即可求得其所占的百分比； （3）用总人数乘以无所谓态度所占的百分比即可． 解答：解：（1）∵B 小组共有 126 人，占总数的 42%， ∴总人数为 126÷42%=300（1 分） 补全统计图如下： （2）∵C 选项的共有 78 人， ∴78÷300×100%=26%， ∵E 选项共有 30 人， ∴其圆心角的度数为 30÷300×360=36°， （3）解：A 选项的百分比为： 12 300 ×100%=4% 对吸烟有害持“无所谓” 态度的人数为：14×4%=0.56（万）。 22 建议：只要答案合理均可得分。 点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解 题的有关信息． 9．（2012•六盘水）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到 A、B、C、D 四个地方进行新课程培训， 教育局按定额购买了前往四地的车票．如图 1 是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计 图回答下列问题： （1）若去 C 地的车票占全部车票的 30%，则去 C 地的车票数量是 张，补全统计图． （2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分 洗匀），那么余老师抽到去 B 地的概率是多少？ （3）若有一张去 A 地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被 分成四等份且标有数字 1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字 7、8、9，如图 2 所示．具体规定是： 同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上 重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平． 考点：游戏公平性；扇形统计图；条形统计图；概率公式；列表法与树状图法． 分析：（1）根据去 A、B、D 的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去 A、B、D 的车票总数即 可； （2）用去 B 地的车票数除以总的车票数即可； （3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方 是否公平． 解答： 解：（1）根据题意得： 总的车票数是：（20+40+10）÷（1-30%）=100， 则去 C 地的车票数量是 100-70=30； 故答案为：30． （2）余老师抽到去 B 地的概率是 40 2 100 5 ； 23 （3）根据题意列表如下： 因为两个数字之和是偶数时的概率是 61 12 2 ， 所以票给李老师的概率是 1 2 ， 所以这个规定对双方公平． 点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否 则就不公平． 10．（2012•无锡）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年，5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20%的价格进 行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的 10%． 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2 年后每年可以获得的租金为商铺标价的 10%， 但要缴纳租金的 10%作为管理费用． （1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5 年后所获得的投资收益率更高？为什么？ （注：投资收益率= 投资收益 实际投资额 ×100%） （2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年后两人获得的收益将相 差 5 万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 考点：一元一次方程的应用；列代数式． 分析：（1）利用方案的叙述，可以得到投资的收益，即可得到收益率，即可进行比较； （2）利用（1）的表示，根据二者的差是 5 万元，即可列方程求解． 解答：解：（1）设商铺标价为 x 万元，则 按方案一购买，则可获投资收益（120%-1）•x+x•10%×5=0.7x， 投资收益率为 0.7x x ×100%=70%， 按方案二购买，则可获投资收益（120%-0.85）•x+x•10%×（1-10%）×3=0.62x， 投资收益率为 0.62 0.85 x x ×100%≈72.9%， ∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高； （2）由题意得 0.7x-0.62x=5， 解得 x=62.5 万元， ∴甲投资了 62.5 万元，乙投资了 53.125 万元． 点评：本题考查了列方程解应用题，正确表示出两种方案的收益率是解题的关键． 11．（2012•呼和浩特）如图，某化工厂与 A，B 两地有公路和铁路相连，这家工厂从 A 地购买一批每吨 1 000 元的原料运回工厂，制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地．已知公路运价为 1.5 元/（吨•千米），铁路运价为 24 1.2 元/（吨•千米），这两次运输共支出公路运 费 15 000 元，铁路运费 97 200 元，请计算这批产品的销售款比原料费和运输费的和多多少元？ （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲： 1.5(20 10 ) 1.2(110 150 ) xy xy    乙： 1.5(20 10 )8000 1000 1.2(110 150 )8000 1000 xy xy           根据甲，乙两名同学所列方程组，请你分别指出未知数 x，y 表示的意义，然后在等式右边的方框内补全 甲、乙两名同学所列方程组． 甲：x 表示 ，y 表示 ； 乙：x 表示 ，y 表示 。 （2）甲同学根据他所列方程组解得 x=300，请你帮他解出 y 的值，并解决该实际问题． 考点：二元一次方程组的应用． 分析：（1）仔细分析题意根据题目中的两个方程表示出 x，y 的值并补全方程组即可； （2）将 x 的值代入方程组即可得到结论． 解答：解：（1）甲：x 表示产品的重量，y 表示原料的重量， 乙：x 表示产品销售额，y 表示原料费， 甲方程组右边方框内的数分别为：15000，97200，乙同甲； （2）将 x=300 代入原方程组解得 y=400 ∴产品销售额为 300×8000=2400000 元 原料费为 400×1000=400000 元 又∵运费为 15000+97200=112200 元 ∴这批产品的销售额比原料费和运费的和多 2400000-（400000+112200）=1887800 元 点评：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中找到等量关系并写出表示出 x、y 所表 示的实际意义． 12．（2012•湛江）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式 x2-4＞0 解：∵x2-4=（x+2）（x-2） ∴x2-4＞0 可化为 （x+2）（x-2）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 ① 20 20 x x    ， ② 20 20 x x    。 25 解不等式组①，得 x＞2， 解不等式组②，得 x＜-2， ∴（x+2）（x-2）＞0 的解集为 x＞2 或 x＜-2， 即一元二次不等式 x2-4＞0 的解集为 x＞2 或 x＜-2． （1）一元二次不等式 x2-16＞0 的解集为 ； （2）分式不等式 1 3 x x   ＞0 的解集为 ； （3）解一元二次不等式 2x2-3x＜0． 考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 分析：（1）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； （2）据分式不等式大于零可以得到其分子、分母同号，从而转化为两个一元一次不等式组求解即可； （3）将一元二次不等式的左边因式分解后化为两个一元一次不等式组求解即可； 解答：解：（1）∵x2-16=（x+4）（x-4） ∴x2-16＞0 可化为 （x+4）（x-4）＞0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 40 40 x x    或 40 40 x x    。 解不等式组①，得 x＞4， 解不等式组②，得 x＜-4， ∴（x+4）（x-4）＞0 的解集为 x＞4 或 x＜-4， 即一元二次不等式 x2-16＞0 的解集为 x＞4 或 x＜-4． （2）∵ ＞0 ∴ 10 30 x x    或 10 30 x x    ， 解得：x＞3 或 x＜1 （3）∵2x2-3x=x（2x-3） ∴2x2-3x＜0 可化为 x（2x-3）＜0 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得 0 2 3 0 x x    或 0 2 3 0 x x    ， 解不等式组①，得 0＜x＜ 3 2 ， 解不等式组②，无解， ∴不等式 2x2-3x＜0 的解集为 0＜x＜ ． 点评：本题考查了一元一次不等式组及方程的应用的知识，解题的关键是根据已知信息经过加工得到解决 此类问题的方法． 13．（2012•宜昌）[背景资料] 26 低碳生活的理念已逐步被人们接受．据相关资料统计： 一个人平均一年节约的用电，相当于减排二氧化碳约 18kg； 一个人平均一年少买的衣服，相当于减排二氧化碳约 6kg． [问题解决] 甲、乙两校分别对本校师生提出“节约用电”、“少买衣服”的倡议．2009 年两校响应本校倡议的人数共 60 人，因此而减排二氧化碳总量为 600kg． （1）2009 年两校响应本校倡议的人数分别是多少？ （2）2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加相同的数量；乙校响应本校倡议的人数每年按 相同的百分率增长．2010 年乙校响应本校倡议的人数是甲校响应本校倡议人数的 2 倍；2011 年两校响应 本校倡议的总人数比 2010 年两校响应本校倡议的总人数多 100 人．求 2011 年两校响应本校倡议减排二氧 化碳的总量． 考点：一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用． 分析：（1）设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为 y 人，根据题意列出 方程组求解即可． （2）设 2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加 m 人；乙校响应本校倡议的人数每年增长 的百分率为 n．根据题目中的人数的增长率之间的关系列出方程组求解即可． 解答：解：（1）方法一：设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为 y 人，…1 分 依题意得： 60 18 6 600 xy xy    ， 解之得 x=20，y=40…4 分 方法二：设 2009 年甲校响应本校倡议的人数为 x 人，乙校响应本校倡议的人数为（60-x）人，..1 分 依题意得： 18x+6（60-x）=600…3 分 解之得：x=20，60-x=40…4 分 ∴2009 年两校响应本校倡议的人数分别是 20 人和 40 人． （2）设 2009 年到 2011 年，甲校响应本校倡议的人数每年增加 m 人；乙校响应本校倡议的人数每年增长 的百分率为 n．依题意得： 2 (20 ) 2 40 (1 ) (20 2 ) 40(1 ) (20 ) 40(1 ) 100 mn m n m n               ① ② ， 由①得 m=20n，代入②并整理得 2n2+3n-5=0 解之得 n=1，n=-2.5（负值舍去）…8 分 ∴m=20…9 分 ∴2011 年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量： （20+2×20）×18+40（1+1）2×6=2040（千克）…10 分 答：2011 年两校响应本校倡议减排二氧化碳的总量为 2040 千克． 点评：本题考查了一元二次方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到合适的等量 关系． 14．（2012•吉林）在如图所示的三个函数图象中，有两个函数图象能近似地刻画如下 a，b 两个情境： 27 情境 a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本再去学校； 情境 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进． （1）情境 a，b 所对应的函数图象分别是 、 （填写序号）； （2）请你为剩下的函数图象写出一个适合的情境． 考点：函数的图象． 专题：推理填空题；开放型． 分析：（1）根据图象，一段一段的分析，再一个一个的排除，即可得出答案； （2）把图象分为三部分，再根据离家的距离进行叙述，即可得出答案． 解答：解：（1）∵情境 a：小芳离开家不久，即离家一段路程，此时①②③都符合， 发现把作业本忘在家里，于是返回了家里找到了作业本，即又返回家，离家的距离是 0，此时②③都符合， 又去学校，即离家越来越远，此时只有③返回， ∴只有③符合情境 a； ∵情境 b：小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进，即离家越来越远，且没有 停留， ∴只有①符合， 故答案为：③，①． （2）情境是小芳离开家不久，休息了一会儿，又走回了家． 点评：主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好， 但是一道比较容易出错的题目． 16．（2012•咸宁）某景区的旅游线路如图 1 所示，其中 A 为入口，B，C，D 为风景点，E 为三岔路的交 汇点，图 1 中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A” 步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到 A 处时，共用去 3h．甲步行的路程 s（km）与游览时间 t（h）之间的部分函数图象如图 2 所示． （1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象； （2）求 C，E 两点间的路程； （3）乙游客与甲同时从 A 处出发，打算游完三个景点后回到 A 处，两人相约先到者在 A 处等候，等候时 间不超过 10 分钟．如果乙的步行速度为 3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？ 请说明理由． 28 考点：一次函数的应用． 专题：应用题． 分析：（1）根据图 2 中的图象得到甲从 A 步行到 D，用了 0.8h，步行了 1.6km，可计算出甲步行的速度 = 1.6 0.8 =2（km/h），从图象中可得甲步行到 C 共用了 1.8h，步行了 2.6km，于是甲在 D 景点逗留的时间 =1.8-0.8- 2.6 1.6 2  =1-0.5=0.5（h），即得到甲在每个景点逗留的时间；同时可得甲在 C 景点逗留 0.5h，从 2.3h 开始步行到 3h，步行了（3-2.3）×2=1.4km，即回到 A 处时共步行了 4km，然后依此补全图象； （2）由（1）得甲从 C 到 A 步行了（3-2.3）×2=1.4km，由图 1 得到 C 到 A 的路程为 0.8km，则 C，E 两 点间的路程为 1.4-0.8=0.6km； （3）由于走 E-B-E-C 的路程为 0.4+0.4+0.6=1.4（km），走 E-B-C 的路程为 0.4+1.3=1.7（km），则乙游览 的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或 A→E→B→E→C→D→A），总行程为 1.6+1+0.6+0.4×2+0.8=4.8 （km），于是可计算出乙游完三个景点后回到 A 处的总时间=3×0.5+ 4.8 3 =3.1（h），即可得到乙比甲晚 0.1 小时，即 6 分钟到 A 处． 解答： 解：（1）由图 2 得，甲从 A 步行到 D，用了 0.8h，步行了 1.6km，则甲步行的速度= =2（km/h）， 而甲步行到 C 共用了 1.8h，步行了 2.6km， 所以甲在 D 景点逗留的时间=1.8-0.8- =1-0.5=0.5（h）， 所以甲在每个景点逗留的时间为 0.5h； 甲在 C 景点逗留 0.5h，从 2.3h 开始步行到 3h，步行了（3-2.3）×2=1.4km，即回到 A 处时共步行了 4km， 画右图； （2）由（1）得甲从 C 到 A 步行了（3-2.3）×2=1.4km， 而 C 到 A 的路程为 0.8km， 所以 C，E 两点间的路程为 0.6km； 29 （3）他们的约定能实现．理由如下： ∵C，E 两点间的路程为 0.6km， ∴走 E-B-E-C 的路程为 0.4+0.4+0.6=1.4（km），走 E-B-C 的路程为 0.4+1.3=1.7（km）， ∴ 乙 游 览 的 最 短 线 路 为 ： A→D→C→E→B→E→A （或 A→E→B→E→C→D→A ） ， 总 行 程 为 1.6+1+0.6+0.4×2+0.8=4.8（km）， ∴乙游完三个景点后回到 A 处的总时间=3×0.5+ 4.8 3 =3.1（h）， 而甲用了 3 小时， ∴乙比甲晚 0.1 小时，即 6 分钟到 A 处， ∴他们的约定能实现． 点评：本题考查了一次函数的应用：根据一次函数图象的性质能从一次函数图象中获取实际问题中的相关 数据，同时能用一次函数图象表示实际问题中变化情况．也考查了速度公式． 17．（2012•济宁）问题情境： 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第 2012 个图共有多少枚棋子？ 建立模型： 有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函 数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则 用这个关系式去求解． 解决问题： 根据以上步骤，请你解答“问题情境”． 考点：一次函数的应用；规律型：图形的变化类． 专题：阅读型． 分析：画出相关图形后可得这些点在一条直线上，设出直线解析式，把任意两点代入可得直线解析式，进 而把 x=2012 代入可得相应的棋子数目． 30 解答： 解：以图形的序号为横坐标，棋子的枚数为纵坐标，描点： （1，4）、（2，7）、（3，10）、（4，13）依次连接以上各点，所有各点在一条直线上， 设直线解析式为 y=kx+b，把（1，4）、（2，7）两点坐标代入得 4 27 kb kb    ， 解得 3 1 k b    ， 所以 y=3x+1， 验证：当 x=3 时，y=10． 所以，另外一点也在这条直线上． 当 x=2012 时，y=3×2012+1=6037． 答：第 2012 个图有 6037 枚棋子． 点评：考查一次函数的应用；根据所给点画出的相关图形判断出相应的函数是解决本题的突破点． 18．（2012•吉林）如图 1，A，B，C 为三个超市，在 A 通往 C 的道路（粗实线部分）上有一 D 点，D 与 B 有道路（细实线部分）相通．A 与 D，D 与 C，D 与 B 之间的路程分别为 25km，10km，5km．现计划 在 A 通往 C 的道路上建一个配货中心 H，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从 H 出发， 单独为 A 送货 1 次，为 B 送货 1 次，为 C 送货 2 次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回 配货中心 H，设 H 到 A 的路程为 xkm，这辆货车每天行驶的路程为 ykm． （1）用含的代数式填空： 当 0≤x≤25 时， 货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2xkm， 货车从 H 到 B 往返 1 次的路程为 km， 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为 km， 31 这辆货车每天行驶的路程 y= ． 当 25＜x≤35 时， 这辆货车每天行驶的路程 y= ； （2）请在图 2 中画出 y 与 x（0≤x≤35）的函数图象； （3）配货中心 H 建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？ 考点：一次函数的应用． 分析：（1）根据当 0≤x≤25 时，结合图象分别得出货车从 H 到 A，B，C 的距离，进而得出 y 与 x 的函数 关系，再利用当 25＜x≤35 时，分别得出从 H 到 A，B，C 的距离， 即可得出 y=100； （2）利用（1）中所求得出，利用 x 的取值范围，得出 y 与 x 的函数图象以及直线 y=100 的图象； （3）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置． 解答：解：（1）∵当 0≤x≤25 时， 货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2x， 货车从 H 到 B 往返 1 次的路程为：2（5+25-x）=60-2x， 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为：4（25-x+10）=140-4x， 这辆货车每天行驶的路程为：y=60-2x+2x+140-4x=-4x+200． 当 25＜x≤35 时， 货车从 H 到 A 往返 1 次的路程为 2x， 货车从 H 到 B 往返 1 次的路程为：2（5+x-25）=2x-40， 货车从 H 到 C 往返 2 次的路程为：4[10-（x-25）]=140-4x， 故这辆货车每天行驶的路程为：y=2x+2x-40+140-4x=100； 故答案为：60-2x，140-4x，-4x+200，100； （2）根据当 0≤x≤25 时，y=-4x+200， x=0，y=200，x=25，y=100， 当 25＜x≤35 时，y=100； 如图所示： （3）根据（2）图象可得： 当 25≤x≤35 时，y 恒等于 100km，此时 y 的值最小，得出配货中心 H 建 CD 段，这辆货车每天行驶的路程 最短为 100km． 点评：此题主要考查了一次函数的应用以及画函数图象和列代数式，利用已知分别表示出从 H 到 A，B， C 距离是解题关键． 19．（2012•黄石）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售 价方案如下：第八层售价为 3000 元/米 2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加 40 元；反之，楼 层每下降一层，每平方米的售价减少 20 元．已知商品房每套面积均为 120 平方米．开发商为购买者制定 了两种购房方案： 方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的 30%），再办理分期付款（即贷款）． 方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受 8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费 32 为 a 元） （1）请写出每平方米售价 y（元/米 2）与楼层 x（2≤x≤23，x 是正整数）之间的函数解析式． （2）小张已筹到 120000 元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？ （3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受 9%的 优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法． 考点：一次函数的应用． 分析：（1）根据题意分别求出当 2≤x≤8 时，每平方米的售价应为 3000-（8-x）×20 元，当 9≤x≤23 时，每 平方米的售价应为 3000+（x-8）•40 元 （2）由（1）知：当 2≤x≤8 时，小张首付款为 108000 元＜120000 元，即可得出 2～8 层可任选，当 9≤x≤23 时，小张首付款为 36（40x+2680）≤120000，9≤x≤16，即可得出小张用方案一可以购买二至十六层的任何 一层． （3）分别求出若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为 y1 按老王的想法则要交房款为 y2，然后根 据即 y1-y2＞0 时，解得 0＜a＜66.4，y1-y2≤0 时，解得 a≥66.4，即可得出答案． 解答：解：（1）当 2≤x≤8 时，每平方米的售价应为： 3000-（8-x）×20=20x+2840 （元/平方米） 当 9≤x≤23 时，每平方米的售价应为： 3000+（x-8）•40=40x+2680（元/平方米） ∴y= 20 2840(2 8) 40 2680(9 23) xx xx    剟 剟 x 为正整数 （2）由（1）知： 当 2≤x≤8 时，小张首付款为 （20x+2840）•120•30% =36（20x+2840）≤36（20•8+2840）=108000 元＜120000 元 ∴2～8 层可任选 当 9≤x≤23 时，小张首付款为 （40x+2680）•120•30%=36（40x+2680）元 36（40x+2680）≤120000， 解得：x≤ 49 3 ， ∵x 为正整数，∴9≤x≤16 综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层． （3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为： y1=（40•16+2680）•120•92%-60a（元） 若按老王的想法则要交房款为： y2=（40•16+2680）•120•91%（元） ∵y1-y2=3984-60a 当 y1＞y2 即 y1-y2＞0 时，解得 0＜a＜66.4，此时老王想法正确； 当 y1≤y2 即 y1-y2≤0 时，解得 a≥66.4，此时老王想法不正确． 点评：本题考查的是一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题，关键是求出一次函数的解析式， 应用一次函数的性质，解决实际问题． 33 22．（2012•安徽）甲、乙两家商场进行促销活动，甲商场采用“买 200 减 100”的促销方式，即购买商品的 总金额满 200 元但不足 400 元，少付 100 元；满 400 元但不足 600 元，少付 200 元；…，乙商场按顾客购 买商品的总金额打 6 折促销． （1）若顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付多少钱？ （2）若顾客在甲商场购买商品的总金额为 x（400≤x＜600）元，优惠后得到商家的优惠率为 p （p= ），写出 p 与 x 之间的函数关系式，并说明 p 随 x 的变化情况； （3）品牌、质量、规格等都相同的某种商品，在甲乙两商场的标价都是 x（200≤x＜400）元，你认为选择 哪家商场购买商品花钱较少？请说明理由． 考点： 反比例函数的应用。810360 分析： （1）根据题意直接列出算式 510﹣200 即可； （2）根据商家的优惠率即可列出 p 与 x 之间的函数关系式，并能得出 p 随 x 的变化情况； （3）先设购买商品的总金额为 x 元，（200≤x＜400），得出甲商场需花 x﹣100 元，乙商场需花 0.6x 元，然 后分三种情况列出不等式和方程即可； 解答： 解：（1）根据题意得： 510﹣200=310（元） 答：顾客在甲商场购买了 510 元的商品，付款时应付 310 元． （2）p 与 x 之间的函数关系式为 p= ，p 随 x 的增大而减小； （3）设购买商品的总金额为 x 元，（200≤x＜400）， 则甲商场需花 x﹣100 元，乙商场需花 0.6x 元， 由 x﹣100＞0.6x，得：250＜x＜400，乙商场花钱较少， 由 x﹣100＜0.6x，得：200≤x＜250，甲商场花钱较少， 由 x﹣100=0.6x，得：x=250，两家商场花钱一样多． 点评： 此题考查了反比例函数的应用，用到的知识点是反比例函数的性质，一元一次不等式等，关键是 根据题意求出函数的解析式． 23．（2012•柳州）如图，在△ABC 中，AB=2，AC=BC= 5 ． （1）以 AB 所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立直角坐标系如图，请你分别写出 A、B、C 三点的坐标； （2）求过 A、B、C 三点且以 C 为顶点的抛物线的解析式； （3）若 D 为抛物线上的一动点，当 D 点坐标为何值时，S△ABD= 1 2 S△ABC； （4）如果将（2）中的抛物线向右平移，且与 x 轴交于点 A′B′，与 y 轴交于点 C′，当平移多少个单位时， 点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上（解答过程如果有需要时，请参看阅读材料）． 34 附：阅读材料 一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元 二次方程求解．如解方程：y4-4y2+3=0． 解：令 y2=x（x≥0），则原方程变为 x2-4x+3=0，解得 x1=1，x2=3． 当 x1=1 时，即 y2=1，∴y1=1，y2=-1． 当 x2=3，即 y2=3，∴y3= 3 ，y4=- ． 所以，原方程的解是 y1=1，y2=-1，y3= ，y4=- ． 再如 x2-2=4 2 2x  ，可设 y= 2 2x  ，用同样的方法也可求解． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）根据 y 轴是 AB 的垂直平分线，则可以求得 OA，OB 的长度，在直角△OAC 中，利用勾股定 理求得 OC 的长度，则 A、B、C 的坐标即可求解； （2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； （3）首先求得△ABC 的面积，根据 S△ABD= 1 2 S△ABC，以及三角形的面积公式，即可求得 D 的纵坐标，把 D 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得横坐标． （4）设抛物线向右平移 c 个单位长度，则 0＜c≤1，可以写出平移以后的函数解析式，当点 C′同时在以 A′B′ 为直径的圆上时有：OC′2=OA•OB，据此即可得到一个关于 c 的方程求得 c 的值． 解答：解：（1）∵AB 的垂直平分线为 y 轴， ∴OA=OB= AB= ×2=1， ∴A 的坐标是（-1，0），B 的坐标是（1，0）． 在直角△OAC 中，OC= 22BC OB =2， 则 C 的坐标是：（0，2）； （2）设抛物线的解析式是：y=ax2+b， 根据题意得： 0 2 ab b    ， 35 解得： 2 2 a b    ， 则抛物线的解析式是：y=-2x2+2； （3）∵S△ABC= 1 2 AB•OC= ×2×2=2， ∴S△ABD= S△ABC=1． 设 D 的纵坐标是 m，则 AB•|m|=1， 则 m=±1． 当 m=1 时，-2x2+2=1，解得：x=± 2 2 ， 当 m=-1 时，，-2x2+2=-1，解得：x=± 6 2 ， 则 D 的坐标是：（ ，1）或（- ，1）或（ ，-1），或（- ，-1）． （4）设抛物线向右平移 c 个单位长度，则 0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c． 平移以后的抛物线的解析式是：y=-2（x-c）2+b． 令 x=0，解得 y=-2c2+2．即 OC′=-2c2+2． 当点 C′同时在以 A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA′•OB′， 则（-2c2+2）2=（1-c）（1+c）， 即（4c2-3）（c2-1）=0， 解得：c= 3 2 ，- （舍去），1，-1（舍去）． 故平移 或 1 个单位长度． 点评：本题考查了勾股定理，待定系数法求二次函数的解析式，以及图象的平移，正确理解：当点 C′同时 在以 A′B′为直径的圆上时有：OC′2=OA•OB，是解题的关键． 25．（2012•山西）问题情境：将一副直角三角板（Rt△ABC 和 Rt△DEF）按图 1 所示的方式摆放，其中 ∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O 是 AB 的中点，点 D 与点 O 重合，DF⊥AC 于点 M，DE⊥BC 于 点 N，试判断线段 OM 与 ON 的数量关系，并说明理由． 探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法： 解：OM=ON，证明如下： 连接 CO，则 CO 是 AB 边上中线， ∵CA=CB，∴CO 是∠ACB 的角平分线．（依据 1） 36 ∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据 2） 反思交流： （1）上述证明过程中的“依据 1”和“依据 2”分别是指： 依据 1： 依据 2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程． 拓展延伸： （3）将图 1 中的 Rt△DEF 沿着射线 BA 的方向平移至如图 2 所示的位置，使点 D 落在 BA 的延长线上， FD 的延长线与 CA 的延长线垂直相交于点 M，BC 的延长线与 DE 垂直相交于点 N，连接 OM、ON，试判 断线段 OM、ON 的数量关系与位置关系，并写出证明过程． 考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质。810360 专题： 几何综合题。 分析： （1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可； （2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案； （3）求出矩形 DMCN，得出 DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出 OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出 ∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案． 解答： （1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等． （2）证明：∵CA=CB， ∴∠A=∠B， ∵O 是 AB 的中点， ∴OA=OB． ∵DF⊥AC，DE⊥BC， ∴∠AMO=∠BNO=90°， ∵在△OMA 和△ONB 中 ， ∴△OMA≌△ONB（AAS）， ∴OM=ON． （3）解：OM=ON，OM⊥ON．理由如下： 连接 CO，则 CO 是 AB 边上的中线． ∵∠ACB=90°， ∴OC= AB=OB， 又∵CA=CB， 37 ∴∠CAB=∠B=45°，∠1=∠2=45°，∠AOC=∠BOC=90°， ∴∠2=∠B， ∵BN⊥DE， ∴∠BND=90°， 又∵∠B=45°， ∴∠3=45°， ∴∠3=∠B， ∴DN=NB． ∵∠ACB=90°，∴∠NCM=90°．又∵BN⊥DE，∴∠DNC=90° ∴四边形 DMCN 是矩形， ∴DN=MC， ∴MC=NB， ∴△MOC≌△NOB（SAS）， ∴OM=ON，∠MOC=∠NOB， ∴∠MOC﹣∠CON=∠NOB﹣∠CON， 即∠MON=∠BOC=90°， ∴OM⊥ON． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线 性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强．