初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第3讲 充满活力的韦达定理 6页

1 第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这 类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例 1】 已知 、  是方程 012  xx 的两个实数根，则代数式 )2( 22   的值为 。 思路点拨：所求代数式为 、 的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例 2】如果 a 、 b 都是质数，且 0132  maa ， 0132  mbb ，那么 b a a b  的值为( ) A、 22 123 B、 22 125 或 2 C、 22 125 D、 或 2 思路点拨：可将两个等式相减，得到 、 的关系，由于两个等式结构相同，可视 、 为方程 0132  mxx 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于 1x 、 2x 的对称式，这类问题可通过变形用 + 、 表 示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例 3】 已知关于 x 的方程： 04)2( 2 2  mxmx (1)求证：无论 m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根 、 满足 212  xx ，求 m 的值及相应的 、 。 思路点拨：对于(2)，先判定 、 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例 4】 设 、 是方程 023242 22  mmmxx 的两个实数根，当 m 为何值时， 2 2 2 1 xx  有最小 值?并求出这个最小值。 思路点拨：利用根与系数关系把待求式用 m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束 条件下(△≥0)进行的。 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别 式△≥0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。 【例 5】 已知：四边形 ABCD 中，AB∥CD，且 AB、CD 的长是关于 x 的方程 04 7)2 1(2 22  mmxx 的两个根。 (1)当 m＝2 和 m>2 时，四边形 ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由。 2 (2)若 M、N 分别是 AD、BC 的中点，线段 MN 分别交 AC、BD 于点 P，Q，PQ＝1，且 ABBC)的长是关于 x 的方程的两个根。 (1)求 rn 的值； （2）若 E 是 AB 上的一点，CF⊥DE 于 F，求 BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的 3 1 ，请说 明理由． 16、设 m 是不小于 1 的实数，使得关于 的方程工 033)2(2 22  mmxmx 有两个不相等的实数根 、 。 (1) 若 62 2 2 1  xx ，求 m 的值。 （2）求 2 2 2 1 2 1 11 x mx x mx  的最大值。 17、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过 C 作 CD⊥AB 于 D，且 AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2： 1；又关于 x 的方程 012)1(24 1 22  mxnx 两实数根的差的平方小于 192，求整数 m、n 的值。 18、设 a 、 、c 为三个不同的实数，使得方程和 012  axx 和 02  cbxx 有一个相同的实数根，并 且使方程 02  axx 和 02  bcxx 也有一个相同的实数根，试求 cba  的值。 5 参考答案 6