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- 2021-11-11 发布
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第九讲
不等式与不等式组
考点一 不等式的概念及基本性质
【主干必备】
不等式的
有关概念
用不等符号连接起来的式子叫做不等
式,使不等式成立的_____________的取
值范围叫做不等式的解集.
未知数
不等式的
基本性质
性质1 若a0,则ac________bc
性质3
若a
a b( )
c c
或 ______<
a b( )
c c
或 _______>
【微点警示】
在不等式的两边同乘(或除以)同一个负数时,不等号的
方向一定要改变.
【核心突破】
【例1】(2019·广安中考)若m>n,下列不等式不一定成
立的是 ( )
A.m+3>n+3 B.-3m<-3n
C. D.m2>n2
D
m n
3 3
【明·技法】
不等式基本性质的“两点解读”
(1)当左右两边都加上或减去同一个数(或式子)时,不
用考虑不等号方向的变化;当左右两边都乘以或除以同
一个不为零的数(或式子)时,要根据这个数(或式子)的
符号,考虑不等号是否变化.
(2)不等式的三条性质中的不等号(c的条件除外)也可
以添加“=”,如“如果a≥b,c<0,那么ac≤bc
”.
a(
c
或
b)
c
【题组过关】
1.(2019·南昌西湖区期末)若a>b,则下列各式中一定
成立的是 ( )
A.ma>mb B.c2a>c2b
C.1-a>1-b D.(1+c2)a>(1+c2)b
D
2.(2019·杭州下城区期末)已知3a>-6b,则下列不等式
一定成立的是 ( )
A.a+1>-2b-1 B.-a-2
A
a
b
3.(2019·沙坪坝区月考)如果a<0,那么下列各式一定
成立的是 ( )
A.3a<4a B.
C.πa>3.14a D.-2a<-3a
D
3 2a a
2 3
4.(2019·安丘一模)已知关于x的不等式
世纪金榜导学号
(1)当m=1时,求该不等式的解集.
(2)m取何值时,该不等式有解,并求出解集.
2m mx 1 x
2 2
＞
1 ．
【解析】(1)当m=1时,不等式为
去分母得:2-x>x-2,
解得:x<2.
2 x x 1
2 2
＞ ，
(2)不等式去分母得:2m-mx>x-2,
移项合并得:(m+1)x<2(m+1),
当m≠-1时,不等式有解,
当m>-1时,不等式解集为x<2;
当m<-1时,不等式的解集为x>2.
考点二 不等式(组)的解集的数轴表示
【核心突破】
【例2】(1)(2018·南充中考)不等式x+1≥2x-1的解
集在数轴上表示为 ( )B
(2)(2019·威海中考)解不等式组 时,
不等式①②的解集在同一条数轴上表示正确的是( )
3 x 4
2 2x 1 x
3 3
�
�
D
【明·技法】
在数轴上表示不等式解集的“三步骤”
(1)画数轴.
(2)定界点:有等号的画实心圆点,无等号的画空心圆圈.
(3)定方向:>,≥向右画,<,≤向左画.
提醒:移项时,注意改变所移项的符号,但不等号的方向
不变.
【题组过关】
1.(2019·云南模拟)下列哪个不等式组的解集在数轴
上表示如图所示 ( )A
x 2 x 2
A. B.
x 1 x 1
x 2 x 2
C. D.
x 1 x 1
2.(2019·济南历下区期末)不等式6-3x>0的解集在数
轴上表示为( )A
3.(2019·广饶模拟)已知不等式组 其解集
在数轴上表示正确的是世纪金榜导学号( )
x 3 0,
x 1 0,
B
考点三 解不等式(组)
【主干必备】
1.解一元一次不等式的一般步骤
(1)去分母.(2)_____________.
(3)移项.(4)_________________.
(5)系数化为1.
去括号
合并同类项
2.解不等式组的方法
分别解不等式组中各个不等式,再利用数轴求出这些不
等式的公共部分.
【微点警示】
解不等式组与解方程组截然不同,不能将两个不等式相
加或相减,否则会出现错误.
【核心突破】
【例3】(1)(2019·攀枝花中考)解不等式,并把它的解
集在数轴上表示出来.
x 2 x 4 3.
5 2
(2)(2019·江西中考)解不等式组: 并在
数轴上表示它的解集.
2(x 1) x,
x 71 2x ,
2
【自主解答】(1)去分母,得:2(x-2)-5(x+4)>-30,
去括号,得:2x-4-5x-20>-30,
移项,得:2x-5x>-30+4+20,
合并同类项,得:-3x>-6,
系数化为1,得:x<2,
将不等式的解集表示在数轴上如图:
(2) 解①得:x>-2,解②得:x≤-1,故不
等式组的解集为:-2b 同大取大
x a
(1)
x b
，
不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀)
x-1,
所以不等式组的解集为:-1 ,由②得:x<4,不等式组的解集为: 2
x 1 x 1,
3 2
x 4m
A
3.(2019·沈阳市铁西区模拟)已知关于x的不等式组
有5个整数解,则a的取值范围是___________.
世纪金榜导学号
5 2x 1,
x a 0
-2≤a<-1
考点六 一元一次不等式的应用
【主干必备】
不等式的应用
列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本
相似,其步骤包括:(1)审清题意;(2)设未知数;(3)列不
等式;(4)解不等式;(5)___________作答. 检验
【核心突破】
【例6】(2019·安徽模拟)某市教育局对某镇实施“教
育精准扶贫”,为某镇建中、小型两种图书室共30个.
计划养殖类图书不超过2 000本,种植类图书不超过
1 600本.已知组建一个中型图书室需养殖类图书80本,
种植类图书50本;组建一个小型图书室需养殖类图书30
本,种植类图书60本. 世纪金榜导学号
(1)符合题意的组建方案有几种?请写出具体的组建方
案.
(2)若组建一个中型图书室的费用是2 000元,组建一个
小型图书室的费用是1 500元,哪种方案费用最低,最低
费用是多少元?
【自主解答】
(1)设组建中型图书室x个,则小型图书室(30-x)个.
由题意,得
化简得
80x 30(30 x) 2 000,
50x 60(30 x) 1 600,
5x 110,
x 20,
解这个不等式组,得20≤x≤22.
由于x只能取整数,∴x的取值是20,21,22.
当x=20时,30-x=10;当x=21时,30-x=9;
当x=22时,30-x=8.故有三种组建方案:
方案一,中型图书室20个,小型图书室10个;
方案二,中型图书室21个,小型图书室9个;
方案三,中型图书室22个,小型图书室8个.
(2)方案一的费用是:2 000×20+1 500×10=
55 000(元);
方案二的费用是:2 000×21+1 500×9=55 500(元);
方案三的费用是:2 000×22+1 500×8=56 000(元);
故方案一费用最低,最低费用是55 000元.
【明·技法】
列不等式(组)解应用题的“三点注意”
(1)在设未知数和写答案时,一定要写清单位,列不等式
时两边所表示的量应相同,并且单位要统一.
(2)不等关系的给出总是以“至少”“小于”“不超
过”“最多”等关系词语作为标志,列不等式时一定要
准确使用数学符号表示.
(3)检验一个解是否为应用题的解时,必须满足:
①是不等式(组)的解.②符合实际问题的意义,如求得
的人数必须是正整数等.
【题组过关】
1.(2019·无锡中考)某工厂为了要在规定期限内完成
2 160个零件的任务,于是安排15名工人每人每天加工a
个零件(a为整数),开工若干天后,其中3人外出培训,若
剩下的工人每人每天多加工2个零件,则不能按期完成
这次任务,由此可知a的值至少为 ( )
A.10 B.9 C.8 D.7
B
2.(2019·重庆中考B卷)某次知识竞赛共有20题,答对
一题得10分,答错或不答扣5分,小华得分要超过120分,
他至少要答对的题的个数为世纪金榜导学号( )
A.13 B.14 C.15 D.16
C
3.(2019·荆门二模)某市一种出租车起步价是5元(路
程在3 km以内均付5元),达到或超过3 km,每增加
0.5 km加价0.7元(不足0.5 km按0.5 km计).某乘客坐
这种出租车从甲地到乙地,下车时付车费14.8元,那么
甲地到乙地的路程是多少?
【解析】 设从甲地到乙地的路程是x km,
根据题意,得:14.8-0.7<5+1.4(x-3)≤14.8,解
得:9.5
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