2018年山东省东营市中考数学试卷 29页

‎2018年山东省东营市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．‎ ‎1．（3.00分）﹣的倒数是（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣ D．‎ ‎2．（3.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．﹣（x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2=a4‎ C．a2•a3=a6 D．（xy2）2=x2y4‎ ‎3．（3.00分）下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3.00分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1‎ ‎5．（3.00分）为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（　　）‎ 捐款数额 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎100‎ 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ A．众数是100 B．中位数是30 C．极差是20 D．平均数是30‎ ‎6．（3.00分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）‎ A．19 B．18 C．16 D．15‎ ‎7．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）‎ A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF ‎8．（3.00分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（3.00分）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（3.00分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：‎ ‎①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）‎ A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．‎ ‎11．（3.00分）东营市大力推动新旧动能转换，产业转型升级迈出新步伐．建立了新旧动能转换项目库，筛选论证项目377个，计划总投资4147亿元．4147亿元用科学记数法表示为　 　元．‎ ‎12．（3.00分）分解因式：x3﹣4xy2=　 　．‎ ‎13．（3.00分）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是　 　．‎ ‎14．（3.00分）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　 　．‎ ‎15．（4.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　 　．‎ ‎16．（4.00分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为　 　．‎ ‎17．（4.00分）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　 　．‎ ‎18．（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（7.00分）（1）计算：|2﹣|+（+1）0﹣3tan30°+（﹣1）2018﹣（）﹣1；‎ ‎（2）解不等式组：并判断﹣1，这两个数是否为该不等式组的解．‎ ‎20．（8.00分）2018年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：‎ 图书种类 频数（本）‎ 频率 名人传记 ‎175‎ a 科普图书 b ‎0.30‎ 小说 ‎110‎ c 其他 ‎65‎ d ‎（1）求该校九年级共捐书多少本；‎ ‎（2）统计表中的a=　 　，b=　 　，c=　 　，d=　 　；‎ ‎（3）若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；‎ ‎（4）该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率．‎ ‎21．（8.00分）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．‎ ‎22．（8.00分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．‎ ‎（1）求证：∠CAD=∠BDC；‎ ‎（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．‎ ‎23．（9.00分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．‎ ‎24．（10.00分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：‎ 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．‎ 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．‎ 请回答：∠ADB=　 　°，AB=　 　．‎ ‎（2）请参考以上解决思路，解决问题：‎ 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．‎ ‎25．（12.00分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．‎ ‎（1）求线段OC的长度；‎ ‎（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年山东省东营市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．‎ ‎1．（3.00分）﹣的倒数是（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．﹣ D．‎ ‎【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1．‎ ‎【解答】解：﹣的倒数是﹣5，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．﹣（x﹣y）2=﹣x2﹣2xy﹣y2 B．a2+a2=a4‎ C．a2•a3=a6 D．（xy2）2=x2y4‎ ‎【分析】根据完全平方公式、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方与幂的乘方逐一计算可得．‎ ‎【解答】解：A、﹣（x﹣y）2=﹣x2+2xy﹣y2，此选项错误；‎ B、a2+a2=2a2，此选项错误；‎ C、a2•a3=a5，此选项错误；‎ D、（xy2）2=x2y4，此选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（3.00分）下列图形中，根据AB∥CD，能得到∠1=∠2的是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【分析】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，据此进行判断即可．‎ ‎【解答】解：A．根据AB∥CD，能得到∠1+∠2=180°，故本选项不符合题意；‎ B．如图，根据AB∥CD，能得到∠3=∠4，再根据对顶角相等，可得∠1=∠2，故本选项符合题意；‎ C．根据AC∥BD，能得到∠1=∠2，故本选项不符合题意；‎ D．根据AB平行CD，不能得到∠1=∠2，故本选项不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．（3.00分）在平面直角坐标系中，若点P（m﹣2，m+1）在第二象限，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＜﹣1 B．m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．m＞﹣1‎ ‎【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．‎ ‎【解答】解：∵点P（m﹣2，m+1）在第二象限，‎ ‎∴，‎ 解得﹣1＜m＜2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（3.00分）为了帮助市内一名患“白血病”的中学生，东营市某学校数学社团15名同学积极捐款，捐款情况如下表所示，下列说法正确的是（　　）‎ 捐款数额 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎100‎ 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ A．众数是100 B．中位数是30 C．极差是20 D．平均数是30‎ ‎【分析】根据中位数、众数和极差的概念及平均数的计算公式，分别求出这组数据的中位数、平均数、众数和极差，得到正确结论．‎ ‎【解答】解：该组数据中出现次数最多的数是30，故众数是30不是100，所以选项A不正确；‎ 该组共有15个数据，其中第8个数据是30，故中位数是30，所以选项B正确；‎ 该组数据的极差是100﹣10=90，故极差是90不是20，所以选项C不正确；‎ 该组数据的平均数是=不是30，所以选项D不正确．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（3.00分）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（　　）‎ A．19 B．18 C．16 D．15‎ ‎【分析】设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，根据前两束气球的价格，即可得出关于x、y的方程组，用前两束气球的价格相加除以2，即可求出第三束气球的价格．‎ ‎【解答】解：设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，‎ 根据题意得：，‎ 方程（①+②）÷2，得：2x+2y=18．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（3.00分）如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F，AB=BF．添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是（　　）‎ A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF ‎【分析】正确选项是D．想办法证明CD=AB，CD∥AB即可解决问题；‎ ‎【解答】解：正确选项是D．‎ 理由：∵∠F=∠CDF，∠CED=∠BEF，EC=BE，‎ ‎∴△CDE≌△BFE，CD∥AF，‎ ‎∴CD=BF，‎ ‎∵BF=AB，‎ ‎∴CD=AB，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3.00分）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．‎ ‎【解答】‎ 解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．‎ 在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，‎ 所以AC=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（3.00分）如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．‎ ‎【解答】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似比可知：=，‎ 即EF=2（6﹣x）‎ 所以y=×2（6﹣x）x=﹣x2+6x．（0＜x＜6）‎ 该函数图象是抛物线的一部分，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3.00分）如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：‎ ‎①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（　　）‎ A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④‎ ‎【分析】只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；‎ ‎【解答】解：∵∠DAE=∠BAC=90°，‎ ‎∴∠DAB=∠EAC ‎∵AD=AE，AB=AC，‎ ‎∴△DAB≌△EAC，‎ ‎∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，‎ ‎∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，‎ ‎∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，‎ ‎∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，‎ ‎∴BE2=BC2﹣EC2=2AB2﹣（CD2﹣DE2）=2AB2﹣CD2+2AD2=2（AD2+AB2）﹣CD2．故④‎ 正确，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分．只要求填写最后结果．‎ ‎11．（3.00分）东营市大力推动新旧动能转换，产业转型升级迈出新步伐．建立了新旧动能转换项目库，筛选论证项目377个，计划总投资4147亿元．4147亿元用科学记数法表示为　4.147×1011　元．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：4147亿元用科学记数法表示为4.147×1011，‎ 故答案为：4.147×1011‎ ‎　‎ ‎12．（3.00分）分解因式：x3﹣4xy2=　x（x+2y）（x﹣2y）　．‎ ‎【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．‎ ‎【解答】解：原式=x（x2﹣4y2）=x（x+2y）（x﹣2y），‎ 故答案为：x（x+2y）（x﹣2y）‎ ‎　‎ ‎13．（3.00分）有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是　　．‎ ‎【分析】直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案．‎ ‎【解答】解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，‎ ‎∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．（3.00分）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　y=　．‎ ‎【分析】设A坐标为（x，y），根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利用待定系数法确定出解析式即可．‎ ‎【解答】解：设A坐标为（x，y），‎ ‎∵B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，‎ ‎∴x+5=0+3，y+0=0﹣3，‎ 解得：x=﹣2，y=﹣3，即A（﹣2，﹣3），‎ 设过点A的反比例解析式为y=，‎ 把A（﹣2，﹣3）代入得：k=6，‎ 则过点A的反比例解析式为y=，‎ 故答案为：y=‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是　15　．‎ ‎【分析】作DQ⊥AC，由角平分线的性质知DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q，‎ 由作图知CP是∠ACB的平分线，‎ ‎∵∠B=90°，BD=3，‎ ‎∴DB=DQ=3，‎ ‎∵AC=10，‎ ‎∴S△ACD=•AC•DQ=×10×3=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）已知一个圆锥体的三视图如图所示，则这个圆锥体的侧面积为　20π　．‎ ‎【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为4，圆锥的高为3，再根据勾股定理计算出母线长l为5，然后根据圆锥的侧面积公式：S侧=πrl代入计算即可．‎ ‎【解答】解：根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为8，即底面圆的半径r为4，圆锥的高为3，‎ 所以圆锥的母线长l==5，‎ 所以这个圆锥的侧面积是π×4×5=20π．‎ 故答案为：20π ‎　‎ ‎17．（4.00分）在平面直角坐标系内有两点A、B，其坐标为A（﹣1，﹣1），B（2，7），点M为x轴上的一个动点，若要使MB﹣MA的值最大，则点M的坐标为　　．‎ ‎【分析】要使得MB﹣MA的值最大，只需取其中一点关于x轴的对称点，与另一点连成直线，然后求该直线x轴交点即为所求．‎ ‎【解答】解：取点B关于x轴的对称点B′，则直线AB′交x轴于点M．点M即为所求．‎ 设直线AB′解析式为：y=kx+b 把点A（﹣1，﹣1）B′（2，﹣7）代入 解得 ‎∴直线AB′为：y=﹣2x﹣3，‎ 当y=0时，x=﹣‎ ‎∴M坐标为（﹣，0）‎ 故答案为：（﹣，0）‎ ‎　‎ ‎18．（4.00分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，1），那么点A2018的纵坐标是　　．‎ ‎【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则每个点A的纵坐标为对应等腰直角三角形的斜边一半．故先设出各点A的纵坐标，可以表示A的横坐标，代入解析式可求点A的纵坐标，规律可求．‎ ‎【解答】解：分别过点A1，A2，A3，…向x轴作垂线，垂足为C1，C2，C3，…‎ ‎∵点A1（1，1）在直线y=x+b上 ‎∴代入求得：b=‎ ‎∴y=x+‎ ‎∵△OA1B1为等腰直角三角形 ‎∴OB1=2‎ 设点A2坐标为（a，b）‎ ‎∵△B1A2B2为等腰直角三角形 ‎∴A2C2=B1C2=b ‎∴a=OC2=OB1+B1C2=2+b 把A2（2+b，b）代入y=x+‎ 解得b=‎ ‎∴OB2=5‎ 同理设点A3坐标为（a，b）‎ ‎∵△B2A3B3为等腰直角三角形 ‎∴A3C3=B2C3=b ‎∴a=OC3=OB2+B2C3=5+b 把A2（5+b，b）代入y=x+‎ 解得b=‎ 以此类推，发现每个A的纵坐标依次是前一个的倍 则A2018的纵坐标是 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎19．（7.00分）（1）计算：|2﹣|+（+1）0﹣3tan30°+（﹣1）2018﹣（）﹣1；‎ ‎（2）解不等式组：并判断﹣1，这两个数是否为该不等式组的解．‎ ‎【分析】（1）先求出每一部分的值，再代入求出即可；‎ ‎（2）先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集，再判断即可．‎ ‎【解答】解：（1）原式=‎ ‎=；‎ ‎（2）‎ ‎∵解不等式①得：x＞﹣3，‎ 解不等式②得：x≤1‎ ‎∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，‎ 则﹣1是不等式组的解，不是不等式组的解．‎ ‎　‎ ‎20．（8.00分）2018年东营市教育局在全市中小学开展了“情系疏勒书香援疆”捐书活动，200多所学校的师生踊跃参与，向新疆疏勒县中小学共捐赠爱心图书28.5万余本．某学校学生社团对本校九年级学生所捐图书进行统计，根据收集的数据绘制了下面不完整的统计图表．请你根据统计图表中所提供的信息解答下列问题：‎ 图书种类 频数（本）‎ 频率 名人传记 ‎175‎ a 科普图书 b ‎0.30‎ 小说 ‎110‎ c 其他 ‎65‎ d ‎（1）求该校九年级共捐书多少本；‎ ‎（2）统计表中的a=　0.35　，b=　150　，c=　0.22　，d=　0.13　；‎ ‎（3）若该校共捐书1500本，请估计“科普图书”和“小说”一共多少本；‎ ‎（4）该社团3名成员各捐书1本，分别是1本“名人传记”，1本“科普图书”，1本“小说”，要从这3人中任选2人为受赠者写一份自己所捐图书的简介，请用列表法或树状图求选出的2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的概率．‎ ‎【分析】（1）根据名人传记的圆心角求得其人数所占百分比，再用名人传记的人数除以所得百分比可得总人数；‎ ‎（2）根据频率=频数÷总数分别求解可得；‎ ‎（3）用总人数乘以样本中科普图书和小说的频率之和可得；‎ ‎（4）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的结果数，利用概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）该校九年级共捐书：；‎ ‎（2）a=175÷500=0.35、b=500×0.3=150、c=110÷500=0.22、d=65÷500=0.13，‎ 故答案为：0.35、150、0.22、0.13；‎ ‎（3）估计“科普图书”和“小说”一共1500×（0.3+0.22）=780（本）；‎ ‎（4）分别用“1、2、3”代表“名人传记”、“科普图书”、“小说”三本书，可用列表法表示如下：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（2，1）‎ ‎（3，1）‎ ‎2‎ ‎（1，2）‎ ‎（3，2）‎ ‎3‎ ‎（1，3）‎ ‎（2，3）‎ 则所有等可能的情况有6种，其中2人恰好1人捐“名人传记”，1人捐“科普图书”的情况有2种，‎ 所以所求的概率：．‎ ‎　‎ ‎21．（8.00分）小明和小刚相约周末到雪莲大剧院看演出，他们的家分别距离剧院1200m和2000m，两人分别从家中同时出发，已知小明和小刚的速度比是3：4，结果小明比小刚提前4min到达剧院．求两人的速度．‎ ‎【分析】设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，根据时间=路程÷速度结合小明比小刚提前4min到达剧院，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设小明的速度为3x米/分，则小刚的速度为4x米/分，‎ 根据题意得：﹣=4，‎ 解得：x=25，‎ 经检验，x=25是分式方程的根，且符合题意，‎ ‎∴3x=75，4x=100．‎ 答：小明的速度是75米/分，小刚的速度是100米/分．‎ ‎　‎ ‎22．（8.00分）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．‎ ‎（1）求证：∠CAD=∠BDC；‎ ‎（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．‎ ‎【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；‎ ‎（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴∠OBD=∠ODB．‎ ‎∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，‎ ‎∴∠ODB+∠BDC=90°．‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴∠OBD+∠CAD=90°，‎ ‎∴∠CAD=∠BDC．‎ ‎（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，‎ ‎∴△CDB∽△CAD，‎ ‎∴=．‎ ‎∵BD=AD，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ 又∵AC=3，‎ ‎∴CD=2．‎ ‎　‎ ‎23．（9.00分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．‎ ‎（1）求sinA的值；‎ ‎（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．‎ ‎【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；‎ ‎（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．‎ 分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；‎ 当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，‎ ‎∴sin2A=，‎ ‎∴sinA=或 ，‎ ‎∵∠A为锐角，‎ ‎∴sinA=；‎ ‎（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，‎ 则△≥0，‎ ‎∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，‎ ‎∴﹣（k﹣2）2≥0，‎ ‎∴（k﹣2）2≤0，‎ 又∵（k﹣2）2≥0，‎ ‎∴k=2，‎ 把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，‎ 解得y1=y2=5，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．‎ 分两种情况：‎ 当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5‎ ‎∵sinA=，‎ ‎∴AD=3，BD=4∴DC=2，‎ ‎∴BC=．‎ ‎∴△ABC的周长为；‎ 当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，‎ ‎∵sinA=，‎ ‎∴A D=DC=3，‎ ‎∴AC=6．‎ ‎∴△ABC的周长为16，‎ 综合以上讨论可知：△ABC的周长为或16．‎ ‎　‎ ‎24．（10.00分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：‎ 如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．‎ 经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．‎ 请回答：∠ADB=　75　°，AB=　4　．‎ ‎（2）请参考以上解决思路，解决问题：‎ 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．‎ ‎【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；‎ ‎（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．‎ ‎【解答】解：（1）∵BD∥AC，‎ ‎∴∠ADB=∠OAC=75°．‎ ‎∵∠BOD=∠COA，‎ ‎∴△BOD∽△COA，‎ ‎∴==．‎ 又∵AO=，‎ ‎∴OD=AO=，‎ ‎∴AD=AO+OD=4．‎ ‎∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，‎ ‎∴∠ABD=180°﹣∠BAD﹣∠ADB=75°=∠ADB，‎ ‎∴AB=AD=4．‎ 故答案为：75；4．‎ ‎（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．‎ ‎∵AC⊥AD，BE∥AD，‎ ‎∴∠DAC=∠BEA=90°．‎ ‎∵∠AOD=∠EOB，‎ ‎∴△AOD∽△EOB，‎ ‎∴==．‎ ‎∵BO：OD=1：3，‎ ‎∴==．‎ ‎∵AO=3，‎ ‎∴EO=，‎ ‎∴AE=4．‎ ‎∵∠ABC=∠ACB=75°，‎ ‎∴∠BAC=30°，AB=AC，‎ ‎∴AB=2BE．‎ 在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，‎ 解得：BE=4，‎ ‎∴AB=AC=8，AD=12．‎ 在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，‎ 解得：CD=4．‎ ‎　‎ ‎25．（12.00分）如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞‎ ‎0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．‎ ‎（1）求线段OC的长度；‎ ‎（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；‎ ‎（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）令y=0，求出x的值，确定出A与B坐标，根据已知相似三角形得比例，求出OC的长即可；‎ ‎（2）根据C为BM的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC=BC，确定出C的坐标，利用待定系数法确定出直线BC解析式，把C坐标代入抛物线求出a的值，确定出二次函数解析式即可；‎ ‎（3）过P作x轴的垂线，交BM于点Q，设出P与Q的横坐标为x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出坐标轴，相减表示出PQ，四边形ACPB面积最大即为三角形BCP面积最大，三角形BCP面积等于PQ与B和C横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时P的坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题可知当y=0时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，‎ 解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），‎ ‎∴OA=1，OB=3‎ ‎∵△OCA∽△OBC，‎ ‎∴OC：OB=OA：OC，‎ ‎∴OC2=OA•OB=3，‎ 则OC=；‎ ‎（2）∵C是BM的中点，即OC为斜边BM的中线，‎ ‎∴OC=BC，‎ ‎∴点C的横坐标为，‎ 又OC=，点C在x轴下方，‎ ‎∴C（，﹣），‎ 设直线BM的解析式为y=kx+b，‎ 把点B（3，0），C（，﹣）代入得：，‎ 解得：b=﹣，k=，‎ ‎∴y=x﹣，‎ 又∵点C（，﹣）在抛物线上，代入抛物线解析式，‎ 解得：a=，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣x+2；‎ ‎（3）点P存在，‎ 设点P坐标为（x，x2﹣x+2），过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，‎ 则Q（x，x﹣），‎ ‎∴PQ=x﹣﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+3x﹣3，‎ 当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，‎ S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣x2+x﹣，‎ 当x=﹣=时，S△BCP有最大值，四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为（，﹣）．‎ ‎　‎