2019九年级数学上册 专题突破讲练 特殊角的锐角三角函数值及其计算试题 （新版）青岛版 8页

特殊角的锐角三角函数值 特殊角的三角函数值 三角函数 角度α sinα cosα tanα ‎30°‎ ‎45°‎ ‎1‎ ‎60°‎ 方法归纳：（1）解有关等边三角形、等腰直角三角形及与30°、45°、60°角相联系的其他三角形问题时，常常要用特殊角的三角函数值。‎ ‎（2）必须熟练掌握特殊角的三角函数值，既能由角求三角函数值，又能由三角函数值求角。‎ ‎（3）正弦、正切值随锐角度数的增大（或减小）而增大（或减小），余弦值随锐角度数的增大（或减小）而减小（或增大）。‎ 总结：‎ ‎1. 特殊角三角函数在计算及应用题里广泛使用，应理解概念并熟练应用。‎ ‎2. 能够解决含特殊角的三角函数问题，并能根据三角函数值求角的度数。‎ 例题1 如图所示，已知直线y＝x＋，求这条直线与x轴的夹角（锐角）。‎ 解析：直线与x轴、y轴相交围成一个直角三角形，然后根据直线与x轴、y轴交点坐标即可求解。‎ 答案：设y＝x＋与x轴、y轴交点为A、B两点，则A（－1，0）、B（0，），∴OA＝1，OB＝．∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝60°。‎ 答：直线与x轴夹角（锐角）为60°。‎ 点拨：本题关键利用Rt△AOB来求出OA、OB，进而求出∠BAO的正切值，最后求出度数，是已知两边求度数的一种常用方法。‎ 例题2 已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E。探索：设＝t，若△ADF∽△EDB，试求t的值。‎ 8‎ 解析：t的值就是△ABC两边的比值，所以我们可以考虑通过相似三角形和其它特殊图形求出AC与AB的数量关系，再求其比值。或者能求出∠ABC或∠C的度数也可以，因为∠BAC＝90°，在直角三角形中利用三角函数求t值。‎ 答案：∵∠BAC＝90°，EF⊥BC，∠ADF＝∠CDE，∴∠F＝∠C。‎ ‎∵∠ABD＝∠C，∴∠F＝∠ABD。‎ ‎∵△ADF∽△EDB，∴∠F＝∠EBD，∴在Rt△ABC中，∠C＝∠ABD＝∠EBD，又∠C＋∠ABD＋∠EBD＝90°，∴∠C＝∠ABD＝∠EBD＝30°，∴∠ABC＝60°。‎ ‎∴＝tan∠ABC＝，即t＝。‎ 点拨：本题中t值是∠C的正切值，所以需要求出∠C的度数．要求一个角的度数，特别是在没有已知度数的角的情况下，应考虑利用三角形内角和或特殊的三角形、四边形来求。利用三角形内角和时，这三个内角必须具有倍分关系，才能转化成一元一次方程求出角的度数，本题中是证明的三个角相等且和为90°。‎ 锐角三角函数是角的度数与线段的长度之间相互转化的重要工具，是解决三角形边角关系的常用数学方法。在中考试题中对特殊角三角函数的考查有的直接考查，以填空题和选择题的形式出现，一般比较容易；有的融入到其他知识或题型中间接考查，如三角形、四边形、圆等，常以解答题、操作说明题、阅读题等形式出现，综合性较强，难度较。‎ 满分训练 阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：‎ sin30°＝，cos30°＝，则sin230°＋cos230°＝__________①；‎ sin45°＝，cos45°＝，则sin245°＋cos245°＝__________②；‎ sin60°＝，cos60°＝，则sin260°＋cos260°＝__________③；‎ ‎……‎ 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin‎2A＋cos‎2A＝__________④。‎ ‎（1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；‎ 8‎ ‎（2）已知：∠A为锐角（cosA＞0）且sinA＝，求cosA。‎ 解析：（1）证明：过点B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，sinA＝，cosA＝，由勾股定理得，BD2＋AD2＝AB2，∴（）2＋（）2＝＝1，∴sin‎2A＋cos‎2A＝1；（2）∵∠A为锐角（cosA＞0），sinA＝，sin‎2A＋cos‎2A＝1，∴cosA＝＝。‎ 点拨：本题属于阅读理解题，读懂题意，弄清题目所给的定义和规律是解答这类问题的关键。比本题中可总结出同角的三角函数关系，sin‎2A＋cos‎2A＝1，类似的还有tanA＝等。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 式子2cos30°－tan45°－的值是（ ）‎ A. 2 B. ‎0 ‎C. 2 D. 2‎ ‎2. 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC与BD相交于O，则tan∠AOB等于（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎*3. 如图所示是类似“羊头”的图案，它左右对称，由正方形、等腰直角三角形构成，如果标有数字“‎13”‎的正方形的边长是，那么标有数学“‎2”‎的等腰直角三角形斜边的长是（ ）‎ A. 2 B. ‎2‎ C. 2 D. 8‎ ‎**4. 如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为（ ）‎ A. B. C. D. 二、填空题 ‎5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是__________（只需填上正确结论的序号）。‎ ‎*6. △ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边。已知a＝，b＝＋，c＝－，则bsinB＋csinC的值是__________。‎ ‎*7. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tanB＝__________。‎ ‎**8. 如图所示，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是__________。‎ 三、解答题 8‎ ‎9. 已知a是锐角，且sin（α＋15°）＝，计算－4cosα－（π－3.14）0＋tanα＋））−1的值。‎ ‎**10. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：‎ sinα＝sin（180°－α），cosα＝－cos（180°－α）。‎ ‎（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；‎ ‎（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A、B是这个三角形的两个顶点，sinA、cosB是方程4x2－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小。‎ ‎**11. 如图，风车的支杆OE垂直于桌面，风车中心O到桌面的距离OE为‎25cm，小小风车在风吹动下绕着中心O不停地转动，转动过程中，叶片端点A、B、C、D在同一圆O上，已知⊙O的半径为‎10cm。‎ ‎（1）风车在转动过程中，当∠AOE＝45°时，求点A到桌面的距离（结果保留根号）。‎ ‎（2）在风车转动一周的过程中，求点A相对于桌面的高度不超过‎20cm所经过的路径长（结果保留π）。‎ ‎**12. 现场学习：我们知道，若锐角α的三角函数值为sinα＝m，则可通过计算器得到角α的大小，这时我们用arc sin m来表示α，记作：α＝arc sin m；若cos α ＝m，则记α＝arc cos m；若tan α＝m，则记α＝arc tan m。‎ 解决问题：如图，已知正方形ABCD，点E是边AB上一动点，点F在AB边或其延长线上，点G在边AD上。连接ED、FG，交点为H。‎ ‎（1）如图1，若AE＝BF＝GD，请直接写出∠EHF＝__________°；‎ ‎（2）如图2，若EF＝CD，GD＝AE，设∠EHF＝α。请判断当点E在AB上运动时，∠EHF的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出α。‎ 8‎ ‎1. B 解析：原式＝2×－1－（－1）＝－1－＋1＝0．故选B。‎ ‎2. A 解析：因为ABCD是矩形，所以AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。∵AB＝1，BC＝，∴tan∠CAB＝，∴∠CAB＝60°，∴∠OBA＝∠OAB＝60°。∴∠AOB＝180°－60°－60°＝60°，tan∠AOB＝tan60°＝。故选A。‎ ‎3. B 解析：可利用勾股定理或三角函数从标有“‎13”‎的正方形开始倒序计算至标有“‎2”‎的等腰直角三角形的斜边长。‎ ‎4. B 解析：过点A作AD⊥OB于点D，∵在Rt△AOD中，∠AOB＝45°，∴OD＝AD＝OA•cos45°＝×1＝，∴BD＝OB－OD＝1－，∴AB＝＝，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，AC＝2，∴sinC＝＝，故选B。‎ ‎5. ②③④ 解析：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，∴sinA＝＝，故①错误；∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴cosB＝cos60°＝，故②正确；∵∠A＝30°，∴tanA＝tan30°＝，故③正确；∵∠B＝60°，∴tanB＝tan60°＝，故④正确。‎ ‎6. 解析：不难验证，a2＝b2＋c2，所以△ABC是直角三角形，其中a是斜边，bsinB＋csinC＝b·＋c·＝＝＝a＝。‎ ‎7. 解析：在Rt△ABC中，∵AD⊥BC于点D，∴∠ADB＝∠CDA，∵∠B＋∠BAD＝90°，∠BAD＋DAC＝90°，∴∠B＝∠DAC，∴△ABD∽△ACD，∴＝，∵BD：CD＝3：2，设BD＝3x，CD＝2x，∴AD＝＝x，则tanB＝＝＝。‎ ‎8. 解析：分别过点A、B作AE⊥l1，BF⊥l1，易得△AEC≌△CFB（AAS），设平行线间距离为d＝1，∴CE＝BF＝1，AE＝CF＝2，AC＝BC＝，AB＝，则sinα＝＝＝。‎ 8‎ ‎9. 解析：∵sin（α＋15°）＝，∴α＋15°＝60°，∴α＝45°。当α＝45°时，原式＝2－4×cos45°－1＋tan45°＋3＝2－2－1＋1＋3＝3。‎ ‎10. 解：（1）由题意得，sin120°＝sin（180°－120°）＝sin60°＝，cos120°＝－cos（180°－120°）＝－cos60°＝－，sin150°＝sin（180°－150°）＝sin30°＝；（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，∴三个内角分别为30°、30°、120°，①当∠A＝30°，∠B＝120°时，方程的两根为和－，将代入方程得：4×（）2－m×－1＝0，解得：m＝0，经检验－是方程4x2－1＝0的根，∴m＝0符合题意；②当∠A＝120°，∠B＝30°时，两根均为，不符合题意；③当∠A＝30°，∠B＝30°时，两根为和，将代入方程得：4×（）2－m×－1＝0，解得：m＝0，经检验不是方程4x2－1＝0的根。综上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°。‎ ‎11. 解：（1）当∠AOE＝45°时，过点A作AF⊥OE于F，则OF＝OA·cos∠AOE＝10×＝‎5cm；（2）过点A作AG⊥OE于G，交⊙O于另一点H。∵OE＝‎25cm，∴当OG＝‎5cm时点A到桌面的距离正好是‎20cm。在Rt△OAG中，OG＝‎5cm，OA＝‎10cm，即sin∠OAG＝＝＝，∴∠OAG＝30°，∠AOG＝60°，∴∠AOH＝120°。在扇形OAH中，劣弧的长度＝＝π（cm）。即风车转动一周，点A相对于桌面的高度不超过‎20cm所经过的路径长为πcm。‎ ‎12. 解：（1）45° 提示：连接FC、GC，则△ADE≌△BCF≌△DCG，从而DE∥FC，△CGF是等腰直角三角形，所以∠EHF＝∠GFC＝45°。‎ ‎（2）不会变化。证明：如图2，过点F作FＭ∥ED交CD于Ｍ，连接GＭ。∵正方形ABCD中，AB∥CD，∴四边形EFMD为平行四边形。∴EF＝DM，DE＝FM。‎ 8‎ ‎∴∠EDC＝∠FMC，∠EHF＝∠HFM＝α。∵EF＝CD，GD＝AE，∴＝＝。∴＝，∵∠A＝∠GDM＝90°，∴△DGM∽△AED。∴＝，∴＝。∵∠GDH＋∠MDH＝90°，∠GDH＝∠DMG，∠MDH＝∠CMF，∴∠DMG＋∠CMF＝90°，∴∠GMF＝90°。在Rt△GFM中，tanα＝＝。∴α＝arc tan。‎ 8‎