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- 2021-11-11 发布
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2017年四川省绵阳市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,每个小题只有一个选项符合题目要求)
1.(3分)中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,﹣0.5的相反数是( )
A.0.5 B.±0.5 C.﹣0.5 D.5
2.(3分)下列图案中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.(3分)中国幅员辽阔,陆地面积约为960万平方公里,“960万”用科学记数法表示为( )
A.0.96×107 B.9.6×106 C.96×105 D.9.6×102
4.(3分)如图所示的几何体的主视图正确的是( )
A. B. C. D.
5.(3分)使代数式+有意义的整数x有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
6.(3分)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于( )
A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m
7.(3分)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1,则nm的值为( )
A.﹣8 B.8 C.16 D.﹣16
8.(3分)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是( )
A.68πcm2 B.74πcm2 C.84πcm2 D.100πcm2
9.(3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2,∠AEO=120°,则FC的长度为( )
A.1 B.2 C. D.
10.(3分)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是( )
A.b>8 B.b>﹣8 C.b≥8 D.b≥﹣8
11.(3分)如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则
的值为( )
A. B. C. D.
12.(3分)如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则+++…+的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,将答案填写在答题卡相应的横线上)
13.(3分)分解因式:8a2﹣2= .
14.(3分)关于x的分式方程=的解是 .
15.(3分)如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是 .
16.(3分)同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是 .
17.(3分)将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA,CB于M,N两点,若CA=5,AB=6,AD:AB=1:3,则MD+的最小值为 .
18.(3分)如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是 .
三、解答题(本大题共7小题,共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(16分)(1)计算:+cos245°﹣(﹣2)﹣1﹣|﹣|
(2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=2,y=.
20.(11分)红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):
182
195
201
179
208
204
186
192
210
204
175
193
200
203
188[来源:Zxxk.Com]
197
212
207
185
206
188
186
198
202
221
199
219
208
187
224
(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:
谷粒颗数
175≤x<185
185≤x<195
195≤x<205
205≤x<215
215≤x<225
频数
8
10
3
对应扇形
图中区域
D
E
C
如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为 度,扇形B对应的圆心角为 度;
(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株?
21.(11分)江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?
(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.
22.(11分)如图,设反比例函数的解析式为y=(k>0).
(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;
(2)若该反比例函数与过点M(﹣2,0)的直线l:y=kx+
b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积为时,求直线l的解析式.
23.(11分)如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;
(2)连接DF,若cos∠DFA=,AN=2,求圆O的直径的长度.
24.(12分)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:圆C与x轴相切;
(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.
25.(14分)如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).
(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;
(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;
(3)当y取最大值时,求sin∠NEF的值.
2017年四川省绵阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,每个小题只有一个选项符合题目要求)
1.(3分)(2017•绵阳)中国人最早使用负数,可追溯到两千多年前的秦汉时期,﹣0.5的相反数是( )
A.0.5 B.±0.5 C.﹣0.5 D.5
【分析】根据相反数的定义求解即可.
【解答】解:﹣0.5的相反数是0.5,
故选:A.
【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.
2.(3分)(2017•绵阳)下列图案中,属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【分析】根据轴对称图形的定义求解可得.
【解答】解:A,此图案是轴对称图形,有5条对称轴,此选项符合题意;
B、此图案不是轴对称图形,此选项不符合题意;
C、此图案不是轴对称图形,而是旋转对称图形,不符合题意;
D、此图案不是轴对称图形,不符合题意;
故选:A.
【点评】本题主要考查轴对称图形,掌握其定义是解题的关键:如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
3.(3分)(2017•绵阳)中国幅员辽阔,陆地面积约为960万平方公里,“960万”用科学记数法表示为( )
A.0.96×107 B.9.6×106 C.96×105 D.9.6×102
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥1时,n是非负数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:“960万”用科学记数法表示为9.6×106,
故选:B.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.(3分)(2017•绵阳)如图所示的几何体的主视图正确的是( )
A. B. C. D.
【分析】先细心观察原立体图形和正方体的位置关系,结合四个选项选出答案.
【解答】解:由图可知,主视图由一个矩形和三角形组成.
故选D.
【点评】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力.
5.(3分)(2017•绵阳)使代数式+有意义的整数x有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【分析】根据被开方数是非负数,分母不能为零,可得答案.
【解答】解:由题意,得
x+3>0且4﹣3x≥0,
解得﹣3<x≤,
整数有﹣2,﹣1,0,1,
故选:B.
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件,利用被开方数是非负数,分母不能为零得出不等式是解题关键.
6.(3分)(2017•绵阳)为测量操场上旗杆的高度,小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理,她拿出随身携带的镜子和卷尺,先将镜子放在脚下的地面上,然后后退,直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E,标记好脚掌中心位置为B,测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50cm,镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m,如图所示.已知小丽同学的身高是1.54m,眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm,则旗杆DE的高度等于( )
A.10m B.12m C.12.4m D.12.32m
【分析】根据题意得出△ABC∽△EDC,进而利用相似三角形的性质得出答案.
【解答】解:由题意可得:AB=1.5m,BC=0.5m,DC=4m,
△ABC∽△EDC,
则=,
即=,
解得:DE=12,
故选:B.
【点评】此题主要考查了相似三角形的应用,正确得出相似三角形是解题关键.
7.(3分)(2017•绵阳)关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1,则nm的值为( )
A.﹣8 B.8 C.16 D.﹣16
【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值,将其代入nm中即可求出结论.
【解答】解:∵关于x的方程2x2+mx+n=0的两个根是﹣2和1,
∴﹣=﹣1,=﹣2,
∴m=2,n=﹣4,
∴nm=(﹣4)2=16.
故选C.
【点评】本题考查了根与系数的关系,根据方程的两根结合根与系数的关系求出m、n的值是解题的关键.
8.(3分)(2017•绵阳)“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动,如图所示是一个陀螺的立体结构图,已知底面圆的直径AB=8cm,圆柱体部分的高BC=6cm,圆锥体部分的高CD=3cm,则这个陀螺的表面积是( )
A.68πcm2 B.74πcm2 C.84πcm2 D.100πcm2
【分析】圆锥的表面积加上圆柱的侧面积即可求得其表面积.
【解答】解:∵底面圆的直径为8cm,高为3cm,
∴母线长为5cm,
∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2,
故选C.
【点评】考查了圆锥的计算及几何体的表面积的知识,解题的关键是能够了解圆锥的有关的计算方法,难度不大.
9.(3分)(2017•绵阳)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2,∠AEO=120°,则FC的长度为( )
A.1 B.2 C. D.
【分析】先根据矩形的性质,推理得到OF=CF,再根据Rt△BOF求得OF的长,即可得到CF的长.
【解答】解:∵EF⊥BD,∠AEO=120°,
∴∠EDO=30°,∠DEO=60°,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠OBF=∠OCF=30°,∠BFO=60°,
∴∠FOC=60°﹣30°=30°,
∴OF=CF,
又∵Rt△BOF中,BO=BD=AC=,
∴OF=tan30°×BO=1,
∴CF=1,
故选:A.
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及解直角三角形的运用,解决问题的关键是掌握:矩形的对角线相等且互相平分.
10.(3分)(2017•绵阳)将二次函数y=x2的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点,则实数b的取值范围是( )
A.b>8 B.b>﹣8 C.b≥8 D.b≥﹣8
【分析】先根据平移原则:上→加,下→减,左→加,右→减写出解析式,再列方程组,有公共点则△≥0,则可求出b的取值.
【解答】解:由题意得:平移后得到的二次函数的解析式为:y=(x﹣3)2﹣1,
则,
(x﹣3)2﹣1=2x+b,
x2﹣8x+8﹣b=0,
△=(﹣8)2﹣4×1×(8﹣b)≥0,
b≥﹣8,
故选D.
【点评】主要考查的是函数图象的平移和两函数的交点问题,两函数有公共点:说明两函数有一个交点或两个交点,可利用方程组→一元二次方程→△≥0的问题解决.
11.(3分)(2017•绵阳)如图,直角△ABC中,∠B=30°,点O是△ABC的重心,连接CO并延长交AB于点E,过点E作EF⊥AB交BC于点F,连接AF交CE于点M,则的值为( )
A. B. C. D.
【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE,根据直角三角形的性质可得CE=AE,根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE,进一步得到OM=CE,即OM=AE,根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE,MF=EF,依此得到MF=AE,从而得到的值.
【解答】解:∵点O是△ABC的重心,
∴OC=CE,
∵△ABC是直角三角形,
∴CE=BE=AE,
∵∠B=30°,
∴∠FAE=∠B=30°,∠BAC=60°,
∴∠FAE=∠CAF=30°,△ACE是等边三角形,
∴CM=CE,
∴OM=CE﹣CE=CE,即OM=AE,
∵BE=AE,
∴EF=AE,
∵EF⊥AB,
∴∠AFE=60°,
∴∠FEM=30°,
∴MF=EF,
∴MF=AE,
∴==.
故选:D.
【点评】考查了三角形的重心,等边三角形的判定和性质,垂直平分线的性质,含30°的直角三角形的性质,关键是得到OM=AE,MF=AE.
12.(3分)(2017•绵阳)如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则+++…+的值为( )
A. B. C. D.
【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律,进而求出即可.
【解答】解:a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…,an=n(n+2);
∴+++…+=++++…+=(1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣)=(1+﹣﹣)=,
故选C.
【点评】此题考查图形的变化规律,找出图形之间的联系,找出规律解决问题.
二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分,将答案填写在答题卡相应的横线上)
13.(3分)(2017•绵阳)分解因式:8a2﹣2= 2(2a+1)(2a﹣1) .
【分析】先提取公因式2,再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案.
【解答】解:8a2﹣2,
=2(4a2﹣1),
=2(2a+1)(2a﹣1).
故答案为:2(2a+1)(2a﹣1).
【点评】本题考查了提公因式法,公式法分解因式.注意分解要彻底.
14.(3分)(2017•绵阳)关于x的分式方程=的解是 x=﹣2 .
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题.
【解答】解:两边乘(x+1)(x﹣1)得到,2x+2﹣(x﹣1)=﹣(x+1),
解得x=﹣2,
经检验,x=﹣2是分式方程的解.
∴x=﹣2.
故答案为x=﹣2.
【点评】本题考查分式方程的解,记住即为分式方程的步骤,注意解分式方程必须检验.
15.(3分)(2017•绵阳)如图,将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,若点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),则点B的坐标是 (7,4) .
【分析】根据平行四边形的性质及A点和C的坐标求出点B的坐标即可.
【解答】解:∵四边形ABCO是平行四边形,O为坐标原点,点A的坐标是(6,0),点C的坐标是(1,4),
∴BC=OA=6,6+1=7,
∴点B的坐标是(7,4);
故答案为:(7,4).
【点评】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质;熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键.
16.(3分)(2017•绵阳)同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是 .
【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数,再找出“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数,然后根据概率公式求解.
【解答】解:画树状图为:
共有36种等可能的结果数,其中“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的结果数为9,
所以“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率==.
故答案为.
【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.
17.(3分)(2017•绵阳)将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置,点D在AB边上,△DEF绕点D旋转,腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA,CB于M,N两点,若CA=5,AB=6,AD:AB=1:3,则MD+的最小值为 2 .
【分析】
先求出AD=2,BD=4,根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN,然后求出∠AMD=∠BDN,从而得到△AMD和△BDN相似,根据相似三角形对应边成比例可得=,求出MA•DN=4MD,再将所求代数式整理出完全平方的形式,然后根据非负数的性质求出最小值即可.
【解答】解:∵AB=6,AD:AB=1:3,
∴AD=6×=2,BD=6﹣2=4,
∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形,
∴∠A=∠B=∠FDE,
由三角形的外角性质得,∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN,
∴∠AMD=∠BDN,
∴△AMD∽△BDN,
∴==,
∴MA•DN=BD•MD=4MD,
∴,
∴MD+=MD+=()2+()2﹣2+2=(﹣)2+2,
∴=,即MD=,
如图,
连接CD,过点C作CG⊥AB于G,
∵AC=BC=5,AB=6,
∴AG=3,CG=4,
∴DG=AG﹣AD=3﹣2=1,
在Rt△CDG中,根据勾股定理得,CD==
当点M和点C重合时,DM最大,即:DM最大=
当DM⊥AC时,DM最小,过点D作DH⊥AC于H,即:DM最小=DH,
在Rt△ACG中,sin∠A==,
在Rt△ADH中,sin∠A=,
∴DH=ADsin∠A=2×=,
∵≤DM≤,
∴DM=时,MD+有最小值为2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,旋转变换,难点在于将所求代数式整理出完全平方的形式从而判断出最小值.
18.(3分)(2017•绵阳)如图,过锐角△ABC的顶点A作DE∥BC,AB恰好平分∠DAC,AF平分∠EAC交BC的延长线于点F.在AF上取点M,使得AM=AF,连接CM并延长交直线DE于点H.若AC=2,△AMH的面积是,则的值是 8﹣ .
【分析】过点H作HG⊥AC于点G,由于AF平分∠CAE,DE∥BF,∠HAF=∠AFC=∠CAF,从而AC=CF=2,利用△AHM∽△FCM,=,从而可求出AH=1,利用△AMH的面积是,从而可求出HG,利用勾股定理即可求出CG的长度,所以=.
【解答】解:过点H作HG⊥AC于点G,
∵AF平分∠CAE,DE∥BF,
∴∠HAF=∠AFC=∠CAF,
∴AC=CF=2,
∵AM=AF,
∴=,
∵DE∥CF,
∴△AHM∽△FCM,
∴=,
∴AH=1,
设△AHM中,AH边上的高为m,
△FCM中CF边上的高为n,
∴==,
∵△AMH的面积为:,
∴=AH•m
∴m=,
∴n=,
设△AHC的面积为S,
∴==3,
∴S=3S△AHM=,
∴AC•HG=,
∴HG=,
∴由勾股定理可知:AG=,
∴CG=AC﹣AG=2﹣
∴==8﹣
故答案为:8﹣
【点评】本题考查相似三角形综合问题,解题的关键是通过相似三角形的性质求出HG、CG、AH长度,本题属于难题.
三、解答题(本大题共7小题,共86分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.(16分)(2017•绵阳)(1)计算:+cos245°﹣(﹣2)﹣1﹣|﹣|
(2)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=2,y=.
【分析】(1)根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值可以解答本题;
(2)根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子,然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题.
【解答】解:(1)+cos245°﹣(﹣2)﹣1﹣|﹣|
=0.2+
=0.2+
=0.7;
(2)(﹣)÷
=
=
=
=
=,
当x=2,y=时,原式=.
【点评】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.
20.(11分)(2017•绵阳)红星中学课外兴趣活动小组对某水稻品种的稻穗谷粒数目进行调查,从试验田中随机抽取了30株,得到的数据如下(单位:颗):
182
195
201
179
208
204
186
192
210
204
175
193
200
203
188
197
212
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187
224
(1)对抽取的30株水稻稻穗谷粒数进行统计分析,请补全下表中空格,并完善直方图:
谷粒颗数
175≤x<185
185≤x<195
195≤x<205
205≤x<215
215≤x<225
频数
3
8
10
6
3
对应扇形
图中区域
B
D
E
A
C
如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为 72 度,扇形B对应的圆心角为 36 度;
(2)该试验田中大约有3000株水稻,据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有多少株?
【分析】(1)根据表格中数据填表画图即可,利用360°×其所占的百分比求出扇形对应的圆心角度数;
(2)用360°乘以样本中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻所占百分比即可.
【解答】解:(1)填表如下:
谷粒颗数
175≤x<185
185≤x<195
195≤x<205
205≤x<215
215≤x<225
频数
3
8
10
6
3
对应扇形
图中区域
B
D
E
A
C
如图所示:
如图所示的扇形统计图中,扇形A对应的圆心角为:360°×=72度,扇形B对应的圆心角为360°×=36度.
故答案为3,6,B,A,72,36;
(2)3000×=900.
即据此估计,其中稻穗谷粒数大于或等于205颗的水稻有900株.
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.也考查了利用样本估计总体.
21.(11分)(2017•绵阳)江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?
(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.
【分析】(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,根据“1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用,即可得出w与m之间的函数关系式,由“要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,依此可找出各方案,再结合一次函数的性质即可解决最值问题.
【解答】解:(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,
根据题意得:,[来源:学科网ZXXK]
解得:.
答:每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.
(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,
根据题意得:w=300×2m+200×2(10﹣m)=200m+4000.
∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,
∴,
解得:5≤m≤7,
∴有三种不同方案.
∵w=200m+4000中,200>0,
∴w值随m值的增大而增大,
∴当m=5时,总费用取最小值,最小值为5000元.
答:有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元.
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,列出二元一次方程组;(2)根据总费用=大型收割机的费用+小型收割机的费用,找出w与m之间的函数关系式.
22.(11分)(2017•绵阳)如图,设反比例函数的解析式为y=(k>0).
(1)若该反比例函数与正比例函数y=2x的图象有一个交点的纵坐标为2,求k的值;
(2)若该反比例函数与过点M(﹣2,0)的直线l:y=kx+b的图象交于A,B两点,如图所示,当△ABO的面积为时,求直线l的解析式.
【分析】(1)由题意可得A(1,2),利用待定系数法即可解决问题;
(2)把M(﹣2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,可得y=kx+2k,由消去y得到x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或1,推出B(﹣3,﹣k),A(1,3k),根据△ABO的面积为,可得•2•3k+•2•k=,解方程即可解决问题;
【解答】解:(1)由题意A(1,2),
把A(1,2)代入y=,得到3k=2,
∴k=.
(2)把M(﹣2,0)代入y=kx+b,可得b=2k,
∴y=kx+2k,
由消去y得到x2+2x﹣3=0,解得x=﹣3或1,
∴B(﹣3,﹣k),A(1,3k),
∵△ABO的面积为,
∴•2•3k+•2•k=,
解得k=,
∴直线l的解析式为y=x+.
【点评】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点、待定系数法、二元一次方程组等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
23.(11分)(2017•绵阳)如图,已知AB是圆O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N.
(1)求证:CA=CN;
(2)连接DF,若cos∠DFA=,AN=2,求圆O的直径的长度.
【分析】(1)连接OF,根据切线的性质结合四边形内角和为360°,即可得出∠M+∠FOH=180°,由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF,再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC,由此即可证出CA=CN;
(2)连接OC,由圆周角定理结合cos∠DFA=、AN=2,即可求出CH、AH的长度,设圆的半径为r,则OH=r﹣6,根据勾股定理即可得出关于r的一元一次方程,解之即可得出r,再乘以2即可求出圆O直径的长度.
【解答】(1)证明:连接OF,则∠OAF=∠OFA,如图所示.
∵ME与⊙O相切,
∴OF⊥ME.
∵CD⊥AB,
∴∠M+∠FOH=180°.
∵∠BOF=∠OAF+∠OFA=2∠OAF,∠FOH+∠BOF=180°,
∴∠M=2∠OAF.
∵ME∥AC,
∴∠M=∠C=2∠OAF.
∵CD⊥AB,
∴∠ANC+∠OAF=∠BAC+∠C=90°,
∴∠ANC=90°﹣∠OAF,∠BAC=90°﹣∠C=90°﹣2∠OAF,
∴∠CAN=∠OAF+∠BAC=90°﹣∠OAF=∠ANC,
∴CA=CN.
(2)连接OC,如图2所示.
∵cos∠DFA=,∠DFA=∠ACH,
∴=.
设CH=4a,则AC=5a,AH=3a,
∵CA=CN,
∴NH=a,
∴AN===a=2,
∴a=2,AH=3a=6,CH=4a=8.
设圆的半径为r,则OH=r﹣6,
在Rt△OCH中,OC=r,CH=8,OH=r﹣6,
∴OC2=CH2+OH2,r2=82+(r﹣6)2,
解得:r=,
∴圆O的直径的长度为2r=.
【点评】本题考查了切线的性质、勾股定理、解直角三角形、圆周角定理以及解一元一次方程,解题的关键是:(1)通过角的计算找出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC;(2)利用解直角三角形求出CH、AH的长度.
24.(12分)(2017•绵阳)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y=x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:圆C与x轴相切;
(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.
【分析】(1)可设抛物线的顶点式,再结合抛物线过点(4,2),可求得抛物线的解析式;
(2)联立直线和抛物线解析式可求得B、D两点的坐标,则可求得C点坐标和线段BD的长,可求得圆的半径,可证得结论;
(3)过点C作CH⊥m于点H,连接CM,可求得MH,利用(2)中所求B、D的坐标可求得FH,则可求得MF和BE的长,可求得其比值.
【解答】解:
(1)∵已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),
∴可设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+1,
∵抛物线经过点(4,2),
∴2=a(4﹣2)2+1,解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+1=x2﹣x+2;
(2)联立直线和抛物线解析式可得,解得或,
∴B(3﹣,﹣),D(3+,+),
∵C为BD的中点,
∴点C的纵坐标为=,
∵BD==5,
∴圆的半径为,
∴点C到x轴的距离等于圆的半径,
∴圆C与x轴相切;
(3)如图,过点C作CH⊥m,垂足为H,连接CM,
由(2)可知CM=,CH=﹣1=,
在Rt△CMH中,由勾股定理可求得MH=2,
∵HF==,
∴MF=HF﹣MH=﹣2,
∵BE=﹣﹣1=﹣,
∴==.
【点评】本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、函数图象的交点、切线的判定和性质、勾股定理等知识.在(1)中注意利用抛物线的顶点式,在(2)中求得B、D的坐标是解题的关键,在(3)中求得BE、MF的长是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,计算量较大,难度较大.
25.(14分)(2017•绵阳)如图,已知△ABC中,∠C=90°,点M从点C出发沿CB方向以1cm/s的速度匀速运动,到达点B停止运动,在点M的运动过程中,过点M作直线MN交AC于点N,且保持∠
NMC=45°,再过点N作AC的垂线交AB于点F,连接MF,将△MNF关于直线NF对称后得到△ENF,已知AC=8cm,BC=4cm,设点M运动时间为t(s),△ENF与△ANF重叠部分的面积为y(cm2).
(1)在点M的运动过程中,能否使得四边形MNEF为正方形?如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由;
(2)求y关于t的函数解析式及相应t的取值范围;
(3)当y取最大值时,求sin∠NEF的值.
【分析】(1)由已知得出CN=CM=t,FN∥BC,得出AN=8﹣t,由平行线证出△ANF∽△ACB,得出对应边成比例求出NF=AN=(8﹣t),由对称的性质得出∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,由正方形的性质得出OE=ON=FN,得出方程,解方程即可;
(2)分两种情况:①当0<t≤2时,由三角形面积得出y=﹣t2+2t;
②当2<t≤4时,作GH⊥NF于H,由(1)得:NF=(8﹣t),GH=NH,GH=2FH,得出GH=NF=(8﹣t),由三角形面积得出y=(8﹣t)2(2<t≤4);
(3)当点E在AB边上时,y取最大值,连接EM,则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,得出方程,解方程求出CN=CM=2,AN=6,得出BM=2,NF=AN=3,因此EM=2BM=4,作FD⊥NE于D,由勾股定理求出EB==2,求出EF==,由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出DF=HF=,在Rt△DEF中,由三角函数定义即可求出sin∠NEF的值.
【解答】解:(1)能使得四边形MNEF为正方形;理由如下:
连接ME交NF于O,如图1所示:
∵∠C=90°,∠NMC=45°,NF⊥AC,
∴CN=CM=t,FN∥BC,
∴AN=8﹣t,△ANF∽△ACB,
∴==2,
∴NF=AN=(8﹣t),
由对称的性质得:∠ENF=∠MNF=∠NMC=45°,MN=NE,OE=OM=CN=t,
∵四边形MNEF是正方形,
∴OE=ON=FN,
∴t=×(8﹣t),
解得:t=;
即在点M的运动过程中,能使得四边形MNEF为正方形,t的值为;
(2)分两种情况:
①当0<t≤2时,y=×(8﹣t)×t=﹣t2+2t,
即y=﹣t2+2t(0<t≤2);
②当2<t≤4时,如图2所示:作GH⊥NF于H,
由(1)得:NF=(8﹣t),GH=NH,GH=2FH,
∴GH=NF=(8﹣t),
∴y=NF′GH=×(8﹣t)×(8﹣t)=(8﹣t)2,
即y=(8﹣t)2(2<t≤4);
(3)当点E在AB边上时,y取最大值,
连接EM,如图3所示:
则EF=BF,EM=2CN=2CM=2t,EM=2BM,
∵BM=4﹣t,
∴2t=2(4﹣t),
解得:t=2,
∴CN=CM=2,AN=6,
∴BM=4﹣2=2,NF=AN=3,
∴EM=2BM=4,
作FD⊥NE于D,则EB===2,△DNF是等腰直角三角形,
∴EF==,DF=HF=,
在Rt△DEF中,sin∠NEF===.
【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、等腰直角三角形的判定与性质等知识;本题综合性强,有一定难度.
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