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- 2021-11-11 发布
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专题04 实数
考点总结
【思维导图】
【知识要点】
知识点一 平方根
算术平方根概念:一般的如果一个正数x的平方等于a,即x2= a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法:非负数a的算术平方根记作a,读作根号a,其中a是被开方数。
平方根概念:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根或二次方根,即如果x2=a,那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示:
表示:正数a的平方根用±a表示, a叫做正平方根,也称为算术平方根, -a叫做a的负平方根。
性质:一个正数有两个平方根:±a (根指数2省略)且他们互为相反数。
0有一个平方根,为0,记作0=0
负数没有平方根
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平方根与算术平方根的区别与联系:
1.(2017·甘肃中考模拟)正数9的平方根是( )
A.3 B.±3 C. D.
【答案】B
【详解】因为 3的平方都等于9,所以答案为B
2.(2016·山东中考模拟)81的算术平方根是( )
A.9 B.±9 C.3 D.±3
【答案】A
【解析】
试题解析:∵92=81,
∴81的算术平方根是9.
故选A.
3.(2018·江苏中考模拟)9的算术平方根是( )
A.﹣3 B.±3 C.3 D.
【答案】C
【解析】
试题分析:9的算术平方根是3.故选C.
4.(2019·宁波市慈湖中学中考模拟)的平方根是( )
A.﹣4 B.±2 C.±4 D.4
【答案】B
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【详解】∵42=16,
∴=4,
∴的平方根是±2,
故选B.
5.(2018·河南中考模拟)的算术平方根为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵=2,
而2的算术平方根是,
∴的算术平方根是,
故选B.
6.(2019·浙江中考模拟)的算术平方根是( )
A.4 B.±4 C.2 D.±2
【答案】C
【详解】=4,
4的算术平方根是2,
所以的算术平方根是2,
故选C.
7.(2019·四川中考模拟)的算术平方根是( )
A.9 B.±9 C.±3 D.3
【答案】D
【详解】∵=9,
又∵(±3)2=9,
∴9的平方根是±3,
∴9的算术平方根是3.
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即的算术平方根是3.
故选:D.
8.(2019·黑龙江中考模拟)的值等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
详解:=,
故选:A.
9.(2017·江苏中考真题)若方程的两根为和,且,则下列结论中正确的是 ( )
A.是19的算术平方根 B.是19的平方根
C.是19的算术平方根 D.是19的平方根
【答案】C
【解析】
试题分析:根据平方根的意义,可知x-5是19的一个平方根,由a>b,可知a-5是19的算术平方根,b-5是其负的平方根.
故选:C
考查题型一 利用算术平方根的非负性解题
1.(2015·内蒙古中考真题)若则的值是( )
A.2 B 、1 C、0 D、
【答案】B
【解析】
试题分析:由题意得,3﹣a=0,2+b=0,解得,a=3,b=﹣2,a+b=1,故选B.
2.(2016·山西中考模拟)若(m-1)2+=0,则m+n的值是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】A
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【详解】∵(m-1)2+=0,
∴m−1=0,n+2=0;
∴m=1,n=−2,
∴m+n=1+(−2)=−1
故选:A.
3.(2018·山东中考模拟)已知,,且,则的值为( )
A.2或12 B.2或 C.或12 D.或
【答案】A
【解析】
根据=5,=7,得,因为,则,则=5+7=12或-5+7=2.
故选A.
考查题型二 利用平方根的性质解题
1.(2019·南票区九龙街道初级中学中考模拟)若a2=4,b2=9,且ab<0,则a﹣b的值为( )
A.﹣2 B.±5 C.5 D.﹣5
【答案】B
【解析】
∵a2=4,b2=9,
∴a=±2,b=±3,
∵ab<0,
∴a=2时,b=−3,a−b=2−(−3)=2+3=5,
a=−2时,b=3,a−b=−2−3=−5,
所以,a−b的值为5或−5.
故选:B.
2.(2019·黑龙江中考模拟)对于实数a,b下列判断正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
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【答案】D
【详解】解:A也可能是a=-b,故A错误;B,只能说明|a|>b,故B错误;
C,a,b也可能互为相反数;D,都表示算术平方根,故D正确;
3.(2018·江苏中考模拟)如果a,b分别是2016的两个平方根,那么a+b﹣ab=___.
【答案】2016
【详解】∵a,b分别是2016的两个平方根,
∴
∵a,b分别是2016的两个平方根,
∴a+b=0,
∴ab=a×(﹣a)=﹣a2=﹣2016,
∴a+b﹣ab=0﹣(﹣2016)=2016,
故答案为:2016.
知识点二 立方根和开立方
立方根概念:如果一个数的立方等于a,即x3=a,那么x叫做a的立方根或三次方根,
表示方法:数a的立方根记作3a,读作三次根号a
立方根的性质:任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。0的立方根是0.
开立方概念:求一个数的立方根的运算。
开平方的表示:3a3=a3a3=a3-a=-3a (a取任何数)
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:0的平方根和立方根都是0本身。
n次方根(扩展)
概念:如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数就叫做a的n次方根。
当n为奇数时,这个数叫做a的奇次方根。
当n为偶数时,这个数叫做a的偶次方根。
性质: 正数的偶次方根有两个:±na;0的偶次方根为0:n0=0;负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。0的奇次方根为0。负数的奇次方根为负。
1.(2019·江苏中考模拟)﹣8的立方根是( )
A.±2 B.2 C.﹣2 D.24
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【答案】C
【详解】∵23=8,
∴8的立方根是2,
故选B.
2.(2018·湖南中考真题)下列各式中正确的是
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】A.原式=3,不符合题意;
B.原式=|-3|=3,不符合题意;
C.原式不能化简,不符合题意;
D.原式=2-=,符合题意,
故选D.
3.(2011·山东中考模拟) 的相反数是( )
A.﹣2 B.2 C.﹣4 D.4
【答案】B
【详解】的相反数是-=2
故选B.
4.(2019·山东中考真题)下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】解:A.,故此选项错误;
B.,故此选项错误;
C.,故此选项错误;
D.,正确.
故选:D.
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5.(2019·湖南中考模拟)下列说法正确的是( )
A.一个有理数的平方根有两个,它们互为相反数 B.负数没有立方根
C.无理数都是开不尽的方根数 D.无理数都是无限小数
【答案】D
【详解】(1)由平方根的性质可以得知,负有理数没有平方根,0的平方根是0,∴A错误.
(2)∵任何实数都有立方根,∴B答案错误.
(3)∵无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数,∴C答案错误. ∴D答案正确.
故选D.
6.(2019·浙江中考模拟)下列计算正确的是( )
A.=﹣4 B.=±4 C.=﹣4 D.=﹣4
【答案】D
【解析】
根据二次根式的意义,可知被开方数为非负数,因此A不正确;根据算术平方根是平方根中带正号的,故B不正确;根据二次根式的性质 可知=4,故C不正确;根据立方根的意义可知=-4,故D正确.
故选D
7.(2013·广东中考模拟)一个立方体的体积为64,则这个立方体的棱长的算术平方根为( )
A.±4 B.4 C.±2 D.2
【答案】D
【解析】
∵立方体的体积为64,
∴它的棱长=,
∴它的棱长的平方根为:.
故选D.
8.(2019·来宾市第四中学中考模拟)下列说法①﹣5的绝对值是5;②﹣1的相反数是1;③0的倒数是0;④64的立方根是±4,⑤是无理数,⑥4的算术平方根是2,其中正确的个数为( )
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A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【详解】①﹣5的绝对值是5,正确;②﹣1的相反数是1,正确;③0没有倒数,错误;④64的立方根是4,错误,⑤不是无理数,是有理数,错误,⑥4的算术平方根是2,正确,
故选B.
考查提醒三 利用立方根的性质解题
1.下列各组数中互为相反数的是( )
A.-2与 B.-2与 C.2与(-)2 D.|-|与
【答案】A
【解析】
选项A. -2与 =2,
选项B. -2与 =-2,
选项 C. 2与(-)2=2,
选项D. |-|=与,
故选A.
2.(2018·福建中考模拟)若实数满足,则的立方根为__________.
【答案】
【详解】由题意得:2x-3=0,9+4y=0,
解得:x=,y=,
∴xy=,
∴xy的立方根是,
故答案为:.
考查题型四 立方根、算术平方根、平方根的综合
1.(2018·合肥市第四十五中学初一期中)已知a+3和2a﹣15是某正数的两个平方根,b的立方根是﹣2,c算术平方根是其本身,求2a+b﹣3c的值.
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【答案】当a=4,b=﹣8,c=0,2a+b﹣3c=0;当a=4,b=﹣8,c=1,2a+b﹣3c=﹣3.
【详解】∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15,b的立方根是﹣2.c算术平方根是其本身
∴a+3+2a﹣15=0,b=﹣8,c=0或1,
解得a=4.
当a=4,b=﹣8,c=0,2a+b﹣3c=8﹣8﹣0=0;
当a=4,b=﹣8,c=1,2a+b﹣3c=8﹣8﹣3=﹣3.
2.已知3x+1的算术平方根是4,x+y-17的立方根是-2,求x+y的平方根.
【答案】±3
【详解】根据题意得:3x+1=16,x+y-17=-8,
解得:x=5,y=4,
则x+y=4+5=9,9的平方根为±3.
所以x+y的平方根为±3.
3.已知的算术平方根足,的立方根是,求的平方根.
【答案】±
【详解】解:由题意得:2a-1=9,3a+b-1=8,
解得:a=5,b=-6,
则a-2b=5-2×(-6)=17,17的平方根是±
4.已知a+1的算术平方根是1,﹣27的立方根是b﹣12,c﹣3的平方根是±2,求a+b+c的平方根.
【答案】±4.
【详解】解:∵a+1的算术平方根是1,
∴a+1=1,即a=0;
∵﹣27的立方根是b﹣12,
∴b﹣12=﹣3,即b=9;
∵c﹣3的平方根是±2,
∴c﹣3=4,即c=7;
∴a+b+c=0+9+7=16,
则a+b+c的平方根是±4.
5.(2019·贵州省毕节梁才学校初二期中)已知是49的算术平方根,的立方根是2,求
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的平方根.
【答案】±13.
【详解】解:∵x+2是49的算术平方根,
∴x+2=7,
解得x=5,
∵的立方根是2,
∴=8,
解得y=12,
∴==169,
∵(±13)2=169,
∴的平方根是±13.
知识点三 实数
无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数。
实数概念:有理数和无理数统称为实数
实数的分类:
1.按属性分类:2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系(重点):
实数和数轴上的点一一对应,即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示.数轴上的每一个点都可以表示一个实数.
2的画法:画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况:
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1.尺规可作的无理数,如
2.尺规不可作的无理数 ,只能近似地表示,如π,1.010010001……
实数大小比较的方法(常用):1)平方法2)根号法3)求差法
实数的三个非负性及性质:
1.在实数范围内,正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数,即|a|≥0;
②任何一个实数a的平方是非负数,即a2≥0;
③任何非负数的算术平方根是非负数,即a≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零;
②非负数之和仍是非负数;
③几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0
1.(2019·四川中考模拟)下列实数0,,,π,其中,无理数共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【详解】解:无理数有:,.
故选B.
2.(2013·贵州中考真题)下列各数中,3.14159,-38,0.131131113⋅⋅⋅,-π,25,-17,无理数的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】
试题分析:无限不循环小数为无理数,由此可得出无理数的个数,因此,由定义可知无理数有:0.131131113…,﹣π,共两个。故选B。
3.(2018·山东中考真题)下列各数:-2,0,,0.020020002…,,,其中无理数的个数是( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
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【解析】
是有理数,0是有理数,是有理数,0.020020002…是无理数,是无理数,是有理数,所以无理数有2个,故选C.
4.(2019·山东中考模拟)在实数,,π﹣2,,0.121 221 222 1…(两个”1”之间依次多一个“2”)中,有理数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【详解】,=-3是有理数;
,π﹣2,0.121 221 222 1…(两个”1”之间依次多一个“2”)是无理数.
故选B.
5.(2018·贵州中考模拟)下列说法:
①;
②数轴上的点与实数成一一对应关系;
③﹣2是的平方根;
④任何实数不是有理数就是无理数;
⑤两个无理数的和还是无理数;
⑥无理数都是无限小数,
其中正确的个数有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【详解】①∵,∴是错误的;
②数轴上的点与实数成一一对应关系,故说法正确;
③∵=4,故-2是 的平方根,故说法正确;
④任何实数不是有理数就是无理数,故说法正确;
⑤两个无理数的和还是无理数,如 和 是错误的;
⑥无理数都是无限小数,故说法正确;
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故正确的是②③④⑥共4个;
故选C.
6.(2018·四川中考模拟)的相反数是( )
A.2 B.﹣2 C.4 D.﹣
【答案】A
【解析】
的相反数是,即2.
故选A.
7.(2018·山东中考模拟)1﹣的相反数是( )
A.1﹣ B.﹣1 C. D.﹣1
【答案】B
【详解】根据a的相反数为-a即可得,1﹣的相反数是﹣1.
故选B.
8.(2018·黑龙江中考模拟)实数的绝对值是
A.3 B. C. D.
【答案】B
【详解】解:=
故选B.
9.(2018·四川中考模拟)的绝对值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵,
∴ .
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故选C.
考查题型五 实数与数轴上的点的对应关系的应用方法
1.(2013·湖北中考模拟)实数a、b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简的结果为( )
A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b
【答案】C
【解析】
∵由数轴可知,b>0>a,且 |a|>|b|,
∴.
故选C.
2.(2013·广西中考模拟)如图,数轴上点P表示的数可能是( ).
A.10 B.5 C.3 D.2
【答案】B
【详解】由图象可知,2<p<3.
∵5≈2.236,∴数轴上点P表示的数可能是5.
故选B.
3.(2018·天津中考模拟)在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A、B两点对应的实数分别是和﹣1,则点C所对应的实数是( )
A.1+ B.2+ C.2﹣1 D.2+1
【答案】D
【详解】设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质,对称点到对称中心的距离相等,则有
,解得.
17
故选D.
考查题型六 实数大小比较
1.(2018·湖南中考模拟)、、5三个数的大小关系是( )
A. B.C. D.
【答案】A
【详解】这一组数据可化为、、.
∵27>25>24,∴>>,即2<5<.
故选A.
2.(2018·天津中考模拟)比较的大小,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】∵2,∴2;
∵,∴,∴.
故选A.
3.(2019·天津中考模拟)若,,则下列关系正确的为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】∵25<30<36,
∴5<<6,即5a>c,
故选C.
考查题型七 无理数估算方法
1.(2019·辽宁中考模拟)估计5﹣的值应在( )
A.5和6之间 B.6和7之间 C.7和8之间 D.8和9之间
【答案】C
【详解】5﹣=,
∵49<54<64,
∴7<<8,
∴5﹣的值应在7和8之间,
故选C.
2.(2019·天津中考模拟)3+ 的结果在下列哪两个整数之间( )
A.6和7 B.5和6 C.4和5 D.3和4
【答案】A
【详解】解:∵3<<4,
∴6<3+ <7,
故选:A.
3.(2018·海南中考模拟)若,则估计m的值所在范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为,,
所以,,
即
故选C
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