2012年甘肃省天水市中考数学试题（含答案） 11页

‎2012年中考数学试题（甘肃天水卷）‎ ‎（本试卷满分150分，考试时间120分钟）‎ A卷(满分100分)‎ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的 选项选出来)‎ ‎1．(2012甘肃天水4分)如果＋3吨表示运入仓库的大樱桃吨数，那么运出5吨大樱桃表示为【 】‎ A．－5吨 B．＋5吨 C．－3吨 D．＋3吨 ‎【答案】A。‎ ‎2．(2012甘肃天水4分)已知点M到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则M点的坐标为【 】‎ A．(1，2) B．(－1，－2) ‎ C．(1，－2) D．(2，1)，(2，－1)，(－2，1)，(－2－1)‎ ‎【答案】D。‎ ‎3．(2012甘肃天水4分)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是【 】‎ ‎【答案】D。‎ ‎4．(2012甘肃天水4分)如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠1＝80°，如果DE∥AB，那么∠D的度 数是【 】‎ A．80° B．90° C．100° D．110°‎ ‎【答案】C。‎ ‎5．(2012甘肃天水4分)从一只装有5个红球的袋中随机摸出一球，若摸到白球的概率是P1，摸到红球的 概率是P2，则【 】‎ A．P1＝1，P2＝1 B．P1＝0，P2＝1 C．P1＝0，P2＝ D．P1＝0，P2＝0‎ ‎【答案】B。‎ ‎6．(2012甘肃天水4分)下图是小明用八块小正方体搭的积木，该几何体的俯视图是【 】‎ ‎【答案】D。‎ ‎7．(2012甘肃天水4分)有理数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则【 】‎ ‎ ‎ A．a＋b＜0 B．a＋b＞0 C．a－b＝0 D．a－b＜0‎ ‎【答案】B。‎ ‎8．(2012甘肃天水4分)甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水 混合制成新盐水的含盐量为【 】‎ A． B． C． D．随所取盐水重量而变化 ‎【答案】A。‎ ‎9．(2012甘肃天水4分)如图所示，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心，EC为半径的半圆 与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin∠EAB的值为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎10．(2012甘肃天水4分)如图，点A、B、C、D、E、F为圆O的六等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O 的路线作匀速运动．设运动时间为x秒，∠APF的度数为y度，则下列图象中表示y与x之间函数关系最 恰当的是【 】‎ ‎【答案】C。[来源:Z。xx。k.Com]‎ 二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分，只要求填写最后结果)‎ ‎11．(2012甘肃天水4分)若－有意义，则x的取值范围为 ▲ ．‎ ‎【答案】且x≠－1。‎ ‎12．(2012甘肃天水4分)若x2－x－2＝0，则的值等于 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎13．(2012甘肃天水4分)如图所示，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC 上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎14．(2012甘肃天水4分)某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，则该服装的 标价为 ▲ 元．‎ ‎【答案】500。‎ ‎15．(2012甘肃天水4分)河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比为1∶(坡比是坡面 的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，则AB的长是 ▲ 米．‎ ‎【答案】10。‎ ‎16．(2012甘肃天水4分)直线l1：y＝k1x＋b与双曲线l2：y＝在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，‎ 则关于x的不等式＞k1x＋b的解集为 ▲ ．‎ ‎【答案】x＜－或0＜x＜。[来源:学科网]‎ ‎17．(2012甘肃天水4分)在一次救灾捐款活动中，某班50名同学人人拿出自己的零花钱，有捐5元、10‎ 元、20元的，还有捐50元和100元的，该统计图反映了不同捐款数的人数比例，那么该班同学平均每人 捐款 ▲ 元．‎ ‎【答案】31.2。‎ ‎18．(2012甘肃天水4分)二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c＜0；‎ ‎③|a＋c|＜|b|；④4a＋2b＋c＞0．其中正确的结论有 ▲ (填写序号)．‎ ‎【答案】①②③。[来源:学科网ZXXK]‎ 三、解答题(本大题共3小题，共28分．解答题写出必要的文字说明及演算过程)‎ ‎19．Ⅰ．(2012甘肃天水5分)已知线段a，h如图所示，求作等腰三角形ABC，使得底边BC＝a，BC边上 的高为h．(保留作图痕迹，不写作法)‎ ‎【答案】解：如图，△ABC为所求作的图形。‎ ‎19．Ⅱ．(2012甘肃天水5分)解方程．＋＝1．‎ ‎【答案】解：方程两边同乘以x－2，得3－(x－3)＝x－2，‎ ‎ 去括号，得3－x＋3＝x－2，‎ 移项，得－x－x＝－2－3－3，‎ 合并同类项，得－2x＝－8，‎ 系数化为1，得x＝4。‎ 经检验x＝4是原方程的解。‎ ‎∴原方程的解为x＝4。‎ ‎20．(2012甘肃天水8分)如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE＝CD，‎ AD与BE相交于点F．‎ ‎(1)(4分)求证：△ABE≌△CAD；‎ ‎(2)(4分)求∠BFD的度数．‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC。‎ ‎ 在△ABE和△CAD中，‎ ‎∵AB＝AC，∠BAE＝∠C，AE＝CD，∴△ABE≌△CAD（SAS）。‎ ‎(2)∵△ABE≌△CAD，∴∠ABE＝∠CAD。‎ ‎∵∠BFD＝∠ABE＋∠BAD，∴∠BFD＝∠CAD＋∠BAD＝∠BAC＝60°。‎ ‎21．(2012甘肃天水10分)有四张卡片(形状、大小和质地都相同)，正面分别写有字母A、B、C、D和一个 算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．‎ ‎(1)(5分)用画树状图或列表法表示抽取两张卡片可能出现的所有情况(卡片可用A、B、C、D表示)；‎ ‎(2)(5分)分别求抽取的两张卡片上的算式都正确的概率和只有一个算式正确的概率．‎ ‎－5－2＝－3 ＋2＝3 sin30°＝ a6·a2＝a8‎ A B C D ‎【答案】解：(1)可出现的情况共有12种：‎ 列表法：‎ 第一次 第二次 A B C D A AB AC AD[来源:学科网ZXXK]‎ B BA BC BD C CA CB CD[来源:学|科|网Z|X|X|K]‎ D DA DB DC 或画树状图：‎ B C D ‎(AB) (AC) (AD)‎ A A C D ‎(BA) (BC) (BD)‎ B A B D ‎(CA) (CB) (CD)‎ C A B C ‎(DA) (DB) (DC)‎ D 开始 ‎ (2)∵卡片上正确的算式是B和D，错误的是A和C，‎ ‎∴P(两张卡片上算式都正确)＝，P(两张卡片上算式只有一个正确)＝。 ‎ B卷(满分50分)‎ 四、解答题(本大题50分，解答时写出必要的演算步骤及推理过程)‎ ‎22．Ⅰ．(2012甘肃天水4分)解不等式组并把解集在数轴上表示出来．‎ ‎【答案】解：‎ 解①得：x≥－1，解②得：x＜2。‎ ‎∴原不等式组的解集为－1≤x＜2。‎ 在数轴上表示如下：‎ ‎22．Ⅱ. (2012甘肃天水4分)解方程x2－2x＋＝8．‎ ‎【答案】解：设y＝x2－2x，原方程可化为y＋＝8．解之得y1＝1，y2＝7。‎ 当y＝1时，由x2－2x＝1，得x＝1±；‎ 当y＝7时，由x2－2x＝7，得x＝1±2。‎ 经检验，x＝1±和x＝1±2都是原方程的根。‎ ‎∴原方程的解为x1＝1＋，x2＝1－，x3＝1＋2，x4＝1－2。‎ ‎23．(2012甘肃天水10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD＝6，∠ABC＝120°，∠ACB＝‎ ‎45°，连结OB交AC于点E．‎ ‎(1)(3分)求AC的长．‎ ‎(2)(3分)求CE∶EA的值．‎ ‎(3)(4分)在CB的延长线上取一点P，使CB＝BP，求证：直线PA与⊙O相切．‎ ‎【答案】解：（1）∵∠ABC＝120°，∴∠D＝60°。‎ ‎∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∵AD＝6，∴AC＝AD·sin60°＝6×。‎ ‎（2）∵∠ACB＝45°，∴∠AOB＝2∠ACB＝90°。‎ ‎∴EA＝。∴CE＝AC－AE＝。‎ ‎∴CE∶EA＝∶＝。‎ ‎（3）证明：∵，，∴。∴BE∥AP。‎ ‎∵∠AOB＝90°，∴PA⊥OA。‎ ‎∴直线PA与⊙O相切。‎ ‎24．(2012甘肃天水10分)为奖励在演讲比赛中获奖的同学，班主任派学习委员小明为获奖同学买奖品，‎ 要求每人一件．小明到文具店看了商品后，决定奖品在钢笔和笔记本中选择．如果买4本笔记本和2支钢 笔，则需86元；如果买3本笔记本和1支钢笔，则需57元．‎ ‎(1)(3分)求购买每本笔记本和每支钢笔分别为多少元？‎ ‎(2)(3分)售货员提示，买钢笔有优惠，具体方法是：如果买钢笔超过10支，那么超出部分可以享受8‎ 折优惠，若买x(x＞0)支钢笔需要花y1元，请你求出y1与x的函数关系式；‎ ‎(3)(4分)在(2)的条件下，小明决定买同一种奖品，数量超过10个，请帮小明判断买哪种奖品省钱．‎ ‎【答案】解：（1）设买每本笔记本x元，每支钢笔y元，则依题意可列方程组：‎ ‎ ，解得。‎ 答：买每本笔记本14元，每支钢笔15元。‎ ‎（2）当0＜x≤10时，y1＝15x；‎ 当x＞10时，y1＝10×15＋80%·15(x－10)＝12x＋30。‎ ‎∴y1＝。‎ ‎(3)设买x本笔记本需要花费y2元，则y2＝14x。‎ 当x＞10时，y2－y1＝14x－(12x＋30)＝2x－30。‎ 当2x－30＜0即x＜15时，y2＜y1；‎ 当2x－30＝0即x＝15时，y2＝y1；‎ 当2x－30＞0即x＞15时，y2＞y1。‎ 综上所述，当买奖品超过10件但少于15件时，买笔记本省钱；当买15件奖品时，买笔记本和钢笔一样；当买奖品超过15件时，买钢笔省钱。‎ ‎25．(2012甘肃天水10分)如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB)，将纸片折叠一次，使点A与C重合，‎ 再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，交AC于点O，分别连结AF和CE．‎ ‎(1)(3分)求证：四边形AFCE是菱形；‎ ‎(2)(3分)过E点作AD的垂线EP交AC于点P，求证：2AE2＝AC·AP；‎ ‎(3)(4分)若AE＝10cm，△ABF的面积为24cm2，求△ABF的周长．‎ ‎ [来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】解：（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，‎ ‎ ∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°。‎ ‎∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO。‎ ‎∴△AOE≌△COF（AAS）。∴OE＝OF。‎ ‎∴四边形AFCE是菱形。‎ ‎（2）证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAP，‎ ‎∴△AOE∽△AEP，∴＝，即AE2＝AO·AP。‎ ‎∵AO＝AC，∴AE2＝AC·AP。‎ ‎∴2AE2＝AC·AP。‎ ‎（3）设AB＝xcm，BF＝ycm。‎ 由（1）四边形AFCE是菱形，∴AF＝AE＝10cm。‎ ‎ ∵∠B＝90°，∴x2＋y2＝100。‎ ‎∴(x＋y)2－2xy＝100①。‎ ‎∵△ABF的面积为24cm2，∴xy＝24．即xy＝48 ②。‎ 由①、②得(x＋y)2＝196。‎ ‎∴x＋y＝14或x＋y＝－14(不合题意，舍去)。‎ ‎∴△ABF的周长为：x＋y＋AF＝14＋10＝24(cm)。‎ ‎26．(2012甘肃天水12分)如图，已知抛物线经过A(4，0)，B(1，0)，C(0，－2)三点．‎ ‎(1)(3分)求该抛物线的解析式；‎ ‎(2)(4分)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎(3)(5分)P是直线x＝1右侧的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使 得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解： （1）∵该抛物线过点C(0，－2)，∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx－2。 ‎ 将A(4，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx－2，‎ 得，解得。‎ ‎∴该抛物线的解析式为y=－x2＋x－2。‎ ‎（2）存在。‎ 如图1，设D点的横坐标为t(0＜t＜4)，则D点的纵坐标为－t2＋t－2。‎ 过D作y轴的平行线交AC于E。‎ 由题意可求得直线AC的解析式为y＝x－2。‎ ‎∴E点的坐标为(t，t－2)。 ‎ ‎∴DE＝－t2＋t－2－(t－2)＝－t2＋2t。‎ ‎∴△DAC的面积S＝×(－t2＋2t)×4＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4。‎ ‎∴当t＝2时，S最大＝4。‎ ‎∴D(2，1)，△DAC面积的最大值为4。‎ ‎（3）存在。‎ 如图2，设P(m，－m2＋m－2)，则m＞1。‎ Ⅰ．当1＜m＜4时，‎ AM＝4－m，PM＝－m2＋m－2。‎ 又∠COA＝∠PMA＝90°，‎ ‎∴①当时，△APM∽△ACO。‎ ‎∴4－m＝2(－m2＋m－2)，解得m1＝2，m2＝4(舍去)。‎ ‎∴P1(2，1)。‎ ‎②当时，△APM∽△CAO。‎ ‎∴2(4－m)＝－m2＋m－2，解得m3＝4，m5＝5(均不合题意，舍去)。[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴当1＜m＜4时，P1(2，1)。‎ Ⅱ．当m＞4时，同理可求P2(5，－2)。‎ 综上所述，符合条件的点P为P1(2，1)和P2(5，－2)。‎