甘肃省张掖市中考数学试题含答案解析(pdf版) 25页

第 1 页（共 25 页） 2018 年甘肃省张掖市中考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确 1．（ 3 分）﹣2018 的相反数是（ ） A．﹣2018 B．2018 C．﹣ D． 2．（ 3 分）下列计算结果等于 x3 的是（ ） A．x6÷x2 B．x4﹣x C．x+x2 D．x2•x 3．（ 3 分）若一个角为 65°，则它的补角的度数为（ ） A．25° B．35° C．115° D．125° 4．（ 3 分）已知 = （a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ） A． = B．2a=3b C． = D．3a=2b 5．（ 3 分）若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A．2 或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 6．（ 3 分）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各 投掷 10 次，他们成绩的平均数 与方差 s2 如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 （环） 11.1 11.1 10.9 10.9 方差 s2 1.1 1.2 1.3 1.4 若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（ 3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4 8．（ 3 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针 旋转 90°到△ABF 的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，则 AE 的长为（ ） 第 2 页（共 25 页） A．5 B． C．7 D． 9．（ 3 分）如图，⊙A 过点 O（0，0）， C（ ，0）， D（0，1），点 B 是 x 轴下方 ⊙A 上的一点，连接 BO，BD，则∠OBD 的度数是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 10．（ 3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分， 与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法： ①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（ m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 11．（ 4 分）计算：2sin30°+（﹣1）2018﹣（ ）﹣1= ． 12．（ 4 分）使得代数式 有意义的 x 的取值范围是 ． 13．（ 4 分）若正多边形的内角和是 1080°，则该正多边形的边数是 ． 14．（ 4 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几 第 3 页（共 25 页） 何体的侧面积为 ． 15．（ 4 分）已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c 为奇数，则 c= ． 16．（ 4 分）如图，一次函数 y=﹣x﹣2 与 y=2x+m 的图象相交于点 P（n，﹣4）， 则关于 x 的不等式组 的解集为 ． 17．（ 4 分）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两 个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角 形的边长为 a，则勒洛三角形的周长为 ． 18．（ 4 分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2018 次输出的结果为 ． 第 4 页（共 25 页） 三、解答题（一）；本大题共 5 小题，共 38 分，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤 19．（ 6 分）计算： ÷（ ﹣1） 20．（ 6 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）作∠ACB 的平分线交 AB 边于点 O，再以点 O 为圆心，OB 的长为半径作⊙ O；（要求：不写做法，保留作图痕迹） （2）判断（1）中 AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果． 21．（ 8 分）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅 最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的 问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、 鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出 9 文钱，就会多 11 文钱；如果每人出 6 文钱，又会缺 16 文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多 少？请解答上述问题． 22．（ 8 分）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅 速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B 两地 被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的 直达高铁可以缩短从 A 地到 B 地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？ （参考数据： ≈1.7， ≈1.4） 第 5 页（共 25 页） 23．（ 10 分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形成的图 案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概 率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取 2 个涂黑，得到 新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 四、解答题（二）：本大题共 5 小题，共 50 分。解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤 24．（ 8 分）“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级 学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一 个样本，按 A，B，C，D 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图． 根据所给信息，解答以下问题 （1）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是 度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位教会落在 等级； （4）该校九年级有 300 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多 第 6 页（共 25 页） 少人？ 25．（ 10 分）如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y= （k 为常数且 k≠0） 的图象交于 A（﹣1，a）， B 两点，与 x 轴交于点 C． （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 S△ACP= S△BOC，求点 P 的坐标． 26．（ 10 分）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积． 27．（ 10 分）如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E，与 边 BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE=EF． （1）求证：∠C=90°； （2）当 BC=3，sinA= 时，求 AF 的长． 28．（ 12 分）如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 C（0，3），与 x 轴分 别交于点 A，点 B（3，0）．点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数 y=ax2+2x+c 的表达式； 第 7 页（共 25 页） （2）连接 PO，PC，并把△POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POP′C．若四边形 POP′C 为菱形，请求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐 标和四边形 ACPB 的最大面积． 第 8 页（共 25 页） 2018 年甘肃省张掖市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确 1．（ 3 分）﹣2018 的相反数是（ ） A．﹣2018 B．2018 C．﹣ D． 【解答】解：﹣2018 的相反数是：2018． 故选：B． 2．（ 3 分）下列计算结果等于 x3 的是（ ） A．x6÷x2 B．x4﹣x C．x+x2 D．x2•x 【解答】解：A、x6÷x2=x4，不符合题意； B、x4﹣x 不能再计算，不符合题意； C、x+x2 不能再计算，不符合题意； D、x2•x=x3，符合题意； 故选：D． 3．（ 3 分）若一个角为 65°，则它的补角的度数为（ ） A．25° B．35° C．115° D．125° 【解答】解：180°﹣65°=115°． 故它的补角的度数为 115°． 故选：C． 4．（ 3 分）已知 = （a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ） A． = B．2a=3b C． = D．3a=2b 【解答】解：由 = 得，3a=2b， A、由原式可得：3a=2b，正确； 第 9 页（共 25 页） B、由原式可得 2a=3b，错误； C、由原式可得：3a=2b，正确； D、由原式可得：3a=2b，正确； 故选：B． 5．（ 3 分）若分式 的值为 0，则 x 的值是（ ） A．2 或﹣2 B．2 C．﹣2 D．0 【解答】解：∵分式 的值为 0， ∴x2﹣4=0， 解得：x=2 或﹣2． 故选：A． 6．（ 3 分）甲、乙、丙、丁四名同学在一次投掷实心球训练中，在相同条件下各 投掷 10 次，他们成绩的平均数 与方差 s2 如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 （环） 11.1 11.1 10.9 10.9 方差 s2 1.1 1.2 1.3 1.4 若要选一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，则应该选择（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解答】解：从平均数看，成绩好的同学有甲、乙， 从方差看甲、乙两人中，甲方差小，即甲发挥稳定， 故选：A． 7．（ 3 分）关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 （ ） A．k≤﹣4 B．k＜﹣4 C．k≤4 D．k＜4 【解答】解：根据题意得△=42﹣4k≥0， 解得 k≤4． 故选：C． 第 10 页（共 25 页） 8．（ 3 分）如图，点 E 是正方形 ABCD 的边 DC 上一点，把△ADE 绕点 A 顺时针 旋转 90°到△ABF 的位置，若四边形 AECF 的面积为 25，DE=2，则 AE 的长为（ ） A．5 B． C．7 D． 【解答】解：∵把△ADE 顺时针旋转△ABF 的位置， ∴四边形 AECF 的面积等于正方形 ABCD 的面积等于 25， ∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE 中，AE= = ． 故选：D． 9．（ 3 分）如图，⊙A 过点 O（0，0）， C（ ，0）， D（0，1），点 B 是 x 轴下方 ⊙A 上的一点，连接 BO，BD，则∠OBD 的度数是（ ） A．15° B．30° C．45° D．60° 【解答】解：连接 DC， ∵C（ ，0）， D（0，1）， 第 11 页（共 25 页） ∴∠DOC=90°，OD=1，OC= ， ∴∠DCO=30°， ∴∠OBD=30°， 故选：B． 10．（ 3 分）如图是二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）图象的一部分， 与 x 轴的交点 A 在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是 x=1．对于下列说法： ①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（ m 为实数）；⑤当﹣1＜x ＜3 时，y＞0，其中正确的是（ ） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【解答】解：①∵对称轴在 y 轴右侧， ∴a、b 异号， ∴ab＜0，故正确； ②∵对称轴 x=﹣ =1， ∴2a+b=0；故正确； ③∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当 x=﹣1 时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误； ④根据图示知，当 m=1 时，有最大值； 当 m≠1 时，有 am2+bm+c≤a+b+c， 第 12 页（共 25 页） 所以 a+b≥m（am+b）（ m 为实数）． 故正确． ⑤如图，当﹣1＜x＜3 时，y 不只是大于 0． 故错误． 故选：A． 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 11．（ 4 分）计算：2sin30°+（﹣1）2018﹣（ ）﹣1= 0 ． 【解答】解：2sin30°+（﹣1）2018﹣（ ）﹣1 =2× +1﹣2 =1+1﹣2 =0， 故答案为：0． 12．（ 4 分）使得代数式 有意义的 x 的取值范围是 x＞3 ． 【解答】解：∵代数式 有意义， ∴x﹣3＞0， ∴x＞3， ∴x 的取值范围是 x＞3， 故答案为：x＞3． 第 13 页（共 25 页） 13．（ 4 分）若正多边形的内角和是 1080°，则该正多边形的边数是 8 ． 【解答】解：根据 n 边形的内角和公式，得 （n﹣2）•180=1080， 解得 n=8． ∴这个多边形的边数是 8． 故答案为：8． 14．（ 4 分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正六边形，则该几 何体的侧面积为 108 ． 【解答】解：观察该几何体的三视图发现该几何体为正六棱柱，其底面边长为 3， 高为 6， 所以其侧面积为 3×6×6=108， 故答案为：108． 15．（ 4 分）已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c 为奇数，则 c= 7 ． 【解答】解：∵a，b 满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0， ∴a﹣7=0，b﹣1=0， 解得 a=7，b=1， ∵7﹣1=6，7+1=8， ∴6＜c＜8， 又∵c 为奇数， 第 14 页（共 25 页） ∴c=7， 故答案是：7． 16．（ 4 分）如图，一次函数 y=﹣x﹣2 与 y=2x+m 的图象相交于点 P（n，﹣4）， 则关于 x 的不等式组 的解集为 ﹣2＜x＜2 ． 【解答】解：∵一次函数 y=﹣x﹣2 的图象过点 P（n，﹣4）， ∴﹣4=﹣n﹣2，解得 n=2， ∴P（2，﹣4）， 又∵y=﹣x﹣2 与 x 轴的交点是（﹣2，0）， ∴关于 x 的不等式 2x+m＜﹣x﹣2＜0 的解集为﹣2＜x＜2． 故答案为﹣2＜x＜2． 17．（ 4 分）如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两 个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角 形的边长为 a，则勒洛三角形的周长为 πa ． 【解答】解：如图．∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=a， ∴ 的长= 的长= 的长= = ， ∴勒洛三角形的周长为 ×3=πa． 第 15 页（共 25 页） 故答案为 πa． 18．（ 4 分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2018 次输出的结果为 1 ． 【解答】解：当 x=625 时， x=125， 当 x=125 时， x=25， 当 x=25 时， x=5， 当 x=5 时， x=1， 当 x=1 时，x+4=5， 当 x=5 时， x=1， 当 x=1 时，x+4=5， 当 x=5 时， x=1， … （2018﹣3）÷2=1007.5， 即输出的结果是 1， 故答案为：1 三、解答题（一）；本大题共 5 小题，共 38 分，解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤 第 16 页（共 25 页） 19．（ 6 分）计算： ÷（ ﹣1） 【解答】解：原式= ÷（ ﹣ ） = ÷ = • = ． 20．（ 6 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°． （1）作∠ACB 的平分线交 AB 边于点 O，再以点 O 为圆心，OB 的长为半径作⊙ O；（要求：不写做法，保留作图痕迹） （2）判断（1）中 AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果． 【解答】解：（1）如图所示： ； （2）相切；过 O 点作 OD⊥AC 于 D 点， ∵CO 平分∠ACB， ∴OB=OD，即 d=r， ∴⊙O 与直线 AC 相切， 21．（ 8 分）《九章算术》是中国古代数学专著，在数学上有其独到的成就，不仅 最早提到了分数问题，也首先记录了“盈不足”等问题．如有一道阐述“盈不足”的 问题，原文如下：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、 鸡价各几何？译文为：现有若干人合伙出钱买鸡，如果每人出 9 文钱，就会多 第 17 页（共 25 页） 11 文钱；如果每人出 6 文钱，又会缺 16 文钱．问买鸡的人数、鸡的价格各是多 少？请解答上述问题． 【解答】解：设合伙买鸡者有 x 人，鸡的价格为 y 文钱， 根据题意得： ， 解得： ． 答：合伙买鸡者有 9 人，鸡的价格为 70 文钱． 22．（ 8 分）随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅 速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B 两地 被大山阻隔，由 A 地到 B 地需要绕行 C 地，若打通穿山隧道，建成 A，B 两地的 直达高铁可以缩短从 A 地到 B 地的路程．已知：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640 公里，求隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短多少公里？ （参考数据： ≈1.7， ≈1.4） 【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 在 Rt△ADC 和 Rt△BCD 中， ∵∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=640， ∴CD=320，AD=320 ， ∴BD=CD=320，不吃 20 ， ∴AC+BC=640+320 ≈1088， ∴AB=AD+BD=320 +320≈864， ∴1088﹣864=224（公里）， 答：隧道打通后与打通前相比，从 A 地到 B 地的路程将约缩短 224 公里． 第 18 页（共 25 页） 23．（ 10 分）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑 3 个小正方形所形成的图 案． （1）如果将一粒米随机地抛在这个正方形方格上，那么米粒落在阴影部分的概 率是多少？ （2）现将方格内空白的小正方形（A，B，C，D，E，F）中任取 2 个涂黑，得到 新图案，请用列表或画树状图的方法求新图案是轴对称图形的概率． 【解答】解：（1）∵正方形网格被等分成 9 等份，其中阴影部分面积占其中的 3 份， ∴米粒落在阴影部分的概率是 = ； （2）列表如下： A B C D E F A （B，A） （C，A） （D，A） （E，A） （F，A） B （A，B） （C，B） （D，B） （E，B） （F，B） C （A，C） （B，C） （D，C） （E，C） （F，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （E，D） （F，D） E （A，E） （B，E） （C，E） （D，E） （F，E） F （A，F） （B，F） （C，F） （D，F） （E，F） 由表可知，共有 30 种等可能结果，其中是轴对称图形的有 10 种， 故新图案是轴对称图形的概率为 = ． 四、解答题（二）：本大题共 5 小题，共 50 分。解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤 24．（ 8 分）“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级 学生足球运球的掌握情况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一 第 19 页（共 25 页） 个样本，按 A，B，C，D 四个等级进行统计，制成了如下不完整的统计图． 根据所给信息，解答以下问题 （1）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是 117 度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运球测试成绩的中位教会落在 B 等级； （4）该校九年级有 300 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多 少人？ 【解答】解：（1）∵总人数为 18÷45%=40 人， ∴C 等级人数为 40﹣（4+18+5）=13 人， 则 C 对应的扇形的圆心角是 360°× =117°， 故答案为：117； （2）补全条形图如下： （3）因为共有 40 个数据，其中位数是第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在 B 等级， 所以所抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级， 故答案为：B． 第 20 页（共 25 页） （4）估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有 300× =30 人． 25．（ 10 分）如图，一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y= （k 为常数且 k≠0） 的图象交于 A（﹣1，a）， B 两点，与 x 轴交于点 C． （1）求此反比例函数的表达式； （2）若点 P 在 x 轴上，且 S△ACP= S△BOC，求点 P 的坐标． 【解答】解：（1）把点 A（﹣1，a）代入 y=x+4，得 a=3， ∴A（﹣1，3） 把 A（﹣1，3）代入反比例函数 y= ∴k=﹣3， ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ （2）联立两个的数表达式得 解得 或 ∴点 B 的坐标为 B（﹣3，1） 当 y=x+4=0 时，得 x=﹣4 ∴点 C（﹣4，0） 设点 P 的坐标为（x，0） ∵S△ACP= S△BOC ∴ 第 21 页（共 25 页） 解得 x1=﹣6，x2=﹣2 ∴点 P（﹣6，0）或（﹣2，0） 26．（ 10 分）已知矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上的一个动点，点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点． （1）求证：△BGF≌△FHC； （2）设 AD=a，当四边形 EGFH 是正方形时，求矩形 ABCD 的面积． 【解答】解：（1）∵点 F，G，H 分别是 BC，BE，CE 的中点， ∴FH∥BE，FH= BE，FH=BG， ∴∠CFH=∠CBG， ∵BF=CF， ∴△BGF≌△FHC， （2）当四边形 EGFH 是正方形时，可得：EF⊥GH 且 EF=GH， ∵在△BEC 中，点，H 分别是 BE，CE 的中点， ∴GH= ，且 GH∥BC， ∴EF⊥BC， ∵AD∥BC，AB⊥BC， ∴AB=EF=GH= a， ∴矩形 ABCD 的面积= ． 27．（ 10 分）如图，点 O 是△ABC 的边 AB 上一点，⊙O 与边 AC 相切于点 E，与 边 BC，AB 分别相交于点 D，F，且 DE=EF． （1）求证：∠C=90°； （2）当 BC=3，sinA= 时，求 AF 的长． 第 22 页（共 25 页） 【解答】解：（1）连接 OE，BE， ∵DE=EF， ∴ ∴∠OBE=∠DBE ∵OE=OB， ∴∠OEB=∠OBE ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BC ∵⊙O 与边 AC 相切于点 E， ∴OE⊥AC ∴BC⊥AC ∴∠C=90° （2）在△ABC，∠C=90°，BC=3，sinA= ∴AB=5， 设⊙O 的半径为 r，则 AO=5﹣r， 在 Rt△AOE 中，sinA= = = ∴r= ∴AF=5﹣2× = 第 23 页（共 25 页） 28．（ 12 分）如图，已知二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过点 C（0，3），与 x 轴分 别交于点 A，点 B（3，0）．点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点． （1）求二次函数 y=ax2+2x+c 的表达式； （2）连接 PO，PC，并把△POC 沿 y 轴翻折，得到四边形 POP′C．若四边形 POP′C 为菱形，请求出此时点 P 的坐标； （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ACPB 的面积最大？求出此时 P 点的坐 标和四边形 ACPB 的最大面积． 【解答】解：（1）将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ， 二次函数的解析是为 y=﹣x2+2x+3； （2）若四边形 POP′C 为菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上， 如图 1，连接 PP′，则 PE⊥CO，垂足为 E， ∵C（0，3）， 第 24 页（共 25 页） ∴E（0， ）， ∴点 P 的纵坐标 ， 当 y= 时，即﹣x2+2x+3= ， 解得 x1= ，x2= （不合题意，舍）， ∴点 P 的坐标为（ ， ）； （3）如图 2， P 在抛物线上，设 P（m，﹣m2+2m+3）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ． 直线 BC 的解析为 y=﹣x+3， 设点 Q 的坐标为（m，﹣m+3）， PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m． 当 y=0 时，﹣x2+2x+3=0， 解得 x1=﹣1，x2=3， OA=1， AB=3﹣（﹣1）=4， S 四边形 ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ 第 25 页（共 25 页） = AB•OC+ PQ•OF+ PQ•FB = ×4×3+ （﹣m2+3m）×3 =﹣ （m﹣ ）2+ ， 当 m= 时，四边形 ABPC 的面积最大． 当 m= 时，﹣m2+2m+3= ，即 P 点的坐标为（ ， ）． 当点 P 的坐标为（ ， ）时，四边形 ACPB 的最大面积值为 ．