2019九年级数学上册 专题突破讲练 拓展：15°角的三角函数值试题 （新版）青岛版 9页

拓展：15角的三角函数值 ‎1. 三角函数 ‎ ‎ ‎2. 特殊角的三角函数值 ‎ 角度 ‎ 值 函数 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sin cos tan ‎1‎ ‎3. 角的三角函数值的求法 在Rt中，，，求角的三角函数值。‎ 解答：延长CA到D，使AD＝AB，连接BD，设BC＝a。‎ 在Rt中，，，‎ ‎。‎ 在中，AD＝AB，，‎ 在Rt中，BC＝a，DC＝DA＋AC＝，‎ ‎＝‎ 9‎ ‎＝（1＋）a＝（）a 根据互为余角的三角函数的关系：‎ ‎，‎ ‎。‎ 例题 如图，在Rt中，，，求角的三角函数值。‎ 解析：通过作的平分线AD，构造，然后通过Rt，利用三角函数的定义求角的三角函数值。‎ 答案：作的平分线AD，‎ ‎，。‎ 在Rt中，，。‎ 设BC＝a，则AB＝‎2a，AC＝a。‎ 将沿AD翻折，交AB于点E，则 于是BE＝AB－AE＝（2－）a，∵∠B＝60°，∠BED＝90°，‎ ‎∴，得BD＝2（2－）a，∴‎ ‎∴AD＝＝‎ ‎∴sin15＝。‎ 9‎ 点拨：通过辅助线构造出角，把这个角放到直角三角形中，然后推导边与边之间的关系是解决问题的关键。‎ ‎【方法总结】‎ 在30°、45°、60°角的三角函数值的基础上，要求15°或75°角的三角函数值，只需把15°或75°角放到直角三角形中，求出该三角形各边的长度即可。‎ 例题 如图，把含30°角的三角板ABC，绕点B逆时针旋转90°到三角板DBE的位置（如图所示），求sin∠ADE的值。‎ 解析：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；设BD＝x，进而可得AB、BE、AD的值，利用边的关系可得AE的值；在Rt△AEF中，由三角函数的定义可得EF、AF的值；最后在Rt△DEF中，根据三角函数的定义可得sin∠ADE的值。‎ 答案：过点E作EF⊥AD，且交AD于点F；‎ 设BD＝x，则AB＝x，BE＝x，AD＝x；‎ DE＝，‎ 在Rt△AEF中，AE＝x－x＝x；‎ 易得EF＝•AE＝x；‎ 则AF＝EF＝x，‎ 在Rt△DEF中，‎ 根据三角函数的定义可得：sin∠ADE＝＝‎ 答：sin∠ADE的值为。‎ 9‎ 点拨：本题考查锐角三角函数的概念，关键是将∠ADE放到直角三角形中，用同一未知数表示出该角的对边和斜边。同理还能求出这个角的其它三角函数值。‎ ‎（答题时间：30分钟）‎ 一、选择题 ‎1. 在正方形网格中，△ABC的位置如图，则sin∠ABC的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 如图，△ABC中，AB＝BC＝CA，则sin∠A的值是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则sin∠OMN的值为（　　）‎ 9‎ A. B. ‎1 ‎ C. D. ‎ ‎4. 如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，AC与BD相交于O，则tan∠AOB等于（　　）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎5. 如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝67.5°，AD＝BD，则sin∠ADC＝（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1＝，则∠2的度数为（　　）‎ A. 120° B. 135° C. 145° D. 150°‎ 二、填空题 ‎7. 如图：将三角板的直角顶点放置在直线AB的点O处，使斜边CD∥AB，则∠α的正弦值是　　。‎ ‎8. 如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于　　。‎ 9‎ ‎9. 图1是一张Rt△ABC纸片，如果用两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形（图2），那么在Rt△ABC中，sin∠B的值是　　。‎ ‎10. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，BC＝，AC＝3，则BD＝　　。‎ ‎11. 因为sin30°＝，sin210°＝－，所以sin210°＝sin（180°＋30°）＝－sin30°，因为sin45°＝，sin225°＝－，所以sin225°＝sin（180°＋45°）＝－sin45°；由此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时有sin（180°＋α）＝－sinα，由此可知：sin240°＝　　。‎ ‎12. 如图，ABCD，BEFC是两个全等的正方形，则tan（∠BAF＋∠AFB）等于　　。‎ 9‎ ‎ ‎ 一、选择题 ‎1. C 解析：设小正方形的边长为1，则BC＝4，∠B的对边长为4，‎ ‎∴sin∠B＝＝。‎ ‎2. B 解析：∵AB＝BC＝CA，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ 故可得∠A＝60°，sin∠A＝。‎ 故选B。‎ ‎3. C 解析：在正方形ABCD中，‎ OB＝OC，∠MON＝90°，‎ 又∵点M、N分别为OB、OC的中点，‎ ‎∴ON＝OM，‎ ‎∴∠OMN＝45°，‎ ‎∴sin∠OMN＝sin45°＝。‎ 故选C。‎ ‎4. A 解析：因为ABCD是矩形，所以AO＝BO，则∠OAB＝∠OBA。‎ ‎∵AB＝1，BC＝，∴tan∠CAB＝，‎ ‎∴∠CAB＝60°，‎ ‎∴△AOB为等边三角形，‎ ‎∴tan∠AOB＝tan60°＝。‎ 故选A。‎ ‎5. B 解析：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝67.5°，‎ ‎∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－67.5°＝22.5°，‎ ‎∵AD＝BD，‎ ‎∴∠B＝∠BAD＝22.5°，‎ ‎∴∠ADC＝∠B＋∠BAD＝22.5°＋22.5°＝45°，‎ ‎∴sin∠ADC＝sin45°＝。‎ 故选B。‎ ‎6. B 解析：∵sin∠1＝，‎ ‎∴∠1＝45°，‎ ‎∵直角△EFG中，∠3＝90°－∠1＝90°－45°＝45°，‎ ‎∴∠4＝180°－∠3＝135°，‎ 又∵AB∥CD，‎ ‎∴∠2＝∠4＝135°。‎ 故选B。‎ 9‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎7. 解析：∵CD∥AB，‎ ‎∴∠AOC＝∠OCD＝30°，∠α＝180°－30°－90°＝60°，‎ ‎∴sinα＝sin60°＝‎ ‎8. 解析：连接AB，‎ 由画图可知：OA＝OB，AO＝AB ‎∴OA＝AB＝OB，即三角形OAB为等边三角形，‎ ‎∴∠AOB＝60°，‎ ‎∴cos∠AOB＝cos60°＝。‎ ‎9. 解析：∵两张这种纸片恰好能拼成一个正三角形，‎ ‎∴∠B＝60°，sin∠B＝。‎ ‎10. 解析：∵tan∠A＝‎ ‎∴∠A＝30°‎ ‎∴∠BCD＝30°‎ ‎∴BD＝BC＝。‎ ‎11. 解析：∵当α为锐角时有sin（180°＋α）＝－sinα，‎ 9‎ ‎∴sin240°＝sin（180°＋60°）＝－sin60°＝－。‎ ‎12. 1 解析：∵∠FBE是△ABF的一个外角，‎ ‎∴∠BAF＋∠AFB＝∠FBE，‎ ‎∴tan（∠BAF＋∠AFB）＝tan∠FBE＝＝1。‎ 9‎